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初中数学 第二十三讲—《由三视图想象出立体图形》
由三视图想象出立体图形
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一、知识理解与建构知识
二、方法剖析与提炼
例1.【2020·福清模拟】图1是一个立体图形的主视图、左视图和俯视图，那么这个立体图形是（ ）
（图1）
A.圆锥 B．三棱锥 C．四棱锥 D．五棱锥
【解析】主视图和左视图是三角形，所以立体图形从前面及侧面看过去是三角形，由于俯视图是四边形，可以想象出这个立体图形是四棱锥.
【解答】C.
【解法】由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和主视图想象立体图形的前面，上面和侧面，然后综合起来考虑几何体的形状.
【解释】本题考查根据立体图形的三视图描述出基本几何体的形状.
二、方法剖析与提炼
例2 【考题改编】某工厂生产了一批机械零件，如图2是其中一个机械零件的三视图，其所对应的直观图是( ) .
（图2）
A. B． C.． D．
【解析】从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，并且与下面的长方体顶面的两边相切，高度相同.
【解答】B
【解法】由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面，上面和侧面，然后综合起来考虑几何体的形状.再根据三视图“长对正，高齐平，宽相等”的关系，确定轮廓线的位置，以及各个方向的尺寸大小.
【解释】本题考查根据立体图形的三视图确定复杂几何物体的形状.
二、方法剖析与提炼
例3 【教辅改编】由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图3所示，则搭成该立体图形的小正方体的最多个数为（ ）个.
主视图 俯视图
（图3）
A．6 B．9 C．10 D．14
【解析】由主视图和俯视图可以看出这个几何体是3行、3列.从俯视图可以看出左边只有1列，中间有2列，右边有3列；从主视图可以看出第一列最高是3层，第二列最高2层，第三列最高1层.从而探寻出小正方体的最多个数.
【解答】C
【解法】从俯视图可以看出几何体的行数和列数，再根据主视图和俯视图可以进一步确定几何体的高度，进而确定小立方体的个数.
【解释】本题需要综合题中的三视图，再确定每一层、每一列的正方体个数，想象出大致的立体图形，再检验想象出来的立体图形三视图是否符合题意.
3
2
2
1
1
1
二、方法剖析与提炼
（图4）
例4 【2023·萧县模拟】如图4是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．
（1）这个几何体的名称为 ．
（2）求该几何体的左视图中a的值．
【解析】主视图和左视图是长方形，所以立体图形从前面及侧面看过去是长方形，由于俯视图是正三角形，可以想象出这个立体图形是正三棱柱.图中a是左视图的宽，对应俯视图中正三角形一边上的高，由于俯视图中正三角形边长是6，所以可以结合等边三角形的性质和勾股定理而求出.
【解答】解：（1）正三棱柱
（2）如图，过点C作CM⊥AB于M
∵△ABC是正三角形 ∴ AC=6 ，AM=3，CM=
∴左视图中a的值为 .
【解法】（1）利用三视图的定义可求得.
（2）过点C作CM⊥AB于M，根据等边三角形的性质求出AM=BM=3，再利用勾股定理求出CM的长即可.
【解释】考查由三视图判断几何体,并解决简单的问题.再根据三视图“长对正，高齐平，宽相等”的关系，确定轮廓线的位置，以及各个方向的尺寸大小.
a
6
3
三、能力训练与拓展
1.(改编)某商场装饰品中由几个几何体组合而成,其中一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
A.球 B.圆柱 C.长方体 D.圆锥
2.（改编）如图三视图，其对应的直观图是（ ）
A
D
三、能力训练与拓展
3.（改编）一个长方体纸盒的俯视图、左视图如图所示，则其体积为（ ）
（第3题）
A．3 B．4 C．12 D．16
俯视图
（第4题）
4.（2023·凉山）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
C
B
三、能力训练与拓展
5.（2021·安徽）几何体的三视图如图所示,这个几何体是( )
6.(2021齐齐哈尔)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）
（第5题）
A．7 B．8 C．9 D．10
（第6题）
主视图 俯视图
C
A
三、能力训练与拓展
7.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的名称是 ．
8.（2022·即墨模拟）三棱柱的三视图如图所示，在俯视图ΔEFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为 cm．
（第8题）
圆锥
7
三、能力训练与拓展
10.(改编)如图是某几何体的三视图，求该几何体的底面面积.
