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初中数学 第五讲—《相似图形》
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一、知识理解与建构知识
相似图形
二、方法剖析与提炼
例1.三条线段长度分别为2，3，6，如果再添加一条线段，使这四条线段成比例，则添加的线段长度为_______.
【解析】根据两条线段的比与另两条线段的比相等（a:b=c:d）设添加的线段长为x，然后进行分类讨论。
【解答】设添加的线段长为x，
若x:2=3:6，则x =1
若2:x=3:6，则x =4
若2:3=x:6，则x =4
若2:3=6:x，则x =9.故添加的线段长为1,或4,或9；
【解法】根据成比例的线段的相关知识，两条线段的比与另两条线段的比相等（a:b=c:d），列出相关的比例式，掌握成比例线段的求解方法。
【解释】本题考查成比例的线段这一知识点，利用两条线段的比与另两条线段的比相等进行列式计算。
二、方法剖析与提炼
例2.已知2x=3y，则下列比例成立的是（ ）
【解析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断.
【解答】A.变成等积式是:3x=2y，故错误;
B.变成等积式是:3x+3y=4y，即3x=y,故错误；
C.变成等积式是:2x=3y，故正确;
D.变成等积式是:5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误.故选C.
【解法】根据比例的基本性质，可以将比例式进行变形.
【解释】本题考查了比例的基本性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积.
A. B． C． D．
等积式 比例式
二、方法剖析与提炼
例3.观察下列图形(a)~(g),指出其中哪些是与图形(1)、(2)、(3)相似的？
【解析】若只对图形进行横向的拉宽或纵向的拉长,则形成的图形形状发生改变，故不与原图形相似。
【解答】与图形(1)相似的是(a)(c)(f);
与图形(2)相似的是(d);
与图形(3)相似的是(b)(g).
二、方法剖析与提炼
【解法】根据相似图形的定义可知，两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到，充分理解“形状相同”的具体含义。
【解释】本题考查对相似图形定义的理解，明确旋转、对称等变换不影响图形的形状，拉宽或拉长会使图形形状发生改变。
二、方法剖析与提炼
例4.如图,正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似,若AB:FG=2:3,则下列结论正确的是( )
A. 2DE=3MN B. 3DE=2MN
C. 3∠A=2∠F D. 2∠A=3∠F
【解析】相似多边形对应角相等，对应边成比例，图形的相似是图形大小的改变，边长会发生变化，但角度不变。
【解答】因为AB:FG=2:3，所以DE：MN=2：3，变形后得到3DE=2MN，而∠A=∠F，选B.
【解法】相似多边形对应角相等，对应边成比例，充分理解“形状相同”的具体含义。
【解释】本题考查对相似图形性质的理解和应用，相似图形的对应角相等，对应边成比例。
三、能力训练与拓展
1.下列各组图形不是相似图形的是( )
2.下列是关于两个图形相似的叙述,不正确的是( )
A.位置可以不同 B.大小可以不同
C.形状可以不同 D.颜色可以不同
3.下列各组图形中一定是相似图形的是( )
A.两个等腰梯形 B.两个矩形
C.两个直角三角形 D.两个等边三角形
C
B
D
三、能力训练与拓展
D
4.下列说法中正确的有( )
①同一底片印出来的不同尺寸的照片是相似的;
②放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似的;
③放大镜放大后的图形与原来的图形是相似的.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
C
180°
三、能力训练与拓展
6.四条线段a，b，c，d成比例，其中a=2cm,b=3cm,d=6cm,则线段c的长为（ ）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
7.已知线段c是线段a、b的比例中项，若a=2,c=8,则b的值为（ ）
A． B．4 C．32 D．
8.给出下列几组图形:①两个圆;②两个正方形;③两个矩形;④两个正六边形;⑤两个等边三角形;⑥两个直角三角形;⑦两个菱形.其中一定相似的是 (填序号).
B
C
①②④⑤
三、能力训练与拓展
9.观察下列图形,并填空:
与A相似的图形是 ;与B相似的图形是 ;与C相似的图形是 .
⑦
⑧
④
三、能力训练与拓展
10.在下面的网格中,每个小正方形的边长都是1,图1中有如图所示的三角形.
(1)把图1中的三角形的各边按1∶2放大,将放大后的图形画在图2中;
(2)求出图2中放大后的图形的面积.
图2
图1
(2)解：放大后的图形的面积为
四、自主检测与评价
C
1.已知 则 的值为（ ）
2.下列各组长度的四条线段中,是成比例线段的是( )
A.1,2,3,4 B.1,2,3,6 C.2,3,4,5 D.1,3,4,7
3.如图,四边形ABCD和四边形EFGH相似,且顶点都在方格纸的格点上,则四边形ABCD与四边形EFGH的相似比是( )
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
B
C
四、自主检测与评价
4.一个矩形相邻的两边长分别为25和x(x<25),把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形,每一个小矩形均与原矩形相似,则x的值为( )
5.假期,爸爸带小明去A地旅游,小明想知道他所居住的城市与A地之间的距离,他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距离A地10 cm,则小明所居住的城市与A地之间的实际距离为 km.
