九下第19讲仰角、俯角与解直角三角形
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1．理解仰角、俯角的概念，并利用其解直角三角形．
2．学会从实际问题中构建数学模型——直角三角形，探索解直角三角形在解决实际问题中的一些应用．
3．会用直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的简单实际问题．
4．体会数形结合和函数思想的运用．
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：仰角、俯角的概念及解直角三角形
例1 小明的教室在教学楼的二楼，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，发现：望向旗杆顶端和底部的视线会与水平线各产生一个夹角，怎么命名这两个角？
（1）如图1，在测量中叫什么角？
（2）测得仰角为，俯角为，长为6米，求旗杆AB的高度.
【解析】利用仰角、俯角的概念以及锐角三角函数在解直角三角形当中的运用，再代入计算；然后根据边之间的比值关系，从而求得旗杆的高度.
【解答】解：（1）∠AOC为仰角，∠BOC为俯角.（2）由题意得，
,
【解法】锐角三角函数，解直角三角形
【解释】本题考查仰角、俯角概念的正确理解，并将实际问题化归为解直角三角形的问题.
学业要求二：构建数学模型——直角三角形
例2 【2023·新疆】烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度(参考数据：sin 50°≈0.8，cos 50°≈0.6，tan 50°≈1.2，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，tan 65°≈2.1)．
【解析】添辅助线构造矩形和直角三角形，得到BE＝AD＝31.5米，再利用三角函数解直角三角形，从而得到AE=15米，CE＝18米，继而求得BC＝13.5米.
【解答】如图3，延长BC，则易知BC⊥AE，∴四边形ADBE是矩形．在Rt△ABE中，BE＝AD＝31.5米，∠AEB＝90°，∠BAE＝65°，tan∠BAE＝，∴AE≈＝15米．在Rt△ACE中，∠CAE＝50°，tan∠CAE＝，∴CE≈15×1.2＝18米，∴BC＝BE－CE＝31.5－18＝13.5(米)．答：烽燧BC的高度约为13.5米．
【解法】矩形对边相等，锐角三角函数.
【解释】本题考查学生构造直角三角形，借助图形直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为解直角三角形问题.考查学生构建数学模型的综合能力.
学业要求三：用直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的简单实际问题
例3 【2023·嘉兴、舟山】图4是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头都需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图5，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160 cm，识别的最远水平距离OB＝150 cm.
（1）身高208 cm的小杜，头部高度为26 cm，他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120 cm的小若，头部高度为15 cm，踮起脚尖可以增高3 cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图6），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1 cm，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36）
【解析】利用水平线的垂线构造直角三角形，借助几何直观分析，通过OC的长，结合锐角三角函数，求出DF，EF，CE，ED的长，最后比较ED和小杜头部的高度，判断出人脸在摄像头识别范围内.最后将小杜身高减去CE的长即可求解.
【解答】解：（1）如答图7，过点C作OB的垂线，分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F.在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，∴EF＝AF·tan 15°≈130×0.27＝35.1(cm)．∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，∴△ADF≌△AEF(ASA)，∴DF＝EF＝35.1 cm，∴CE＝160＋35.1＝195.1(cm)，ED＝35.1×2＝70.2(cm)>26 cm，∴小杜下蹲的最小距离为208－195.1＝12.9(cm)．
如答图8，过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P.在Rt△APM中，tan∠MAP＝，∴MP＝AP·tan 20°≈150×0.36＝54.0(cm)．∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，∴△AMP≌△ANP(ASA)，∴PN＝MP＝54.0 cm，∴BN＝160－54.0＝106.0(cm)．小若踮起脚尖后头顶的高度为120＋3＝123(cm)，∴小若头顶超出点N的高度＝123－106.0＝17.0(cm)＞15(cm)，∴小若踮起脚尖后能被识别．
【解法】锐角三角函数；解直角三角形.
【解释】本题综合考察学生建构数学模型的能力，通过生活中常见
的人脸识别系统，引起学生的学习兴趣，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系.引导学生用数学的眼光去看待世界，并用数学的语言去表达世界.
