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初中数学 第六讲—《相似多边形》
6
一、知识理解与建构知识
相似多边形
二、方法剖析与提炼
例1.下列图形的变化属于相似变化的是（ ）
A.
C.
B.
D.
【解析】通过观察发现A选项为图形的相似变化，B为图形的旋转变化，C为图形的平移变化，D为图形的轴对称变化.
【解答】A.
【解法】相似图形的判定，图形相似，旋转，平移，轴对称的区别.
【解释】本题考查学生能从具体图片中抽象出图形变化，让学生会用数学的眼光去观察世界，同时，通过类比相似变化，旋转变化，平移变化，轴对称变化，理解与分辨这四类图形变换的区别，让学生用数学的思维去思考世界.
二、方法剖析与提炼
例2.如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，已知∠B=98°，∠H=153°，求∠F，∠D的大小，以及CD与EH的长度.
A
B
C
D
2.2
2.4
E
F
G
H
1.8
1.1
【解析】依据相似多边形的性质，对应角相等，对应边成比例，进而推出∠F，∠D的大小，以及CD与EH的长度.
【解法】相似多边形的性质；角度与边长的计算.
【解释】本题考查学生对相似多边形的性质的掌握情况，学生能通过读题发掘出图形的角度与边长之间的关系，培养了学生的几何直观与计算能力.
【解答】∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴它们的对应角相等,由此可得：∠B=∠F=98°，∠H=∠D=153°
∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴它们的对应边成比例,由此可得： ∴CD=3.6，EH=1.2 .
二、方法剖析与提炼
例3.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=6∶9∶12∶13，若四边形ABCD的周长为80，求四边形ABCD的各边的长.
【解析】利用对应边之比等于相似比，同时根据四边比列关系以及周长，进行设参法列方程求解，得到各边长度.
【解答】∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴AB∶BC∶CD∶DA=6∶9∶12∶13，设AB=6m，则BC=9m，CD=12m，DA=13m，
∵四边形ABCD的周长为80，∴6m+9m+12m+13m=80，
∴m=2，∴AB=12，BC=18，CD=24，DA=26.
【解法】相似多边形的性质；设参法；方程思想.
【解释】本题考查学生对相似多边形的性质的灵活应用，能利用两个图形相似，得到对应边之比等于相似比，根据比例AB∶BC∶CD∶DA=6∶9∶12∶13直接设AB=6m，则BC=9m，CD=12m，DA=13m，列出方程求解出各边的长度，做题过程中渗透方程思想，培养了学生的运算能力，以及推理能力.
二、方法剖析与提炼
例4.如图矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形是否相似
【解析】利用相似多边形的判定，对应角相等，对应边成比例.矩形的四个角均为90°，只需要证明四条边对应成比例即可，因而将各边分别表示出来就能解决本题.
【解答】原来的矩形草坪长为20m，宽为10m，新的矩形草坪长为18m，宽为8m，根据 ，推出对应边不成比例，因此两个矩形不相似.
【解法】相似多边形的判定，矩形相似的判定方法.
【解释】本题考查学生对相似多边形的判定的掌握情况，借助特殊的四边形矩形来证明相似，通过矩形的特殊性，得到对应角相等，只需要证明对应边是否成比例，而本题设置了不相似的两个矩形的证明过程，培养了学生的质疑精神.
三、能力训练与拓展
1．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形 B．底角是70°的两个等腰三角形
C．两条边之比均为2∶3的两个直角三角形 D．有一个角是120°的两个等腰三角形
2．如图，借助平行于正多边形一边的直线将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A.
B.
C.
D.
A
C
180°
三、能力训练与拓展
3．如图正五边形ABCDE与正五边形FGHMN相似，若AB∶FG＝3∶5，则正确的是（ ）
A．3DE＝5MN B．5DE＝3MN C．5∠A＝3∠F D．3∠B＝5∠G
4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b.将纸片对折，折痕为EF.若所得矩形AFED与矩形ABCD相似,则a∶b＝（ ）
A．2∶1 B． :1 C．3∶ D．3∶2
（第3题）
（第4题）
B
B
三、能力训练与拓展
5．一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．某块多边形草坪在江山市政建设规划设计图纸上为200cm2 ，而该草坪的实际占地面积为80000m2，现在测得这块草坪在设计图纸上的周长为是40m，则它的实际周长为（ ）
A．400m B．500m C．800m D．900m
7．制作一块3m×4m的矩形展牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后矩形展牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C． 1080元 D．2160元
B
C
C
三、能力训练与拓展
8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝16，CD＝25，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝________.
