2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
【课程标准要求】 1.通过全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义的学习,提升逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的真假性的判定,提升逻辑推理、数学运算素养.
知识点一 全称量词命题与全称量词
1.在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.
2.在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“ ”表示,读作“对任意的”.
3.全称量词命题“对M中任意的x,有p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M,p(x)”.其中,M是给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.
知识点二 存在量词命题与存在量词
1.在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.
2.在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“ ”表示,读作
“存在”.
3.存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符合简记为“ x∈M,p(x)”.其中,M是给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等;
(2)存在一个四边形有外接圆;
(3)二次方程都存在实数根;
(4)过平面内两点有且只有一条直线.
【解】 (1)命题完整的表述为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题.
(2)命题为存在量词命题.
(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题.
(4)命题完整的表述为“过平面内任意两点有且只有一条直线”,故为全称量词命题.
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
[变式训练] (1)下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是180°.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)下列命题是存在量词命题的是( )
A.平行四边形的对边相等
B.同位角相等
C.任何实数都存在相反数
D.存在实数没有倒数
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)根据全称量词命题的定义可得①②④中的命题指的是全体对象具有某种性质,故①②④是全称量词命题,③中命题指的是部分对象具有某种性质,不是全称量词命题.故选D.
(2)根据全称量词和存在量词的定义可知,“平行四边形的对边相等”是所有平行四边形的性质,A是全称量词命题;“同位角相等”是所有的同位角都相等,B是全称量词命题;“任何实数都存在相反数”中的“任何”是全称量词,C是全称量词命题;“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词,D是存在量词命题.故选D.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
[例2] 判断下列命题的真假.
(1) x∈Z,x2=x;
(2)存在一个对角线垂直的四边形不是平行四边形;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4) x∈N,x2>0.
【解】 (1)因为0∈Z,且02=0,
所以命题“ x∈Z,x2=x”是真命题.
(2)由对角线垂直不平分的四边形都不是平行四边形知,它是真命题.
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(4)因为0∈N,02=0,所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
全称量词命题和存在量词命题的真假判断
(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对于给定集合的每一个元素x,命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假即可.
(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真即可;要判断一个存在量词命题为假,必须对于给定集合的每一个元素x,命题p(x)为假.
[变式训练] (多选题)下列命题为真命题的是( )
A. x∈R,4x2-4x+3≥0
B. x∈{1,-1,0},2x+1>0
C. x∈N,使x2≤x
D. x∈Z,4x2-1=0
【答案】 AC
【解析】 对于A,4x2-4x+3=(2x-1)2+2≥0,是真命题;
对于B,当x=-1时,2x+1=-1<0,是假命题;
对于C,当x=0时,满足x2≤x,是真命题;
对于D,4x2-1=0的解为x=±,都不是整数,是假命题.故选AC.
题型三 由含量词命题的真假求参数取值范围
[例3] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B≠.
(1)若命题p: x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围;
(2)若命题q: x∈A,x∈B是真命题,求m的取值范围.
【解】 (1)由于命题p: x∈B,x∈A是真命题,
所以B A,又B≠,
所以解得2≤m≤3,
所以m的取值范围是[2,3].
(2)由于命题q为真,则A∩B≠,
因为B≠,所以m≥2,
所以解得2≤m≤4,
所以m的取值范围是[2,4].
根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
[变式训练] 设命题p: x∈R,x2-2x+m-3=0,命题q: x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0.若p,q都为真命题,求实数m的取值范围.
【解】 若命题p: x∈R,x2-2x+m-3=0为真命题,则Δ=4-4(m-3)≥0,解得m≤4;
若命题q: x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠0为真命题,则Δ=4(m-5)2-4(m2+19)<0,解得m>.
