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初中数学 第一讲—《反比例函数》
01
一、知识理解与建构知识
反比例函数
二、方法剖析与提炼
【解析】根据反比例函数的定义分析得出答案．
二、方法剖析与提炼
二、方法剖析与提炼
二、方法剖析与提炼
二、方法剖析与提炼
三、能力训练与拓展
D
B
A
三、能力训练与拓展
D
4
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
四、自主检测与评价
D
D
A
四、自主检测与评价
D
C
反比例函数
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
.
想象力Z智能中高若
智能
中高考
il.
三三
○
.
定义
三角形的面积
xy取值
概念
K的几何意义
表达式
矩形的面积
列表、描点、连线
画法
确定k的值
增减性问题
双曲线
形状
图形
反比例函数
常考题型
与三角形、四边形的关系
>0,一三象限
位置
面积问题
心0，二四像限
与一次函数综合应用
R0,0
增减性
实际应用
中心对称
对称性
性质
数形结合
数形思想
递进性
列方程九下第1讲 反比例函数
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1.理解反比例函数概念，根据反比例函数的表达式和图象，理解反比例函数增减性、对称性、面积不变性等性质；
2.熟练运用反比例函数的图象和性质解决与不等式、一次函数函数 、图形面积等综合问题，并感受数形结合的思想方法，培养观察、分析和归纳的能力，发展数学思维；
3.借助反比例函数及其图象解决函数实际问题，感悟数形结合、函数、转化等数学思想，发展抽象能力、运算能力、几何直观等核心素养.
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：利用反比例函数的定义确定函数类型
例1.【教材改编】下列式子:①；②；③；④；⑤，能表示y是x的反比例函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】根据反比例函数的定义分析得出答案．
【解答】①是正比例函数，②是反比例函数，③当时不是反比例函数，④即是反比例函数，⑤是反比例函数，共有三个反比例函数．
故选B．
【解法】根据变量之间的关系，确定函数类型.
【解释】本题主要考查了正比例函数及反比例函数的定义，正确理解相关定义是解题的关键．
学业要求二：利用待定系数发求反比例函数的表达式
例2.【教材改编】若反比例函数的图象经过点（1，-2），则该反比例函数的表达式为
【解析】反比例函数只有一个待定的k，只需要一个条件即可确定表达式，这个条件可以是图象上的一个点的坐标，也可以是x，y的一组对应值．
【解答】解：设，
把点(1，－2)带入，
得：=-2，
解得：，
【解法】根据两变量之间的反比例关系，设，由已知条件求出k的值，从而确定函数表达式.
【解释】本题考查反比例函数的定义，利用待定系数法确定反比例函数的表达式．
学业要求三：利用反比例函数的定义求参数
例3.函数y=（m2﹣m） 是反比例函数，则（ ）
A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或2
【解析】根据自变量的指数是，系数不为零解答即可。
【解答】解：由题意得：
和 ，
由 可得 且 ，
由 可得 ，
所以m=2。
故答案为：C.
【解法】本题考查利用反比例函数的定义求参数值，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义．一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．
【解释】掌握反比例函数的定义和三种表达形式.
学业要求四：利用反比例函数的关系求函数值和自变量
例4.【教材改编】如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为设动力为，动力臂长为杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计
求关于的函数表达式．
当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力
小明若想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头请说明理由．
【解析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出与之间的关系是解题关键．
根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得出关于的函数表达式；
将代入中所求解析式，即可得出的值；
根据以及中所求解析式，可得出的范围，进而与进行比较即可求解．
【解答】解：由题意可得：，
则，
即关于的函数表达式为；
，
当时，，
故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力；
他不能撬动这块石头，理由如下：
，
，
，
，
，
，
他不能撬动这块石头．
【解法】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及动力×动力臂=阻力×阻力臂是解题的关键．
【解释】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
（三）能力训练与拓展
1.下列关于的函数中，属于反比例函数的是 ( )
A. B. C. D.
2.如果与满足，那么是的( )
A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 以上都不对
3.下列函数关系中，成反比例的是( )
A. 矩形的面积一定时，长与宽 B. 矩形的长一定时，面积与宽
C. 正方形的面积与边长 D. 正方形的周长与边长
4.下列表中分别给出了变量与之间的对应关系，其中是反比例函数关系的是( )
A.
