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初中数学 第二十四讲—《由三视图到展开图》
由三视图到展开图
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一、知识理解与建构知识
二、方法剖析与提炼
例1.如图是几何体的展开图，这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
【解析】根据展开后的图形可得上下底面是全等三角形，其余三个面是矩形，由此判断
出这个几何体是直三棱柱.
【解答】D
【解法】理解几何体的属性
【解释】本题考查学生对几何体结构和特性的观察和分析能力.
二、方法剖析与提炼
例2.某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需的钢板的面积(图中尺才单位：mm).
【解析】先由三视图想象出密封罐的形状，再进一步画出展开图，然后计算面积.
【解法】直六棱柱的侧面积和全面积计算公式.
【解释】本题先由三视图想象实物形状；再结合三视图分析出实物图中
各已知量，并画出其平面展开图；最后根据平面展开图计算表面积.
【解答】解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱，密封罐的高为50mm，底
面正六边形的直径为100mm，边长为50mm.
（1）画出密封罐的形状：
（2）画出密封罐的平面展开图：
制作一个密封罐所需要的钢板面积为6个侧面和2个底面的面积之和，即：
（mm ）
答：每个密封罐所需的钢板的面积为 mm .
第（1）题
第（2）题
二、方法剖析与提炼
例3.如图是一个几何体的三视图，根据所示数据，求该几何体的体积.
【解析】由三视图可知该几何体是由圆柱、长方体组合而成，再计算它
们的体积，然后相加即可.
【解法】长方体体积的计算；圆柱体积的计算.
【解释】本题综合三视图，进行长方体体积和圆柱体积的计算，引导学生
用数学的眼光去观察世界，并用数学的语言去表达世界.
【解答】解：该图形上、下部分分别是圆柱、长方体，根据图中数据得：
答：该几何体的体积为 cm .
二、方法剖析与提炼
例4.如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为4cm的正△ABC,母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是( )．
【解析】根据圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长进行计算可求圆心角；根据两点
之间，线段最短．首先要展开圆锥的半个侧面，再连接，发现BP是直角边是2和4的
直角三角形的斜边，根据勾股定理计算即可求解．
【解答】C.
解：根据圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长得：
，解得，
则展开的半个侧面的圆心角是，
如图， ，
根据勾股定理得：．
答：小猫经过的最短路程是．
【解法】圆锥的计算；勾股定理；圆锥侧面展开﹣最短路径问题.
【解释】此题考查平面展开中的最短路径问题，注意弄清圆锥的
侧面展开图扇形中的各个量和圆锥的各个量之间的对应关系．
4
2
（第1题）
三、能力训练与拓展
1.如图，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是（ ）
2.一个几何体的三视图如下图所示，那么这个几何体是( )
B
D
（第2题）
3.下图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为( )
4.如图是一个几何体从三个不同方向看到的形状图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 .
B
三、能力训练与拓展
5．如图，下列图形都是几何体的平面展开图，你能说出这些几何体的名称吗？
________ _________ ___________ __________
6.如图是由若干个棱长为1的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，当这个几何体中正方体个数最多时，此时该几何体的表面积为 ．
7．如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图.折叠制作完成后得到长方体的容积是 .(包装材料厚度不计，单位：mm)
（第6题）
（第7题）
三、能力训练与拓展
8.如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图．
（1）在图②的横线上填写出两种视图的名称；
（2）根据两种视图中的数据单位：cm，计算这个组合几何体的表面积（结果保留一位小数，π取3.14）
（第8题）
解：（1）两个视图分别为主视图、俯视图，
主
俯
（2）这个组合几何体的表面积 :
三、能力训练与拓展
9.如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看的高为3cm，从上面看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积．
（第9题）
解：（1）直三棱柱；（2）如图所示：
（3）
答：这个几何体的侧面积18cm ．
三、能力训练与拓展
10.如图是某几何体的三视图：
（1）这个几何体的名称是 ；
（2）这个几何体的顶点数、棱数、面数分别是 、 、 ；
（3）若主视图的宽为8cm，长为15cm，左视图的宽为6cm，俯视图中直角三角形的斜边为10cm，则这个几何体中所有棱长的和是 ；表面积是 ．
（第10题）
解：（1）这个几何体为三棱柱．
（2）这个几何体的顶点数、棱数、面数分别是6，9，5；
（3）这个几何体的所有棱长之和为：93cm
它的表面积为：408cm
故答案为：三棱柱；6,9,5；93cm，408cm ．
（第2题）
四、自主检测与评价
1.已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.如图是一个表面写有数字的正方体，其表面展开图可能是（ ）
3.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为（ ）
A. 2 B. 6 C. D. 3
4.如图,这是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图,则它的侧面积为 .
