九下第24讲投影与正投影
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念.
2.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体.
3.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型.
4.通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.
5.经历从不同角度观察立体图形的过程，知道简单立体图形的侧面展开图.
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：通过实例了解中心投影和平行投影的概念
例1.下列各种现象属于中心投影现象的是 （ ）
A.上午 10 点时,走在路上的人的影子
B.晚上 10 点时,走在路灯下的人的影子
C.中午用来乘凉的树影
D.升国旗时,地上旗杆的影子
【解析】中心投影和平行投影的区别:中心投影的光源是点光源，如路灯、电灯、台灯等;平行投影的光源是太阳光.
【解答】B
【解法】分析题意，回顾中心投影和平行投影的概念及其特征，再根据光源的不同，分别对四个选项进行分析.选项A、C、D的光源是太阳光，属于平行投影，选项B的光源是路灯，属于中心投影.
【解释】本题主要考查的知识点是中心投影和平行投影的概念.
学业要求二：平行投影的在生活中的应用
例2【2017九下·原州月考】某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，
(1)请在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF;
(2)若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长.
【解析】根据木杆CD的影子不落在广告墙上可以画出此时的太阳光线，根据太阳光线是平行的，可以画出平行光线及木杆AB的影子BF
【解答】(1)如图所示
(2)设木杆AB的影长BF为x米，由题意，得
解得
答：木杆AB的影长是米．
【解法】分析题意，第一小题根据太阳光线是平行光线这一特征，画出平行光线.
第二小题根据在同一时刻，物长与影长之比相等的等量关系，列出方程，从而求得影长BF.
【解释】本题主要考查的知识点是平行投影概念的应用,此题还有第二种解法.可利用平行线证明三角形相似，再利用三角形相似比列出方程，同样可求解影长.
学业要求三：了解正投影的概念
例3 【2017九下·人教版同步练习】如图,下面水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是 ( )
A B C D
【解析】根据平行投影的特点，图中圆柱体的正投影是圆，杯柄的正投影是一条线段.
【解答】D
【解法】根据立体图形及投影线的方向，确定正投影图形
【解释】本题考察的是正投影的概念
学业要求四：能根据正投影的性质画出简单图形的正投影
例5【课本习题第5题改编】画出如图摆放的茶叶盒（长方形）的正投影
(1)投影线由物体前方射到后方.
(2)投影线由物体左方射到右方.
(3)投影线由物体上方射到下方.
【解析】根据平行投影的特点，当投影线由物体前方射到后方，茶叶盒的正投影是长为6cm，宽为9cm的长方形；当投影线由物体左方射到右方，茶叶盒的正投影是长为6cm，宽为9cm的长方形；当投影线由物体上方射到下方，茶叶盒的正投影是边长为6cm的正方形.
【解答】如图（1） （2） （3）
【解法】根据立体图形及投影线的方向，确定正投影为6cm的正方形，并画出图形
【解释】本题考察的是根据正投影的性质画出简单图形的正投影
（三）能力训练与拓展
1．（2021九上·枣庄月考）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B． C． D．
2．下例哪种光线形成的投影不是中心投影（ ）
A．手电筒 B．蜡烛 C．探照灯 D．路灯
3．（2021九下·南京期末）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面
上形成的影子的形状可以是（ ）
B． C． D．
4．（2021九上·郫都期末）如图，晚上小明在路灯下沿路从 A 处径直走到 B 处，这一过程中他在地上的影子（ ）
A．一直都在变 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短
5．（2020九上·崂山期末）在同一时刻，身高1.70米的小强在阳光下的影长为0.85米，一棵大树的高为5.8米，则树的影长为（ ）
A．10.6米 B．2.9米 C．11.6米 D．5.8米
6．在一间黑屋子里，用一盏白炽灯垂直向下照射一球状物，这个球状物体在地面的投影是 形，当把球状物向下移动时，投影的大小变化应是 ．
7．两根不一样长的木杆垂直竖立在地面上，若它们的影长相等，则此时的投影是 ．（填写“平行投影”或“中心投影”）
8．（2021九上·佛山期中）为了测量旗杆的高度，某同学测得阳光下旗杆的影长为2m，同一时刻长度为1m的标杆影长为0.4m，则旗杆的高度为 m．
9．（2023九上·府谷期末）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是 投影.（填“平行”或“中心”）.
