1.2 集合的基本关系
【课程标准要求】 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习,提升数学抽象素养.2.借助子集、真子集的应用,提升逻辑推理素养.
知识点一 Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
知识点二 子集的相关概念
定义 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集
记法 A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示
性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即A A; (2)空集是任何集合的子集; (3)对于集合A,B,C,若A B,且B C,则A C
知识点三 集合相等
对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等,记作A=B.
可用Venn图(如图)表示.
即对于两个集合A与B,若A B,且B A,则 A=B.
知识点四 真子集的概念
定义 对于两个集合A与B,如果A B,且A≠B,那么称集合A是集合B的真子集
记法 A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图示
性质 (1)空集是任何非空集合的真子集; (2)对于集合A,B,C,若A B,且B C,则A C
[思考] 子集与真子集有什么区别
提示:若A B,则A B或A=B.即A是B的子集包括A是B的真子集或A等于B两种情况.若出现A B(B≠)时,应考虑A=和 A≠ 两种情形.
题型一 集合关系的判断
[例1] 判断下列各组中集合之间的关系.
(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};
(2)A={x|-1
(3)M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z}.
【解】 (1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A B.
(2)用数轴表示集合,如图所示.
易知A B.
(3)M={x|x=+,k∈∈Z},N={x|x=+,k∈∈Z}.
由k∈Z,得k+2为整数,2k+1为奇数,
故集合M,N的关系为NM.
判断集合关系的方法
(1)观察法:一一列举观察.
(2)数形结合法:利用数轴或Venn图.
(3)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.
提醒:若A B和AB同时成立,则AB更能准确表达集合A,B之间的关系.
[变式训练] (1)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z},则( )
A.A B B.B A
C.A=B D.A∈B
(2)已知集合A={x|-2≤x≤2},B={0,1,2},则下列关系正确的是( )
A. A B.A Z
C.1 B D.B A
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)因为集合A={x|x=2k+1,k∈Z},集合B={x|x=2k-1,k∈Z},所以集合A与集合B都是奇数集,所以A=B.故选C.
(2)因为A={x|-2≤x≤2},
所以∈A,且 Z,
所以A错误,B错误;
1∈B,则C错误;
0,1,2∈A,则B A,D正确.
故选D.
题型二 子集、真子集的个数问题
[例2] (1)已知集合A={0,1,2,3},则含有元素0的A的子集个数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)集合{a,b,c}的所有子集为 ,其中它的真子集有 个.
【答案】 (1)D (2) ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 7
【解析】 (1)集合A={0,1,2,3},
该子集必含有0,则含有元素0的A的子集个数是23=8.故选D.
(2)集合{a,b,c}的子集有,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共7个.
(1)假设集合A中含有n个元素,则:
①A的子集有2n个;
②A的非空子集有(2n-1)个;
③A的真子集有(2n-1)个;
④A的非空真子集有(2n-2)个.
(2)求给定集合的子集的两个注意点:
①按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;
②在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
[变式训练] (1)集合A={x∈N|-5<2x-1<5}的子集个数为( )
A.4 B.7 C.8 D.16
(2)满足{a} M {a,b,c,d}的集合M共有( )
A.2个 B.4个 C.8个 D.16个
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)因为A={x∈N|-5<2x-1<5}={x∈N|-2(2)因为{a} M {a,b,c,d},所以M可以为{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{a,b,c,d},共8个.故选C.
题型三 由集合间的包含关系求参数
[例3] (1)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1(2)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B A,求实数m的取值集合.
【解】 (1)因为B A,
①当B=时,m+1≤2m-1,解得m≥2.
②当B≠时,有
解得-1≤m<2.
综上得m≥-1.
即实数m的取值范围是[-1,+∞).
(2)由x2-4x+3=0,得x=1或x=3.
所以集合A={1,3}.
①当B=时,m=0,满足B A.
②当B≠时,m≠0,
B={x|mx-3=0}={}.
因为B A,
所以=1或=3,
解得m=3或m=1.
综上可知,所求实数m的取值集合为{0,1,3}.
(1)不能忽视集合为的情形.
(2)当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
(3)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的取值范围(值)时,常采用数形结合的方法,借助数轴解答.
[变式训练] 已知集合A={x|1≤x≤2},集合B={x|1≤x≤a,a≥1}.
(1)若AB,求实数a的取值范围;
(2)若B A,求实数a的取值范围.
【解】 (1)若AB,由图可知a>2.
所以实数a的取值范围是(2,+∞).
(2)若B A,由图可知1≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[1,2].
