九下第4讲 实际问题与反比例函数
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1．会结合具体情境体会反比例函数的意义．
2．能根据已知条件，确定反比例函数表达式．
3．能根据实际问题用描点法画反比例函数图象，根据图象和表达式分析实际问题．
4．能用反比例函数解决简单实际问题．
5．理解用反比例函数表达变化关系的实际意义.
6．会用反比例函数表达现实世界事物的简单规律，体会数学建模思想，培养学生应用意识．
知识结构框架
（二）方法剖析与提炼
学业要求一：利用反比例函数解决图形问题、等积问题
例1.【教材母题】如图，煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）之间的函数表达式是 ；
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下掘进多少米？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下16m时，碰上了坚硬的岩石．为了节约资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为16m，则储存室的底面积应该改为多少才能满足需要？
【解析】①容积=底面积×高，列出底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）之间的函数表达式.②第（2）问，分析已知条件，即为当函数值S=500m2时，求自变量d的值.③第（3）问，即为当自变量d=16m时，求函数S的值.
【解答】解：（1）由题意可得，
故答案为：；
（2）当S＝500时，
解得d＝20，
即储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下掘20米；
（3）当d＝16时，
即储存室的底面积应该改为625m2才能满足需要．
【解法】根据等量关系：容积=底面积×高，列出反比例函数表达式.理解该反比例函数表达中变量的实际意义.
【解释】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
学业要求二：利用反比例函数解决行程问题
例2. A、B两地相距720千米，一货车从A地去B地.
（1）货车的速度v（千米/时）和行驶时间t（时）之间的函数关系是______.
（2）若到达目的地后，货车按原路返回，并要求在10小时内回到A城，则返回的速度不能低于______.
【解析】①路程=速度×时间，列出速度v（千米/时）和行驶时间t（时）之间的函数表达式.②理解实际问题，“10小时内回到A城”可以理解为t最大值，即，再将所列的函数表达式进行变形，列出不等式.
【解答】解：（1）由题意可得，，
故答案为：；
（2）由题意可得，,
由得，
∴，
即返回的速度不能低于72千米/时.
【解法】根据等量关系：路程=速度×时间，列出反比例函数表达式.理解该反比例函数表达中变量的实际意义.第（2）问中涉及反比例函数的增减性，即为当自变量t取最大值时，函数值v取最小值.
【解释】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
学业要求三：利用反比例函数解决工程问题
例3.【教材改编】某码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间的函数关系如图：
（1）根据图象，平均每天装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间满足什么函数关系，并求出这个函数的解析式；
（2）装载完毕后，由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少卸货多少吨？
【解析】①观察函数图象，确定平均每天装载速度y（吨/天）与装完货物所需时间x（天）之间满足反比例函数关系.②利用待定系数法求解析式.③理解第（3）问中“货物不超过5天卸货完毕”的意义.
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为，
依题意得：，k＝400，
∴y与x的函数解析式为.
（2）把x＝5代入，
解得：y＝80，由图可知，y随x的增大而减小.所以当时，.
答：平均每天至少要卸80吨货物．
【解法】利用待定系数法求解析式.第（2）问中同样涉及不等式，但也可用反比例函数的增减性解题，利用数形结合思想确定函数y的最大值.
【解释】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数解析式．
学业要求四：利用反比例函数解决物理学科问题
例3.一个电器的电阻是热敏电阻，电阻会随温度而改变，其范围为110~220Ω.已知电压为220V，这个电器的电路图如图所示.
功率P与电阻R之间有怎样的关系？
这个用电器功率的范围是多少？
【解析】①根据物理知识可以判断，功率P与电阻R之间有怎样的关系？根据特征,确定是反比例函数关系.②利用待定系数法求解析式.③利用反比例函数增减性解决第（2）问.
【解答】解：（1）根据电学知识，得当U =220V时，.
根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
当
当
所以电器功率的范围是220~440W
【解法】利用待定系数法求解析式.利用反比例函数增减性解决物理问题.
【解释】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．注重学科知识的整合.
（三）能力训练与拓展
1．购买x本杂志需24元，购买一本杂志的单价y与x的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2．【2021江西月考】物理中的杠杆平衡原理发现：阻力 阻力臂 动力 动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力 （单位：N）关于动力臂 （单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．【2021长沙期末改编】验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表.根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A． B． C． D．
4．已知长方体体积V（m3）一定，则它的底面积y（m2）与高x（m）之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．装满水的水箱，如果以12m3/h的速度从水箱放水，5h可以放完．为了赶时间，现增加排水管，使排水速度达到Q（m3/h），那么此时放完水所需要的时间t（h）与Q（m3/h）之间的函数关系为（ ）
A． B． C． D．
6．某教师的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，电热水壶关机．电热水壶关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如下图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）
A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：50
7．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如下图所示的一段曲线，且端点为和 ，若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要时间为（ ）
A．分 B．40分 C．60分 D．分
8．【2022厦门月考改编】密闭容器内有一定质量的二氧化碳，在温度不变的情况下，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化，已知密度ρ是体积V的反比例函数关系，它的图象如图所示，则当ρ = 3.3 kg/m3时，相应的体积V是 m3.
9．某导线，当长度一定时，导线的电阻与它的横截面积成反比例关系．一条长为100 cm的导线的电阻R(Ω)与它的横截面积S(cm2)的函数图象如图所示，那么，其函数关系式为 ，当S＝2 cm2时， R= (Ω)
10．【2024从江开学考改编】为了预防疾病，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如下图所示)，现测得药物8 min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 mg，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数解析式，自变量x的取值范围；药物燃烧后y关于x的函数解析式.
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 mg时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少经过几分钟后，学生才能回到教室.
