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§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件、
充分条件
1.结合具体实例,理解必要条件、充分条件的意义,提升逻辑推理素养.2.通过对典型数学命题的梳理,理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件的关系,提升数学运算素养.
【课程标准要求】
知识点一 命题
定义 可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题
表示 一个命题通常可以表示为“若p,则q”和“p是q”两种形式
理解 当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论
符号表示 当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p q
关系 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题
推出
关系 p q p q
条件
关系 q是p的 条件;
p是q的 条件 q不是p的 条件;
p不是q的 条件
定理
关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件;
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
知识点二 充分条件与必要条件
必要
充分
必要
充分
[思考] 以下五种表述形式:①p q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗
提示:等价.
[例1] 判断下列命题的真假.
(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d;
题型一 命题真假的判断
【解】 (1)假命题.反例:1≠4,5≠2,而1+5=4+2.
【解】 (2)假命题.反例:当x=0时,x3>x2不成立.
【解】 (3)真命题.因为m>1 Δ=4-4m<0,
所以方程x2-2x+m=0无实数根.
(2)若x∈N,则x3>x2成立;
(3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根;
【解】 (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆.
(4)存在一个三角形没有外接圆.
·解题策略·
要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
[变式训练] 有下列命题:
①若xy=1,则x,y互为倒数;
②四条边相等的四边形是正方形;
③平行四边形是梯形;
④若ac2>bc2,则a>b.
其中真命题的序号是 .
①④
【解析】 ①④是真命题,②四条边相等的四边形是菱形,但不一定是正方形,③平行四边形不是梯形.
题型二 充分条件、必要条件的判断
[例2] 指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0.
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.
(3)p:a>b,q:ac>bc.
·解题策略·
一般地,定义法主要用于较简单命题的判断,集合法一般需对命题进行化简,等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件,就要看p能否推出q.要判断p是不是q的必要条件,就要看q能不能推出p.
[变式训练] (1)“0
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
A
(2)设A,B为两个非空集合,“任意x∈A,都有x∈B”是“A是B的真子集”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
B
【解析】 (2)由题意任意x∈A,都有x∈B可得A是B的子集,但推不出A是B的真子集;反之,A是B的真子集,则必有任意x∈A,都有x∈B,故“任意x∈A,都有x∈B”是“A是B的真子集”的必要条件但不是充分条件.故选B.
[例3] 已知p:实数x满足3a题型三 根据必要条件(充分条件)求参数的取值范围
·解题策略·
充分条件、必要条件与集合的关系
[变式训练] 已知p:-4[-1,6]
当堂检测
1.下列语句是命题的是( )
A.梯形是四边形
B.作直线AB
C.x是整数
D.今天会下雨吗
A
【解析】 D不是陈述句,B,C不能判断真假.故选A.
A
3.a<0,b<0的一个必要条件是( )
A.a+b<0 B.ab>2
C.a-b>0 D.a2-b2<0
A
【解析】 因为a<0,b<0,所以a+b<0,所以“a+b<0”是“a<0,b<0”的一个必要条件,若a=-1,b=-1,不能得到ab>2,a-b>0,a2-b2<0.故选A.
4.设α:-1≤x<2,β:x[2,+∞)
【解析】 α:-1≤x<2,β:x第1课时 必要条件、充分条件
【课程标准要求】 1.结合具体实例,理解必要条件、充分条件的意义,提升逻辑推理素养.2.通过对典型数学命题的梳理,理解性质定理与必要条件、判定定理与充分条件的关系,提升数学运算素养.
知识点一 命题
定义 可以判断真假,用文字或符号表述的陈述句叫作命题
表示 一个命题通常可以表示为“若p,则q”和“p是q”两种形式
理解 当命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论
符号表示 当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p q
知识点二 充分条件与必要条件
关系 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题
推出 关系 p q pq
条件 关系 q是p的必要条件; p是q的充分条件 q不是p的必要条件; p不是q的充分条件
定理 关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件; 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
[思考] 以下五种表述形式:①p q;②p是q的充分条件;③q的充分条件是p;④q是p的必要条件;⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗
提示:等价.
题型一 命题真假的判断
[例1] 判断下列命题的真假.
(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d;
(2)若x∈N,则x3>x2成立;
(3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根;
(4)存在一个三角形没有外接圆.