当堂检测
1.设a,b∈R,集合P={0,1,a},Q={-1,0,-b},若P=Q,则a+b等于( )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
【答案】 A
【解析】 由题意,-b=1,a=-1,
则a=-1,b=-1,a+b=-2.故选A.
2.已知集合A={x∈N|-1A.A B B.A=B
C.B∈A D.B A
【答案】 A
【解析】 集合A={x∈N|-13.(多选题)已知A={x|x2-9=0},则下列说法正确的有( )
A.3∈A B.{-3}∈A
C. A D.{-3,3} A
【答案】 ACD
【解析】 因为x2-9=0,所以x=±3,
所以A={-3,3};
所以3∈A,{-3} A;
空集是任何集合的子集, A;
任何集合都是它本身的子集,{-3,3} A.
故选A,C,D.
4.若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x>a},A B,则a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,-2)
【解析】 因为集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x>a},且A B,
所以a<-2,即a的取值范围是(-∞,-2).
基础巩固
1.已知集合A={x|x2-1=0},则下列结论错误的是( )
A.1∈A B.{-1} A
C. A D.{-1,1}=A
【答案】 C
【解析】 由x2-1=0,得x=±1,则A={-1,1},所以1∈A,{-1} A,{-1,1}=A,即A,B,D正确;而 A,故C错误.故选C.
2.已知集合A={1,a},B={2a-3,1},若A=B,则实数a的值为( )
A.0 B.1
C.1或3 D.3
【答案】 D
【解析】 因为集合A={1,a},B={2a-3,1},且A=B,所以a=2a-3,解得a=3.此时A={1,3},B=
{3,1},符合题意.故选D.
3.已知集合B={0,1,2},C={-1,0,1},非空集合A满足A B,A C,则符合条件的集合A的个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
【答案】 A
【解析】 根据题意,集合A中含有元素0或1,所以非空集合A的个数是22-1=3.故选A.
4.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|=1},则集合A,B间的关系为( )
A.AB B.AB
C.A=B D.A B
【答案】 B
【解析】 因为B={(x,y)|=1}={(x,y)|y=x,且x≠0},所以B A.故选B.
5.已知四个关系式:①∈{};② {};③={0};④≠{},它们中关系表达正确的个数为( )
A.3 B.4 C.1 D.2
【答案】 A
【解析】 根据元素与集合、集合与集合关系:
是{}的一个元素,故∈{},①正确;
是任何非空集合的真子集,故{},②正确;
≠{0},≠{},③错误,④正确;
所以①②④正确.故选A.
6.(多选题)下列各组中M,P表示相同集合的是( )
A.M={3,-1},P={-1,3}
B.P={x|x=2(n+1),n∈Z},M={x|x=2n,n∈Z}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
【答案】 ABC
【解析】 对于A,集合M,P含有的元素相同,只是顺序不同,由于集合的元素具有无序性,因此它们是相同集合,A正确;
对于B,因为n∈Z,则n+1∈Z,因此集合M,P都表示所有偶数组成的集合,B正确;
对于C,M={y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞),P={x|x=t2+1,t∈R}=[1,+∞),即M=P,C正确;
对于D,因为集合M的元素是实数,集合P中的元素是有序实数对,因此集合M,P是不同集合,D不正确.故选A,B,C.
7.已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3},定义P Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P Q的所有非空子集的个数为 .
【答案】 31
【解析】 集合P={4,5,6},Q={1,2,3},定义P Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},
则P Q={1,2,3,4,5},元素个数为5,
故集合P Q的所有非空子集的个数为25-1=31.
8.已知集合A={x|m-1≤x≤2m-1},B=[1,5],若A B,则实数m的取值范围是 .
【答案】 {m|m<0或2≤m≤3}
【解析】 当A=时,m-1>2m-1,解得m<0.
当A≠时,则解得2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围是{m|m<0或2≤m≤3}.
9.已知集合A={x|x<1},B={x|x(1)若A=B,求实数a的值;
(2)若A B,求实数a的取值范围;
(3)若BA,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为集合A={x|x<1},B={x|x(2)因为A B,如图,
由图可知a≥1,即实数a的取值范围是{a|a≥1}.
(3)因为BA,如图,
由图可知a<1,即实数a的取值范围是{a|a<1}.
10.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},C={x∈Z|1≤x≤5}.
(1)若B A,求实数a的值;
(2)请写出所有满足A M C的集合M.
【解】 (1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
当a=0时,B=,符合题意.
当a≠0时,B={},
因为B A,所以=1或=2,
解得a=1或.
综上所述,实数a的值为0或1或.