又p,q都为真命题,所以实数m的取值范围是
{m|m≤4}∩{m|m>}={m|当堂检测
1.下列命题是全称量词命题的是( )
A.有些平行四边形是菱形
B.至少有一个整数x,使得x2+3x是质数
C.每个四边形的内角和都是360°
D. x∈R,x2+x+2=0
【答案】 C
【解析】 根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知,A,B,D是存在量词命题,C是全称量词命题.故选C.
2.下列命题是存在量词命题的是( )
A. x∈R,x2>0
B. x∈R,x2-2≤0
C.平行四边形的对边平行
D.矩形的任一组对边相等
【答案】 B
【解析】 根据全称量词命题和存在量词命题的定义,可知A,C,D是全称量词命题,B是存在量词命题.故选B.
3.(多选题)已知命题p: x∈{x|1≤x≤3},x-a≥0,若命题p是真命题,则实数a的值可以是( )
A.0 B.1 C.2 D.-2
【答案】 ABD
【解析】 根据题意可知 x∈{x|1≤x≤3},不等式x≥a恒成立,可得1≥a,即a≤1.因此实数a的值可以是0,1,-2.故选A,B,D.
4.命题p: x∈R,x2+2x-3=0是 (选填“全称量词命题”或“存在量词命题”),它是 命题(选填“真”或“假”).
【答案】 存在量词命题 真
基础巩固
1.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数;
②能被6整除的数也能被3整除;
③对于任意x∈R,总有|x|≥0.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 B
【解析】 命题①含有存在量词,是存在量词命题;命题②可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量词命题;而命题③是全称量词命题.故只有一个存在量词命题.故选B.
2.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为( )
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy成立
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy成立
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≤2xy成立
【答案】 A
【解析】 本题中的命题仅保留了结论,省略了条件“任意x,y∈R”,改成全称量词命题为“对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立”.故选A.
3.(多选题)下列命题为真命题的是( )
A.若x,y∈R且x+y>2,则x,y至少有一个大于1
B.若a∈Z,则-a∈Z
C.a+b=0的充要条件是=-1
D. x∈R,x2+2≤0
【答案】 AB
【解析】 假设x,y都不大于1,即x≤1,y≤1,所以x+y≤2,因此x+y>2不成立,所以假设不成立,因此选项A是真命题;因为所有的整数的相反数还是整数,所以选项B是真命题;当a=b=0时,代数式没有意义,因此选项C是假命题;因为 x∈R,都有x2+2>0,所以选项D是假命题.故选A,B.
4.有四个命题:①末位数是偶数的整数能被2整除;②有的菱形是正方形;③存在实数x,x>0;④对于任意实数x,2x+1是奇数.下列说法正确的是( )
A.四个命题都是真命题
B.①②是全称量词命题
C.②③是存在量词命题
D.四个命题中有两个是假命题
【答案】 C
【解析】 ①④为全称量词命题;②③为存在量词命题;①②③为真命题;④为假命题.故
选C.
5.下列结论正确的是( )
A. n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是真命题
B. n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是真命题
C. n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是真命题
D. n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是假命题
【答案】 C
【解析】 当n=1时,2n2+5n+2不能被2整除,当n=2时,2n2+5n+2能被2整除,所以A,B,D错误,C项正确.故选C.
6.命题p: x∈[1,9],使ax-36≤0,若p是真命题,则实数a的取值范围为( )
A.{a|a>4} B.{a|a≤4}
C.{a|a≤36} D.{a|a>36}
【答案】 C
【解析】 因为x∈[1,9],所以由ax-36≤0得a≤.
因为x∈[1,9],所以∈[4,36].
因为p是真命题,所以a≤36.故选C.
7.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是 (选填“全称量词命题”或“存在量词命题”),用符号表示为 .
【答案】 存在量词命题 x,y∈R,x+y>1
8.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,3]
【解析】 对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3.故实数a的取值范围是(-∞,3].
9.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假:
(1)有的集合中存在两个相同的元素;
(2) a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3;
(3)存在一个x∈R,使=0;
(4)对任意直角三角形的两个锐角A,B都有 sin A=cos B.