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效 为什么
（四）自主检测与评价
1．下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系
B．体积一定时，物体的质量与密度的关系
C．质量一定时，物体的体积与密度的关系
D．长方形的长一定时，它的周长与宽的关系
2．已知三角形的面积一定，则底边a与其上的高h之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．【2024深圳模拟改编】某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤： 制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻 （如图 1）， 当人站上踏板时， 通过电压表显示的读数 换算为人的质量m（kg） ， 已知 随着 的变化而变化 （如图 2）， 与踏板上人的质量 m 的关系见图3. 则下列说法不正确的是 （ ）
在一定范围内， 越小， 越大
B．当 时， 的阻值为50OΩ
C．当踏板上人的质量为 90kg 时，
D．若电压表量程为 ， 为保护电压表， 该电子体重科可称的最大质量是115kg
4．小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛和0.5米，那么动力F和动力臂x之间的函数关系式是F= ．
5．【2022庆云开学考改编】已知某工厂有煤1800吨，则这些煤能用的天数y与每天用煤的吨数x之间的函数关系式为 ．
6．【2024连平期末改编】近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米呈反比例，其函数关系式为 如果近似眼镜镜片的焦距 米，那么近视眼镜的度数y为 ．
7．已知长方形的面积为4，边长为x，宽为y，则用x表示y的函数解析式为 ．
8．电流通过导线时会产生热量Q（单位：J）与通过导体的电流I（单位：A）有如下关系：，其中R表示通电电阻（单位：Ω）、t表示通电时间（单位：s）.已知一台带有USB借口的小电风扇线圈电阻为1Ω，正常工作1分钟后线圈产生的热量为15J，则通过导体的电流为 A.
9．【2024惠阳月考改编】饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系)，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如下图所示)．那么开机后56分钟时，水的温度是 ℃．
10．在某科学实验中，研究人员对质量相同但不同形状的物体进行了压力测试，记录了测试平台受到的压力（单位：Pa）与受力面积（单位：m2）之间的关系，结果如下表所示.
桌面所受压强 25 50 100 200
受力面积 4 2 1 0.5
（1）根据如表数据，求桌面所受压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数表达式.
（2）现将相同质量，且边长为0.4m的正方体放置于该水平玻璃桌面上.若该玻璃桌面能承受的最大压强为1000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由.
11．【2024四平模拟改编】大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离为2cm，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过3cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米
12．【2024金沙期末】 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？请说明理由.
第4讲 参考答案
【能力训练与拓展】
1.A 2.A 3.A 4.D 5.A 6.A 7.B 8．3 9．；14.5
10．（1）解：设药物燃烧时y关于x的函数解析式为.
将点代入中，得，
∴.
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为.将点代入中，得.
∴.
∴药物燃烧时y关于x的函数解析式为.药物燃烧后y关于x的函数解析式为.
（2）解：结合实际，令中得，
即从消毒开始，至少30 min后员工才能进入办公室.
（3）解：把y=3代入，得，
把y=3代入，得，
∵16-4=12(min)>10 min，
∴这次消毒是有效的.
【自主检测与评价】
1．C
2．D
3．C
4．
5．
6．240
7．
8．0.5
9．50
10．（1）解：由表格可知，压强p与受力面积S的乘积不变，故压强p是受力面积S的反比例函数，
设，将代入，解得 ，
∴；
（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由题意可知s＝0.4×0.4＝0.16，
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，
，
∵625＜1000，
∴这种摆放方式安全．
11．（1）解：设.
把代入，得.解得.
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：把代入，得.
∴火焰的像高为6cm；
（3）解：由（2）可得：当火焰的像高为3cm，小孔到蜡烛的距离为4cm，
∴火焰的像高不得超过3cm，小孔到蜡烛的距离至少是4cm.
12．（1）解：设线段AB所在直线的解析式为，
把代入得，
∴，
∴，
设C,D所在双曲线的解析式为，
把代入得，
∴．
当时，；
当时，．
∴．
∴第30分钟学生的注意力更集中；
（2）解：能
令，则，
∴．
令，则，
∴．
∵，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目(共22张PPT)
初中数学 第四讲《实际问题与反比例函数》
实际问题与反比例函数
04
一、知识理解与建构知识
二、方法剖析与提炼
图形问题、等积问题
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二、方法剖析与提炼
【解法】根据等量关系：容积=底面积×高，列出反比例函数表达式.理解该反比例函数表达式中变量的实际意义.
【解释】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
图形问题、等积问题
二、方法剖析与提炼
例2. A、B两地相距720千米，一货车从A地去B地.
（1）货车的速度v（千米/时）和行驶时间t（时）之间的函数关系是______.
（2）若到达目的地后，货车按原路返回，并要求在10小时内回到A城，则返回的速度不能低于______.
行程问题
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二、方法剖析与提炼
工程问题
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二、方法剖析与提炼
工程问题
二、方法剖析与提炼
跨学科问题
例4.一个电器的电阻是热敏电阻，电阻会随温度而改变，其范围为110~220Ω.已知电压为220V，这个电器的电路图如图所示.
（1）功率P与电阻R之间有怎样的关系？（2）这个用电器功率的范围是多少？
【解析】①根据物理知识可以判断，功率P与电阻R之间有怎样的关系？根据特征 ,确定是反比例函数关系.②利用待定系数法求解析式.③利用反比例函数增减性解决第（2）问.
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三、能力训练与拓展
D
A
三、能力训练与拓展
A
D
三、能力训练与拓展
第6题
第7题
A
A
B
三、能力训练与拓展
3
14.5
三、能力训练与拓展
第10题
三、能力训练与拓展
第10题
三、能力训练与拓展
第10题
四、自主检测与评价
C
D
四、自主检测与评价
C
四、自主检测与评价
240
0.5
四、自主检测与评价
50
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价