(2)C={x∈Z|1≤x≤5}={1,2,3,4,5},
所以{1,2} M {1,2,3,4,5},
所以所有满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
能力提升
11.已知集合M={x|x=2m+,m∈Z},N={x|x=n-,n∈Z},P={x|x=p+,p∈Z},则下列M,N,P的关系正确的是( )
A.M=NP B.MN=P
C.MNP D.NPM
【答案】 B
【解析】 因为M={x|x=(2m+1)-,m∈Z},P={x|x=(p+1)-,p∈Z},而2m+1为奇数,p+1为整数,又N={x|x=n-,n∈Z},所以M N=P.故选B.
12.集合{x|(a-2)x2+3x-1=0,x∈R}有且仅有两个子集,则a= .
【答案】 2或-
【解析】 因为集合{x|(a-2)x2+3x-1=0,x∈R}有且仅有两个子集,所以(a-2)x2+3x-1=0只有一个解.
当a-2=0时,a=2.当a-2≠0且Δ=9+4(a-2)=0时,a=-.
解得a=2或a=-.
13.定义:若对任意m,n∈A(m,n可以相等),都有1+mn≠0,则集合B={x|x=,m,n∈A}称为集合A的生成集.
(1)求集合A={3,4}的生成集B;
(2)若集合A={a,2},A的生成集为B,且B的子集个数为4,求实数a的值.
【解】 (1)当m=n=3时,==,
当m=n=4时,==,
当m=3,n=4或m=4,n=3时,
==,所以B={,,}.
(2)当m=n=2时,==,
当m=n=a时,=,
当m=2,n=a或m=a,n=2时,=.
因为B的子集个数为4,所以B中有2个元素,
所以=或=或=,
得a=±1或a=(a=2舍去).
当a=1时,B={,1},符合题意;
当a=-1时,B={-1,},符合题意;
当a=时,B={,},符合题意.
所以a=或±1.
应用创新
14.已知集合A={x|x2+2 024x+2 025=0},B={x|(x2+ax)(x2+4ax+4)=0},记非空集合S的元素个数为n(S),已知|n(A)-n(B)|=1,记实数a的所有可能取值构成的集合为M,则M的非空子集的个数是 .
【答案】 7
【解析】 对于x2+2 024x+2 025=0,
有Δ=2 0242-4×2 025>0,所以集合A={x|x2+2 024x+2 025=0}中有两个元素,
因为非空集合S的元素个数为n(S),
所以n(A)=2,
又因为|n(A)-n(B)|=1,所以n(B)=1或3.
当n(B)=1时,B={0},
所以x2+ax=0有唯一解,且x2+4ax+4=0无解,
则解得a=0.
当n(B)=3时,
若x2+ax=0有唯一解,
由上述分析可知x2+4ax+4=0无解,不满足题意;
若x2+ax=0有两解,则x2+4ax+4=0有唯一解,
则解得a=-1或1.
综上所述,M={-1,0,1},
所以M的非空子集的个数是23-1=7.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2 集合的基本关系
基础巩固
1.已知集合A={x|x2-1=0},则下列结论错误的是( )
A.1∈A B.{-1} A
C. A D.{-1,1}=A
【答案】 C
【解析】 由x2-1=0,得x=±1,则A={-1,1},所以1∈A,{-1} A,{-1,1}=A,即A,B,D正确;而 A,故C错误.故选C.
2.已知集合A={1,a},B={2a-3,1},若A=B,则实数a的值为( )
A.0 B.1
C.1或3 D.3
【答案】 D
【解析】 因为集合A={1,a},B={2a-3,1},且A=B,所以a=2a-3,解得a=3.此时A={1,3},B={3,1},符合题意.故选D.
3.已知集合B={0,1,2},C={-1,0,1},非空集合A满足A B,A C,则符合条件的集合A的个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
【答案】 A
【解析】 根据题意,集合A中含有元素0或1,所以非空集合A的个数是22-1=3.故选A.
4.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|=1},则集合A,B间的关系为( )
A.AB B.AB
C.A=B D.A B
【答案】 B
【解析】 因为B={(x,y)|=1}={(x,y)|y=x,且x≠0},所以B A.故选B.
5.已知四个关系式:①∈{};② {};③={0};④≠{},它们中关系表达正确的个数为( )
A.3 B.4 C.1 D.2
【答案】 A
【解析】 根据元素与集合、集合与集合关系:
是{}的一个元素,故∈{},①正确;
是任何非空集合的真子集,故{},②正确;
≠{0},≠{},③错误,④正确;
所以①②④正确.故选A.
