1.1 集合的概念与表示
【课程标准要求】 1.通过集合的概念、集合的表示方法的学习,提升数学抽象素养.2.借助集合元素互异性的应用,提升逻辑推理素养.
知识点一 集合与元素的相关概念
概念 定义 表示
集合 把指定的某些对象的全体称为集合 通常用大写英文字母A,B,C,…表示
元素 集合中的每个对象叫作这个集合的元素 通常用小写英文字母a,b,c,…表示
知识点二 元素与集合的关系
知识点 关系 定义 记法 读法
属于 如果元素a在集合A中,就说元素a属于集合A a∈A a属 于A
不属于 如果元素a不在集合A中,就说元素a不属于集合A a A a不属 于A
知识点三 常用数集及其表示符号
定义 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 正实 数集
记法 N N+或N* Z Q R R+
知识点四 集合的表示方法
1.列举法
把集合中的元素一一列举出来写在花括号“{}”内表示集合的方法.一般可将集合表示为{a,b,c,…}.
2.描述法
通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征.
[思考1] 哪些集合适合用列举法表示
提示:(1)含有有限个元素且个数较少的集合.
(2)元素较多,元素的排列又呈现一定的规律,在不至于发生误解的情况下,也可列出几个元素作代表,其他元素用省略号表示,如N可表示为{0,1,2,…,n,…}.
(3)当集合所含元素不易表述时,用列举法表示更方便.如集合{x2,x2+y2,x3}.
[思考2] 什么类型的集合适合用描述法表示
提示:描述法可以看清集合的元素特征,一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合,或者元素不能一一列举的集合,宜用描述法.
知识点五 空集与集合的分类
1.空集
定义:不含任何元素的集合叫作空集.
用符号表示为.
[思考3] {0}与相同吗
提示:不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而不含有任何元素.
2.集合的分类
知识点六 区间的表示
设a,b是两个实数,且a集合表示 符号表示 数轴表示 说明
{x|a≤x≤b} [a,b] 闭区间
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a,+∞) 半开半闭区间
{x|x>a} (a,+∞) 开区间
{x|x≤b} (-∞,b] 半开半闭区间
{x|xR (-∞,+∞) 开区间
[思考4] (1)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗
(2)“∞”是数吗 以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端可以是中括号吗
提示:(1)不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.只有连续的数集才能用区间表示.
(2)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.
知识拓展
集合中元素的三个特性
特性 含义 示例
确定性 作为一个集合的元素,必须是确定的,不能确定的对象就不能构成集合 集合A={1,2,3},则1∈A,4 A
互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的 集合{x,x2-x}中的x应满足x≠x2-x,即x≠0且x≠2
无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分 集合{1,0}和{0,1}是同一个集合
题型一 集合的概念
[例1] 下列每组对象能否构成一个集合
(1)不超过20的非负数;
(2)方程x2+1=0在实数范围内的解;
(3)某校2025年在校的所有高个子同学;
(4)的近似值的全体.
【解】 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合.
(2)能构成集合.
(3)“高个子”无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合.
(4)“的近似值”标准不明确,因此不能判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.
判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
[变式训练] 下列每组对象,能构成集合的是( )
①中国各地最美的乡村;
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的自然数;
④2024年巴黎奥运会金牌获得者.
A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④
【答案】 B
【解析】 ①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④ 中的元素标准明确,均可构成集合.故选B.
题型二 元素与集合的关系
[例2] (1)下列所给关系正确的个数是( )
①2π∈R;② Q;③|-5| Z.
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,那么a为( )
A.2 B.2或4
C.4 D.0
【答案】 (1)C (2)B
【解析】 (1)①因为2π是实数,所以2π∈R正确;
②因为是无理数,所以 Q正确;
③因为|-5|=5为整数,所以|-5| Z错误.故选C.
(2)集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,a=2∈A,6-a=4∈A,所以a=2,
或者a=4∈A,6-a=2∈A,所以a=4.
综上所述,a=2或a=4.故选B.
判断元素与集合关系的两个关键点
判断一个元素是否属于一个集合,一要明确集合中所含元素的共同特征,二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征.
[变式训练] 设集合M是由不小于2的数组成的集合,a=,则下列关系中正确的是( )
A.a∈M B.a M C.a=M D.a≠M
【答案】 B
【解析】 集合M是由大于或等于2的数组成的集合.因为<2,所以a M.故选B.
