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初中数学 第二讲—《反比例函数的图象和性质》
反比例函数的图象与性质
01
一、知识理解与建构知识
二、方法剖析与提炼
【解法】根据已知点的坐标，确定k的值，从而确定函数的图象,利用函数的图象，数形结合，即可得到x的取值范围.
【解释】本题考查待定系数法求反比例函数，根据函数的图象，得出函数的性质.同时，画图过程中，也考察了反比例函数图象的中心对称性.
二、方法剖析与提炼
【解法】平方的非负性. 反比例函数的增减性.
【解释】反比例函数的增减性由比例系数k决定，且在每个象限内的增减性相同。在判断不同象限函数图象的函数值大小时，结合函数的图象，能更直观的进行比较.
二、方法剖析与提炼
二、方法剖析与提炼
二、方法剖析与提炼
三、能力训练与拓展
B
D
C
三、能力训练与拓展
（第5题）
C
D
3
三、能力训练与拓展
-4
（第9题）
三、能力训练与拓展
四、自主检测与评价
B
B
C
A
四、自主检测与评价
第5题
第7题
C
A
1
四、自主检测与评价
第10题
四、自主检测与评价
.
想象力Z智能中高若
智能
中高考
il.
三三
○
.
函数图象
函数性质
V
当心0时，图象经过一、三象
限，在每个象限内，y随x的
增大而减小
反比例 函数y=
当<0时，图像经过二、四象
限，在每个象限内，y随x的
增大而增大
010
0
30
kPa
100
50
90
0
70
80
y不
C
B
F
E
0
A
D
x九下第2讲 反比例函数的图象和性质
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1．能画出反比例函数的图象.
2．能根据函数图象和表达式探究并理解k>0和k<0时,图象的变化情况.
3．能根据反比例函数的图象,归纳总结出反比例函数的性质.
4．能够初步应用反比例函数的图象和性质解题．
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：画反比例函数的图象
【解析】根据图象过点（2,2），可得k的值，画函数另一支的图象，可以根据解析式得点绘图，或者根据反比例函数的两支关于原点O成中心对称，即可作出第三象限内的图象. 题目的第二问根据函数的图象或者利用函数的增减性，即可求得自变量x的范围.
【解答】解：（1）因为图象经过点(2,2),可得k=4,即得,然后代点求值，即可画出另一支函数的图象.(2)当y=4时，代入函数可得x=1,然后结合函数图象，可得x≥1或x<0
【解法】根据已知点的坐标，确定k的值，从而确定函数的图象,利用函数的图象，数形结合，即可得到x的取值范围.
【解释】本题考查待定系数法求反比例函数，根据函数的图象，得出函数的性质.同时，画图过程中，也考察了反比例函数图象的中心对称性.
学业要求二：反比例函数的增减性
例2 【2022嘉兴中考改编】已知点A，B,C均在反比例函数y=的图象上,则,,的大小关系是( )
A.<< B.<< C.<< D.<<
【解析】先判断0,得图象在一、三象限，然后根据函数的增减性，即可求得答案.
【解答】因为平方具有非负性，所以可得0,所以图象在一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，或者结合函数的图象，可得答案B.
【解法】平方的非负性. 反比例函数的增减性.
【解释】反比例函数的增减性由比例系数k决定，且在每个象限内的增减性相同。在判断不同象限函数图象的函数值大小时，结合函数的图象，能更直观的进行比较.
学业要求三：反比例函数的性质应用
例3 【2023温州中考改编】在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了___________mL.
【解析】（1）根据图象上的点(100,60)即可求得反比例函数的解析式.代入P的对应函数值，即可求得对应V的值，即可求得结果.
【解答】把（100,60）代入函数可得,当P=100时，V=60ml，当P=75时，V=80ml,因此压缩的气体体积为80-60=20ml
【解法】待定系数法，函数增减性.
【解释】本题是一道实际应用题，利用函数上的一个点，即可求得比例系数k,利用h函数值P从75kpa到100kpa，利用函数的增减性就可求得自变量V的取值.
‘学业要求四：反比例函数的增减性和最值的综合应用
例4 【例题改编】设函数,(k>0).