【解】 (1)是存在量词命题,由集合中元素的互异性可知,此命题是假命题.
(2)是全称量词命题, a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,是真命题.
(3)是存在量词命题,因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.
(4)是全称量词命题,根据锐角三角函数的定义可知,对任意直角三角形的两个锐角A,B都有 sin A=cos B,是真命题.
10.已知命题“ x∈{x|-3≤x≤2},3a+x-2=0”为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 由3a+x-2=0,得3a-2=-x.
因为-3≤x≤2,所以-2≤-x≤3.
所以-2≤3a-2≤3,即0≤a≤.
故实数a的取值范围是{a|0≤a≤}.
能力提升
11.若“ x∈R,x2>m”是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.[0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,0] D.(-∞,0)
【答案】 D
【解析】 x∈R,x2≥0,若“ x∈R,x2>m”是真命题,则m<0.故选D.
12.下列语句中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 (填序号).
①菱形的四条边相等.
②角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等.
③ x∈R,x2+2>0.
④至少有一个负整数是奇数.
⑤所有三角形都有外接圆吗
【答案】 ①②③ ④
【解析】 ①②③是全称量词命题;④是存在量词命题;⑤不是命题.
13.设q(x):|x-1|=1-x.
(1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题;
(2)写出“ a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题;
(3)写出“ a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题.
【解】 (1)q(1):|1-1|=1-1,真命题.
q(2):|2-1|=1,1-2=-1,|2-1|≠1-2,假命题.
(2) a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知q(2)为假命题,所以“ a∈R,|a-1|=1-a”为假命题.
(3) a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知q(1)为真命题,
所以“ a∈R,|a-1|=1-a”为真命题.
应用创新
14.已知A={x|1≤x≤2},命题“ x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5
【答案】 C
【解析】 当该命题是真命题时,只需a≥(x2)max,x∈A,A={x|1≤x≤2}.又y=x2在1≤x≤2上的最大值是4,所以a≥4.因为a≥4a≥5,a≥5 a≥4.故选C.
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2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
1.通过全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义的学习,提升逻辑推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的真假性的判定,提升逻辑推理、数学运算素养.
【课程标准要求】
知识点一 全称量词命题与全称量词
1.在给定集合中,断言所有元素都具有 的命题叫作全称量词命题.
2.在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“ ”表示,读作“对任意的”.
3.全称量词命题“对M中任意的x,有p(x)成立”可用符号简记为“ ”.其中,M是给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.
同一种性质
x∈M,p(x)
知识点二 存在量词命题与存在量词
1.在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作 命题.
2.在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“ ”表示,读作“存在”.
3.存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符合简记为“ .
”.其中,M是给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.
存在量词
x∈M,
p(x)
[例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1)梯形的对角线相等;
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【解】 (1)命题完整的表述为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题.
(2)存在一个四边形有外接圆;
【解】 (2)命题为存在量词命题.
(3)二次方程都存在实数根;
【解】 (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题.
(4)过平面内两点有且只有一条直线.
【解】 (4)命题完整的表述为“过平面内任意两点有且只有一条直线”,故为全称量词命题.
·解题策略·
判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题.
[变式训练] (1)下列命题中全称量词命题的个数是( )
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是180°.
A.0 B.1 C.2 D.3
D
【解析】 (1)根据全称量词命题的定义可得①②④中的命题指的是全体对象具有某种性质,故①②④是全称量词命题,③中命题指的是部分对象具有某种性质,不是全称量词命题.故选D.
(2)下列命题是存在量词命题的是( )
A.平行四边形的对边相等
B.同位角相等
C.任何实数都存在相反数
D.存在实数没有倒数
D
【解析】 (2)根据全称量词和存在量词的定义可知,“平行四边形的对边相等”是所有平行四边形的性质,A是全称量词命题;“同位角相等”是所有的同位角都相等,B是全称量词命题;“任何实数都存在相反数”中的“任何”是全称量词,C是全称量词命题;“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词,D是存在量词命题.故选D.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
[例2] 判断下列命题的真假.