9．已知两个相似的五边形相似比为3:4，面积之差为49cm2，则这两个五边形的面积分别是________，________.
10.如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．
（第10题）
20
63
112
三、能力训练与拓展
四、自主检测与评价
1.下列说法正确的是（ ）
A．任意两个直角三角形都相似 B．任意两个菱形都相似
C．任意两个矩形都相似 D．任意两个正方形都相似
2.四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝60°,∠C＝100°，∠F＝70°，则∠E的度数
为（ ）
A．60° B．80° C．90° D. 130°
3．若四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且相似比为1∶4，已知BC＝8，则B1C1的长
为 （ ）
A．16 B．24 C．32 D. 48
D
D
C
四、自主检测与评价
4．四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2∶3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5∶4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比
为（ ）
A．5∶6 B．6∶5 C．5∶6或6∶5 D．8∶15
5．如图，选项中与它相似的是（ ）
A
A
四、自主检测与评价
6．利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为4，6，9的三角形的最短边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为________.
7．在一张比例尺为1：50000的地图上，一多边形地区的周长为70cm，面积为340cm2，那么该地区的实际周长为________km，面积为________km2.
8．已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为________，若较大的一个多边形的面积是49，则较小的一个多边形的面积是________.
38
35
85
49
25
四、自主检测与评价
（第9题）
四、自主检测与评价
10. 如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，
3AE＝2AD．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形ABCD的面积．
（第10题）
四、自主检测与评价
（第10题）九下第6讲相似多边形
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1．了解相似图形和相似比的概念．
2．理解并掌握相似多边形的判定与性质．
3．能根据相似多边形的性质进行角度，边长，周长，及面积的计算．
4．会用相似多边形判定与性质解决生活中的实际问题．
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：图形的相似变化
例1 下列图形的变化属于相似变化的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】通过观察发现A选项为图形的相似变化，B为图形的旋转变化，C为图形的平移变化，D为图形的轴对称变化.
【解答】A.
【解法】相似图形的判定，图形相似，旋转，平移，轴对称的区别.
【解释】 本题考查学生能从具体图片中抽象出图形变化，让学生会用数学的眼光去观察世界，同时，通过类比相似变化，旋转变化，平移变化，轴对称变化，理解与分辨这四类图形变换的区别，让数学用数学的思维去思考世界.
学业要求二：利用相似多边形的性质进行角度与边长的计算
例2【教材改编】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，已知∠B=98°，∠H=153°，求∠F，∠D的大小，以及CD与EH的长度.
【解析】依据相似多边形的性质，对应角相等，对应边成比例，进而推出∠F，∠D的大小，以及CD与EH的长度.
【解答】∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴它们的对应角相等,由此可得：
∠B=∠F=98°，∠H=∠D=153°.
∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴它们的对应边成比例,由此可得：
，∴CD=3.6，EH=1.2 .
【解法】相似多边形的性质；角度与边长的计算.
【解释】本题考查学生对相似多边形的性质的掌握情况，学生能通过读题发掘出图形的角度与边长之间的关系，培养了学生的几何直观与计算能力.
学业要求三：利用相似多边形的性质进行周长的计算
例3 四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=6∶9∶12∶13，若四边形ABCD的周长为80，求四边形ABCD的各边的长.
【解析】利用相似多边形的性质得周长比等于相似比，同时根据四边比列关系以及周长，进行设参法列方程求解，得到各边长度.
【解答】∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴AB∶BC∶CD∶DA=6∶9∶12∶13，
设AB=6m，则BC=9m，CD=12m，DA=13m，
∵四边形ABCD的周长为80，
∴6m+9m+12m+13m=80，
∴m=2，
∴AB=12，BC=18，CD=24，DA=26.
【解法】相似多边形的性质；设参法；方程思想.
【解释】本题考查学生对相似多边形的性质的灵活应用，能利用两个图形相似，得到周长比等于相似比，根据比例AB∶BC∶CD∶DA=6∶9∶12∶13直接设AB=6m，则BC=9m，CD=12m，DA=13m，列出方程求解出各边的长度，做题过程中渗透方程思想，培养了学生的运算能力，以及推理能力.
学业要求四：会用相似多边形判定与性质解决生活中的实际问题．
例4 如图矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形是否相似
【解析】利用相似多边形的判定，对应角相等，对应边成比例。矩形的四个角均为90°，只需要证明四条边对应成比例即可，因而将各边分别表示出来就能解决本题.