6.(多选题)下列各组中M,P表示相同集合的是( )
A.M={3,-1},P={-1,3}
B.P={x|x=2(n+1),n∈Z},M={x|x=2n,n∈Z}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
【答案】 ABC
【解析】 对于A,集合M,P含有的元素相同,只是顺序不同,由于集合的元素具有无序性,因此它们是相同集合,A正确;
对于B,因为n∈Z,则n+1∈Z,因此集合M,P都表示所有偶数组成的集合,B正确;
对于C,M={y|y=x2+1,x∈R}=[1,+∞),P={x|x=t2+1,t∈R}=[1,+∞),即M=P,C正确;
对于D,因为集合M的元素是实数,集合P中的元素是有序实数对,因此集合M,P是不同集合,D不正确.故选A,B,C.
7.已知集合P={4,5,6},Q={1,2,3},定义P Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},则集合P Q的所有非空子集的个数为 .
【答案】 31
【解析】 集合P={4,5,6},Q={1,2,3},定义P Q={x|x=p-q,p∈P,q∈Q},
则P Q={1,2,3,4,5},元素个数为5,
故集合P Q的所有非空子集的个数为25-1=31.
8.已知集合A={x|m-1≤x≤2m-1},B=[1,5],若A B,则实数m的取值范围是 .
【答案】 {m|m<0或2≤m≤3}
【解析】 当A=时,m-1>2m-1,解得m<0.
当A≠时,则解得2≤m≤3.
综上所述,实数m的取值范围是{m|m<0或2≤m≤3}.
9.已知集合A={x|x<1},B={x|x(1)若A=B,求实数a的值;
(2)若A B,求实数a的取值范围;
(3)若BA,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为集合A={x|x<1},B={x|x(2)因为A B,如图,
由图可知a≥1,即实数a的取值范围是{a|a≥1}.
(3)因为BA,如图,
由图可知a<1,即实数a的取值范围是{a|a<1}.
10.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},C={x∈Z|1≤x≤5}.
(1)若B A,求实数a的值;
(2)请写出所有满足A M C的集合M.
【解】 (1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
当a=0时,B=,符合题意.
当a≠0时,B={},
因为B A,所以=1或=2,
解得a=1或.
综上所述,实数a的值为0或1或.
(2)C={x∈Z|1≤x≤5}={1,2,3,4,5},
所以{1,2} M {1,2,3,4,5},
所以所有满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
能力提升
11.已知集合M={x|x=2m+,m∈Z},N={x|x=n-,n∈Z},P={x|x=p+,p∈Z},则下列M,N,P的关系正确的是( )
A.M=NP B.MN=P
C.MNP D.NPM
【答案】 B
【解析】 因为M={x|x=(2m+1)-,m∈Z},P={x|x=(p+1)-,p∈Z},而2m+1为奇数,p+1为整数,又N={x|x=n-,n∈Z},所以M N=P.故选B.
12.集合{x|(a-2)x2+3x-1=0,x∈R}有且仅有两个子集,则a= .
【答案】 2或-
【解析】 因为集合{x|(a-2)x2+3x-1=0,x∈R}有且仅有两个子集,所以(a-2)x2+3x-1=0只有一个解.
当a-2=0时,a=2.当a-2≠0且Δ=9+4(a-2)=0时,a=-.
解得a=2或a=-.
13.定义:若对任意m,n∈A(m,n可以相等),都有1+mn≠0,则集合B={x|x=,m,n∈A}称为集合A的生成集.
(1)求集合A={3,4}的生成集B;
(2)若集合A={a,2},A的生成集为B,且B的子集个数为4,求实数a的值.
【解】 (1)当m=n=3时,==,
当m=n=4时,==,
当m=3,n=4或m=4,n=3时,
==,所以B={,,}.
(2)当m=n=2时,==,
当m=n=a时,=,
当m=2,n=a或m=a,n=2时,=.
因为B的子集个数为4,所以B中有2个元素,
所以=或=或=,
得a=±1或a=(a=2舍去).
当a=1时,B={,1},符合题意;
当a=-1时,B={-1,},符合题意;
当a=时,B={,},符合题意.
所以a=或±1.
应用创新
14.已知集合A={x|x2+2 024x+2 025=0},B={x|(x2+ax)(x2+4ax+4)=0},记非空集合S的元素个数为n(S),已知|n(A)-n(B)|=1,记实数a的所有可能取值构成的集合为M,则M的非空子集的个数是 .
【答案】 7
【解析】 对于x2+2 024x+2 025=0,
有Δ=2 0242-4×2 025>0,所以集合A={x|x2+2 024x+2 025=0}中有两个元素,
因为非空集合S的元素个数为n(S),
所以n(A)=2,
又因为|n(A)-n(B)|=1,所以n(B)=1或3.