(1) x∈Z,x2=x;
【解】 (1)因为0∈Z,且02=0,
所以命题“ x∈Z,x2=x”是真命题.
【解】 (2)由对角线垂直不平分的四边形都不是平行四边形知,它是真命题.
(2)存在一个对角线垂直的四边形不是平行四边形;
【解】 (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
【解】 (4)因为0∈N,02=0,所以命题“ x∈N,x2>0”是假命题.
(4) x∈N,x2>0.
·解题策略·
全称量词命题和存在量词命题的真假判断
(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对于给定集合的每一个元素x,命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假即可.
(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真即可;要判断一个存在量词命题为假,必须对于给定集合的每一个元素x,命题p(x)为假.
[变式训练] (多选题)下列命题为真命题的是( )
A. x∈R,4x2-4x+3≥0
B. x∈{1,-1,0},2x+1>0
C. x∈N,使x2≤x
D. x∈Z,4x2-1=0
AC
题型三 由含量词命题的真假求参数取值范围
(2)若命题q: x∈A,x∈B是真命题,求m的取值范围.
·解题策略·
根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围.
[变式训练] 设命题p: x∈R,x2-2x+m-3=0,命题q: x∈R,x2-2(m-5)x+m2+19≠
0.若p,q都为真命题,求实数m的取值范围.
当堂检测
1.下列命题是全称量词命题的是( )
A.有些平行四边形是菱形
B.至少有一个整数x,使得x2+3x是质数
C.每个四边形的内角和都是360°
D. x∈R,x2+x+2=0
C
【解析】 根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知,A,B,D是存在量词命题,C是全称量词命题.故选C.
2.下列命题是存在量词命题的是( )
A. x∈R,x2>0
B. x∈R,x2-2≤0
C.平行四边形的对边平行
D.矩形的任一组对边相等
B
【解析】 根据全称量词命题和存在量词命题的定义,可知A,C,D是全称量词命题,B是存在量词命题.故选B.
3.(多选题)已知命题p: x∈{x|1≤x≤3},x-a≥0,若命题p是真命题,则实数a的值可以是( )
A.0 B.1 C.2 D.-2
ABD
【解析】 根据题意可知 x∈{x|1≤x≤3},不等式x≥a恒成立,可得1≥a,即a≤1.因此实数a的值可以是0,1,-2.故选A,B,D.
4.命题p: x∈R,x2+2x-3=0是 (选填“全称量词命题”或“存在量词命题”),它是 命题(选填“真”或“假”).
存在量词命题
真2.2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
基础巩固
1.下列命题中存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数;
②能被6整除的数也能被3整除;
③对于任意x∈R,总有|x|≥0.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 B
【解析】 命题①含有存在量词,是存在量词命题;命题②可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量词命题;而命题③是全称量词命题.故只有一个存在量词命题.故选B.
2.将命题“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为( )
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy成立
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy成立
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≤2xy成立
【答案】 A
【解析】 本题中的命题仅保留了结论,省略了条件“任意x,y∈R”,改成全称量词命题为“对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy成立”.故选A.
3.(多选题)下列命题为真命题的是( )
A.若x,y∈R且x+y>2,则x,y至少有一个大于1
B.若a∈Z,则-a∈Z
C.a+b=0的充要条件是=-1
D. x∈R,x2+2≤0
【答案】 AB
【解析】 假设x,y都不大于1,即x≤1,y≤1,所以x+y≤2,因此x+y>2不成立,所以假设不成立,因此选项A是真命题;因为所有的整数的相反数还是整数,所以选项B是真命题;当a=b=0时,代数式没有意义,因此选项C是假命题;因为 x∈R,都有x2+2>0,所以选项D是假命题.故选A,B.