9.(改编)由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉 个小正方体后的几何体的主视图和俯视图都是图2所示图形．
（第9题）
（第10题）
3或4
解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，
如图：设正六边形的中心为O，AB=5,OC⊥AB，
则：OA=OB,∠AOB=60°，∴OA=OB=AB=5，AC=AB=2.5
∴OC=，
∴底面面积为：
（第2题）
主视图 左视图
（第1题）
俯视图
四、自主检测与评价
1.(2023·泸州)一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
2.(改编)某工厂制作了一批模具，其中一个模具的主视图如图所示,则该模具是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．长方体 D．三棱柱
3.(2021·黑龙江)由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体所用的小立方块的个数可能是( )
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
（第3题）
左视图 俯视图
D
C
B
1
1
2
1
四、自主检测与评价
4.(2021·菏泽)如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为( )
A．12π B．18π C．24π D．30π
（第4题）
5.(2021·开封一模)由几个小立方块搭成的几何体的俯视图如图,小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数,则这个几何体的左视图为( )
（第5题）
B
A
四、自主检测与评价
6.(2020·青海)在一张桌子上摆着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这张桌子上的碟子共有( )
A．4个 B．8个 C．12个 D．17个
7.(2020·安徽)某几何体的三视图如图所示,则该几何体可能是( )
（第7题）
8.（2019·广西模拟）一个直棱柱，主视图是边长为的正方形，俯视图是边长为的正三角形，则左视图的面积为 （ ）
C
B
C
四、自主检测与评价
9．有一个几何体，它的三视图中俯视图与主视图完全，则这个几何体是 ．
10.（2023九上·金沙期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体至少是用 块小立方块搭成的．
11.(改编)有m盒粉笔整齐地摞在桌上，其三视图如图，则m的值是 ．
（第11题）
主视图 左视图 俯视图
（第10题）
从下面看 从上面看
球或正方体
6
7
四、自主检测与评价
12.（改编）某几何体的三视图如图所示，已知在△EFG中，FG＝9，AB＝3，
∠EGF＝30°
（1）请根据三视图说明这个几何体的形状；
（2）求出该几何体的底面体积；
（3）请你求出EG的长.
解：(1)三棱柱
（2）过点E作EQFG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∴EQ=3
∴底面面积为：3×9× =
（3）EQ=3，∠EGF=30°，
∴EG= =3×2=6．
（第12题）
九下第23讲由三视图想象出立体图形
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1.会根据物体的三视图描述出简单几何体的形状．
2.会根据物体的三视图描述出复杂几何体的形状．
3.经历探索简单的几何体的三视图的还原过程，进一步发展空间想象能力．
4.了解三视图转换成立体图形在生产中的作用，解决简单的问题.
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：由三视图确定简单几何图形
例1【2020.福清模拟】图1是一个立体图形的主视图、左视图和俯视图，那么这个立体图形是（ ）
A.圆锥 B．三棱锥 C．四棱锥 D．五棱锥
【解析】主视图和左视图是三角形，所以立体图形从前面及侧面看过去是三角形，由于俯视图是四边形，可以想象出这个立体图形是四棱锥.
【解答】C.
【解法】由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和主视图想象立体图形的前面，上面和侧面，然后综合起来考虑几何体的形状.
【解释】本题考查根据立体图形的三视图描述出基本几何体的形状.
学业要求二：由三视图确定复杂几何图形
例2 【考题改编】某工厂生产了一批机械零件，如图2是其中一个机械零件的三视图，其所对应的直观图是( ) .
【解析】从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，并且与下面的长方体顶面的两边相切，高度相同.
【解答】B
【解法】由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和主视图想象立体图形的前面，上面和侧面，然后综合起来考虑几何体的形状.再根据三视图“长对正，高齐平，宽相等”的关系，确定轮廓线的位置，以及各个方向的尺寸大小.
【解释】本题考查根据立体图形的三视图确定几何物体的形状.
学业要求三：简单的几何体的三视图的还原过程
例3 【教辅改编】由相同的小正方体搭成的立体图形的部分视图如图3所示，则搭成该立体图形的小正方体的最多个数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．14
【解析】由俯视图和俯视图可以看出这个几何体是3行，3列，从俯视图可以看出第一列最高是3层，第二列最高2层，第三列最高1层所以一共有几个小正方体
【解答】C
【解法】从俯视图可以看出几何体的行数和列数，再根据主视图和俯视图可以进一步确定几何体的高度，进而确定小立方体的个数.