B
50
四、自主检测与评价
6.如图,正方形ABCD中,点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 .
7.若x:y:z=3:5:6,且3y=2z+3,则x+2y+z的值为 .
8.已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的为 ．
19
四、自主检测与评价
9.如图,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∠A=80°,∠B=75°,∠C=125°,求x,∠D1.
四、自主检测与评价
10.如图,四边形ABCD为平行四边形,AE平分∠BAD交BC于点E,过点E作EF∥AB,交AD于点F,连接BF.
(1)求证:BF平分∠ABC;
(2)若AB=6,四边形ABCD与四边形CEFD相似,求BC的长.
四、自主检测与评价
四、自主检测与评价九下第27章 相似
一、课标要求
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
3.掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
4.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理的证明。
5.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方。
6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
8.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA， cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。
9.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。
10.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
二、本章思维导图
三、研究路径和方法
九下第五讲 相似图形
（一）知识理解与建构
课标学业要求
1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2、通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比。
知识结构框架
（2）方法剖析与提炼
学业要求一：线段的比、成比例的线段
例1 三条线段长度为2，3，6，如果再添加一条线段，使这四条线段成比例，则添加的线段长度为_______.
【解析】根据两条线段的比与另两条线段的比相等（a：b=c：d）设添加的线段长为xcm，然后进行分类讨论，如若x:2=6:3则x=4。
【解答】设添加的线段长为xcm，若x:2=3:6则x=1
若x:2=6:3则x=4
若x:3=2:6则x=1
若x:3=6:2则x=9
若x:6=2:3则x=4
若x:6=3:2则x =9
故添加的线段长为1cm,或4cm,或9cm;
【解法】根据成比例的线段的相关知识，两条线段的比与另两条线段的比相等（a：b=c：d），列出相关的比例式，掌握成比例线段的求解方法。
【解释】本题考查成比例的线段这一知识点，利用两条线段的比与另两条线段的比相等进行列式计算。
学业要求二：比例的基本性质
例2 已知2x=3y，则下列比例成立的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断
【解答】A.变成等积式是:xy=6，故错误;
B.变成等积式是:3x+3y=4y，即3x=y,故错误；
C.变成等积式是:2x=3y，故正确;
D.变成等积式是:5x+5y=3x，即2x+5y=0，故错误.故选C.
【解法】根据比例基本性质，可以将比例式进行变形
【解释】本题考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可.
学业要求三：图形的相似
例3【教材改编】观察下列图形(a)~(g),指出其中哪些是与图形(1)、(2)、(3)相似的？
【解析】若只对图形进行横向的拉宽或纵向的拉长,则形成的图形形状发生改变，故不与原图形相似。
【解答】与图形(1)相似的是(a)(c)(f);
与图形(2)相似的是(d);
与图形(3)相似的是(b)(g).
【解法】根据相似图形的定义可知，两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到，充分理解“形状相同”的具体含义。
【解释】本题考查对相似图形定义的理解，明确旋转、对称等变换不影响图形的形状，拉宽或拉长会使图形形状发生改变。
学业要求四：相似多边形的性质
例4 如图,正五边形FGHMN与正五边形 ABCDE相似,若AB:FG=2:3,则下列结论正确的是( )
A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F
【解析】相似多边形对应角相等，对应边成比例，图形的相似是图形大小的改变，边长会发生变化，但角度不变。
【解答】因为AB:FG=2:3，所以DE：MN=2：3，变形后得到3DE=2MN，而∠A=∠F
【解法】相似多边形对应角相等，对应边成比例，充分理解“形状相同”的具体含义。
【解释】本题考查对相似图形性质的理解和应用，相似图形的对应角相等，对应边成比例。
（三）能力训练与拓展
一、选择题
1.下列各组图形不是相似图形的是( )
2.下列是关于两个图形相似的叙述,不正确的是( )
A.位置可以不同 B.大小可以不同
C.形状可以不同 D.颜色可以不同
3.下列各组图形中一定是相似图形的是( )
A.两个等腰梯形 B.两个矩形
C.两个直角三角形 D.两个等边三角形
4.下列说法中正确的有( )
①同一底片印出来的不同尺寸的照片是相似的;
②放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像是相似的;
③放大镜放大后的图形与原来的图形是相似的.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（ ）
A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm
7．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则b的值为（ ）
A． B．4 C．32 D．
二、填空题
8.给出下列几组图形:①两个圆;②两个正方形;③两个矩形;④两个正六边形;⑤两个等边三角形;⑥两个直角三角形;⑦两个菱形.其中,一定相似的是 (填序号).
9.观察下列图形,并填空:
与A相似的图形是 ;与B相似的图形是 ;与C相似的图形是 .
三、解答题
10.在下面的网格中,每个小正方形的边长都是1,图1中有如图所示的三角形.
图1
图2
(1)把图1中的三角形的各边按1∶2放大,将放大后的图形画在图2中;
(2)求出图2中放大后的图形的面积.