【解答】原来的矩形草坪长为20m，宽为10m，新的矩形草坪长为18m，宽为8m，根据，推出对应边不成比例，因此两个矩形不相似.
【解法】相似多边形的判定，矩形相似的判定方法.
【解释】 本题考查学生对相似多边形的判定的掌握情况，借助特殊的四边形矩形来证明相似，通过矩形的特殊性，得到对应角相等，只需要证明对应边是否成比例，而本题设置了不相似的两个矩形的证明过程，培养了学生的质疑精神.
（三）能力训练与拓展
1．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形 B．底角是70°的两个等腰三角形
C．两条边之比均为2∶3的两个直角三角形 D．有一个角是120°的两个等腰三角形
2．如图，借助平行于正多边形一边的直线将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A．B．C． D．
3．如图正五边形ABCDE与正五边形FGHMN相似，若AB∶FG＝3∶5，则正确的是（ ）
A．3DE＝5MN B．5DE＝3MN C．5∠A＝3∠F D．3∠B＝5∠G
4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b.将纸片对折，折痕为EF.若所得矩形AFED与矩形ABCD相似,则a∶b＝（ ）
A．2∶1 B．∶1 C．.3∶ D．3∶2
5．（2023·平川区期中）一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．某块多边形草坪在江山市政建设规划设计图纸上为200cm2 ，而该草坪的实际占地面积为80000m2，现在测得这块草坪在设计图纸上的周长为是40m，则它的实际周长为（ ）
A．400m B．500m C．800m D．900m
7．制作一块3 m×4 m的矩形展牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此展牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后矩形展牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C． 1080元 D．2160元
8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝16，CD＝25，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝________.
9．已知两个相似的五边形相似比为3:4，面积之差为49cm2，则这两个五边形的面积分别是________，________.
10．（2022·渔秋区期中）如图，把一个矩形剪去一个边长和它的宽相等的正方形，若剩下的矩形与原矩形相似．
（1）求原矩形的长和宽的比．
（2）若AB＝4，求矩形ABCD的面积．
自主检测与评价
1．下列说法正确的是（ ）
A．任意两个直角三角形都相似 B．任意两个菱形都相似
C．任意两个矩形都相似 D．任意两个正方形都相似
2．四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝60°，∠C＝100°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）A．60° B．80° C．90° D. 130°
3．若四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且相似比为1∶4，已知BC＝8，则B1C1的长为 （ ）
A．16 B．24 C．32 D. 48
4．四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2∶3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5∶4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为（ ）
A．5∶8 B．8∶5 C．5∶8或8∶5 D．8∶15
5．如图，选项中与它相似的是（ ）
A． B． C．D．
6．利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为4，6，9的三角形的最短边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为________.
7．在一张比例尺为1：50000的地图上，一多边形地区的周长为70cm，面积为340cm2，那么该地区的实际周长为________km，面积为________km2.
8．已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为________，若较大的一个多边形的面积是49，则较小的一个多边形的面积是________.
9. （2022·福建）如图，△ABC是边长为1的等边三角形.取BC边中点E，作，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作， ，得到四边形，它的面积记作，照此规律作下去，则 .
10. 如图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE、AD分别为它们的短边，点F在AB上，3AE＝2AD．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）若两个矩形的面积之和为650cm2，求矩形ABCD的面积．
参考答案
【能力训练与拓展】
1.A 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.20 9.63cm2 112cm2
10.（1）设原矩形的长边是a，短边是b，那么剪去的正方形的边长是b，剩下的矩形的长边是b，短边是a﹣b，
根据题意得：a：b＝b：（a﹣b），
∴a2﹣ab﹣b2＝0，
用公式法解关于a的方程得：a1＝b，a2＝b（不符合题意，舍去），
∴原矩形的长和宽的比为；
（2）由（1）得：，
∵AB＝4，∴AD =，
∴．
【自主检测与评价】
1.D 2.A 3.C 4.A 5.A 6. 38 7. 35 85 , 8. 49 25 , 9.
10.（1）证明：∵矩形AGFE∽矩形ABCD，
∴，∠DAB＝∠EAG，
∴∠DAB﹣∠EAB＝∠EAG﹣∠EAB，即∠DAE＝∠BAG，
∴△DAE∽△BAG，
∴∠1＝∠2．
（2）解：∵3AE＝2AD，
∴，
∴，
∴S矩形ABCD＝450（cm2）．
