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4.3 一元二次不等式的应用
1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习,提升数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用提升数学建模素养.
【课程标准要求】
知识点一 分式不等式的解法
>
<
>
>
≤
≥
对于分式不等式的其他类型,可仿照上述方法求解.
知识点二 利用不等式解决实际问题的一般步骤
1.选取合适的字母表示题中的未知数.
2.由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组).
3.求解所列出的不等式(组).
4.结合题目的实际意义确定答案.
题型一 分式不等式的解法
·解题策略·
分式不等式的一般解题步骤
(1)移项并通分合并,不等式右侧化为0.
(2)转化为同解的整式不等式.
(3)解整式不等式.
题型二 一元二次不等式的实际应用
·解题策略·
求解一元二次不等式的实际问题的一般思路
(1)设未知数,列一元二次不等式.
(2)化成标准形式:ax2+bx+c>0(或≥)或ax2+bx+c<0(或≤),其中a>0.
(3)解方程ax2+bx+c=0.
(4)画出函数y=ax2+bx+c的图象.
(5)借助图象求一元二次不等式的解集,并合理取舍.
(6)下结论写明答案,注意有无单位.
[变式训练] 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:y=
-20x2+2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60 000 元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
【解】 设这家工厂在一个星期内利用这条流水线应该生产x辆摩托车,根据题意,得-20x2+2 200x>60 000,
移项整理,得x2-110x+3 000<0.
对于方程x2-110x+3 000=0,Δ=100>0,方程有两个实数根x1=50,x2=60.
画出一元二次函数y=x2-110x+3 000的图象如图所示,结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50
因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一个星期内生产的摩托车数量在51～59辆时,这家工厂能够利用这条流水线创收60 000元以上.
题型三 一元二次不等式恒成立问题
[例3] (1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C.(-2,2) D.(-2,2]
D
(2)已知函数y=mx2-mx-1.若对于 x∈[1,3],y<5-m恒成立,则实数m的取值范
围为 .
(3)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为 .
·解题策略·
根据一元二次不等式、一元二次函数、一元二次方程之间的关系,把不等式恒成立问题转化为不等式或不等式组问题,通过解不等式或不等式组得结论.
B
(2)若命题“对任意x∈(-∞,0),x2-2ax+4≥0恒成立”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.[-2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,-2] D.(-∞,2]
A
当堂检测
A
A
5
4.某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪.若要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x(单位:m)的取值范围是 .
{x|0【课程标准要求】 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习,提升数学运算素养.2.借助一元二次不等式的应用提升数学建模素养.
知识点一 分式不等式的解法
类型 同解不等式
>0 (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二:(ax+b)(cx+d)>0
≥0 (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二:
>k (其中a,b,c,d,k为常数) 先移项转化为 >0, 再求解
对于分式不等式的其他类型,可仿照上述方法求解.
知识点二 利用不等式解决实际问题的一般步骤
1.选取合适的字母表示题中的未知数.
2.由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组).
3.求解所列出的不等式(组).
4.结合题目的实际意义确定答案.
题型一 分式不等式的解法
[例1] 求下列不等式的解集.
(1)≥0;
(2)>4.
【解】 (1)不等式≥0等价于
解不等式组得-1≤x<3,
故原不等式的解集为{x|-1≤x<3}.
(2)不等式>4等价于-4>0.
即>0,整理得>0,
即(x-3)(x+1)>0,
解不等式得x<-1或x>3.
故原不等式的解集为{x|x<-1,或x>3}.
分式不等式的一般解题步骤
(1)移项并通分合并,不等式右侧化为0.
(2)转化为同解的整式不等式.
(3)解整式不等式.
[变式训练] 求下列不等式的解集.
(1)≥1;
(2)>1.
【解】 (1)法一 原不等式等价于-1≥0,即≥0.
该不等式等价于
解得x≤-3或x>2.
所以原不等式的解集为{x|x≤-3,或x>2}.
法二 因为x-2≠0,所以原不等式等价于或
解得x>2或x≤-3.
故原不等式的解集为{x|x≤-3,或x>2}.
(2)原不等式等价于
即解得0故原不等式的解集为{x|0题型二 一元二次不等式的实际应用
[例2] 某种商品原来定价为每件p元,每月可卖出n件;若定价上涨x成(x成即,0【解】 依题意,涨价后的售货金额为
npz=p(1+)·n(1-),
按实际情况需满足z>1才符合题意,
所以np(1+)(1-)>np.
因为n>0,p>0,y=x,
所以(1+)(1-x)>1,
整理得x2-5x<0,解得0又0故x的取值范围是(0,5).
求解一元二次不等式的实际问题的一般思路
(1)设未知数,列一元二次不等式.
(2)化成标准形式:ax2+bx+c>0(或≥)或ax2+bx+c<0(或≤),其中a>0.
(3)解方程ax2+bx+c=0.
(4)画出函数y=ax2+bx+c的图象.
(5)借助图象求一元二次不等式的解集,并合理取舍.
(6)下结论写明答案,注意有无单位.
[变式训练] 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:y=-20x2+2 200x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60 000 元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
【解】 设这家工厂在一个星期内利用这条流水线应该生产x辆摩托车,根据题意,得-20x2+2 200x>60 000,
移项整理,得x2-110x+3 000<0.
