第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
【课程标准要求】 1.通过对命题的否定的认识,提升数学抽象素养.2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理素养.
知识点一 命题的否定
当命题是真命题时,命题的否定是假命题;当命题是假命题时,命题的否定是真命题.
通常,对命题p进行否定,就得到一个新的命题,用符号“﹁p”表示,读作“非p”或“p的否定”.
[思考] 对于不含量词的命题如何进行否定
提示:条件不变,只把结果否定.
知识点二 全称量词命题的否定
全称量词 命题 全称量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M, ﹁p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题
知识点三 存在量词命题的否定
存在量词 命题 存在量词 命题的否定 结论
x∈M,p(x) x∈M, ﹁p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题
知识拓展
常见词语的否定
词语 词语的否定
等于 不等于
大于 不大于(即小于或等于)
小于 不小于(即大于或等于)
是 不是
都是 不都是(与“都不是”区别开)
至多一个 至少两个
至少一个 一个也没有
任意 某个
所有的 某些
题型一 全称量词命题的否定
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断它们的真假.
(1) a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根;
(2)每个正方形都是平行四边形.
【解】 (1) a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根,其否定为: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根,由Δ=a2+4>0,可得原命题为真命题,命题的否定为假命题.
(2)每个正方形都是平行四边形,其否定为:存在一个正方形不是平行四边形,原命题为真命题,其否定为假命题.
全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,不要将否定直接写成“是”或“不是”,而要具体情况具体分析.
[变式训练] 命题“ x∈[-1,3],-x2+3x-2≤0”的否定为( )
A. x∈[-1,3],x2-3x+2<0
B. x∈[-1,3],-x2+3x-2≤0
C. x∈[-1,3],x2-3x+2≤0
D. x [-1,3],x2-3x+2<0
【答案】 A
【解析】 根据全称量词命题的否定形式可知:
命题 x∈[-1,3],-x2+3x-2≤0的否定为 x∈[-1,3],-x2+3x-2>0,即x2-3x+2<0.
故选A.
题型二 存在量词命题的否定
[例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
(1)p: x>1,使x2-2x-3=0;
(2)p:有些素数是奇数;
(3)p:有些平行四边形不是矩形.
【解】 (1)p的否定: x>1,x2-2x-3≠0,它是假命题.
(2)p的否定:所有的素数都不是奇数,它是假命题.
(3)p的否定:所有的平行四边形都是矩形,它是假命题.
存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.
[变式训练] 写出下列存在量词命题的否定,并判断它们的真假.
(1) m∈N,∈N;
(2)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°.
【解】 (1) m∈N,∈N,其否定为: m∈N, N,由m=0时,=1∈N,则原命题为真命题,其否定为假命题.
(2)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°,其否定为任意四边形ABCD,其内角和等于360°,连接四边形的一条对角线,可得两个三角形,则此四边形的内角和为360°,可得原命题为假命题,其否定为真命题.
题型三 存在量词命题、全称量词命题的综合应用
[例3] 已知函数y=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立 并说明理由;
(2)若存在一个实数x,使不等式m-(x2-2x+5)>0 成立,求实数m的取值范围.
【解】 (1)不等式m+y>0可化为m>-y,
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,此时实数m的取值范围是(-4,+∞).
(2)不等式m-(x2-2x+5)>0可化为m>x2-2x+5,若存在一个实数x,使不等式m>x2-2x+5成立,只需m>ymin,又y=(x-1)2+4,所以ymin=4,所以m>4,
所以实数m的取值范围是(4,+∞).
对于涉及是否存在的问题,通常总是假设存在,然后推出矛盾,或存在符合条件的元素.一般地,对任意的实数x,a>y恒成立,只要a>ymax;若存在一个实数x,使a>y成立,只需a>ymin.