（四）自主检测与评价
一、选择题
1.已知则的值为( )
A. B. C. D.
2.下列各组长度的四条线段中,是成比例线段的是( )
A.1,2,3,4 B.1,2,3,6 C.2,3,4,5 D.1,3,4,7
3.如图,四边形ABCD和四边形EFGH相似,且顶点都在方格纸的格点上,则四边形ABCD与四边形EFGH的相似比是( )
A.1∶2 B.1∶4 C.2∶1 D.4∶1
4.一个矩形相邻的两边长分别为25和x(x<25),把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形,每一个小矩形均与原矩形相似,则x的值为( )
A.5 B. C. D.10
二、填空题
5.假期,爸爸带小明去A地旅游,小明想知道他所居住的城市与A地之间的距离,他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距离A地10 cm,则小明所居住的城市与A地之间的实际距离为 km.
6.如图,正方形ABCD中,点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 .
7．若则的值为 ．
8．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为 ．
三、解答题
9.如图,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∠A=80°,∠B=75°,∠C=125°,求x,∠D1.
10.如图,四边形ABCD为平行四边形,AE平分∠BAD交BC于点E,过点E作EF∥AB,交AD于点F,连接BF.
(1)求证:BF平分∠ABC;
(2)若AB=6,四边形ABCD与四边形CEFD相似,求BC的长.
第5讲 参考答案
【能力训练与拓展】
一、选择题
1.答案 B 选项A,形状相同,符合相似图形的定义,不符合题意;选项B,形状不相同,不符合相似图形的定义,符合题意;选项C,形状相同,符合相似图形的定义,不符合题意;选项D,形状相同,符合相似图形的定义,不符合题意.故选B.
2.答案 C 我们把形状相同的图形称为相似图形.只有选项C符合题意.故选C.
3.答案 D ∵两个等边三角形的角对应相等,边对应成比例,∴两个等边三角形一定是相似图形;∵两个等腰梯形、两个直角三角形的角不一定对应相等,边不一定对应成比例,两个矩形的边不一定对应成比例,∴两个等腰梯形、两个直角三角形、两个矩形都不一定是相似图形.故选D.
4.答案 D ①同一底片印出来的不同尺寸的照片形状相同,符合相似图形的定义,故①正确;②放电影时胶片上的图像和它映射到屏幕上的图像形状相同,符合相似图形的定义,故②正确;③放大镜放大后的图形与原来的图形形状相同,符合相似图形的定义,故③正确.故选D.
5.答案 C ∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，
∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，
∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，
矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似，
∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组，
6.答案B. ∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴，
∴
7.答案C∵线段c是线段a、b的比例中项，∴，
∵，∴，∴
二、填空题
8.答案 ①②④⑤
解析 ③两个矩形的边不一定对应成比例;⑥两个直角三角形的边不一定对应成比例,角不一定对应相等;⑦两个菱形的角不一定对应相等.综上,一定相似的是①②④⑤.
9.答案 ⑦;⑧;④
解析 观察图形,根据相似图形的定义可知,与A相似的图形是⑦;与B相似的图形是⑧;与C相似的图形是④.
三、解答题
10.解析 (1)所求作的三角形的形状、大小是确定的,位置不确定,例如:
(2)放大后的图形的面积为.
【自主检测与评价】
一、选择题
1.答案 C ∵,∴设a=2x,b=5x,∴.故选C.
2.答案 B 1×4≠2×3,所以A选项不符合题意;1×6=2×3,所以B选项符合题意;2×5≠4×3,所以C选项不符合题意;1×7≠3×4,所以D选项不符合题意.故选B.
3.答案 C ∵四边形ABCD∽四边形EFGH,∴相似比=.故选C.
4.答案 B ∵原矩形的长为25,宽为x,∴小矩形的长为x,宽为,∵小矩形与原矩形相似,∴,解得x=或x=(舍去).故选B.
二、填空题
5.答案 50
解析 设小明所居住的城市与A地之间的实际距离为x cm,根据题意得10:x=1∶500 000,解得x=5 000 000,5 000 000 cm=50 km,故小明所居住的城市与A地之间的实际距离为50 km.
6.答案
解析 设BG=x,则,则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为
7．答案19. 设x=3k,则y=5k，z=6k，
代入3y=2z+3得：15k=12k+3，解得：k=1，所以x=3，y=5，z=6，所以x+2y+z=3+10+6=19.
8．答案cm或cm或cm
设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得或或，解得a=或a=或a= ，所以另外一条线段的长为2cm或cm或cm.
三、解答题
9.解析 ∵∠C=125°,∠A=80°,∠B=75°,
∴∠D=360°-125°-80°-75°=80°,
∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,
∴∠D1=∠D=80°,
,
解得x=10.
10.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,
∴∠FAE=∠AEB.
∵EF∥AB,AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AE平分∠BAD,
∴∠FAE=∠BAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=EB,
∴四边形ABEF是菱形,
∴BF平分∠ABC.
(2)∵四边形ABEF为菱形,
∴BE=EF=AB=6,
∵四边形ABCD∽四边形CEFD,
∴即,
解得BC=3+3(负值舍去).