12．（2020九上·丹东期末）如图，小军、小丽、小华利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量人行路上的路灯高度．小军和小丽分别站在路灯的两侧，小军站在水平地面上的点 A处，小丽站在点 C 处，这时小军的身高 AB 形成的影子为 AE ，小丽身高 CD 形成的影子为 CF ．
（1）请画图确定灯泡 P的位置
（2）已知小军和小丽的身高分别为1.8米和1.6米，小华测得小军和小丽在路灯下的影子 AE 和 CF 分别为1米和2米，小军和小丽之间的距离 AC 为10米，点 E , A ,C ,F 在同一条直线上，请帮助他们3人求出路灯的高度．
（四）自主检测与评价
1．（2020九上·东平期末）圆形的物体在太阳光照射下的投影是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．以上都有可能
2．（2021·抚顺模拟）下列现象是物体的投影的是（ ）
A．小明看到镜子里的自己 B．灯光下猫咪映在墙上的影子
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D．掉在地上的树叶
3．（2024九上·盘州期末）在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ）
A.越来越小 B．越来越大 C．大小不变 D．不能确定
4．（2023·海淀模拟）一个正五棱柱如图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
A. B． C． D．
5．（2021九上·泰山期末）如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子，由此可判断图 是在灯光下形成的，图 是在太阳光下形成的．
7．（2021九上·南京期末）在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为6米，则旗杆的高度为 米.
8．（2021·绥宁模拟）当你晨练时，你的影子总在你的正后方，则你是在向正 方跑.
9．（2023九上·渠县期末）一块直角三角形板ABC，∠ACB=90°，BC=12cm，AC=8cm，测得BC边的中心投影长B1C1为24cm，则A1B1长为 .
10．（2023·吉林模拟） 如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长30m，即OA=30m.水平地面上的点M在旋转中心的正下方70m，即OM=70m .当风力发电机叶片外端点离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒EF与影长FG的比为：，求此刻风力发电机的影长.
第21讲 参考答案
【能力训练与拓展】
1．C 2．C 3．D 4．B 5．B
6．圆；变小 7．中心投影 8．5 9．中心
10．（1）解：作图如下：
∴P点即为所求灯泡的位置．
（2）解：过P 做 PH⊥AC 于点H ,设 AH=x米，则 CH=(10-x) 米，
∴ PH⊥AC，AB⊥AC ，∠E=∠E ，
∴△EAB∽△EPH
．
同理可证：△FDC∽△FPH ．
即
解得： x=3．
解得：PH=7.2
答：路灯的高度7.2米．
【自主检测与评价】
1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.② ① 7. 1.5 8.东 9.
10.根据题意可得：
当OA在MO的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，
最大高度=OA + OM=30+70=100 (米)，
设此刻风力发电机的影长为x米，
由题意得：
∴
解得：x=200，
经检验：x=200是原方程的根，
∴此刻风力发电机的影长为200米，
13．（2023·吉林模拟） 如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长，即水平地面上的点在旋转中心的正下方，即当风力发电机叶片外端点离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒与影长的比为：，求此刻风力发电机的影长。
【解析】当风力发电机叶片外端点离地面的高度最大时，此时OA在MO的延长线上
最大高度=OA + OM=30+70=100 (米)，设此刻风力发电机的影长为x米，根据“ 垂直于地面的木棒与影长的比为：”，列出方程，再求解即可.
【解答】根据题意可得：
当OA在MO的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，
最大高度=OA + OM=30+70=100 (米)，
设此刻风力发电机的影长为x米，
由题意得：，
∴
解得：x=200，
经检验：x=200是原方程的根，
∴此刻风力发电机的影长为200米，
故答案为：200.