[变式训练] 已知命题p: 1≤x≤2,x≤a2+1,命题q: 1≤x≤2,一次函数y=x+a的图象在x轴下方.若命题p的否定为真命题,则实数a的取值范围为 ;若命题p为真命题,命题q的否定也为真命题,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (-1,1) {-1}∪[1,+∞)
【解析】 ①因为命题p的否定为真命题,
命题p的否定为 1≤x≤2,x>a2+1,
所以a2+1<2,所以-1
故实数a的取值范围为(-1,1).
②若命题p为真命题,则a2+1≥2,
即a≥1或a≤-1.因为命题q的否定为真命题,所以“ 1≤x≤2,一次函数y=x+a的图象在x轴及x轴上方”为真命题,所以1+a≥0,即a≥-1.
所以实数a的取值范围为{-1}∪[1,+∞).
当堂检测
1.已知命题p: x>0,x2≥0,则命题p的否定是( )
A. x≤0,x2<0 B. x≤0,x2<0
C. x>0,x2<0 D. x>0,x2<0
【答案】 C
【解析】 命题p: x>0,x2≥0,则命题p的否定是: x>0,x2<0.故选C.
2.命题“ x∈Q,|x|≥-x”的否定是( )
A. x Q,|x|<-x
B. x∈Q,|x|<-x
C. x Q,|x|<-x
D. x∈Q,|x|<-x
【答案】 B
【解析】 因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“ x∈Q,|x|≥-x”的否定是 x∈Q,|x|<-x.故选B.
3.已知命题p的否定为“ x∈R,x2+1≤1”,则下列说法正确的是( )
A.命题p为“ x∈R,x2+1>1”且为真命题
B.命题p为“ x R,x2+1>1”且为假命题
C.命题p为“ x∈R,x2+1>1”且为假命题
D.命题p为“ x∈R,x2+1≥1”且为真命题
【答案】 C
【解析】 因为命题p的否定为存在量词命题,所以命题p为全称量词命题,即p: x∈R,x2+1>1,因为当x=0时,x2+1=1,所以p为假命题.故选C.
4.命题“有的三角形是直角三角形”的否定是 .
【答案】 所有的三角形都不是直角三角形
【解析】 命题“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,即“所有的三角形都不是直角三角形”.
基础巩固
1.命题“ x>0,x2-3x-2>0”的否定是( )
A. x>0,x2-3x-2≤0
B. x≤0,x2-3x-2≤0
C. x>0,x2-3x-2≤0
D. x≤0,x2-3x-2≤0
【答案】 C
【解析】 命题“ x>0,x2-3x-2>0”为全称量词命题,根据全称量词命题的否定可得“ x>0,
x2-3x-2≤0”.故选C.
2.命题“ x∈R,x2-x>0”的否定是( )
A. x∈R,x2-x<0 B. x∈R,x2-x≤0
C. x∈R,x2+x<0 D. x∈R,x2+x≤0
【答案】 B
【解析】 根据存在量词命题的否定可得,命题“ x∈R,x2-x>0”的否定是 x∈R,x2-x≤0.故
选B.
3.已知命题P: x,y∈(0,3),x+y<6,则命题P的否定为( )
A. x,y∈(0,3),x+y≥6
B. x,y (0,3),x+y≥6
C. x,y (0,3),x+y≥6
D. x,y∈(0,3),x+y≥6
【答案】 D
【解析】 命题为全称量词命题,则命题的否定为 x,y∈(0,3),x+y≥6,故选D.
4.已知命题p: x∈R,x=-1或x=2,则﹁p为( )
A. x R,x≠-1或x≠2
B. x∈R,x≠-1,且x≠2
C. x∈R,x=-1,且x=2
D. x R,x=-1或x=2
【答案】 B
【解析】 p的否定为“ x∈R,x≠-1,且x≠2”.故选B.
5.已知命题p: x∈R,x2+8x+a=0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4) B.(16,+∞)
C.(-∞,0) D.[4,+∞)
【答案】 B
【解析】 若命题p为假命题,则其否定 x∈R,x2+8x+a≠0为真命题,
所以Δ=64-4a<0,解得a>16.故选B.