【解】 (1)假命题.反例:1≠4,5≠2,而1+5=4+2.
(2)假命题.反例:当x=0时,x3>x2不成立.
(3)真命题.因为m>1 Δ=4-4m<0,
所以方程x2-2x+m=0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆.
要判断一个命题是真命题,一般需要经过严格的推理论证,在判断时要有理有据,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
[变式训练] 有下列命题:
①若xy=1,则x,y互为倒数;
②四条边相等的四边形是正方形;
③平行四边形是梯形;
④若ac2>bc2,则a>b.
其中真命题的序号是 .
【答案】 ①④
【解析】 ①④是真命题,②四条边相等的四边形是菱形,但不一定是正方形,③平行四边形不是梯形.
题型二 充分条件、必要条件的判断
[例2] 指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0.
(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.
(3)p:a>b,q:ac>bc.
【解】 (1)x-3=0 (x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0x-3=0,故p是q的充分条件,但不是必要条件.
(2)两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等 两个三角形相似,故p是q的必要条件,但不是充分条件.
(3)a>bac>bc,且ac>bca>b,
故p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
一般地,定义法主要用于较简单命题的判断,集合法一般需对命题进行化简,等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件,就要看p能否推出q.要判断p是不是q的必要条件,就要看q能不能推出p.
[变式训练] (1)“0A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
(2)设A,B为两个非空集合,“任意x∈A,都有x∈B”是“A是B的真子集”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)设A={x|0(2)由题意任意x∈A,都有x∈B可得A是B的子集,但推不出A是B的真子集;反之,A是B的真子集,则必有任意x∈A,都有x∈B,故“任意x∈A,都有x∈B”是“A是B的真子集”的必要条件但不是充分条件.故选B.
题型三 根据必要条件(充分条件)求参数的取值范围
[例3] 已知p:实数x满足3a【解】 p:3aq:-2≤x≤3,即集合B={x|-2≤x≤3}.
因为p是q的充分条件,即p q,所以A B,
所以 -≤a<0,
所以实数a的取值范围是.
充分条件、必要条件与集合的关系
(1)记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分条件但不是必要条件,则AB,若p是q的必要条件但不是充分条件,则BA.
(2)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)},若M N,则p是q的充分条件,若N M,则p是q的必要条件.
[变式训练] 已知p:-4【答案】 [-1,6]
【解析】 设A={x|a-4B={x|2由题意B A,所以所以-1≤a≤6.
即实数a的取值范围为[-1,6].
当堂检测
1.下列语句是命题的是( )
A.梯形是四边形
B.作直线AB
C.x是整数
D.今天会下雨吗
【答案】 A
【解析】 D不是陈述句,B,C不能判断真假.故选A.
2.下列选项中,p是q的充分条件的是( )
A.p:ab≠0,q:a≠0
B.p:a2+b2≥0,q:a≥0且b≥0
C.p:x2=4,q:x=2
D.p:a>b,q:>
【答案】 A
【解析】 因为ab≠0,所以a≠0且b≠0,所以A正确;
当a=-1,b=-2时,满足a2+b2≥0,但不满足a≥0,b≥0,所以B错误;
p:x2=4,解得x=±2,所以C错误;
当a=-1,b=-2时,满足a>b,但,无意义,所以D错误.故选A.
3.a<0,b<0的一个必要条件是( )
A.a+b<0 B.ab>2
C.a-b>0 D.a2-b2<0
【答案】 A
【解析】 因为a<0,b<0,所以a+b<0,所以“a+b<0”是“a<0,b<0”的一个必要条件,若a=-1,b=-1,不能得到ab>2,a-b>0,a2-b2<0.故选A.
4.设α:-1≤x<2,β:x【答案】 [2,+∞)
【解析】 α:-1≤x<2,β:x基础巩固
1.有下列语句,其中是命题的个数为( )
(1)数学真有趣!
(2)0是自然数;
(3)a2+1>0(a∈R);
(4)x>3;
(5)素数都是奇数.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 B
【解析】 (1)这是一个感叹句,没有办法判断出真假,故不是命题.
(2)0是自然数,显然这句话是对的,因此是命题,而且是真命题.