题型三 集合中元素的特性
[例3] 已知集合A由三个元素1,a+9,a2+a组成,且6∈A,求实数a的值.
【解】 因为6∈A,
所以a+9=6或a2+a=6,
①若a+9=6,则a=-3,
当a=-3时,a2+a=6,不满足集合元素的互异性,
所以a=-3不符合题意.
②若a2+a=6,则a=-3或a=2,
由①知a=-3不符合题意,
当a=2时,a+9=11,符合题意.
综上可知,实数a的值为2.
(1)根据元素与集合的关系,列出关于参数的方程,解出参数的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验.
(2)利用元素与集合的关系解题时,要注意分类讨论思想的应用.
[变式训练] 已知集合A含有两个元素a和a2,若 1∈A,则实数a的值为 .
【答案】 -1
【解析】 若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A中有重复元素,不符合集合中元素的互异性,所以a≠1;
当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性.所以a=-1.
题型四 集合的表示方法
角度1 用列举法表示集合
[例4] 用列举法表示下列集合.
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
(3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.
【解】 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,则A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,则 B={0,1}.
(3)由得
所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1,4),所以D={(1,4)}.
用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.
(3)用花括号括起来.
[变式训练] 用列举法表示下列集合.
(1)不大于10的所有素数组成的集合;
(2)不大于7的所有非负偶数组成的集合;
(3)方程2x2-x-1=0的所有实数解组成的集合.
【解】 (1)因为不大于10的所有素数分别是2,3,5,7,所以该集合可用列举法表示为{2,3,5,7}.
(2)因为不大于7的所有非负偶数分别是0,2,4,6,所以该集合可用列举法表示为{0,2,4,6}.
(3)因为方程2x2-x-1=0的实数解分别是-,1,所以该集合可用列举法表示为{-,1}.
角度2 用描述法表示集合
[例5] 用描述法表示下列集合.
(1)正偶数集;
(2)被3除余2的正整数组成的集合;
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
【解】 (1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N+,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N+}.
(2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但所求元素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整数组成的集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
用描述法表示集合时的注意事项
(1)竖线前面的x∈R可简记为x.
(2)竖线不可省略.
(3)竖线后关于集合中元素共同特征的表述,可以是文字语言,也可以是数学符号语言,能用数学符号表示的尽量用数学符号表示.
(4)同一个集合,描述法表示可以不唯一.
[变式训练] 用描述法表示下列集合.
(1)所有被5整除的数组成的集合;
(2)方程6x2-5x+1=0的所有实数解组成的集合;
(3)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合.
【解】 (1){x|x=5n,n∈Z}.
(2){x∈R|6x2-5x+1=0}.
(3){(x,y)|y=-2x2+x}.
当堂检测
1.下列四组对象中能构成集合的是( )
A.某校爱运动的学生
B.在数轴上与原点非常近的点
C.很小的实数
D.倒数等于本身的数
【答案】 D
【解析】 集合中的元素具有确定性,对于A,B,C,“爱运动”“非常近”“很小”都是模糊的概念,不符合确定性;对于D,符合集合的定义.故选D.
2.给出下列关系,其中正确的个数为( )
①∈R;②2∈Z;③|-3| N*;④|-|∈Q.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 对于①,R表示实数集,所以∈R,故①正确;
对于②,Z表示整数集,所以2∈Z,故②正确;
对于③,N*表示正整数集,所以|-3|∈N*,故③错误;
对于④,Q表示有理数集,所以|-| Q,故④错误.故选B.
3.集合{x∈N|x+1≤2}的另一种表示方法为( )
A.{0,1,2,3} B.{0,1,2}
C.{0,1} D.{1,2}
【答案】 C
【解析】 用列举法表示集合{x∈N|x+1≤2}为{0,1}.故选C.
4.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素,则a的取值集合为( )
A.{1} B.{0}
C.{0,-1,1} D.{0,1}
【答案】 D
【解析】 ①当a=0时,A={-},此时满足条件;
②当a≠0时,A中只有一个元素,
故Δ=4-4a=0,解得a=1.
综上,a的取值集合为{0,1}.
故选D.
5.用区间表示下列数集.
(1){x|x≥1}= ;
(2){x|2(3){x|x≤-5}= ;
(4){x|-1≤x<2}= .