学业要求四：体会数形结合和函数思想
例4 【九下·教材改编】在底面的A点测得塔顶端C的仰角为30°，沿着向塔的方向前进6m到达B点，在B点测得塔的顶端C的仰角为45°。请画出示意图，并求出塔的高度.(精确到0.1m.
【解析】根据题目构造数学模型——直角三角形，设塔高CD为x米，法一：等腰直角三角形可得BD=CD=x，根据勾股定理列式，即可求出答案.法二：利用锐角三角函数解直角三角形，分别用含x的代数式表示出边AD、BD再利用，从而求出塔高.
【解答】解：如图9.解法一：设塔高CD为x米，则，解得.
解法二：设塔高CD为x米，在Rt△ACD中，则同理在Rt△BCD中，.由，得，解得.
答：塔高约为8.2米.
【解法】勾股定理；锐角三角函数；解直角三角形.
【解释】本题考查学生从实际问题中自主构建数学模型的能力，综合勾股定理、锐角三减函数、解直角三角形，考查学生综合解决问题的能力，引导学生用数学的眼光去看待世界，用数学的思维思考现实世界，并用数学的语言去表达世界.
（三）能力训练与拓展
1.（2023十堰）如图，小明利用一个锐角三角形测操场旗杆的高度，他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
2.（2023荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6 m，则该校的旗杆高约为__________m(结果精确到0.1 m，≈1.73)．
3.（2023岳阳）如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是__________米(结果精确到0.1米，sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40)．
4.（2022 金华）如图4-1是光伏发电场景，其示意图如图4-2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜(介绍见图4-3)，绕各中心点(A，A′)旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A′B′＝1 m，EB＝8 m，EB′＝8 m，在点A观测点F的仰角为45°.
（1）点F的高度EF为_________m.
（2）设∠DAB＝α，∠D′A′B′＝β，则α与β的数量关系是_______________.
5．（九下教材改编）如图，小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角(如图所示)，量得两幢楼之间的距离为32 m，则大厦的高约为__________m，小玲家的高约为__________m(结果精确到1 m，参考数据：tan 46°≈1.04，tan 29°≈0.55)．
6．（2023·安徽）如图,，O、R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40 m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 24.2°≈0.41，cos 24.2°≈0.91，tan 24.2°≈0.45，sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75)．
7．（2023·天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6 m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
8．（2023·宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图8-1所示．
(1)如图8-2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β.
(2)如图8-3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利
用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20 m，求气球A离地面的高度AD(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)．
9.（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2∶的斜坡AB前进20 m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(结果保留根号，参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)．
10.（2023·温州）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背景素材 某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN(如图1)．他们通过自制的测倾仪(如图2)在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示.
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度.
问题解决
任务1 分析规划 选择两个观测位置：点________和点________.
获取数据 写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离.
任务2 推理计算 计算发射塔的图上高度MN.
任务3 换算高度 楼房实际宽度DE为12米，请通过测量、换算发射塔的实际高度.
注：测量精确到1 mm.
（四）自主检测与评价
1．如图，课外活动小组测量学校旗杆的高度.1，当太阳光线与地面成30°角时,测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米,那么旗杆AB的高度是 ( )
A．12 B． C． D．8
2.如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE为1.68米，那么这棵树大约高(结果精确到0.1米)( )
A．3.8m B．4.0m C．4.4m D．4.6m
3．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )
A. 2m B．2m C．(2－2)m D．(2－2)m
4．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是( )
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
5．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是 m.
6．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41)
7．如图，泰州园博园中有一条人工河，河的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C，D，E，……，某人在河岸MN的A处测得∠DAN＝21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN＝45°，求这条河出宽度．(参考数据：sin21°≈，tan21°≈)
8．如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从比楼底B点高1m的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°.已知树高EF＝6m，求塔CD的高度．(结果保留根号)
9．如图，数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度．炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．(精确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73)
10．如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A，B，C三点在同一水平线上．
(1)求古树BH的高；
(2)求教学楼CG的高．(参考数据：＝1.4，＝1.7)
第19讲 参考答案
【能力训练与拓展】
D 2.13.8 3 .9.5 4. （1）9 （2）α-β=7.5° 5. 51；18 6. 10.9m 7.（1）DE=3m; （2）①②AB=11m
8. (2)在Rt△ABD中，BD＝≈AD．
在Rt△ACD中，CD＝＝AD，∴BC＝BD－CD＝AD－AD＝20，
解得AD＝60.