5.如图，是一个实心圆柱体的三视图（单位：cm），根据图中数据计算这个圆柱体的体积是 .
四、自主检测与评价
6.一几何体的三视图如图，其中正视图与左视图是两个全等的等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的侧面积为 ．
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 （结果保留π）．
（第7题）
8.如图，已知圆锥底面半径为20cm，母线长为60cm，一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 cm．（结果保留根号）
（第8题）
9.如图是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体的名称是 ；
（2）将该展开图还原成几何体，若相对的两个面上的数互为相反数，求a-b-c的值．
（第9题）
解：由题意可得：
∴
四、自主检测与评价
10.如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积．
解：根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm，
下面的长方体长8mm，宽6mm，高2mm，
∴立体图形的表面积是：4×4×2+4×2×2+4×2+6×2×2+8×2×2+6×8×2-4×2=200．
答：这个立体图形的表面积为 200 ．九下第24讲由三视图到展开图
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1.了解简单几何体的平面展开图，会根据三视图画出平面展开图.
2.熟练掌握已知几何体的三视图求其表面积和体积的方法.
3.通过实例，体会三视图、展开图和立体图形之间的转化关系.
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：简单几何体的平面展开图
例1如图是几何体的展开图，这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
【解析】根据展开后的图形可得上下底面是全等三角形，其余三个面是矩形，由此判断出这个几何体是直三棱柱.
【解答】D
【解法】理解几何体的属性
【解释】本题考查学生对几何体结构和特性的观察和分析能力.
学业要求二：已知几何体的三视图求其表面积
例2 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需的钢板的面积(图中尺才单位：mm).
【解析】先由三视图想象出密封罐的形状，再进一步画出展开图，然后计算面积.
【解答】解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱，密封罐的高为50mm，底面正六边形的直径为100mm，边长为50mm.
（1）画出密封罐的形状：
（2）画出密封罐的平面展开图：
制作一个密封罐所需要的钢板面积为6个侧面和2个底面的面积之和，即：（mm ）
答：每个密封罐所需的钢板的面积为279900mm .
【解法】直六棱柱的侧面积和全面积计算公式.
【解释】本题先由三视图想象实物形状；再结合三视图分析出实物图中各已知量，并画出其平面展开图；最后根据平面展开图计算表面积.
学业要求三：已知几何体的三视图求其体积
例3 如图是一个几何体的三视图，根据所示数据，求该几何体的体积.
【解析】由三视图可知该几何体是由圆柱、长方体组合而成，再计算它们的体积，然后相加即可.
【解答】解：该图形上、下部分分别是圆柱、长方体，根据图中数据得：
答：该几何体的体积为 cm .
【解法】长方体体积的计算；圆柱体积的计算.
【解释】本题综合三视图，进行长方体体积和圆柱体积的计算，引导学生用数学的眼光去观察世界，并用数学的语言去表达世界.
