2025北京大兴高二（下）期中数学（PDF版，无答案）

大兴区 2024 ~ 2025学年度第二学期期中检测
高二数学
本试卷共 4页，150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 （选择题 共 40分）
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）若 lim f (1 x) f (1) 2，则 f (1)
x 0 x
（A） 1 （B） 0
（C）1 （D） 2
（2）已知等比数列{an}满足 a1 1， a5 4，则 a2a3a4
（A） 8 （B） 16
（C）8 （D）16
（3）已知数列{an}满足 a1 1， an an 1 n（ n 2），则 a4
（A）5 （B）10
（C）11 （D）12
（4）若函数 f (x)的导函数 f (x)的图象如图所示，则 f (x)的
极小值点是
（A） 1 （B） 0
（C）1 （D） 2
（5）已知数列{a }的前 n项和 S n2n n ，则数列{an}是
（A）公比为 2的等比数列 （B）公比为 3的等比数列
（C）公差为 2的等差数列 （D）公差为3的等差数列
（6）设{an}为等比数列，则“存在 i j k，使得 ai a j ak”是“{an}为递增数列”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
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（7）若函数 f (x) x3 3x c有且仅有一个零点，则实数 c的取值范围是
（A） ( 2 , 2) （B） ( , 2)
（C） (2 , ) （D） ( , 2) (2 , )
（8）若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是等差数列，1和3为此等差数列中的两项，则 a5的值不可能是
（A） 4 （B） 0
（C） 3 （D） 6
（9）设曲线 f (x) x2 1 (x 0)在点 (t , f (t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
S(t)，则当 S(t)取得最小值时， t的值为
A 3 1（ ） （B）
3 2
（C） 2 （D）3
（10）在下列不等式中，当 k 1时，关于 x的不等式对任意的 x (0, )不能恒成立的是
（A） kx sin x （B） kx x x3
（C） kx 1 e x （D） kx x 1- ln(ex)
第二部分 （非选择题 共 110分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
（11）数列{an}满足 an 2 an 1 an ，且 a1 a2 1，则 a5 ．
（12）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第 x h时，
原油的温度（单位： C）为 f (x) x2 7x 15（ 0≤ x≤8），则第 3 h 时，原油温度
的瞬时变化率为 C/ h，此原油温度瞬时变化率的意义是 ．
（13）已知a ,b , c是公比不为 1的等比数列，将 a ,b , c调整顺序后可构成一个等差数
列，则满足条件的一组 a ,b , c的值依次为 ．
x a
（14）已知函数 f (x) x (a R) ．当 a 0时， f (x) ；若曲线 y f (x)有两e
条过坐标原点的切线，则 a的取值范围是 ．
x 1 , 0 x≤1,
（15）已知函数 f (x) 数列 an 满足 a1 0，当 n 2时， an （f ax 1, x 1. n 1
）．给

出下列四个结论：
① 若 a1 2，则 a2 a5；
② 若 a3 2，则 a1可能有 4个不同的取值；
③ 对于任意的 a1 2，不一定存在正整数m，使得 n N
, an m an；
④ 对于任意的正整数m 2，一定存在实数 a1 1，使得 n N , an m an．
其中所有正确结论的序号是________.
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三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13分）
已知函数 f (x) x3 3x2 ．
（Ⅰ）求 f (x)在区间 [ 2 ,1]上的最值；
（Ⅱ）在直角坐标系内，画出 f (x)的大致图象；
（Ⅲ）直接写出一个 a值，使 f (x)在区间 (a , a 5)上存在最大值．
（17）（本小题 14分）
已知等差数列{an}满足 a2 a4 10， a4 a3 2．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的前 n项和 Sn 的最大值；
（Ⅲ）若等比数列{bn}满足 b2 a4 ，b3 a6 ，问：{bn}是否存在最大值与最小值？说明理由．
（18）（本小题 14分）
已知无穷数列{an}满足 a 1 1， an 1 2an 1，令bn an 1．
（Ⅰ）求 b1 , b2 的值；
（Ⅱ）证明：数列{bn}是等比数列，写出数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）记数列{an}的前 n项和为 Sn ，求 Sn ，并判断数列： S1 , S2 , S3 , , Sn , 的单调性．
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（19）（本小题 14分）
已知函数 f (x) (x2 a)e x．
（Ⅰ）若 f (0) 1，求 a的值；
（Ⅱ）设 a R ，讨论函数 f (x)的极值点个数；
（Ⅲ）若 f (x)在区间 (1，2)上存在极值，求实数 a的取值范围．
（20）（本小题 15分）
已知函数 f (x) ln x．
（Ⅰ）设曲线 y f (x)在点 (1 , f (1))处的切线为 l．
（i）求切线 l的方程； （ii）证明：除切点外，曲线 y f (x)在切线 l的下方；
（Ⅱ）设m 0，令函数 g(x) f (x) f (m) ，求函数 g(x)的单调区间．
x m
（21）（本小题 15分）
给定项数为（n n 3）的数列{xn}，若数列{xn}满足 | xm 1 xm |≤| xm 1 xm 2 | (m 1, 2 , ,
n 2），则称数列{xn}具有性质 P，定义 ak | xk 1 xk |（ k 1, 2 , , n 1）．
（Ⅰ）判断数列1, 2 , 4 , 6是否具有性质 P，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{xn}具有性质 P，求证：{xn}为等差数列的必要不充分条件是{ak}为常数列；
（Ⅲ）已知数列{xn}共有 n项，各项互不相等，对于 i≤ n (i N )， xi {1, 2 , 3 , , n }，
若{xn}具有性质 P，记 Sn 1 a1 a2 an 1 ，且 Sn 1 n 2，求 n的所有取值．
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