(3)因为a2+1>0(a∈R)是正确的,所以a2+1>0(a∈R)是命题,而且是真命题.
(4)不能判断x>3是否正确,所以x>3不是命题.
(5)2是素数也是偶数,所以是命题,是假命题.
所以(1)(4)不是命题,其余都是命题.故选B.
2.下列命题为假命题的是( )
A.若a=b,则a+c=b+c
B.若a+c=b+c,则a=b
C.若a=b,则ac=bc
D.若ac=bc,则a=b
【答案】 D
【解析】 对于选项A,若a=b,则a+c=b+c,正确;
对于选项B,若a+c=b+c,则a=b,正确;
对于选项C,若a=b,则ac=bc,正确;
对于选项D,当c=0时,ac=bc恒成立,不能得到a=b,错误.故选D.
3.使不等式-5x+3≥0成立的一个充分条件是( )
A.x<0 B.x≥0 C.x≤1 D.x>1
【答案】 A
【解析】 由-5x+3≥0,得x≤.
因为{x|x<0} {x|x≤},
所以使不等式-5x+3≥0成立的一个充分条件是x<0,而其他选项皆不满足.
故选A.
4.(多选题)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有( )
A.若x,y是偶数,则x+y是偶数
B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根
C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形
D.若ab=0,则a=0
【答案】 BCD
【解析】 对于A,由x+y是偶数,不能推出x,y是偶数,则p不是q的必要条件;
对于B,方程x2-2x+a=0有实根 (-2)2-4a≥0 a≤1 a<2,则p是q的必要条件;
对于C,由一个四边形是菱形,能够得到该四边形的对角线互相垂直,则p是q的必要条件;
对于D,若a=0,则ab=0,则p是q的必要条件,
所以p是q的必要条件的有B,C,D.
故选B,C,D.
5.已知p:>1,q:x>m,若q是p的必要条件,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≥0} B.{m|m≥1}
C.{m|m≤1} D.{m|m≤0}
【答案】 D
【解析】 已知p:>1,即0m,若q是p的必要条件,则m≤0,则实数m的取值范围为{m|m≤0}.故选D.
6.设t∈R,陈述句α:x>0,陈述句β:x>t.若t使得α是β的充分条件,则t的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(-∞,0]
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
【答案】 B
【解析】 由α:x>0,设α:(0,+∞),
由β:x>t,设β:(t,+∞),
又α是β的充分条件,则(0,+∞) (t,+∞),所以t≤0.故选B.
7.若m,n∈R,则“m+n≥0”是“m≥0且n≥0”的 条件.
【答案】 必要
【解析】 当m≥0,n≥0时,m+n≥0成立.
当m=2,n=-1时,有m+n=1>0,即m+n≥0时不一定有m≥0且n≥0.
因此应是必要条件.
8.下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有 ,p是q的必要条件的有 .
(填序号)
①p:x∈R,q:x∈N;
②p:四边形是矩形,q:四边形是正方形;
③p:方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解,q:b2-4ac>0;
④p:ab=0,q:a2+b2=0.
【答案】 ③ ①②③④
【解析】 对于①,因为N R,所以p是q的必要条件,但不是充分条件.
对于②,因为正方形是特殊的矩形,矩形不都是正方形,
所以p是q的必要条件,但不是充分条件.
对于③,若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解,则Δ=b2-4ac>0,即p q.
若b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解,即q p,
所以p是q的充分条件,也是q的必要条件.
对于④,若a=2,b=0,满足ab=0,但是a2+b2≠0,即p不是q的充分条件,
若a2+b2=0,则a=b=0,必有ab=0,所以p是q的必要条件.
综上所述,p是q的充分条件的有③,p是q的必要条件的有①②③④.
9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.
(1)p:a=3,q:(a+2)(a-3)=0;
(2)p:a【解】 (1)若a=3,则(a+2)(a-3)=0,但(a+2)(a-3)=0不一定能推出a=3,所以p是q的充分条件,但不是必要条件.
(2)当a=-2,b=-1时,=2>1;
当a=2,b=-1时,=-2<1,
但不满足a所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
10.已知集合A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|-4(1)若A∩B={x|-2≤x<2},求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围.
【解】 (1)根据题意,集合A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|-4若A∩B={x|-2≤x<2},则有1-a=-2,1+a≥2,则a=3.