当1≤x≤4时，函数的最大值是a，函数的最小值是a－4，求a和k的值．
(2)设m≠0，且m≠－1，当x＝m时，＝p；当x＝m＋1时，＝q.圆圆说：“p一定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【解析】（1）先判断反比例函数的比例系数k的符号，从而确定函数在每个象限内的增减性，即可确定函数何时取得最值，利用两个函数的比例系数互为相反数，即可列得等量关系.（2）题目考察了反比例函数的增减性，前提条件是在每个象限内，因此要说明圆圆的说法是错误的，可以通过举反例，或者保证m和m+1在y轴两侧即可
【解答】（1）因为k>0，所以在每个象限内，随x的增大而减小，即x=1时，取得最大值a,因此可得a=k.同理，可得-k<0，所以在每个象限内，随x的增大而增大.即当x=1时,取得最小值(a-4),因此可得(a-4)=-k，所得两式相加可得a+(a-4)=0,解得a=2,k=2
(2)圆圆说法不正确.因为k>0，所以在每个象限内，随x的增大而减小,因此若m,m+1在同一象限内，显然mq,符合题目的要求，但是若m,m+1位于不同象限的图象上，即m<0,m+1>0，解得-1【解法】互为相反数的性质，函数增减性.
【解释】反比例函数图象是双曲线，由两支组成，因此函数的增减性说明，前提条件是在每个象限内，本题第一问是同个象限内的最值问题，根据增减性质和相反数的性质，即可列得等式求值，题目的第二问，可以取不同象限内的两点，举反例说明圆圆的结论不正确.
能力训练与拓展
1．（2023·荆州）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A)与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
2．从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作a和b.若点P的坐标记作(a,b)，则点P在双曲线上的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.已知反比例函数,当-3≤x≤-1时,y的最大值是4,则当x≥6时,y有( )
A.最大值 B.最大值 C.最小值 D.最小值－1
4．（2023·潜江）在反比例函数的图象上有两点A,B，当时，有，则k的取值范围是（ ）
A．k<0 B．k>0 C．k<4 D．k>4
5.（2023·邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数的图象上,点B的坐标为，则点E的坐标为（ ）
A．(4,4) B．(2,2) C．(2,4) D．(4,2)
6.下列函数中：①，②，③y=-x+1，④，⑤，当时，函数y随x的增大而减小的有 个．
7.已知反比例函数，当时，y的最大值为 ．
8.在平面直角坐标系中，点，，，分别在三个不同象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则n= ．
9.（2023·台州）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位:cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，h=20cm．
（1）求h关于的函数解析式．
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时,h=20cm，求该液体的密度．
10.设反比例函数,一次函数
(1)若函数和函数都经过点A(2,6),求和的函数表达式
(2)若点B(3,m)在函数的图象上，点B先向下平移1个单位，再向右平移1个单位，得点C，若点C恰好落在函数的图象上,求和的函数表达式
（四）自主检测与评价
1.下列关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I=2时,R=20，则I=5时，R的值为（ ）
A． B． C． D．
3.对于反比例函数,下列说法不正确的是( )
A.点(﹣2,﹣1)在它的图象上 B.图象的两个分支在第一、三象限
C.当x＞0时,y随x的增大而增大 D.当x＜0时,y随x的增大而减小
4.如果100N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1000Pa，则下列关于物体受力面积S(m2)的说法正确的是（ ）
A.S小于0.1m2 B.S大于0.1m2 C.S小于10m2 D.S大于10m2
5.已知反比例函数的图象如下，则一次函数y=kx+2的图象经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限
C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限
6.已知点A,B都在反比例函数的图象上，则下列关系式中一定正确的是（ ）
B. C. D.
7.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，则的面积是 .
8.(2023.河北改编)已知点A（3,3）,B(3,1),反比例函数图象的一支与线段AB有交点，则k的取值范围为________
9.笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（） 10 15 50
波长（m） 30 20 6
（1）求波长关于频率f的函数解析式．
（2）当f时，求此电磁波的波长．
10.在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是-4．
（1）求的值．
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．
第2讲 参考答案
【能力训练与拓展】
D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.3 7. 8.-4 9.(1) (2)
（1）解：把A(2,6)分别代入和得：，m=2
所以,
解：∵B（3，m）向下平移1个单位，向右平移1个单位得C
∴点C坐标为(4,m-1)
∵B,C均在的图象上
∴3m=4(m-1) 解得m=4
所以,
【自主检测与评价】
B 2.B 3.C 4.A 5.C 6.A 7.1 8.3k9 9.(1) (2)
（1）解:由题意得，点A的坐标是(2，5)，∴＝2×5＝10，
即函数
设点B的坐标为(m,-4)
∴-4m=10,解得m=
∴点B的坐标为（，-4）
∴-4=（）+5，解得=2
（2）解:由题意得，点C的坐标是(，5)，点D的坐标是(2,-4)
设图象经过CD两点的一次函数解析式为y=kx+b ,代入C,D两点，
解得k=-2,b=0
∴y=-2x，
∵当x＝0时，y＝0，
∴点(0，0)在函数y＝－2x的图象上，即直线CD经过原点．
