第3讲 反比例函数性质的运用
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1．理解反比例函数的性质及k的几何意义．
2．会用反比例的增减性、象限特征比较函数值的大小．
3．会用反比例性质，运用数形结合思想求解自变量范围或函数值范围等不等式问题．
4. 综合运用反比例函数、一次函数性质解决综合问题.
5．能用k的几何意义已知k的值求图形面积或已知求图形面积求k的值等问题．
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：运用反比例函数性质比较函数值大小
例1【教材改编】已知x1,y1和x2,y2是反比例函数的两对自变量与函数的对应值.
(1) 若x1<0(2) 若x1【解析】根据已知得比例系数k<0,图象在第二、四象限，在每个象限内随x的增大而增大.第（1）小题x1,y1对应的点在第二象限，x2,y2对应的点在第四象限，由此得出y1,y2值的大小.第（2）小题由已知可判断两个点都在第二象限，根据反比例函数的增减性可作出判断.
【解答】解：（1）由<0得图象在二、四象限 ∵x1<00>y2
（2）由<0得该函数在每个象限内y随x的增大而增大 ∵x1y1
【解法】根据比例系数k判断反比例函数象限特点及增减性，然后比较函数值大小.
【解释】本题考查反比例函数象限特点及增减性，能根据比例系数准确判断反比例函数的性质，从而根据自变量大小比较对应函数值大小.
学业要求二：反比例函数与不等式
例2 对于反比例函数.
(1)若x>1，求y的取值范围. (2)若x≤1,且x≠0, 求y的取值范围.
(3)若y≤2,且y≠0,求x的取值范围.
【解析】（1）结合函数图象当x>1时y随x的增大而减小，得出0（2）结合函数图象,当x≤1且x≠0时图象分成两部分，当x<0时y<0，当05.
(3) 结合函数图象,当y≤2且y≠0时图象分成两部分，当y<0时x<0，当x<0时x>.
【解答】（1）∵当x>1时y随x的增大而减小，∴0（2）∵当x≤1时图象分成两部分，∴当x<0时y<0，当05.∴y<0或y>5
(3)∵当y≤2时图象分成两部分，∴当y<0时x<0，当0【解法】结合图象，运用反比例函数的增减性求函数值的范围，解决不等式相关问题.
【解释】本题考查了反比例函数图象及增减性，解题过程中一定要运用数学结合思想提高解的正确性,尤其是第(2)(3)小题结合图象不易漏解.
学业要求三：反比例函数与一次函数
例3 如图，直线与双曲线交于A（1,n）,B（-2，-1）两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC．
（1）求b,n的值. （2）求ΔABC的面积． （3）求不等式x+b<的解集.
【解析】（1）根据点B坐标求得两个函数表达式，然后得n的值.
（2）根据反比例函数是中心对称图形得点C坐标，从而求出ΔABC的面积.
(3) 不等式x+b<的解集是函数值比的函数值小的x的解集,结合图象找到满足条件的两部分，写出解集.
【解答】（1）B（-2，-1）代入,,解得b=1,k=2,n=2.
（2）根据反比例函数是中心对称图形得点C坐标(2,1)，作AE⊥DE，BD⊥DE，
（3）根据图象,函数值小于的函数值对应图象有两部分，对应0【解法】结合一次函数和反比例函数的性质求函数表达式、求不等式解集，根据反比例函数的对称性确定点的坐标，求出三角形面积.
【解释】本题考查了反比例函数和一次函数的表达式以及性质，第（2）小题通过反比例函数的中心对称性得到点C的坐标，求出三角形面积，第（3）小题把不等式问题转化为函数问题，结合图象找到不等式的解渗透了转化思想和数形结合思想.
学业要求三：反比例函数比例系数k的几何意义
例4 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A,B两点，AC⊥y轴，垂足为C，已知ΔABC面积为10.求反比例函数表达式.
【解析】过点D作BD⊥y轴，由反比例函数的中心对称性的BD=AC，得ΔAOC和ΔBOC的面积相等为5.根据k的几何意义可得，由象限特征可得k=10
【解答】过点D作BD⊥y轴，由反比例函数的中心对称性得BD=AC，则,.∵反比例函数图象在第一、三象限 ∴k>0 ∴k=10 ∴反比例函数表达式为.
【解法】根据反比例函数中心对称性求得ΔAOC面积，运用比例系数k的几何意义求出k的值.
【解释】本题考查了反比例函数中心对称性、象限特点、比例系数k几何意义.
（三）能力训练与拓展
1.（2022八上·金山期末改编）已知正比例函数(k是常数，k≠0 )中y随x的増大而减小，那么它和反比例函数(k是常数，k≠0)在同一平面直角坐标系内的大致图像可能是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知反比例函数的图像上三点(a,m),(b,n),(c,t),若aA．m3.（2024八上·长春期末改编）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若ΔABP的面积为4，则k的值为（ ）
A．-4 B．8 C．4 D．-8
4. 若点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
5. 如图，是反比例函数（k1>k2）和在第一象限的图象，线段AB平行于x轴，并分别交两条曲线于、两点，若，则的值 .
6. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是____________.
7. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作AC⊥x轴，与反比例函数图象交于点C，则△ABC的面积为_____．
8.如图，直线：与坐标轴交于两点，以为边在右侧作正方形，过作轴于点．过点的反比例函数与直线交于两点．
（1）求证：△AOD≌△DGC；
（2）求E、F两点坐标；
（3）填空：不等式的取值范围是_________．
9.如图，直线，与反比例函数的图象交于点与点．
（1）求反比例函数的表达式及b的值；
（2）求点A坐标;
（3）若是第一象限内双曲线上的一个动点，连接，过点作轴的平行线交直线于点，若的面积为，求点的坐标．
10.已知双曲线与直线相交于、两点．第一象限上的点（在点左侧）是双曲线点上的动点，过点B作BD∥y轴交轴于点．过作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．
（1）若点D坐标是，求A、B两点坐标及的值．
（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为3，求直线CM的解析式．
（四）自主检测与评价
1.已知x1,y1和x2,y2是反比例函数的两对自变量与函数的对应值. 若x1<0A．y1>0>y2 B.y1>y2>0 C.y2>0>y1 D. y2>y1>0
2. 如图，直线与双曲线交于A，B两点,若A（2，m），则点B的坐标为( ）
A．(-1,-2) B．(-2,-1) C．(-2,-2) D．(-1,-4)
3. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．12 B．18 C．25 D．36
4.如图，点A、C是反比例函数的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D．记RtΔAOB面积为S1，RtΔCOD 面积为S2 ，则和的大小关系为________________.
5.如图，双曲线与直线交于两点，当y2>y1时，x的取值范围为_____________.
6.如图，点A、C是反比例函数图象上的点，且关于原点对称．过点A作AB⊥y轴于点B，则ΔABC的面积为__________．
7．如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作AC∥x轴，与反比例函数图象交于点C，则△ABC的面积为____________．
8.已知点A（a，a+1）、B（a-1，a-2）在反比例函数 上，则下列说法正确的是___（填序号）.
该反比例函数在一、三象限；②当x>0时该反比例函数y随x的增大而减小；
点在该反比例函数图像上；④当y﹤1时，x的取值范围是x﹥
9.直线 分别交x轴、y轴于点C、点D，与 在第一象限交于点A，过点B作AB⊥x轴，垂足为B，△DOC的面积为8.求△ABO的面积.
10.如图，在RtΔBOC中，∠OBC=90 ，边OC、BC分别与反比例函数第一象限内的图像交于点A(m,n)、点D，连接AB，且AO=AB．
（1）用含m的代数式表示点D的坐标；
（2）求证：CD=3BD．
第3讲 参考答案
【能力训练与拓展】
B 2.C 3.D 4.D 5.6 6.-8 7. 6
8.（1）由题意易得，进而可得，然后问题可求证；
（2）；（3）或．
9.（1）；(2)A (4,1)
设，则，
，
由，得；
由，得．
点的坐标为，或，或
10.
（1）；B ；k=12；根据D点的横坐标为-8，求出点B的横坐标代入中，得y=-2，得出B点的坐标，即可得出A点的坐标，再根据k=xy求出即可；
（2）
根据，即可得出k的值，进而得出B，C点的坐标，再求出解析式即可．
由，B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，
得，，，．
，，，
∴．
∵在双曲线与直线上，
∴，解得或（舍去）∴，．
设直线CM的解析式是，代入得：，
∴直线CM的解析式是．
【自主检测与评价】
1.C 2.B 3.C 4.S1=S2 5. x<0或19. 点C(-m，0)，点D（0，m）,由△DOC的面积为8，求得,由象限特征可得m=4.根据k的几何意义得△ABO的面积为2.
10.过点A作AE⊥x轴，垂足点E.由OA=AB得OE=BE.
则CB=得CD=,又 DB=，证得CD=3BD．(共17张PPT)
初中数学 第三讲 《反比例函数性质的运用》
反比例函数性质的运用
03
一、知识理解与建构知识
象限特点
对称性
增减性
k的几何意义
反比例函数性质
比较自变量、函数值大小
反比例函数与不等式
反比例函数与一次函数
k的几何意义的运用
数形结合思想
二、方法剖析与提炼
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二、方法剖析与提炼
例2
1
2
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二、方法剖析与提炼
例3
例3
E
D
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二、方法剖析与提炼
例3
例3
E
D
例4
二、方法剖析与提炼
D
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三、能力训练与拓展
B
C
D
三、能力训练与拓展
D
6
-8
三、能力训练与拓展
6
第7题
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
三、能力训练与拓展
四、自主检测与评价
C
B
C
S1=S2
四、自主检测与评价
x<0或110
5
①②③
四、自主检测与评价
第10题