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A B.
当a<0时,A=,符合题意;
当a≥0时,A≠,则有解得0≤a<1.
综合可得,a<1,即a的取值范围为(-∞,1).
能力提升
11.(多选题)若关于x的方程x2+(m-1)x+1=0至多有一个实数根,则它成立的必要条件可以是( )
A.-1C.m<4 D.-1≤m<2
【答案】 BC
【解析】 因为方程x2+(m-1)x+1=0至多有一个实数根,所以方程x2+(m-1)x+1=0的判别式Δ≤0,
即(m-1)2-4≤0,解得-1≤m≤3,利用必要条件的定义,结合选项可知,-1≤m≤3成立的必要条件可以是选项B和选项C.
故选B,C.
12.已知p:x<-2或x>10,q:x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (-∞,-9]
【解析】 因为p是q的必要条件,所以q p,
所以
解得a≤-9.
13.(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或 x>3的充分条件
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或 x>3的必要条件
【解】 (1)存在.欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,则只要{x|x<-} {x|x<-1或 x>3},即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
(2)不存在.欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3} {x|x<-},这是不可能的.
故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
应用创新
14.(多选题)已知函数f(x)=x2-2ax+a2-4.设命题p:“关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集”,则命题p的必要条件可以是( )
A.a≤-4 B.a≤-5
C.a≤-6 D.a≤-7
【答案】 ABC
【解析】 f(x)=(x-a)2-4≥-4,
设t=f(x),则f(f(x))<0化为f(t)<0,
则f(t)=(t-a)2-4<0,所以a-2即a-2关于x的不等式f(f(x))<0解集为空集,
则a+2≤-4,所以a≤-6.
结合选项命题p的必要条件可以是a≤-4或a≤-5或a≤-6.故选A,B,C.
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第1课时 必要条件、充分条件
基础巩固
1.有下列语句,其中是命题的个数为( )
(1)数学真有趣!
(2)0是自然数;
(3)a2+1>0(a∈R);
(4)x>3;
(5)素数都是奇数.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 B
【解析】 (1)这是一个感叹句,没有办法判断出真假,故不是命题.
(2)0是自然数,显然这句话是对的,因此是命题,而且是真命题.
(3)因为a2+1>0(a∈R)是正确的,所以a2+1>0(a∈R)是命题,而且是真命题.
(4)不能判断x>3是否正确,所以x>3不是命题.
(5)2是素数也是偶数,所以是命题,是假命题.
所以(1)(4)不是命题,其余都是命题.故选B.
2.下列命题为假命题的是( )
A.若a=b,则a+c=b+c
B.若a+c=b+c,则a=b
C.若a=b,则ac=bc
D.若ac=bc,则a=b
【答案】 D
【解析】 对于选项A,若a=b,则a+c=b+c,正确;
对于选项B,若a+c=b+c,则a=b,正确;
对于选项C,若a=b,则ac=bc,正确;
对于选项D,当c=0时,ac=bc恒成立,不能得到a=b,错误.故选D.
3.使不等式-5x+3≥0成立的一个充分条件是( )
A.x<0 B.x≥0 C.x≤1 D.x>1
【答案】 A
【解析】 由-5x+3≥0,得x≤.
因为{x|x<0} {x|x≤},
所以使不等式-5x+3≥0成立的一个充分条件是x<0,而其他选项皆不满足.
故选A.
4.(多选题)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的有( )
A.若x,y是偶数,则x+y是偶数
B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根
C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形
D.若ab=0,则a=0
【答案】 BCD
【解析】 对于A,由x+y是偶数,不能推出x,y是偶数,则p不是q的必要条件;
对于B,方程x2-2x+a=0有实根 (-2)2-4a≥0 a≤1 a<2,则p是q的必要条件;
对于C,由一个四边形是菱形,能够得到该四边形的对角线互相垂直,则p是q的必要条件;
对于D,若a=0,则ab=0,则p是q的必要条件,
所以p是q的必要条件的有B,C,D.
故选B,C,D.
5.已知p:>1,q:x>m,若q是p的必要条件,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≥0} B.{m|m≥1}
C.{m|m≤1} D.{m|m≤0}
【答案】 D
【解析】 已知p:>1,即0m,若q是p的必要条件,则m≤0,则实数m的取值范围为{m|m≤0}.故选D.