当n(B)=1时,B={0},
所以x2+ax=0有唯一解,且x2+4ax+4=0无解,
则解得a=0.
当n(B)=3时,
若x2+ax=0有唯一解,
由上述分析可知x2+4ax+4=0无解,不满足题意;
若x2+ax=0有两解,则x2+4ax+4=0有唯一解,
则解得a=-1或1.
综上所述,M={-1,0,1},
所以M的非空子集的个数是23-1=7.
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1.2 集合的基本关系
1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的学习,提升数学抽象素养.2.借助子集、真子集的应用,提升逻辑推理素养.
【课程标准要求】
知识点一 Venn图
为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图.
定义 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的 元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是集合B的子集
记法 A B(或B A),读作“A包含于B”(或“B包含A”)
知识点二 子集的相关概念
任何一个
图示
性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集,即 ;
(2) 是任何集合的子集;
(3)对于集合A,B,C,若A B,且B C,则
A A
空集
A C
知识点三 集合相等
对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B ,记作A=B.
可用Venn图(如图)表示.
即对于两个集合A与B,若A B,且B A,则 A=B.
相等
定义 对于两个集合A与B,如果 ,且 ,那么称集合A是集合B的真子集
记法 A B(或B A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)
图示
性质 (1)空集是任何非空集合的真子集;
(2)对于集合A,B,C,若A B,且B C,则A C
知识点四 真子集的概念
A B
A≠B
[思考] 子集与真子集有什么区别
关键能力·素养培优
[例1] 判断下列各组中集合之间的关系.
(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数};
题型一 集合关系的判断
【解】 (1)因为若x是12的约数,则必定是36的约数,反之不成立,所以A B.
【解】 (2)用数轴表示集合,如图所示.
易知A B.
(2)A={x|-1·解题策略·
判断集合关系的方法
(1)观察法:一一列举观察.
(2)数形结合法:利用数轴或Venn图.
(3)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.
[变式训练] (1)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|x=2k-1,k∈Z},则( )
A.A B B.B A
C.A=B D.A∈B
C
【解析】 (1)因为集合A={x|x=2k+1,k∈Z},集合B={x|x=2k-1,k∈Z},所以集合A与集合B都是奇数集,所以A=B.故选C.
D
题型二 子集、真子集的个数问题
[例2] (1)已知集合A={0,1,2,3},则含有元素0的A的子集个数是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
D
【解析】 (1)集合A={0,1,2,3},
该子集必含有0,则含有元素0的A的子集个数是23=8.故选D.
(2)集合{a,b,c}的所有子集为 ,其中它的真子集有 个.
7
·解题策略·
(1)假设集合A中含有n个元素,则:
①A的子集有2n个;
②A的非空子集有(2n-1)个;
③A的真子集有(2n-1)个;
④A的非空真子集有(2n-2)个.
·解题策略·
(2)求给定集合的子集的两个注意点:
①按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写;
②在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
[变式训练] (1)集合A={x∈N|-5<2x-1<5}的子集个数为( )
A.4 B.7 C.8 D.16
C
【解析】 (1)因为A={x∈N|-5<2x-1<5}={x∈N|-2(2)满足{a} M {a,b,c,d}的集合M共有( )
A.2个 B.4个 C.8个 D.16个
C
【解析】 (2)因为{a} M {a,b,c,d},所以M可以为{a},{a,b},{a,c},{a,d},{a,b,c},
{a,b,d},{a,c,d},{a,b,c,d},共8个.故选C.
[例3] (1)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1题型三 由集合间的包含关系求参数
(2)已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B A,求实数m的取值集合.
·解题策略·
(1)不能忽视集合为 的情形.
(2)当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.
(3)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的取值范围(值)时,常采用数形结合的方法,借助数轴解答.
(2)若B A,求实数a的取值范围.
【解】 (2)若B A,由图可知1≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[1,2].
当堂检测
1.设a,b∈R,集合P={0,1,a},Q={-1,0,-b},若P=Q,则a+b等于( )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
A
【解析】 由题意,-b=1,a=-1,
则a=-1,b=-1,a+b=-2.故选A.
2.已知集合A={x∈N|-1A.A B B.A=B
C.B∈A D.B A
A
【解析】 集合A={x∈N|-1ACD
4.若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x>a},A B,则a的取值范围是 .
(-∞,-2)
【解析】 因为集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x>a},且A B,
所以a<-2,即a的取值范围是(-∞,-2).