【答案】 (1)[1,+∞) (2)(2,3] (3)(-∞,-5]
(4)[-1,2)
基础巩固
1.下列各组对象不能构成集合的是( )
A.中国古代四大发明
B.所有无理数
C.2025年高考数学难题
D.小于π的正整数
【答案】 C
【解析】 对于选项A,“中国古代四大发明”是指造纸术、指南针、火药、印刷术,满足集合定义,所以能构成集合,故A错误;
对于选项B,“所有无理数”定义明确,所以能构成集合,故B错误;
对于选项C,“2025年高考数学难题”定义不明确,不具有确定性,不符合集合的定义,所以不能构成集合,故C正确;
对于选项D,“小于π的正整数”只有1,2,3,具有确定性,满足集合定义,所以能构成集合,故D错误.故选C.
2.已知区间[2a-1,11],则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,6) B.(6,+∞)
C.(1,6) D.(-1,6)
【答案】 A
【解析】 由题意可知,2a-1<11,解得a<6.故选A.
3.方程组的解集是( )
A.{(1,-1),(-1,1)} B.{(1,1),(-2,2)}
C.{(1,-1),(-2,2)} D.{(2,-2),(-2,2)}
【答案】 C
【解析】 方程组解得或所以方程组的解集是{(1,-1),(-2,2)}.故选C.
4.若集合A={x-3,x-6,4},且7∈A,则x等于( )
A.10或13 B.13
C.4或7 D.7
【答案】 B
【解析】 由集合A={x-3,x-6,4},且7∈A,
得x-3=7或x-6=7.
当x-3=7,即x=10时,x-6=4,此时x-6与4重复,则x≠10.
当x-6=7,即x=13时,A={10,7,4}.
综上所述,x=13.故选B.
5.若集合A={-3,-2,0,1,2,3,7},B={x|x∈A,-x A},则B等于( )
A.{0,1,7} B.{1,7}
C.{-2,0,7} D.{-2,1,7}
【答案】 B
【解析】 集合A={-3,-2,0,1,2,3,7},因为B={x|x∈A,-x A},所以B={1,7}.故选B.
6.(多选题)下列说法正确的有( )
A.某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B.集合A={x|y=x2+1}与集合B={(x,y)|y=x2+1}是相同的集合
C.由1,,,|-|,0.5这些数组成的集合有4个元素
D.在平面直角坐标系中,第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点(x,y)组成的点集,可以表示成集合{(x,y)|xy<0,x,y∈R}
【答案】 CD
【解析】 对于选项A,“视力差”标准不确定,不满足元素的确定性,故选项A错误;
对于选项B,集合A={x|y=x2+1}是数集,集合B={(x,y)|y=x2+1}是点集,故选项B错误;
对于选项C,因为|-|=0.5,由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素,故选项C正确;
对于选项D,因为第Ⅱ或第Ⅳ象限内的点的横、纵坐标异号,即xy<0,所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点(x,y)组成的点集,可以表示成集合{(x,y)|xy<0,x,y∈R},故选项D正确.
故选C,D.
7.集合A={x|x≤5}用区间表示为 .
【答案】 (-∞,5]
8.用描述法表示图中阴影部分(包括边界)为 .
【答案】 {(x,y)|-2≤x≤3,-1≤y≤2,且xy≥0}
9.用适当的方法表示下列集合.
(1)方程组的解集;
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合;
(3)方程x2-4x+4=0的实数根组成的集合;
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
【解】 (1)解方程组得
故解集可用描述法表示为{(x,y)|x=4,y=-2},
也可用列举法表示为{(4,-2)}.
(2)因为所有小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个,分别为3,5,7,11,故可用列举法表示为{3,5,7,11}.
(3)方程x2-4x+4=0的实数根为2,用列举法表示为{2}.
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中,代表元素为y,是实数,用描述法表示为{y|y=x2+2x-10}或{y|y≥-11}或[-11,+∞).
10.设a,b,c为实数,集合S={x|(x+a)(x2+bx+c)=0,x∈R}.
(1)若a=2,b=1,c=2,求S;
(2)若S={2},求a,b,c满足的条件.
【解】 (1)若a=2,b=1,c=2,
则S={x|(x+2)(x2+x+2)=0}={-2}.