6.(多选题)下列叙述正确的是( )
A. x∈R,x2-2x-3>0
B.命题“ x∈R,12”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D.命题“ x∈R,x2>0”的否定是真命题
【答案】 ABD
【解析】 对于A,当x=10时,A显然正确;
对于B,命题“ x∈R,12”,故B正确;
对于C,由x≥2且y≥2,可以推出x2+y2≥4,故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分条件,故C错误;
对于D,命题“ x∈R,x2>0”的否定为 x∈R,x2≤0,显然02=0,所以命题 x∈R,x2≤0为真命题,故D正确.故选A,B,D.
7.命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为 ,否定后的命题是 命题.(填“真”或“假”)
【答案】 存在正数的立方根不是正数 假
【解析】 “任何正数的立方根都是正数”的否定为“存在正数的立方根不是正数”,因为正数的立方根是正数,所以否定后的命题是假命题.
8.某校开展小组合作学习模式,高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下:若命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围.乙略加思索,也给甲一道题:若命题“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求实数m的取值范围.你认为,两位同学题中实数m的取值范围的关系是 .(选填“相同”或“不同”)
【答案】 相同
【解析】 根据原命题与命题的否定之间的真假关系,两个题目中m的取值范围相同.
9.写出下列命题的否定,并判断你写出的命题的真假:
(1) n∈N*,∈N*;
(2) x∈R,x2+x+1>0;
(3)所有三角形的三个内角都是锐角.
【解】 (1) n∈N*,∈N*,
该命题的否定为 n∈N*, N*,当n=1时,∈N*,故该命题的否定为假命题.
(2) x∈R,x2+x+1>0;
该命题的否定为 x∈R,x2+x+1≤0;
因为x2+x+1=(x+)2+≥>0,
所以该命题的否定为假命题.
(3)所有三角形的三个内角都是锐角,
该命题的否定为:有的三角形的三个内角不都是锐角,该命题的否定为真命题,例如直角三角形.
10.已知命题p: 1≤x≤3,都有m≥x,命题q: 1≤x≤3,使m≥x,若命题p为真命题,命题q的否定为假命题,求实数m的取值范围.
【解】 因为﹁q为假命题,所以q为真命题.
命题p: 1≤x≤3,都有m≥x,为真命题,则m≥xmax,即m≥3.
命题q: 1≤x≤3,使m≥x,为真命题,则m≥xmin,即m≥1.
因为命题p,q同时为真命题,所以解得m≥3.
故实数m的取值范围是[3,+∞).
能力提升
11.(多选题)下列命题的否定是假命题的是( )
A.等圆的面积相等,周长相等
B. x∈N,x2≥1
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.有些梯形的对角线相等
【答案】 ACD
【解析】 A的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等,假命题;B的否定: x∈N,x2<1,真命题;C的否定:有些等边三角形不相似,假命题;D的否定:所有梯形的对角线都不相等,如等腰梯形的对角线相等,假命题.故选A,C,D.
12.已知命题“ x∈{x|-2【答案】 {m|m≤-6或m≥9}
【解析】 由题意得“ x∈{x|-2故m (-6,9),
所以实数m的取值范围是m≤-6或m≥9.
13.已知命题p“对任意实数x,都有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定.
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真
【解】 (1)命题p的否定:存在实数x,使x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,
则需要使的解集不为空集.
故a,b应满足的条件是b应用创新
14.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“ m∈R,使得A∩B≠”为假命题,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (-∞,3)
【解析】 命题“ m∈R,使得A∩B≠”为假命题,则其否定“ m∈R,A∩B=”为真命题.
当a<0时,集合A={x|0≤x≤a}=,符合A∩B=;
当a≥0时,因为m2+3>0,所以由 m∈R,A∩B=,得a所以a<(m2+3)min=3,则0≤a<3.
综上,实数a的取值范围为(-∞,3).
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第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
1.通过对命题的否定的认识,提升数学抽象素养.2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理素养.
