4.1 一元二次函数
基础巩固
1.二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,所得图象对应的函数表达式为( )
A.y=2(x+1)2+2 B.y=2(x-1)2+2
C.y=2(x+1)2-2 D.y=2(x-1)2-2
【答案】 B
【解析】 将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y=2x2+2的图象,再向右平移1个单位长度得函数y=2(x-1)2+2的图象.故选B.
2.某产品的利润y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式为y=-2x2+40x+300,则利润y取最大值时,产量x等于( )
A.10 B.20 C.30 D.40
【答案】 A
【解析】 y=-2(x-10)2+500,当x=10时,y取最大值.故选A.
3.若想得到函数y=-3(x-2)2+1的图象,应将函数y=-3x2的图象( )
A.向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】 C
【解析】 根据函数图象平移“左加右减,上加下减”规则,要得到函数y=-3(x-2)2+1的图象只需将函数y=-3x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,选项C正确.故选C.
4.设abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A B C D
【答案】 D
【解析】 由A,C,D知,c<0,因为abc>0,所以ab<0,所以图象的对称轴方程x=->0,故A,C错误,D符合要求;由B知,c>0,所以ab>0,所以x=-<0,故B错误.故选D.
5.函数y=x2+3x+2在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是( )
A.12,- B.12,2
C.42,- D.42,2
【答案】 C
【解析】 y=x2+3x+2=(x+)2-,抛物线的图象开口向上,对称轴为直线x=-,
所以在区间[-5,5]上,当x=-时,y有最小值-;x=5时,y有最大值42.
所以函数y=x2+3x+2在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是42,-.故选C.
6.(多选题)对于函数y=2(x-3)2+1,下列说法正确的是( )
A.其图象开口向上
B.其图象的对称轴为直线x=-3
C.函数有最大值1
D.当x<3时,y随x的增大而减小
【答案】 AD
【解析】 因为x2的系数为2,所以其图象开口向上,所以A正确;
其图象的对称轴为直线x=3,所以B错误;
函数有最小值1,所以C错误;
当x<3时,y随x的增大而减小,所以D正确.故选A,D.
7.若y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b= .
【答案】 6
【解析】 由题意知,a+2=-2,即a=-4,
又a+b=2,得b=6.
8.若函数y=(m-1)x2-x+1的图象总在x轴的上方,则实数m的取值范围为 .
【答案】 (,+∞)
【解析】 当m=1时,y=-x+1,它的图象不总在x轴的上方,不符合题意,所以m≠1.由题意可得解得m>.综上,实数m的取值范围为(,+∞).
9.已知抛物线y=ax2+6x-4与直线y=6x相交于点A(2,m).
(1)求a的值;
(2)请问该抛物线经过怎样的平移就可以得到 y=ax2的图象
【解】 (1)因为点A(2,m)在直线y=6x上,所以m=6×2=12.
把x=2,y=12代入y=ax2+6x-4中,求得a=1,所以y=x2+6x-4.
(2)y=x2+6x-4=(x+3)2-13,所以其图象的顶点坐标为(-3,-13).所以把抛物线y=x2+6x-4向右平移3个单位长度得到y=x2-13的图象,再把y=x2-13的图象向上平移13个单位长度得到y=x2的图象.
10.已知点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最大值.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)求该二次函数在[-1,3]上的最大值与最小值.
【解】 (1)因为点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最大值,所以有解得所以该二次函数的解析式为y=-x2+4x-3.
(2)易知该二次函数图象的开口向下,且对称轴为直线x=2∈[-1,3],所以当x=2时,y取得最大值,最大值为-4+8-3=1.因为直线x=-1离直线x=2更远,所以当x=-1时,y取得最小值,最小值为-8.
能力提升
11.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[0,3]
C.(-∞,2] D.[1,3]
【答案】 D
【解析】 因为函数y=x2-2x+3图象的开口向上,对称轴方程为x=1,且x=1时,函数值为2,
令x2-2x+3=6可得x=3或x=-1,
若函数在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则1≤m≤3.