(2)因为S={2},所以方程x2+bx+c=0恰有两个相同的根,都为2或无实数根,且方程x+a=0的根为2,
所以a=-2,b2-4c=0,4+2b+c=0或者a=-2,b2-4c<0,所以a=-2,b=-4,c=4或a=-2,b2<4c.
能力提升
11.若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B中的元素个数为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
【答案】 D
【解析】 通过列举,可知x,y∈A的数对共9对,
即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),因为B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},
所以易得(2,3),(3,2),(3,3)满足x+y-4>0,所以集合B中的元素共3个.
故选D.
12.已知集合A={x|ax2-3x+1=0,a∈R},若集合A中至多只有一个元素,则a的取值范围是 .
【答案】 {0}∪[,+∞)
【解析】 当a=0时,方程可化为-3x+1=0,
解得x=,符合题意;
当a≠0时,Δ=9-4a≤0,解得a≥.
综上所述,a的取值范围是{0}∪[,+∞).
13.已知M是满足下列条件的集合:①0∈M,1∈M;②若x,y∈M,则x-y∈M;③若x∈M且x≠0,则∈M.
(1)判断∈M是否正确,并说明理由;
(2)求证:若x,y∈M,则x+y∈M;
(3)求证:若x∈M,则x2∈M.
(1)【解】 ∈M正确,理由如下:
由①知0∈M,1∈M,由②可得0-1=-1∈M,1-(-1)=2∈M,由③可得∈M.
(2)【证明】 由①知0∈M,由题意y∈M,
所以由②可知0-y=-y∈M,又x∈M,
所以x-(-y)=x+y∈M,即证.
(3)【证明】 x∈M,1∈M,x≠0,x≠1,由②可知x-1∈M,由③可知∈M,∈M,
所以-∈M,即∈M,
即∈M,所以x(x-1)∈M,
由(2)结论可知x(x-1)+x∈M,即x2∈M,即证.
应用创新
14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}
可倒数集(填“是”或“不是”).试写出一个含三个元素的可倒数集 .
【答案】 不是 {1,2,}(答案不唯一)
【解析】 由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A.若集合中有三个元素,故必有一个元素a=,即a=±1,故可取的集合有{1,2,},{-1,3,}等.
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第一章 预备知识
§1 集 合
1.1 集合的概念与表示
1.通过集合的概念、集合的表示方法的学习,提升数学抽象素养.2.借助集合元素互异性的应用,提升逻辑推理素养.
【课程标准要求】
知识点一 集合与元素的相关概念
概念 定义 表示
集合 把指定的某些对象的 称为集合 通常用大写英文字母A,B,C,…表示
元素 集合中的每个 叫作这个集合的元素 通常用小写英文字母a,b,c,…表示
全体
对象
知识点 关系 定义 记法 读法
属于 如果元素a在集合A中,就说元素a 集合A a属
于A
不属于 如果元素a不在集合A中,就说元素a 集合A a不属
于A
知识点二 元素与集合的关系
属于
a∈A
不属于
a A
知识点三 常用数集及其表示符号
定义 自然
数集 正整
数集 整数集 有理
数集 实数集 正实
数集
记法 R+
N
N+或N*
Z
Q
R
知识点四 集合的表示方法
1.列举法
把集合中的元素 写在花括号“{}”内表示集合的方法.一般可将集合表示为{a,b,c,…}.
2.描述法
通过描述元素满足的条件表示集合的方法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般 及 ,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的 .
一一列举出来
符号
范围
共同特征
[思考1] 哪些集合适合用列举法表示
提示:(1)含有有限个元素且个数较少的集合.
(2)元素较多,元素的排列又呈现一定的规律,在不至于发生误解的情况下,也可列出几个元素作代表,其他元素用省略号表示,如N可表示为{0,1,2,…,n,…}.
(3)当集合所含元素不易表述时,用列举法表示更方便.如集合{x2,x2+y2,x3}.
[思考2] 什么类型的集合适合用描述法表示
提示:描述法可以看清集合的元素特征,一般含较多元素或无数多个元素(无限集)且排列无明显规律的集合,或者元素不能一一列举的集合,宜用描述法.
知识点五 空集与集合的分类
1.空集
定义:不含 元素的集合叫作空集.
用符号表示为 .
任何
[思考3] {0}与 相同吗
提示:不同.{0}表示一个集合,且集合中有且仅有一个元素0;而 不含有任何元素.