B.
C.
D.
5.中，比例系数为 ．
6.已知函数，当时，y的值是 ．
7.如果矩形的面积为，那么矩形的长关于宽的函数表达式为 ．
8.已知与成反比例，当时，则与之间的函数表达式为__________．
9.用洗衣液洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣液的残留量近似地满足反比例函数关系寄宿生王小红、李小敏晚饭后用同一种洗衣液各自洗一件同样的衣服，漂洗时，王小红每次用一盆水约升，李小敏每次用半盆水约升，如果她们都用了洗衣液，第一次漂洗后，王小红的衣服中残留的洗衣液还有，李小敏的衣服中残留的洗衣液还有．
请帮助王小红、李小敏求出各自衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式
当洗衣液的残留量降至时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法更值得提倡，为什么
10.小林每天骑自行车去单位上班，他每天骑自行车上班时的平均速度为，所需时间为已知当小林骑车的平均速度为时，所需时间为．
求时间关于速度的函数表达式．
如果小林骑车的速度为，那么他需要几分钟到达单位？
如果小林骑车到单位不得超过，那么他骑车的平均速度至少是多少？
（四）自主检测与评价
1.下列函数中，是关于的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数是反比例函数，则的值是( )
A. B. C. D.
3.在下列选项中，是反比例函数关系的为( )
A. 在直角三角形中，角所对的直角边与斜边之间的关系
B. 在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系
C. 圆的面积与它的直径之间的关系
D. 面积为的菱形，其中一条对角线与另一条对角线之间的关系
4.下列函数：，，，，，，，，其中是的反比例函数的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.定义：为反比例函数为实数的“关联数”反比例函数的“关联数”为，反比例函数的“关联数”为，若，则
( )
A. B. C. D. 无法比较
6.已知三角形的面积是定值，则三角形的高与底的函数表达式是 ，这时是的 ．
7.函数的自变量的取值范围是 ．
8.某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量个之间有如下关系：
日销售单价元
日销售量个
则与之间的函数表达式为 ．
9.已知两个变量，之间的关系如图所示．
求当分别取，，时函数的值
求当分别取，，时自变量的值．
10.如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的矩形科技园，其中一边靠墙，墙长为设的长为，的长为．
求与之间的函数表达式
若围成的矩形科技园的三边材料总长不超过，材料和的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
11.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为元件，在营销中发现，该衬衣的日销售量件是日销售单价元的反比例函数，且当日销售单价定为元时，每日可售出件．
请写出关于的函数表达式．
该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为元，则其销售单价应为多少元？
12.如图，是矩形边上的一个动点，且点不与，点重合，于点已知，，，．
求关于的函数关系式及自变量的取值范围
当时，求的长．
第1讲 参考答案
【能力训练与拓展】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9.设王小红衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为，李小敏衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为为常数且，，为正整数，
把和分别代入两个关系式，得，，解得，．
所以王小红衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为 ，
李小敏衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为 为正整数．
李小敏的漂洗方法更值得提倡．
理由如下：把分别代入两个关系式，得，，
解得， 升，升．
即王小红共用水升，李小敏共用水升，
所以李小敏的漂洗方法更值得提倡．
10.解：，
反比例函数；
分钟，
答：他需要分钟到达单位；
把代入函数的解析式，得：，
答：他骑车的平均速度是：．
【自主检测与评价】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 反比例函数 7. 8.
9.解：当时，当时，当时，．
当时， 当时， 或 或 当时，．
10.解：．
当时，当时， 当时，．
11.解(1)：设函数表达式为，
当日销售单价定为元时，每日可售出件，
，
，
关于的函数表达式为．
(2)解：，
，解得，
故销售单价应定为元．
12.解：连结，可得，
，
，．
在中，，
，，．
当时，则，，解得．