【解法】先根据题意确定物长，再根据在相同时刻物长与影长之比相等，且为1:2，列出等式，转化为方程问题解答。(共16张PPT)
初中数学 第二十一讲—《投影与正投影》
投影与正投影
21
一、知识理解与建构知识
二、方法剖析与提炼
例1.【教材改编】下列各种现象属于中心投影现象的是 （ ）
A.上午 10 点时,走在路上的人的影子
B.晚上 10 点时,走在路灯下的人的影子
C.中午用来乘凉的树影
D.升国旗时,地上旗杆的影子
【解析】中心投影和平行投影的区别:
由同一点出发的投射线所形成的投影叫做中心投影，它的光源是点光源，如路灯、电灯、台灯等;
由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影，它的光源是平行光源，如是太阳光，探照灯
【解答】B
【解法】分析题意，回顾中心投影和平行投影的概念及其特征，再根据光源的不同，分别对四个选项进行分析。选项ACD的光源是太阳光，属于平行投影，选项B的光源是路灯，属于中心投影
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【解释】本题主要考查的知识点是中心投影和平行投影的概念
二、方法剖析与提炼
【解析】根据木杆CD的影子不落在广告墙上可以画出此时的太阳光线，根据太阳光线是平行的，可以画出平行光线及木杆AB的影子BF
【解答】(1)如图所示
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例2【2017九下·原州月考】某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，
(1)请在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF;
(2)若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长
二、方法剖析与提炼
例2【2017九下·原州月考】某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，
(1)请在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF;
(2)若AB=5米，CD=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长.
【解答】(2)设木杆AB的影长BF为x米，由题意，得
解得
【解法】分析题意，第一小题根据太阳光线是平行光线这一特征，画出平行光线；第二小题根据在同一时刻，物长与影长之比相等的等量关系，列出方程，从而求得影长BF
【解释】本题主要考查的知识点是平行投影概念的应用,此题还有第二种解法。可利用平行线证明三角形相似，再利用三角形相似比列出方程，同样可求解影长。
解得
二、方法剖析与提炼
例3 【2017九下·人教版同步练习】如图,下面水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是 ( )
A B C D
【解析】投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。根据平行投影的特点，图中圆柱体的正投影是圆，杯柄的正投影是一条线段。
【解答】D
【解法】根据立体图形及投影线的方向，确定正投影图形
【解释】本题考察的是正投影的概念
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二、方法剖析与提炼
例4【课本习题第5题改编】画出如图摆放的茶叶盒（长方体）的正投影
(1)投影线由物体前方射到后方.
(2)投影线由物体左方射到右方.
(3)投影线由物体上方射到下方.
【解析】根据平行投影的特点:
当投影线由物体前方射到后方，茶叶盒的正投影是长为6cm，宽为9cm的长方形；
当投影线由物体左方射到右方，茶叶盒的正投影是长为6cm，宽为9cm的长方形；
当投影线由物体上方射到下方，茶叶盒的正投影是边长为6cm的正方形。
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二、方法剖析与提炼
例4【课本习题第5题改编】画出如图摆放的茶叶盒（长方形）的正投影
(1)投影线由物体前方射到后方.
(2)投影线由物体左方射到右方.
(3)投影线由物体上方射到下方.