6.设t∈R,陈述句α:x>0,陈述句β:x>t.若t使得α是β的充分条件,则t的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(-∞,0]
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
【答案】 B
【解析】 由α:x>0,设α:(0,+∞),
由β:x>t,设β:(t,+∞),
又α是β的充分条件,则(0,+∞) (t,+∞),所以t≤0.故选B.
7.若m,n∈R,则“m+n≥0”是“m≥0且n≥0”的 条件.
【答案】 必要
【解析】 当m≥0,n≥0时,m+n≥0成立.
当m=2,n=-1时,有m+n=1>0,即m+n≥0时不一定有m≥0且n≥0.
因此应是必要条件.
8.下列所给的各组p,q中,p是q的充分条件的有 ,p是q的必要条件的有 .
(填序号)
①p:x∈R,q:x∈N;
②p:四边形是矩形,q:四边形是正方形;
③p:方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解,q:b2-4ac>0;
④p:ab=0,q:a2+b2=0.
【答案】 ③ ①②③④
【解析】 对于①,因为N R,所以p是q的必要条件,但不是充分条件.
对于②,因为正方形是特殊的矩形,矩形不都是正方形,
所以p是q的必要条件,但不是充分条件.
对于③,若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解,则Δ=b2-4ac>0,即p q.
若b2-4ac>0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数解,即q p,
所以p是q的充分条件,也是q的必要条件.
对于④,若a=2,b=0,满足ab=0,但是a2+b2≠0,即p不是q的充分条件,
若a2+b2=0,则a=b=0,必有ab=0,所以p是q的必要条件.
综上所述,p是q的充分条件的有③,p是q的必要条件的有①②③④.
9.指出下列各组命题中,p是q的什么条件.
(1)p:a=3,q:(a+2)(a-3)=0;
(2)p:a【解】 (1)若a=3,则(a+2)(a-3)=0,但(a+2)(a-3)=0不一定能推出a=3,所以p是q的充分条件,但不是必要条件.
(2)当a=-2,b=-1时,=2>1;
当a=2,b=-1时,=-2<1,
但不满足a所以p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
10.已知集合A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|-4(1)若A∩B={x|-2≤x<2},求实数a的取值范围;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围.
【解】 (1)根据题意,集合A={x|1-a≤x≤1+a},B={x|-4若A∩B={x|-2≤x<2},则有1-a=-2,1+a≥2,则a=3.
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A B.
当a<0时,A=,符合题意;
当a≥0时,A≠,则有解得0≤a<1.
综合可得,a<1,即a的取值范围为(-∞,1).
能力提升
11.(多选题)若关于x的方程x2+(m-1)x+1=0至多有一个实数根,则它成立的必要条件可以是( )
A.-1C.m<4 D.-1≤m<2
【答案】 BC
【解析】 因为方程x2+(m-1)x+1=0至多有一个实数根,所以方程x2+(m-1)x+1=0的判别式Δ≤0,
即(m-1)2-4≤0,解得-1≤m≤3,利用必要条件的定义,结合选项可知,-1≤m≤3成立的必要条件可以是选项B和选项C.
故选B,C.
12.已知p:x<-2或x>10,q:x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (-∞,-9]
【解析】 因为p是q的必要条件,所以q p,
所以
解得a≤-9.
13.(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或 x>3的充分条件
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x<-1或 x>3的必要条件
【解】 (1)存在.欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件,则只要{x|x<-} {x|x<-1或 x>3},即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
(2)不存在.欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3} {x|x<-},这是不可能的.
故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
应用创新
14.(多选题)已知函数f(x)=x2-2ax+a2-4.设命题p:“关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集”,则命题p的必要条件可以是( )
A.a≤-4 B.a≤-5
C.a≤-6 D.a≤-7
【答案】 ABC
【解析】 f(x)=(x-a)2-4≥-4,
设t=f(x),则f(f(x))<0化为f(t)<0,
则f(t)=(t-a)2-4<0,所以a-2即a-2关于x的不等式f(f(x))<0解集为空集,
则a+2≤-4,所以a≤-6.
结合选项命题p的必要条件可以是a≤-4或a≤-5或a≤-6.故选A,B,C.
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