学业要求四：平面展开﹣最短路径问题
例4 如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为4cm的正,母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是( )．
A. B. 4 C. D. 6
【解析】根据圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长进行计算可求圆心角；根据两点之间，线段最短．首先要展开圆锥的半个侧面，再连接，发现BP是直角边是2和4的直角三角形的斜边，根据勾股定理计算即可求解．
【解答】解：根据圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长得：
，解得，
则展开的半个侧面的圆心角是，
如图，，
根据勾股定理得：．
答：小猫经过的最短路程是．
故选：C．
【解法】圆锥的计算；勾股定理；圆锥侧面展开﹣最短路径问题.
【解释】此题考查平面展开中的最短路径问题，注意弄清圆锥的侧面展开图扇形中的各个量和圆锥的各个量之间的对应关系．
（三）能力训练与拓展
1.如图，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
2.一个几何体的三视图如下图所示，那么这个几何体是( )
A. B. C. D.
3.下图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.如图是一个几何体从三个不同方向看到的形状图，根据图中数据，可得该几何体的体积是_____________.
5．如图，下列图形都是几何体的平面展开图，你能说出这些几何体的名称吗？
________ ____________ ____________ ____________
6.如图是由若干个棱长为1的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，当这个几何体中正方体个数最多时，此时该几何体的表面积为 ．
7．如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图.折叠制作完成后得到长方体的容积是_______________.(包装材料厚度不计，单位：mm)
8.如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图．
（1）在图②的横线上填写出两种视图的名称；
（2）根据两种视图中的数据单位：cm，计算这个组合几何体的表面积（结果保留一位小数，取3.14）
9.如图是一个几何体从三个方向看所得到的形状图．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看的高为3cm，从上面看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积．
10.如图是某几何体的三视图：
（1）这个几何体的名称是______；
（2）这个几何体的顶点数、棱数、面数分别是______、______、______；
（3）若主视图的宽为8cm，长为15cm，左视图的宽为6cm，俯视图中直角三角形的斜边为10cm，则这个几何体中所有棱长的和是______；表面积是______．
（四）自主检测与评价
1.已知某多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2..如图是一个表面写有数字的正方体，其表面展开图可能是（ ）
A. B. C. D. 21教育
3.如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为（ ）
A. 2 B. 6 C. D. 2
4.如图,这是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图,则它的侧面积为 cm2.
5.如图，是一个实心圆柱体的三视图（单位：cm），根据图中数据计算这个圆柱体的体积是______________cm3
6.一几何体的三视图如图，其中正视图与左视图是两个全等的等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体的侧面积为 ．
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 （结果保留π）．
8.如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，一只蚂蚁从处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置）所爬行的最短路径为 ．（结果保留根号）
9.如图是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体的名称是 ；
（2）将该展开图还原成几何体，若相对的两个面上的数互为相反数，求的值．
10.如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所示尺寸（单位：mm），计算出这个立体图形的表面积．
第24讲 参考答案
【能力训练与拓展】
1.B 2 .D 3.B 4. 圆锥；圆柱；正方体；直三棱柱 5. 6. 46 7. 168000 mm3
8.解：（1）两个视图分别为主视图、俯视图，
（2）这个组合几何体的表面积
9.解：（1）正三棱柱；（2）如图所示：
（3）答：这个几何体的侧面积18cm ．
10.解：（1）这个几何体为三棱柱．
（2）这个几何体的顶点数、棱数、面数分别是6，9，5；
（3）这个几何体的所有棱长之和为：93cm
它的表面积为：408cm
故答案为：三棱柱；6,9,5；93cm，408cm ．
【自主检测与评价】
B 2.B 3.B 4.36 5. 6. 7. 8.
9.（1）长方体（2）3.
10.解：根据三视图可得：上面的长方体长4mm，高4mm，宽2mm，
下面的长方体长8mm，宽6mm，高2mm，
∴立体图形的表面积是：4×4×2+4×2×2+4×2+6×2×2+8×2×2+6×8×2-4×2=200（mm2）．
故答案为200 mm2．