【解答】如图 （1） （2） （3）
【解法】根据立体图形及投影线的方向，确定正投影，并画出对应尺寸图形
【解释】本题考察的是根据正投影的性质画出简单图形的正投影
三、能力训练与拓展
1．（2021九上·枣庄月考）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
2．下例哪种光线形成的投影不是中心投影（ ）
A．手电筒 B．蜡烛 C．探照灯 D．路灯
3．（2021九下·南京期末）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
（第3题图）
C
C
D
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三、能力训练与拓展
4．（2021九上·郫都期末）如图，晚上小明在路灯下沿路从 A 处径直走到 B 处，这一过程中他在地上的影子（ ）
A．一直都在变 B．先变短后变长
C．一直都在变长 D．先变长后变短
5．（2020九上·崂山期末）在同一时刻，身高1.70米的小强在阳光下的影长为0.85米，一棵大树的高为5.8米，则树的影长为（ ）
A．10.6米 B．2.9米 C．11.6米 D．5.8米
6．在一间黑屋子里，用一盏白炽灯垂直向下照射一球状物，这个球状物体在地面的投影是 形，当把球状物向下移动时，投影的大小变化应是 ．
7．两根不一样长的木杆垂直竖立在地面上，若它们的影长相等，则此时的投影是 ．（填写“平行投影”或“中心投影”）
8．（2021九上·佛山期中）为了测量旗杆的高度，某同学测得阳光下旗杆的影长为2m，同一时刻长度为1m的标杆影长为0.4m，则旗杆的高度为 m．
B
B
圆
变小
中心投影
5
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思考完以后
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三、能力训练与拓展
9．（2023九上·府谷期末）如图，物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是 投影.（填“平行”或“中心”）.
10．（2020九上·丹东期末）如图，小军、小丽、小华利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量人行路上的路灯高度．小军和小丽分别站在路灯的两侧，小军站在水平地面上的点 A处，小丽站在点 C 处，这时小军的身高 AB 形成的影子为 AE ，小丽身高 CD 形成的影子为 CF
（1）请画图确定灯泡 P的位置
解：作图如下：
∴P点即为所求灯泡的位置．
中心
三、能力训练与拓展
（2）已知小军和小丽的身高分别为1.8米和1.6米，小华测得小军和小丽在路灯下的影子 AE 和 CF 分别为1米和2米，小军和小丽之间的距离 AC 为10米，点 E , A ,C ,F 在同一条直线上，请帮助他们3人求出路灯的高度．
解：过P 做 PH⊥AC 于点H ,设 AH=x米，则 CH=(10-x) 米，
∴ PH⊥AC，AB⊥AC ，∠E=∠E
∴△EAB∽△EPH
同理可证：△FDC∽△FPH ．
即
解得： x=3．
解得：PH=7.2
答：路灯的高度7.2米．
小军
小丽
四、自主检测与评价
1．（2020九上·东平期末）圆形的物体在太阳光照射下的投影是（ ）
A．圆 B．椭圆
C．线段 D．以上都有可能
2．（2021·抚顺模拟）下列现象是物体的投影的是（ ）
A．小明看到镜子里的自己
B．灯光下猫咪映在墙上的影子
C．自行车行驶过后车轮留下的痕迹
D．掉在地上的树叶
3．（2024九上·盘州期末）在一间黑屋子里用一盏白炽灯照如图所示的球，球在地面上的影子是圆形，当把球竖直向上靠近白炽灯时，影子的大小会怎样变化（ ）
（第3题）
A．越来越小 B．越来越大
C．大小不变 D．不能确定
D
B
B
四、自主检测与评价
4．（2023·海淀模拟）一个正五棱柱如右图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ）
（第4题）
5．（2021九上·泰山期末）如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
（第5题）
A．3 B．4
C．5 D．6
B
D
四、自主检测与评价
6．如图，两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子，由此可判断图______是在灯光下形成的，图 是在太阳光下形成的．
（第6题）
7.（2021九上·南京期末）在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为6米，则旗杆的高度为 米.
8.（2021·绥宁模拟）当你晨练时，你的影子总在你的正后方，则你是在向正 方跑.
（第9题）
②
①
1.5
东
四、自主检测与评价
解：根据题意可得，
当OA在MO的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大
最大高度=OA + OM=30+70=100 (米)，
设此刻风力发电机的影长为x米，
由题意得：
解得：x=200，
经检验：x=200是原方程的根，且符合题意.
答：此刻风力发电机的影长为200米.