【课程标准要求】
知识点一 命题的否定
当命题是真命题时,命题的否定是假命题;当命题是假命题时,命题的否定是真命题.
通常,对命题p进行否定,就得到一个新的命题,用符号“ ”表示,读作“非p”或“p的否定”.
﹁p
[思考] 对于不含量词的命题如何进行否定
提示:条件不变,只把结果否定.
全称量词
命题 全称量词
命题的否定 结论
x∈M,p(x) ,
﹁p(x) 全称量词命题的否定是
命题
知识点二 全称量词命题的否定
x∈M
存在量词
存在量词
命题 存在量词
命题的否定 结论
x∈M,p(x) ,
﹁p(x) 存在量词命题的否定是 命题
知识点三 存在量词命题的否定
x∈M
全称量词
常见词语的否定
词语 词语的否定
等于 不等于
大于 不大于(即小于或等于)
小于 不小于(即大于或等于)
『知识拓展』
是 不是
都是 不都是(与“都不是”区别开)
至多一个 至少两个
至少一个 一个也没有
任意 某个
所有的 某些
[例1] 写出下列全称量词命题的否定,并判断它们的真假.
(1) a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根;
题型一 全称量词命题的否定
【解】 (1) a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根,其否定为: a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根,由Δ=a2+4>0,可得原命题为真命题,命题的否定为假命题.
(2)每个正方形都是平行四边形.
【解】 (2)每个正方形都是平行四边形,其否定为:存在一个正方形不是平行四边形,原命题为真命题,其否定为假命题.
·解题策略·
全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,不要将否定直接写成“是”或“不是”,而要具体情况具体分析.
[变式训练] 命题“ x∈[-1,3],-x2+3x-2≤0”的否定为( )
A. x∈[-1,3],x2-3x+2<0
B. x∈[-1,3],-x2+3x-2≤0
C. x∈[-1,3],x2-3x+2≤0
D. x [-1,3],x2-3x+2<0
A
【解析】 根据全称量词命题的否定形式可知:
命题 x∈[-1,3],-x2+3x-2≤0的否定为 x∈[-1,3],-x2+3x-2>0,即x2-3x+2<0.
故选A.
题型二 存在量词命题的否定
[例2] 写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.
(1)p: x>1,使x2-2x-3=0;
【解】 (1)p的否定: x>1,x2-2x-3≠0,它是假命题.
【解】 (2)p的否定:所有的素数都不是奇数,它是假命题.
(2)p:有些素数是奇数;
【解】 (3)p的否定:所有的平行四边形都是矩形,它是假命题.
(3)p:有些平行四边形不是矩形.
·解题策略·
存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.
【解】 (2)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°,其否定为任意四边形ABCD,其内角和等于360°,连接四边形的一条对角线,可得两个三角形,则此四边形的内角和为360°,可得原命题为假命题,其否定为真命题.
(2)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°.
题型三 存在量词命题、全称量词命题的综合应用
【解】 (1)不等式m+y>0可化为m>-y,
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.
故存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立,此时实数m的取值范围是(-4,+∞).
[例3] 已知函数y=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m,使不等式m+y>0对于任意x∈R恒成立 并说明理由;
【解】 (2)不等式m-(x2-2x+5)>0可化为m>x2-2x+5,若存在一个实数x,使不等式m>x2-2x+5成立,只需m>ymin,又y=(x-1)2+4,所以ymin=4,所以m>4,
所以实数m的取值范围是(4,+∞).
(2)若存在一个实数x,使不等式m-(x2-2x+5)>0 成立,求实数m的取值范围.
·解题策略·
对于涉及是否存在的问题,通常总是假设存在,然后推出矛盾,或存在符合条件的元素.一般地,对任意的实数x,a>y恒成立,只要a>ymax;若存在一个实数x,使a>y成立,只需a>ymin.
[变式训练] 已知命题p: 1≤x≤2,x≤a2+1,命题q: 1≤x≤2,一次函数y=x+a的图象在x轴下方.若命题p的否定为真命题,则实数a的取值范围为 ;若命题p为真命题,命题q的否定也为真命题,则实数a的取值范围为 .