答：气球A离地面的高度AD为60米．
9.解：如答图，过点B作BF⊥AD于点F，延长BC，DE相交于点H.∵i＝2∶，∴可设BF＝2k，AF＝k.∵AB＝20 m，BF2＋AF2＝AB2，∴(2k)2＋(k)2＝(20)2，解得k＝20(负值舍去)，∴BF＝2k＝40 m.易知DH⊥CH，BF⊥AD，DH⊥BC，∴四边形BFDH是矩形，∴DH＝BF＝40 m.在Rt△CDH中，∵tan∠DCH＝，∴CH＝＝＝(m)．在Rt△CEH中，∵tan∠ECH＝，∴EH＝CH·tan∠ECH＝·tan 37°≈×＝10(m)，∴DE＝DH－EH＝(40－10)m.
答：古树DE的高度为(40－10)m.
10.解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：【任务1】选择点A和点B. tan∠1＝，tan∠2＝，tan∠3＝，测得图上AB＝4 mm.
【任务2】如答图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4 mm.设MF＝x(mm)，∴tan∠MAF＝＝，tan∠MBG＝＝，∴AF＝4x，BG＝3x＋12.
∵AF＝BG，∴4x＝3x＋12，解得x＝12，∴AF＝BG＝4x＝48.∵tan∠FAN＝＝∴FN＝6 mm，∴MN＝MF＋FN＝12＋6＝18(mm)．
【任务3】测得图上DE＝5 mm，设发射塔的实际高度为h米．由题意，得＝，解得h＝43.2，∴发射塔的实际高度为43.2米．
规划二：【任务1】选择点A和点C．tan∠1＝，tan∠2＝，tan∠4＝，测得图上AC＝12 mm.
【任务2】如图2，过点A作AF⊥MN于点F，过点C作CG⊥MN，交MN的延长线于点G，则FG＝AC＝12 mm.设MF＝x(mm)，
∴tan∠MAF＝＝，tan∠MCG＝＝，∴AF＝4x，CG＝2x＋24.∵AF＝CG，
∴4x＝2x＋24，解得x＝12，∴AF＝CG＝4x＝48.∵tan∠FAN＝＝，∴FN＝6 mm，
∴MN＝MF＋FN＝12＋6＝18(mm)．
【任务3】测得图上DE＝5 mm，设发射塔的实际高度为h米．由题意，得，解得h＝43.2.∴发射塔的实际高度为43.2米．
【自主检测与评价】
1.B 2.B 3.B 4. C 5. 30
6.解：在Rt△ABC中，∵AB＝600m，∠ABC＝75°，
∴BC＝AB·cos75°≈600×0.26＝156(m)，在Rt△BDF中
∵∠DBF＝45°，∴DF＝BD·sin45°＝600×≈300×1.41≈423(m)，
∵四边形BCEF是矩形，∴EF＝BC＝156m，
∴DE＝DF＋EF＝423＋156＝579(m)．∴DE的长为579m.
7. 解：如图，作AS⊥PQ，CT⊥MN，垂足分别为点S，T，则四边形ATCS为矩形，∴AS＝CT，SC＝AT.设这条河的宽度为x米，在Rt△ADS中，∵tan∠ADS＝，∴SD＝＝≈x.在Rt△BCT中，∵∠CBT＝45°，∴BT＝CT＝x.∵SD＋DC＝AB＋BT，∴x＋50＝175＋x，解得x＝75，∴这条河的宽度为75米．
8.解：如图，由题意可得：∠1＝∠α＝45°，PB＝HF＝GD＝1m.∵EF＝6m，∴EH＝5m.在Rt△EPH中，∠β＝30°，EH＝5m.∴PH＝＝＝5(m)．在Rt△EFD中，∠1＝45°，EF＝6m，∴FD＝FE＝6m，∴HG＝FD＝6m.∴PG＝PH＋HG＝(5＋6)m.在Rt△CPG中，CG＝PG·tanβ＝(5＋6)×＝(5＋2)m.∴CD＝CG＋GD＝(6＋2)m.∴塔CD的高度为(6＋2)m.