故选D.
12.二次函数y=-x2+2x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 .
【答案】 4
【解析】 令-x2+2x+1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=2,x1x2=-1,
则|x1-x2|===4,
所以二次函数y=-x2+2x+1的图象与x轴两交点之间的距离为4.
13.是否存在实数a,使函数y=x2-2ax+a在区间[-1,1]上的取值范围为[-2,2] 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解】 存在,理由如下,
y=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2,对称轴方程为x=a.
当a<-1时,在[-1,1]上y随x的增大而增大,所以解得a=-1(舍去);
当-1≤a≤0时,在[-1,a]上y随x的增大而减小,在[a,1]上y随x的增大而增大,且x=1处y值比x=-1处大,即解得a=-1;
同理,当0
当a>1时,在[-1,1]上y随x的增大而减小,所以a不存在.
综上可知,存在实数a,且a=-1满足题意.
应用创新
14.函数y=|x2+bx|-4(b为常数)有下列结论:
①无论b为何值,该函数的图象都经过定点(0,-4);
②若b=-2,则当x<1时,y随x的增大而减小;
③该函数图象关于y轴对称;
④若该函数图象与x轴有3个交点,则b=±4.
其中正确的结论是 .(填序号)
【答案】 ①④
【解析】 ①当x=0时,y=-4,所以①正确;②若b=-2,则y=|x2-2x|-4,设(x1,y1),(x2,y2)满足上式,取x1=0,则y1=-4,取x2=,则y2=-,此时x1(-,-),则由③的变换知函数y=|x2+bx|-4的图象的顶点坐标为(-,-4),若该函数图象与x轴有3个交点,则-4=0,解得b=±4,所以④正确.故正确的结论为①④.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.1 一元二次函数
【课程标准要求】 1.通过一元二次函数图象的学习,提升直观想象素养.2.借助一元二次函数性质的应用,提升逻辑推理素养.
知识点一 一元二次函数的表达式
1.一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都可以通过配方化为y=a(x-h)2+k(a≠0),其中,h=-,k=.
2.一元二次函数解析式有三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标).
知识点二 一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象
一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
a决定一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定一元二次函数图象的左右平移,而且“h正右移,h负左移”;k决定一元二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.简记为“左加右减,上加下减”.
知识点三 一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
图象和性质 a>0(开口向上) a<0(开口向下)
图象
性 质 对称轴 直线x=h
顶点 (h,k)
x的取值范围 (-∞,+∞)或R
y的取值范围 [k,+∞) (-∞,k]
函数值的变化趋势 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而减小; 在区间[h,+∞)上,y随x的增大而增大 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而增大; 在区间[h,+∞)上,y随x的增大而减小
最值 x=h时,y有最小值k x=h时,y有最大值k
知识拓展
一元二次函数最值问题
(1)解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的性质及分类讨论的思想求解.
(2)一元二次函数在闭区间上的最值:
设一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0),闭区间为[m,n].
①当-≤m时,最小值为函数在x=m处的取值,最大值为函数在x=n处的取值;
②当m<-≤时,最小值为函数在x=-处的取值,最大值为函数在x=n处的取值;
③当<-≤n时,最小值为函数在x=-处的取值,最大值为函数在x=m处的取值;
④当->n时,最小值为函数在x=n处的取值,最大值为函数在x=m处的取值.
题型一 求一元二次函数解析式
[例1] 已知二次函数满足:当x=0时,y=-8,当x=4或-2时,y=0.求该二次函数的解析式.
【解】 由当x=4或-2时,y=0,
可设y=a(x-4)(x+2)(a≠0),
由当x=0时,y=-8,得-8a=-8,即a=1.
所以y=(x-4)(x+2)=x2-2x-8.
求一元二次函数解析式的方法
根据已知条件确定一元二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下:
[变式训练] 已知一元二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为0和-2,且它有最小值-1,则该一元二次函数的解析式为y= .