2.集合的分类
集合表示 符号表示 数轴表示 说明
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a{x|a≤x闭区间
知识点六 区间的表示
设a,b是两个实数,且a[a,b]
[a,b)
{x|a闭区间
{x|x≥a} 半开半闭区间
{x|x>a} (a,+∞) 开区间
[a,+∞)
{x|x≤b} (-∞,b] 半开半闭区间
{x|xR (-∞,+∞) 开区间
[思考4] (1)区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗
提示:(1)不是任何数集都能用区间表示,如集合{0}就不能用区间表示.只有连续的数集才能用区间表示.
(2)“∞”是数吗 以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端可以是中括号吗
提示:(2)“∞”读作“无穷大”,是一个符号,不是数.以“-∞”或“+∞”作为区间一端时,这一端必须是小括号.
『知识拓展』
集合中元素的三个特性
特性 含义 示例
确定性 作为一个集合的元素,必须是确定的,不能确定的对象就不能构成集合 集合A={1,2,3},则1∈A,4 A
互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的 集合{x,x2-x}中的x应满足x≠x2-x,即x≠0且x≠2
无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分 集合{1,0}和{0,1}是同一个集合
[例1] 下列每组对象能否构成一个集合
(1)不超过20的非负数;
题型一 集合的概念
【解】 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合.
【解】 (2)能构成集合.
(2)方程x2+1=0在实数范围内的解;
【解】 (3)“高个子”无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合.
(3)某校2025年在校的所有高个子同学;
·解题策略·
判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准,使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是“模棱两可”的,就不能构成集合.
[变式训练] 下列每组对象,能构成集合的是( )
①中国各地最美的乡村;
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的自然数;
④2024年巴黎奥运会金牌获得者.
A.①③④ B.②③④ C.②③ D.②④
B
【解析】 ①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均可构成集合.故选B.
题型二 元素与集合的关系
C
【解析】 (1)①因为2π是实数,所以2π∈R正确;
③因为|-5|=5为整数,所以|-5| Z错误.故选C.
(2)已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,那么a为( )
A.2 B.2或4
C.4 D.0
B
【解析】 (2)集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A时,有6-a∈A,a=2∈A,6-a=
4∈A,所以a=2,
或者a=4∈A,6-a=2∈A,所以a=4.
综上所述,a=2或a=4.故选B.
·解题策略·
判断元素与集合关系的两个关键点
判断一个元素是否属于一个集合,一要明确集合中所含元素的共同特征,二要看该元素是否满足该集合中元素的共同特征.
B
[例3] 已知集合A由三个元素1,a+9,a2+a组成,且6∈A,求实数a的值.
题型三 集合中元素的特性
【解】 因为6∈A,
所以a+9=6或a2+a=6,
①若a+9=6,则a=-3,
当a=-3时,a2+a=6,不满足集合元素的互异性,
所以a=-3不符合题意.
②若a2+a=6,则a=-3或a=2,
由①知a=-3不符合题意,
当a=2时,a+9=11,符合题意.
综上可知,实数a的值为2.
·解题策略·
(1)根据元素与集合的关系,列出关于参数的方程,解出参数的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验.
(2)利用元素与集合的关系解题时,要注意分类讨论思想的应用.
[变式训练] 已知集合A含有两个元素a和a2,若 1∈A,则实数a的值为 .
【解析】 若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A中有重复元素,不符合集合中元素的互异性,所以a≠1;
当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性.所以a=-1.
-1
角度1 用列举法表示集合
[例4] 用列举法表示下列集合.
(1)小于10的所有自然数组成的集合;
题型四 集合的表示方法
【解】 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,则A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合;
【解】 (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,则 B={0,1}.
(3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合D.
·解题策略·
用列举法表示集合的三个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次.
(3)用花括号括起来.
[变式训练] 用列举法表示下列集合.
(1)不大于10的所有素数组成的集合;
【解】 (1)因为不大于10的所有素数分别是2,3,5,7,所以该集合可用列举法表示为{2,3,5,7}.
(2)不大于7的所有非负偶数组成的集合;
【解】 (2)因为不大于7的所有非负偶数分别是0,2,4,6,所以该集合可用列举法表示为{0,2,4,6}.
(3)方程2x2-x-1=0的所有实数解组成的集合.
角度2 用描述法表示集合
[例5] 用描述法表示下列集合.