9.解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55 m，∴tan∠CAE＝，∴AC＝＝≈82.1(m)，∵AB＝21 m，∴BC＝AC－AB＝61.1 m，在Rt△BCD中，tan60°＝＝，
∴CD＝BC≈1.73×61.1≈105.7 m，∴DE＝CD－EC＝105.7－55≈51(m)，答：炎帝塑像DE的高度约为51 m
10.解： 解：(1)在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，∴HE＝EF＝10，∴BH＝BE＋HE＝1.5＋10＝11.5，∴古树的高为11.5米
(2)在Rt△EDG中，∠GED＝60°，∴DG＝DEtan60°＝DE，设DE＝x米，则DG＝x米，在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，∴GD＝DF＝EF＋DE，∴x＝10＋x，解得：x＝5＋5，∴CG＝DG＋DC＝x＋1.5＝(5＋5)＋1.5＝16.5＋5≈25，答：教学楼CG的高约为25米(共22张PPT)
初中数学 第十九讲—《仰角、俯角与解直角三角形》
仰角、俯角与解直角三角形
01
一、知识理解与建构知识
二、方法剖析与提炼
学业要求一：仰角、俯角的概念及解直角三角形
例1 小明的教室在教学楼的二楼，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，发现：望向旗杆顶端和底部的视线会与水平线各产生一个夹角，怎么命名这两个角？
（1）如图1， 在测量中叫什么角？
（2）测得仰角为 ，俯角为 ，BD长为6米，求旗杆AB的高度.
A
30°
B
C
O
D
45°
图1
6
二、方法剖析与提炼
学业要求二：构建数学模型——直角三角形
例2 【2023·新疆】烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度(参考数据：sin 50°≈0.8，cos 50°≈0.6，tan 50°≈1.2，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，tan 65°≈2.1)．
A
B
C
D
图2
50°
65°
【解答】如图3，延长BC，则易知BC⊥AE，∴四边形ADBE是矩形．在Rt△ABE中，BE＝AD＝31.5米，∠AEB＝90°，∠BAE＝65°，tan∠BAE＝BE/AE，∴AE≈31.5/2.1＝15米．在Rt△ACE中，∠CAE＝50°，tan∠CAE＝CE/AE，∴CE≈15×1.2＝18米，∴BC＝BE－CE＝31.5－18＝13.5(米)．答：烽燧BC的高度约为13.5米．
【解法】矩形对边相等，锐角三角函数.
【解释】本题考查学生构造直角三角形，借助图形直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为解直角三角形问题.考查学生构建数学模型的综合能力.
【解析】添辅助线构造矩形和直角三角形，得到BE＝AD＝31.5米，再利用三角函数解直角三角形，从而得到AE=15米，CE＝18米，继而求得BC＝13.5米.
A
B
D
C
图3
50°
65°
E
二、方法剖析与提炼
学业要求三：用直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的简单实际问题
例3 【2023·嘉兴、舟山】图4是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头都需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图5，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160 cm，识别的最远水平距离OB＝150 cm.
图4
图5
图6
摄像头A
B
O
C
摄像头A
O
B
仰角15°
俯角20°
仰角20°
俯角15°
（1）身高208 cm的小杜，头部高度为26 cm，他站在离摄像头水平距离130 cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？
（2）身高120 cm的小若，头部高度为15 cm，踮起脚尖可以增高3 cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图6），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到0.1 cm，参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36）
二、方法剖析与提炼
【解析】利用水平线的垂线构造直角三角形，借助几何直观分析，通过OC的长，结合锐角三角函数，求出DF，EF，CE，ED的长，最后比较ED和小杜头部的高度，判断出人脸在摄像头识别范围内.最后将小杜身高减去CE的长即可求解.