【答案】 x2+2x
【解析】 由题意,可设函数解析式为y=ax(x+2)(a≠0),则y=a(x2+2x)=a(x+1)2-a.
又y有最小值-1,则a=1,所以y=x2+2x.
题型二 一元二次函数的图象变换
[例2] 在同一平面直角坐标系中作出下列函数的图象.
(1)y=x2;(2)y=x2-2;(3)y=2x2-4x.
并分析如何把y=x2的图象变换成y=2x2-4x的图象.
【解】 列表如下.
x -1 0 1 2
y=x2 1 0 1 4
y=x2-2 -1 -2 -1 2
y=2x2-4x 6 0 -2 - 0
描点、连线即得相应函数的图象,如图所示.
根据图象可知由y=x2到y=2x2-4x的变化过程如下:
法一 先把y=x2的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2的图象,然后将y=(x-1)2的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到y=2(x-1)2的图象,最后把y=2(x-1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y=2x2-4x的图象.
法二 先把y=x2的图象向下平移1个单位长度得到y=x2-1的图象,然后再把y=x2-1的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2-1的图象,最后将y=(x-1)2-1的图象上所有的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,便可得到y=2(x-1)2-2,即y=2x2-4x的图象.
任意一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都可转化为y=a(x+h)2+k的形式,都可由y=ax2的图象经过适当的平移得到,具体平移方法如图所示:
简记为:h正左移,h负右移;k正上移,k负下移.
[变式训练] 如何把y=x2-4x的图象变换成y=x2的图象
【解】 因为y=x2-4x=(x-2)2-4,
故可先把y=x2-4x的图象向上平移4个单位长度得到y=(x-2)2的图象,
然后再把y=(x-2)2的图象向左平移2个单位长度,便可得到y=x2的图象.
题型三 一元二次函数的性质
[例3] 将函数y=-3x2-6x+1配方,确定其图象的对称轴、顶点坐标,求出它的函数值增加和减少的区间及最大值或最小值,并画出它的图象.
【解】 y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4.
由于x2的系数是负数,所以函数图象开口向下,顶点坐标为(-1,4),对称轴为直线x=-1.
函数值在区间(-∞,-1]上是增加的,在区间[-1,+∞)上是减少的.
函数有最大值,没有最小值,最大值是4.
采用描点画图,选顶点A(-1,4),与x轴的交点为B(,0)和C(-,0),与y轴的交点为D(0,1),再取点E(-2,1),过这5个点画出图象,如图.
对于一元二次函数,根据配方后得到的性质画函数图象,可以直接选出关键点,使画图更
简便.
[变式训练] 若函数y=-x2+4x+a,x∈[0,3],若函数的最小值为2,则a= .
【答案】 2
【解析】 函数y=-x2+4x+a,图象开口向下,对称轴为直线x=2,在x∈[0,3]上,
因为|0-2|>|3-2|,
所以当x=0时,函数值最小,即a=2.
当堂检测
1.平移抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x-4)2-1的作法是( )
A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】 D
【解析】 要得到y=2(x-4)2-1的图象,只需将y=2x2的图象向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度即可.故选D.
2.若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,则m的值为( )
A.-3 B.3 C.-2 D.2
【答案】 D
【解析】 因为抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,所以顶点的横坐标为-==0,故m=2.故选D.
3.将函数图象上的所有点向左移动一个单位,再向下移动两个单位得到的函数解析式为y=2x2+7x+4,则原函数的解析式为( )
A.y=2x2+11x+11 B.y=2x2+3x+7
C.y=2x2+3x+1 D.y=2x2+11x+5
【答案】 C
【解析】 将函数y=2x2+7x+4的图象上所有点向上平移两个单位,再向右平移一个单位
可得到原二次函数的图象,所以y=2(x-1)2+7(x-1)+4+2即原函数的解析式为y=2x2+3x+1.故选C.