(-1,1)
{-1}∪[1,+∞)
【解析】 ①因为命题p的否定为真命题,
命题p的否定为 1≤x≤2,x>a2+1,
所以a2+1<2,所以-1故实数a的取值范围为(-1,1).
②若命题p为真命题,则a2+1≥2,
即a≥1或a≤-1.因为命题q的否定为真命题,所以“ 1≤x≤2,一次函数y=x+a的图象在x轴及x轴上方”为真命题,所以1+a≥0,即a≥-1.
所以实数a的取值范围为{-1}∪[1,+∞).
当堂检测
1.已知命题p: x>0,x2≥0,则命题p的否定是( )
A. x≤0,x2<0 B. x≤0,x2<0
C. x>0,x2<0 D. x>0,x2<0
C
【解析】 命题p: x>0,x2≥0,则命题p的否定是: x>0,x2<0.故选C.
2.命题“ x∈Q,|x|≥-x”的否定是( )
A. x Q,|x|<-x
B. x∈Q,|x|<-x
C. x Q,|x|<-x
D. x∈Q,|x|<-x
B
【解析】 因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“ x∈Q,
|x|≥-x”的否定是 x∈Q,|x|<-x.故选B.
3.已知命题p的否定为“ x∈R,x2+1≤1”,则下列说法正确的是( )
A.命题p为“ x∈R,x2+1>1”且为真命题
B.命题p为“ x R,x2+1>1”且为假命题
C.命题p为“ x∈R,x2+1>1”且为假命题
D.命题p为“ x∈R,x2+1≥1”且为真命题
C
【解析】 因为命题p的否定为存在量词命题,所以命题p为全称量词命题,即p: x∈R,x2+1>1,因为当x=0时,x2+1=1,所以p为假命题.故选C.
4.命题“有的三角形是直角三角形”的否定是 .
.
所有的三角形都不是直角
【解析】 命题“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题,其否定是全称量词命题,即“所有的三角形都不是直角三角形”.
三角形第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
基础巩固
1.命题“ x>0,x2-3x-2>0”的否定是( )
A. x>0,x2-3x-2≤0
B. x≤0,x2-3x-2≤0
C. x>0,x2-3x-2≤0
D. x≤0,x2-3x-2≤0
【答案】 C
【解析】 命题“ x>0,x2-3x-2>0”为全称量词命题,根据全称量词命题的否定可得“ x>0,
x2-3x-2≤0”.故选C.
2.命题“ x∈R,x2-x>0”的否定是( )
A. x∈R,x2-x<0 B. x∈R,x2-x≤0
C. x∈R,x2+x<0 D. x∈R,x2+x≤0
【答案】 B
【解析】 根据存在量词命题的否定可得,命题“ x∈R,x2-x>0”的否定是 x∈R,x2-x≤0.故
选B.
3.已知命题P: x,y∈(0,3),x+y<6,则命题P的否定为( )
A. x,y∈(0,3),x+y≥6
B. x,y (0,3),x+y≥6
C. x,y (0,3),x+y≥6
D. x,y∈(0,3),x+y≥6
【答案】 D
【解析】 命题为全称量词命题,则命题的否定为 x,y∈(0,3),x+y≥6,故选D.
4.已知命题p: x∈R,x=-1或x=2,则﹁p为( )
A. x R,x≠-1或x≠2
B. x∈R,x≠-1,且x≠2
C. x∈R,x=-1,且x=2
D. x R,x=-1或x=2
【答案】 B
【解析】 p的否定为“ x∈R,x≠-1,且x≠2”.故选B.
5.已知命题p: x∈R,x2+8x+a=0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是( )
A.(0,4) B.(16,+∞)
C.(-∞,0) D.[4,+∞)
【答案】 B
【解析】 若命题p为假命题,则其否定 x∈R,x2+8x+a≠0为真命题,
所以Δ=64-4a<0,解得a>16.故选B.