4.有四个命题:①末位数是偶数的整数能被2整除;②有的菱形是正方形;③存在实数x,x>0;④对于任意实数x,2x+1是奇数.下列说法正确的是( )
A.四个命题都是真命题
B.①②是全称量词命题
C.②③是存在量词命题
D.四个命题中有两个是假命题
【答案】 C
【解析】 ①④为全称量词命题;②③为存在量词命题;①②③为真命题;④为假命题.故
选C.
5.下列结论正确的是( )
A. n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是真命题
B. n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是真命题
C. n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是真命题
D. n∈N*,2n2+5n+2能被2整除是假命题
【答案】 C
【解析】 当n=1时,2n2+5n+2不能被2整除,当n=2时,2n2+5n+2能被2整除,所以A,B,D错误,C项正确.故选C.
6.命题p: x∈[1,9],使ax-36≤0,若p是真命题,则实数a的取值范围为( )
A.{a|a>4} B.{a|a≤4}
C.{a|a≤36} D.{a|a>36}
【答案】 C
【解析】 因为x∈[1,9],所以由ax-36≤0得a≤.
因为x∈[1,9],所以∈[4,36].
因为p是真命题,所以a≤36.故选C.
7.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是 (选填“全称量词命题”或“存在量词命题”),用符号表示为 .
【答案】 存在量词命题 x,y∈R,x+y>1
8.对任意x>3,x>a恒成立,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,3]
【解析】 对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,所以a≤3.故实数a的取值范围是(-∞,3].
9.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假:
(1)有的集合中存在两个相同的元素;
(2) a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3;
(3)存在一个x∈R,使=0;
(4)对任意直角三角形的两个锐角A,B都有 sin A=cos B.
【解】 (1)是存在量词命题,由集合中元素的互异性可知,此命题是假命题.
(2)是全称量词命题, a,b∈R,(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,是真命题.
(3)是存在量词命题,因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.
(4)是全称量词命题,根据锐角三角函数的定义可知,对任意直角三角形的两个锐角A,B都有 sin A=cos B,是真命题.
10.已知命题“ x∈{x|-3≤x≤2},3a+x-2=0”为真命题,求实数a的取值范围.
【解】 由3a+x-2=0,得3a-2=-x.
因为-3≤x≤2,所以-2≤-x≤3.
所以-2≤3a-2≤3,即0≤a≤.
故实数a的取值范围是{a|0≤a≤}.
能力提升
11.若“ x∈R,x2>m”是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.[0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,0] D.(-∞,0)
【答案】 D
【解析】 x∈R,x2≥0,若“ x∈R,x2>m”是真命题,则m<0.故选D.
12.下列语句中,是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 (填序号).
①菱形的四条边相等.
②角平分线上任意一点到这个角的两边的距离相等.
③ x∈R,x2+2>0.
④至少有一个负整数是奇数.
⑤所有三角形都有外接圆吗
【答案】 ①②③ ④
【解析】 ①②③是全称量词命题;④是存在量词命题;⑤不是命题.
13.设q(x):|x-1|=1-x.
(1)写出q(1),q(2),并判断它们是不是真命题;
(2)写出“ a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题;
(3)写出“ a∈R,q(a)”,并判断它是不是真命题.
【解】 (1)q(1):|1-1|=1-1,真命题.
q(2):|2-1|=1,1-2=-1,|2-1|≠1-2,假命题.
(2) a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知q(2)为假命题,所以“ a∈R,|a-1|=1-a”为假命题.
(3) a∈R,|a-1|=1-a,由(1)知q(1)为真命题,
所以“ a∈R,|a-1|=1-a”为真命题.
应用创新
14.已知A={x|1≤x≤2},命题“ x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5
【答案】 C
【解析】 当该命题是真命题时,只需a≥(x2)max,x∈A,A={x|1≤x≤2}.又y=x2在1≤x≤2上的最大值是4,所以a≥4.因为a≥4a≥5,a≥5 a≥4.故选C.
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