4.如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),且对称轴方程为x=-1,则以下正确的有 .(填序号)
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a【答案】 ①④
【解析】 对于①,从图象可以看出,Δ>0,故b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确;
对于②,对称轴为直线x=-1,所以-=-1,所以b=2a,故2a-b=0,②错误;
对于③,x=-1时,y=a-b+c>0,③错误;
对于④,由图象得,二次函数图象开口向下,a<0,由-=-1,得b=2a,所以b-5a=-3a>0,所以b>5a,④正确.
基础巩固
1.二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,所得图象对应的函数表达式为( )
A.y=2(x+1)2+2 B.y=2(x-1)2+2
C.y=2(x+1)2-2 D.y=2(x-1)2-2
【答案】 B
【解析】 将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y=2x2+2的图象,再向右平移1个单位长度得函数y=2(x-1)2+2的图象.故选B.
2.某产品的利润y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系式为y=-2x2+40x+300,则利润y取最大值时,产量x等于( )
A.10 B.20 C.30 D.40
【答案】 A
【解析】 y=-2(x-10)2+500,当x=10时,y取最大值.故选A.
3.若想得到函数y=-3(x-2)2+1的图象,应将函数y=-3x2的图象( )
A.向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】 C
【解析】 根据函数图象平移“左加右减,上加下减”规则,要得到函数y=-3(x-2)2+1的图象只需将函数y=-3x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,选项C正确.故选C.
4.设abc>0,一元二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )
A B C D
【答案】 D
【解析】 由A,C,D知,c<0,因为abc>0,所以ab<0,所以图象的对称轴方程x=->0,故A,C错误,D符合要求;由B知,c>0,所以ab>0,所以x=-<0,故B错误.故选D.
5.函数y=x2+3x+2在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是( )
A.12,- B.12,2
C.42,- D.42,2
【答案】 C
【解析】 y=x2+3x+2=(x+)2-,抛物线的图象开口向上,对称轴为直线x=-,
所以在区间[-5,5]上,当x=-时,y有最小值-;x=5时,y有最大值42.
所以函数y=x2+3x+2在区间[-5,5]上的最大值、最小值分别是42,-.故选C.
6.(多选题)对于函数y=2(x-3)2+1,下列说法正确的是( )
A.其图象开口向上
B.其图象的对称轴为直线x=-3
C.函数有最大值1
D.当x<3时,y随x的增大而减小
【答案】 AD
【解析】 因为x2的系数为2,所以其图象开口向上,所以A正确;
其图象的对称轴为直线x=3,所以B错误;
函数有最小值1,所以C错误;
当x<3时,y随x的增大而减小,所以D正确.故选A,D.
7.若y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b= .
【答案】 6
【解析】 由题意知,a+2=-2,即a=-4,
又a+b=2,得b=6.
8.若函数y=(m-1)x2-x+1的图象总在x轴的上方,则实数m的取值范围为 .
【答案】 (,+∞)
【解析】 当m=1时,y=-x+1,它的图象不总在x轴的上方,不符合题意,所以m≠1.由题意可得解得m>.综上,实数m的取值范围为(,+∞).
9.已知抛物线y=ax2+6x-4与直线y=6x相交于点A(2,m).
(1)求a的值;
(2)请问该抛物线经过怎样的平移就可以得到 y=ax2的图象
【解】 (1)因为点A(2,m)在直线y=6x上,所以m=6×2=12.
把x=2,y=12代入y=ax2+6x-4中,求得a=1,所以y=x2+6x-4.
(2)y=x2+6x-4=(x+3)2-13,所以其图象的顶点坐标为(-3,-13).所以把抛物线y=x2+6x-4向右平移3个单位长度得到y=x2-13的图象,再把y=x2-13的图象向上平移13个单位长度得到y=x2的图象.
10.已知点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最
大值.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)求该二次函数在[-1,3]上的最大值与最小值.