6.(多选题)下列叙述正确的是( )
A. x∈R,x2-2x-3>0
B.命题“ x∈R,12”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D.命题“ x∈R,x2>0”的否定是真命题
【答案】 ABD
【解析】 对于A,当x=10时,A显然正确;
对于B,命题“ x∈R,12”,故B正确;
对于C,由x≥2且y≥2,可以推出x2+y2≥4,故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分条件,故C错误;
对于D,命题“ x∈R,x2>0”的否定为 x∈R,x2≤0,显然02=0,所以命题 x∈R,x2≤0为真命题,故D正确.故选A,B,D.
7.命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为 ,否定后的命题是 命题.(填“真”或“假”)
【答案】 存在正数的立方根不是正数 假
【解析】 “任何正数的立方根都是正数”的否定为“存在正数的立方根不是正数”,因为正数的立方根是正数,所以否定后的命题是假命题.
8.某校开展小组合作学习模式,高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下:若命题“ x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求实数m的取值范围.乙略加思索,也给甲一道题:若命题“ x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求实数m的取值范围.你认为,两位同学题中实数m的取值范围的关系是 .(选填“相同”或“不同”)
【答案】 相同
【解析】 根据原命题与命题的否定之间的真假关系,两个题目中m的取值范围相同.
9.写出下列命题的否定,并判断你写出的命题的真假:
(1) n∈N*,∈N*;
(2) x∈R,x2+x+1>0;
(3)所有三角形的三个内角都是锐角.
【解】 (1) n∈N*,∈N*,
该命题的否定为 n∈N*, N*,当n=1时,∈N*,故该命题的否定为假命题.
(2) x∈R,x2+x+1>0;
该命题的否定为 x∈R,x2+x+1≤0;
因为x2+x+1=(x+)2+≥>0,
所以该命题的否定为假命题.
(3)所有三角形的三个内角都是锐角,
该命题的否定为:有的三角形的三个内角不都是锐角,该命题的否定为真命题,例如直角三角形.
10.已知命题p: 1≤x≤3,都有m≥x,命题q: 1≤x≤3,使m≥x,若命题p为真命题,命题q的否定为假命题,求实数m的取值范围.
【解】 因为﹁q为假命题,所以q为真命题.
命题p: 1≤x≤3,都有m≥x,为真命题,则m≥xmax,即m≥3.
命题q: 1≤x≤3,使m≥x,为真命题,则m≥xmin,即m≥1.
因为命题p,q同时为真命题,所以解得m≥3.
故实数m的取值范围是[3,+∞).
能力提升
11.(多选题)下列命题的否定是假命题的是( )
A.等圆的面积相等,周长相等
B. x∈N,x2≥1
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.有些梯形的对角线相等
【答案】 ACD
【解析】 A的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等,假命题;B的否定: x∈N,x2<1,真命题;C的否定:有些等边三角形不相似,假命题;D的否定:所有梯形的对角线都不相等,如等腰梯形的对角线相等,假命题.故选A,C,D.
12.已知命题“ x∈{x|-2【答案】 {m|m≤-6或m≥9}
【解析】 由题意得“ x∈{x|-2故m (-6,9),
所以实数m的取值范围是m≤-6或m≥9.
13.已知命题p“对任意实数x,都有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)写出命题p的否定.
(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真
【解】 (1)命题p的否定:存在实数x,使x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,
则需要使的解集不为空集.
故a,b应满足的条件是b应用创新
14.已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“ m∈R,使得A∩B≠”为假命题,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (-∞,3)
【解析】 命题“ m∈R,使得A∩B≠”为假命题,则其否定“ m∈R,A∩B=”为真命题.
当a<0时,集合A={x|0≤x≤a}=,符合A∩B=;
当a≥0时,因为m2+3>0,所以由 m∈R,A∩B=,得a所以a<(m2+3)min=3,则0≤a<3.
综上,实数a的取值范围为(-∞,3).
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