(1)正偶数集;
【解】 (1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈
N+,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N+}.
(2)被3除余2的正整数组成的集合;
【解】 (2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但所求元素为正整数,故x=3n+2,n∈N,所以被3除余2的正整数组成的集合可表示为{x|x=3n+2,
n∈N}.
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.
【解】 (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故坐标轴上的点组成的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.
·解题策略·
用描述法表示集合时的注意事项
(1)竖线前面的x∈R可简记为x.
(2)竖线不可省略.
(3)竖线后关于集合中元素共同特征的表述,可以是文字语言,也可以是数学符号语言,能用数学符号表示的尽量用数学符号表示.
(4)同一个集合,描述法表示可以不唯一.
[变式训练] 用描述法表示下列集合.
(1)所有被5整除的数组成的集合;
【解】 (1){x|x=5n,n∈Z}.
(2)方程6x2-5x+1=0的所有实数解组成的集合;
【解】(2){x∈R|6x2-5x+1=0}.
(3)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合.
【解】 (3){(x,y)|y=-2x2+x}.
当堂检测
1.下列四组对象中能构成集合的是( )
A.某校爱运动的学生
B.在数轴上与原点非常近的点
C.很小的实数
D.倒数等于本身的数
D
【解析】 集合中的元素具有确定性,对于A,B,C,“爱运动”“非常近”“很小”都是模糊的概念,不符合确定性;对于D,符合集合的定义.故选D.
2.给出下列关系,其中正确的个数为( )
B
3.集合{x∈N|x+1≤2}的另一种表示方法为( )
A.{0,1,2,3} B.{0,1,2}
C.{0,1} D.{1,2}
C
【解析】 用列举法表示集合{x∈N|x+1≤2}为{0,1}.故选C.
4.若集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素,则a的取值集合为( )
A.{1} B.{0}
C.{0,-1,1} D.{0,1}
D
②当a≠0时,A中只有一个元素,
故Δ=4-4a=0,解得a=1.
综上,a的取值集合为{0,1}.
故选D.
5.用区间表示下列数集.
(1){x|x≥1}= ;
(2){x|2(3){x|x≤-5}= ;
(4){x|-1≤x<2}= .
[1,+∞)
(2,3]
(-∞,-5]
[-1,2)1.1 集合的概念与表示
基础巩固
1.下列各组对象不能构成集合的是( )
A.中国古代四大发明
B.所有无理数
C.2025年高考数学难题
D.小于π的正整数
【答案】 C
【解析】 对于选项A,“中国古代四大发明”是指造纸术、指南针、火药、印刷术,满足集合定义,所以能构成集合,故A错误;
对于选项B,“所有无理数”定义明确,所以能构成集合,故B错误;
对于选项C,“2025年高考数学难题”定义不明确,不具有确定性,不符合集合的定义,所以不能构成集合,故C正确;
对于选项D,“小于π的正整数”只有1,2,3,具有确定性,满足集合定义,所以能构成集合,故D错误.故选C.
2.已知区间[2a-1,11],则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,6) B.(6,+∞)
C.(1,6) D.(-1,6)
【答案】 A
【解析】 由题意可知,2a-1<11,解得a<6.故选A.
3.方程组的解集是( )
A.{(1,-1),(-1,1)} B.{(1,1),(-2,2)}
C.{(1,-1),(-2,2)} D.{(2,-2),(-2,2)}
【答案】 C
【解析】 方程组解得或所以方程组的解集是{(1,-1),(-2,2)}.故选C.
4.若集合A={x-3,x-6,4},且7∈A,则x等于( )
A.10或13 B.13
C.4或7 D.7
【答案】 B
【解析】 由集合A={x-3,x-6,4},且7∈A,
得x-3=7或x-6=7.
当x-3=7,即x=10时,x-6=4,此时x-6与4重复,则x≠10.
当x-6=7,即x=13时,A={10,7,4}.
综上所述,x=13.故选B.
5.若集合A={-3,-2,0,1,2,3,7},B={x|x∈A,-x A},则B等于( )
A.{0,1,7} B.{1,7}
C.{-2,0,7} D.{-2,1,7}
【答案】 B
【解析】 集合A={-3,-2,0,1,2,3,7},因为B={x|x∈A,-x A},所以B={1,7}.故选B.