【解】 (1)因为点(-1,-8),(0,-3)在一元二次函数y=ax2+bx+c的图象上,且该函数在x=2处取得最大值,所以有解得所以该二次函数的解析式为y=-x2+4x-3.
(2)易知该二次函数图象的开口向下,且对称轴为直线x=2∈[-1,3],所以当x=2时,y取得最大值,最大值为-4+8-3=1.因为直线x=-1离直线x=2更远,所以当x=-1时,y取得最小值,最小值为-8.
能力提升
11.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[0,3]
C.(-∞,2] D.[1,3]
【答案】 D
【解析】 因为函数y=x2-2x+3图象的开口向上,对称轴方程为x=1,且x=1时,函数值为2,
令x2-2x+3=6可得x=3或x=-1,
若函数在闭区间[-1,m]上有最大值6,最小值2,则1≤m≤3.
故选D.
12.二次函数y=-x2+2x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 .
【答案】 4
【解析】 令-x2+2x+1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=2,x1x2=-1,
则|x1-x2|===4,
所以二次函数y=-x2+2x+1的图象与x轴两交点之间的距离为4.
13.是否存在实数a,使函数y=x2-2ax+a在区间[-1,1]上的取值范围为[-2,2] 若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解】 存在,理由如下,
y=x2-2ax+a=(x-a)2+a-a2,对称轴方程为x=a.
当a<-1时,在[-1,1]上y随x的增大而增大,所以解得a=-1(舍去);
当-1≤a≤0时,在[-1,a]上y随x的增大而减小,在[a,1]上y随x的增大而增大,且x=1处y值比x=-1处大,即解得a=-1;
同理,当0当a>1时,在[-1,1]上y随x的增大而减小,所以a不存在.
综上可知,存在实数a,且a=-1满足题意.
应用创新
14.函数y=|x2+bx|-4(b为常数)有下列结论:
①无论b为何值,该函数的图象都经过定点(0,-4);
②若b=-2,则当x<1时,y随x的增大而减小;
③该函数图象关于y轴对称;
④若该函数图象与x轴有3个交点,则b=±4.
其中正确的结论是 .(填序号)
【答案】 ①④
【解析】 ①当x=0时,y=-4,所以①正确;②若b=-2,则y=|x2-2x|-4,设(x1,y1),(x2,y2)满足上式,取x1=0,则y1=-4,取x2=,则y2=-,此时x1(-,-),则由③的变换知函数y=|x2+bx|-4的图象的顶点坐标为(-,-4),若该函数图象与x轴有3个交点,则-4=0,解得b=±4,所以④正确.故正确的结论为①④.
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§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
1.通过一元二次函数图象的学习,提升直观想象素养.2.借助一元二次函数性质的应用,提升逻辑推理素养.
【课程标准要求】
1.一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都可以通过配方化为y=a(x-h)2+k(a≠0),其
中,h= ,k= .
知识点一 一元二次函数的表达式
2.一元二次函数解析式有三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标).
知识点二 一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象
一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到.
a决定一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定一元二次函数图象的左右平移,而且“h正右移,h负左移”;k决定一元二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.简记为“左加右减,上加下减”.
图象和性质 a>0(开口向上) a<0(开口向下)
图象
性
质 对称轴 直线
顶点
知识点三 一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
x=h
(h,k)
性
质 x的取值范围 (-∞,+∞)或R
y的取值范围 [k,+∞) (-∞,k]
函数值的变化趋势 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而减小;
在区间[h,+∞)上,y随x的增大而增大 在区间(-∞,h]上,y随x的增大而增大;
在区间[h,+∞)上,y随x的增大而减小
最值 x=h时,y有最小值k x=h时,y有最大值k
一元二次函数最值问题
『知识拓展』
(1)解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的性质及分类讨论的思想求解.
题型一 求一元二次函数解析式
[例1] 已知二次函数满足:当x=0时,y=-8,当x=4或-2时,y=0.求该二次函数的解析式.