【解释】本题需要综合题中的三视图，再确定每一层、每一列的正方体个数，想象出大致的立体图形，再检验想象出来的立体图形三视图是否符合题意.
学业要求三：解决简单的问题
例4 【2023·萧县模拟】如图4是一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形．
（1）这个几何体的名称为 ．
（2）求该几何体的左视图中a的值．
【解析】主视图和左视图是长方形，所以立体图形从前面及侧面看过去是长方形，由于俯视图是正三角形，可以想象出这个立体图形是正三棱柱.图中a是左视图的宽，对应俯视图中正三角形一边上的高，由于俯视图中正三角形边长是6，所以可以结合结合等边三角形的性质和勾股定理而求出.
【解答】解：（1）正三棱柱
（2）如图，过点C作CM⊥AB于M
∵△ABC是正三角形 ∴AB=AC=BC=6
CM=
∴左视图中a的值为
【解法】（1）利用三视图的定义可求得.
（2）过点C作CM⊥AB于M，根据等边三角形的性质求出AM=BM=AB=3，
再利用勾股定理求出CM的长即可.
【解释】考查由三视图判断几何体,并解决简单的问题.再根据三视图“长对正，高齐平，宽相等”的关系，确定轮廓线的位置，以及各个方向的尺寸大小.
（三）能力训练与拓展
1.(改编)某商场装饰品中由几个几何体组合而成,其中一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
A.球 B.圆柱 C.长方体 D.圆锥
2.（改编）如图三视图，其对应的直观图是是（ ）
A． B． C． D．
3.（改编）一个长方体纸盒的俯视图、左视图如图所示，则其体积为（ ）
A．3 B．4 C．12 D．16
4.（2023·凉山）如图是由4个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B．C． D．
5.（2021·安徽）几何体的三视图如图所示,这个几何体是( )
A . B. C. D.
6.(2021齐齐哈尔)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的名称是 ．
8.（2022·即墨模拟）三棱柱的三视图如图所示，在俯视图ΔEFG中，FG=18cm，EG=14cm，∠EGF=30°，则左视图中AB的长为 cm．
9.(改编)由8个相同的小正方体组成的几何体如图1所示，拿掉______个小正方体后的几何体的主视图和俯视图都是图2所示图形．
10.(改编)如图是某几何体的三视图，求该几何体的底面面积.
（四）自主检测与评价
1.(2023·泸州)一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
2.(改编)某工厂制作了一批模具，其中一个模具的主视图如图所示,则该模具是( )
A . B. C. D.
3.(2021·黑龙江)由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体所用的小立方块的个数可能是( )
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
4.(2021·菏泽)如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为( )
A．12π B．18π C．24π D．30π
5.(2021·开封一模)由几个小立方块搭成的几何体的俯视图如图,小正方形中的数字表示在该位置上小立方块的个数,则这个几何体的左视图为( )
A. B. C. D.
6.(2020·青海)在一张桌子上摆着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这张桌子上的碟子共有( )
A．4个 B．8个 C．12个 D．17个
7.(2020.安徽)某几何体的三视图如图所示,则该几何体可能是( )
8（2019·广西模拟）一个直棱柱，主视图是边长为的正方形，俯视图是边长为的正三角形，则左视图的面积为 （ ）
A．12 B． C． D．
9．有一个几何体，它的三视图中俯视图与主视图完全，则这个几何体是 ．
10.（2023九上·金沙期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体至少是用 块小立方块搭成的．
11.(改编)有m盒粉笔整齐地摞在桌上，其三视图如图，则m的值是
12.（改编）某几何体的三视图如图所示，已知在EFG中，FG＝9，AB＝3，EGF＝30°．
（1）请根据三视图说明这个几何体的形状．
（2）求出该几何体的底面体积．
（3）请你求出EG的长；
第23讲 参考答案
【能力训练与拓展】
1.A 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A 7.圆锥 8.7 9.3或4
10.解：由图可知：几何体为底面为边长是5，高为2的正六棱柱，
如图：设正六边形的中心为O，AB=5,OC⊥AB，
则：OA=OB,∠AOB=60°，OA=OB=AB=5，AC=AB=2.5
OC=，底面面积为：，
【自主检测与评价】
1.D 2 .C 3. B 4. B 5.A 6. C 7. B 8.C 9.球或正方体 10.6 11.7
12.(1)三棱柱
（2）过点E作EQFG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∴EQ=3
∴底面面积为：3×9×=
（3）EQ=3，EGF=30°，
EG==3×2=6．