6.(多选题)下列说法正确的有( )
A.某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合
B.集合A={x|y=x2+1}与集合B={(x,y)|y=x2+1}是相同的集合
C.由1,,,|-|,0.5这些数组成的集合有4个元素
D.在平面直角坐标系中,第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点(x,y)组成的点集,可以表示成集合{(x,y)|xy<0,x,y∈R}
【答案】 CD
【解析】 对于选项A,“视力差”标准不确定,不满足元素的确定性,故选项A错误;
对于选项B,集合A={x|y=x2+1}是数集,集合B={(x,y)|y=x2+1}是点集,故选项B错误;
对于选项C,因为|-|=0.5,由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素,故选项C正确;
对于选项D,因为第Ⅱ或第Ⅳ象限内的点的横、纵坐标异号,即xy<0,所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点(x,y)组成的点集,可以表示成集合{(x,y)|xy<0,x,y∈R},故选项D正确.
故选C,D.
7.集合A={x|x≤5}用区间表示为 .
【答案】 (-∞,5]
8.用描述法表示图中阴影部分(包括边界)为 .
【答案】 {(x,y)|-2≤x≤3,-1≤y≤2,且xy≥0}
9.用适当的方法表示下列集合.
(1)方程组的解集;
(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合;
(3)方程x2-4x+4=0的实数根组成的集合;
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
【解】 (1)解方程组得
故解集可用描述法表示为{(x,y)|x=4,y=-2},
也可用列举法表示为{(4,-2)}.
(2)因为所有小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个,分别为3,5,7,11,故可用列举法表示为{3,5,7,11}.
(3)方程x2-4x+4=0的实数根为2,用列举法表示为{2}.
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中,代表元素为y,是实数,用描述法表示为{y|y=x2+2x-10}或{y|y≥-11}或[-11,+∞).
10.设a,b,c为实数,集合S={x|(x+a)(x2+bx+c)=0,x∈R}.
(1)若a=2,b=1,c=2,求S;
(2)若S={2},求a,b,c满足的条件.
【解】 (1)若a=2,b=1,c=2,
则S={x|(x+2)(x2+x+2)=0}={-2}.
(2)因为S={2},所以方程x2+bx+c=0恰有两个相同的根,都为2或无实数根,且方程x+a=0的根为2,
所以a=-2,b2-4c=0,4+2b+c=0或者a=-2,b2-4c<0,所以a=-2,b=-4,c=4或a=-2,b2<4c.
能力提升
11.若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B中的元素个数为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
【答案】 D
【解析】 通过列举,可知x,y∈A的数对共9对,
即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),因为B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},
所以易得(2,3),(3,2),(3,3)满足x+y-4>0,所以集合B中的元素共3个.
故选D.
12.已知集合A={x|ax2-3x+1=0,a∈R},若集合A中至多只有一个元素,则a的取值范围是 .
【答案】 {0}∪[,+∞)
【解析】 当a=0时,方程可化为-3x+1=0,
解得x=,符合题意;
当a≠0时,Δ=9-4a≤0,解得a≥.
综上所述,a的取值范围是{0}∪[,+∞).
13.已知M是满足下列条件的集合:①0∈M,1∈M;②若x,y∈M,则x-y∈M;③若x∈M且x≠0,则∈M.
(1)判断∈M是否正确,并说明理由;
(2)求证:若x,y∈M,则x+y∈M;
(3)求证:若x∈M,则x2∈M.
(1)【解】 ∈M正确,理由如下:
由①知0∈M,1∈M,由②可得0-1=-1∈M,1-(-1)=2∈M,由③可得∈M.
(2)【证明】 由①知0∈M,由题意y∈M,
所以由②可知0-y=-y∈M,又x∈M,
所以x-(-y)=x+y∈M,即证.
(3)【证明】 x∈M,1∈M,x≠0,x≠1,由②可知x-1∈M,由③可知∈M,∈M,
所以-∈M,即∈M,
即∈M,所以x(x-1)∈M,
由(2)结论可知x(x-1)+x∈M,即x2∈M,即证.
应用创新
14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}
可倒数集(填“是”或“不是”).试写出一个含三个元素的可倒数集 .
【答案】 不是 {1,2,}(答案不唯一)
【解析】 由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A.若集合中有三个元素,故必有一个元素a=,即a=±1,故可取的集合有{1,2,},{-1,3,}等.
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