【解】 由当x=4或-2时,y=0,
可设y=a(x-4)(x+2)(a≠0),
由当x=0时,y=-8,得-8a=-8,即a=1.
所以y=(x-4)(x+2)=x2-2x-8.
·解题策略·
求一元二次函数解析式的方法
根据已知条件确定一元二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下:
[变式训练] 已知一元二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为0和
-2,且它有最小值-1,则该一元二次函数的解析式为y= .
x2+2x
【解析】 由题意,可设函数解析式为y=ax(x+2)(a≠0),则y=a(x2+2x)=a(x+1)2-a.
又y有最小值-1,则a=1,所以y=x2+2x.
题型二 一元二次函数的图象变换
[例2] 在同一平面直角坐标系中作出下列函数的图象.
(1)y=x2;(2)y=x2-2;(3)y=2x2-4x.
并分析如何把y=x2的图象变换成y=2x2-4x的图象.
【解】 列表如下.
描点、连线即得相应函数的图象,如图所示.
根据图象可知由y=x2到y=2x2-4x的变化过程如下:
法一 先把y=x2的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2的图象,然后将y=
(x-1)2的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到y=2(x-1)2
的图象,最后把y=2(x-1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y=2x2-4x的
图象.
法二 先把y=x2的图象向下平移1个单位长度得到y=x2-1的图象,然后再把y=x2-1的图象向右平移1个单位长度得到y=(x-1)2-1的图象,最后将y=(x-1)2-1的图象上所有的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,便可得到y=2(x-1)2-2,即y=2x2-4x的图象.
·解题策略·
任意一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都可转化为y=a(x+h)2+k的形式,都可由y=ax2的图象经过适当的平移得到,具体平移方法如图所示:
简记为:h正左移,h负右移;k正上移,k负下移.
[变式训练] 如何把y=x2-4x的图象变换成y=x2的图象
【解】 因为y=x2-4x=(x-2)2-4,
故可先把y=x2-4x的图象向上平移4个单位长度得到y=(x-2)2的图象,
然后再把y=(x-2)2的图象向左平移2个单位长度,便可得到y=x2的图象.
题型三 一元二次函数的性质
[例3] 将函数y=-3x2-6x+1配方,确定其图象的对称轴、顶点坐标,求出它的函数值增加和减少的区间及最大值或最小值,并画出它的图象.
【解】 y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4.
由于x2的系数是负数,所以函数图象开口向下,顶点坐标为(-1,4),对称轴为直线x=-1.
函数值在区间(-∞,-1]上是增加的,在区间[-1,+∞)上是减少的.
函数有最大值,没有最小值,最大值是4.
·解题策略·
对于一元二次函数,根据配方后得到的性质画函数图象,可以直接选出关键点,使画图更简便.
[变式训练] 若函数y=-x2+4x+a,x∈[0,3],若函数的最小值为2,则a= .
2
【解析】 函数y=-x2+4x+a,图象开口向下,对称轴为直线x=2,在x∈[0,3]上,
因为|0-2|>|3-2|,
所以当x=0时,函数值最小,即a=2.
1.平移抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x-4)2-1的作法是( )
A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
C.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度
D.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度
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D
【解析】 要得到y=2(x-4)2-1的图象,只需将y=2x2的图象向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度即可.故选D.
2.若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,则m的值为( )
A.-3 B.3 C.-2 D.2
D
3.将函数图象上的所有点向左移动一个单位,再向下移动两个单位得到的函数解析式为y=2x2+7x+4,则原函数的解析式为( )
A.y=2x2+11x+11 B.y=2x2+3x+7
C.y=2x2+3x+1 D.y=2x2+11x+5
C
【解析】 将函数y=2x2+7x+4的图象上所有点向上平移两个单位,再向右平移一个单位可得到原二次函数的图象,所以y=2(x-1)2+7(x-1)+4+2即原函数的解析式为y=2x2+3x+1.故选C.
4.如图所示是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),且对称轴方程为x=-1,则以下正确的有 .(填序号)
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a①④