【解答】解：（1）如答图7，过点C作OB的垂线，分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F.在Rt△AEF中，tan∠EAF＝ ，∴EF＝AF·tan 15°≈130×0.27＝35.1(cm)．∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，∴△ADF≌△AEF(ASA)，∴DF＝EF＝35.1 cm，∴CE＝160＋35.1＝195.1(cm)，ED＝35.1×2＝70.2(cm)>26 cm，∴小杜下蹲的最小距离为208－195.1＝12.9(cm)．
(2)如答图8，过点B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P.在Rt△APM中，tan∠MAP＝ ，∴MP＝AP·tan 20°≈150×0.36＝54.0(cm)．∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，∴△AMP≌△ANP(ASA)，∴PN＝MP＝54.0 cm，∴BN＝160－54.0＝106.0(cm)．小若踮起脚尖后头顶的高度为120＋3＝123(cm)，∴小若头顶超出点N的高度＝123－106.0＝17.0(cm)＞15(cm)，∴小若踮起脚尖后能被识别．
摄像头A
B
O
M
P
N
图8
二、方法剖析与提炼
【解法】锐角三角函数；解直角三角形.
【解释】本题综合考察学生建构数学模型的能力，通过生活中常见
的人脸识别系统，引起学生的学习兴趣，将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系.引导学生用数学的眼光去看待世界，并用数学的语言去表达世界.
图4
图5
图6
摄像头A
B
O
C
摄像头A
O
B
仰角15°
俯角20°
仰角20°
俯角15°
二、方法剖析与提炼
学业要求四：体会数形结合和函数思想
例4 【九下·教材改编】在底面的A点测得塔顶端C的仰角为30°，沿着向塔的方向前进6m到达B点，在B点测得塔的顶端C的仰角为45°。请画出示意图，并求出塔的高度.(精确到0.1m.
A
B
C
D
图9
【解析】根据题目构造数学模型——直角三角形，设塔高CD为x米，法一：等腰直角三角形可得BD=CD=x，根据勾股定理列式，即可求出答案.法二：利用锐角三角函数解直角三角形，分别用含x的代数式表示出边AD、BD再利用AB=AD-BD=6，从而求出塔高.
，
【解法】勾股定理；锐角三角函数；解直角三角形.
【解释】本题考查学生从实际问题中自主构建数学模型的能力，综合勾股定理、锐角三减函数、解直角三角形，考查学生综合解决问题的能力，引导学生用数学的眼光去看待世界，用数学的思维思考现实世界，并用数学的语言去表达世界.
3.（2023岳阳）如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是__________米(结果精确到0.1米，sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40)．
2.（2023荆州）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，
无人机与旗杆的水平距离AD为6 m，则该校的旗杆高约为__________m(结果精确到0.1 m，≈1.73)．
三、能力训练与拓展
D
13.8
9.5
1.（2023十堰）如图，小明利用一个锐角三角形测操场旗杆的高度，他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A
B
C
D
第1题
E
第2题
第3题
4.（2022 金华）如图4-1是光伏发电场景，其示意图如图4-2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜(介绍见图4-3)，绕各中心点(A，A′)旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A′B′＝1 m，EB＝8 m，EB′＝8 m，在点A观测点F的仰角为45°.
（1）点F的高度EF为_________m.
（2）设∠DAB＝α，∠D′A′B′＝β，则α与β的数量关系是_______________.
三、能力训练与拓展
9
α-β=7.5o
第4-1题
第4-2题
第4-3题
5．（九下教材改编）如图，小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口测得大厦顶部的仰角和大厦底部的俯角(如图所示)，量得两幢楼之间的距离为32 m，则大厦的高约为__________m，小玲家的高约为__________m(结果精确到1 m，参考数据：tan 46°≈1.04，tan 29°≈0.55)．
6．（2023·安徽）如图,，O、R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40 m，R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 24.2°≈0.41，cos 24.2°≈0.91，tan 24.2°≈0.45，sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75)．
三、能力训练与拓展
51
18
第6题答案：10.9m
第7题答案：(1)DE=3m
(2)①
②AB=11m
7．（2023·天津）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6 m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.
三、能力训练与拓展
8．（2023·宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图8-1所示．
(1)如图8-2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式表示β.
(2)如图8-3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利
用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20 m，求气球A离地面的高度AD(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)．
第8-1题
第8-2题
第8-3题
三、能力训练与拓展
9.（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i＝2∶ 的斜坡AB前进20 m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(结果保留根号，参考数据：sin 37°≈ ，cos 37°≈ ，tan 37°≈ )．
三、能力训练与拓展
四、自主检测与评价
B
B
C
四、自主检测与评价
C
30
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