对于方程x2-110x+3 000=0,Δ=100>0,方程有两个实数根x1=50,x2=60.
画出一元二次函数y=x2-110x+3 000的图象如图所示,结合图象得不等式x2-110x+3 000<0的解集为{x|50因为x只能取整数值,所以当这条流水线在一个星期内生产的摩托车数量在51～59辆时,这家工厂能够利用这条流水线创收60 000元以上.
题型三 一元二次不等式恒成立问题
[例3] (1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(-∞,2]
C.(-2,2) D.(-2,2]
(2)已知函数y=mx2-mx-1.若对于 x∈[1,3],y<5-m恒成立,则实数m的取值范围为 .
(3)若mx2-mx-1<0对于m∈[1,2]恒成立,则实数x的取值范围为 .
【答案】 (1)D (2)(-∞,)
(3)(,)
【解析】 (1)当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立;
当a-2≠0,即a≠2时,则有
解得-2综上所述,实数a的取值范围是(-2,2].故选D.
(2)要使y<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,
即m(x-)2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
法一 令y1=m(x-)2+m-6,x∈[1,3].
当m>0时,在[1,3]上y1随x的增大而增大,
所以当x=3时取得最大值7m-6,即7m-6<0,所以m<,所以0当m=0时,-6<0恒成立;
当m<0时,在[1,3]上y1随x的增大而减小,
所以当x=1时取得最大值m-6,
即m-6<0,
所以m<6,所以m<0.
综上所述,实数m的取值范围是(-∞,).
法二 因为x2-x+1=(x-)2+>0,
m(x2-x+1)-6<0,所以m<.
令y2=,
因为函数y2==在[1,3]上的最小值为,
所以只需m<即可.
所以实数m的取值范围是(-∞,).
(3)设关于m的函数y=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象是一条线段,
则
解得故实数x的取值范围为(,).
根据一元二次不等式、一元二次函数、一元二次方程之间的关系,把不等式恒成立问题转化为不等式或不等式组问题,通过解不等式或不等式组得结论.
[变式训练] (1)若一元二次不等式kx2+2(2k+1)x+9>0对一切实数x恒成立,则k的取值范围是( )
A.(0,1) B.(,1)
C.(0,) D.(0,+∞)
(2)若命题“对任意x∈(-∞,0),x2-2ax+4≥0恒成立”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.[-2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,-2] D.(-∞,2]
【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)由题意知,一元二次不等式kx2+2(2k+1)x+9>0对一切实数x恒成立,
则即
解得k∈(,1).故选B.
(2)由题得a≥+对任意x∈(-∞,0)恒成立,+=-[(-)+(-)]≤-2=-2(当且仅当x=-2时,等号成立),所以a≥-2.故选A.
当堂检测
1.不等式 <0的解集是( )
A.(0,) B.(-∞,0)∪(,+∞)
C.[0,) D.[,2)
【答案】 A
【解析】 <0 x(2x-1)<0,
且x≠0 0所以不等式的解集为(0,).故选A.
2.若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(-∞,)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
【答案】 A
【解析】 不等式x2-x+m>0在R上恒成立,
只需满足Δ=(-1)2-4m<0,解得m>.故选A.
3.已知≥0的解集是{x|-1≤x<5},则a的值为 .
【答案】 5
【解析】 由于原不等式等价于
因此结合不等式解集知a=5.
4.某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪.若要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x(单位:m)的取值范围是 .
【答案】 {x|0【解析】 设花卉带的宽度为x m(0基础巩固
1.不等式<的解集是( )
A.{x|x<2} B.{x|x>2}
C.{x|02}
【答案】 D
【解析】 由<可得-<0,即<0,
所以2x(2-x)<0,解得x<0或x>2.故选D.
2.若“-1A.a≤-2或a≥3 B.a<-1或a>3
C.-2【答案】 A
【解析】 <0 (x-a)(x-a-1)>0,解得x>a+1或x由题意可知,{x|-1a+1},得a≥3或a+1≤-1,即a≥3或a≤-2.故选A.
3.某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个,若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,这批削笔器的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A.(10,20) B.[15,20)
C.(16,20) D.[15,25)
【答案】 B
【解析】 设这批削笔器的销售价格定为x(x≥15)元/个,
由题意得[30-(x-15)×2]·x>400,即x2-30x+200<0,因为方程x2-30x+200=0的两个实数根为x1=10,x2=20,
所以x2-30x+200<0的解集为{x|10故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.故选B.
4.不等式≥0的解集为( )
A.[-1,-]∪[3,+∞)
B.[-1,-)∪(3,+∞)
C.[-1,-)∪[3,+∞)
D.[-1,-)∪(3,+∞)
【答案】 C
【解析】 不等式≥0等价于
利用数轴标根法可得-1≤x<-或x≥3,所以不等式的解集为[-1,-)∪[3,+∞).故选C.
5.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤-4或a≥4}
B.{a|-4≤a≤4}
C.{a|a<-4或a>4}
D.{a|-4【答案】 B
【解析】 因为不等式x2+ax+4<0的解集为空集,
所以Δ=a2-4×4≤0,即-4≤a≤4.故选B.
6.若不等式16kx2+8kx+3>0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为( )
A.{k|0C.{k|0【答案】 D
【解析】 当k=0时,不等式为3>0对一切实数x都成立,符合题意,当k≠0时,要使得不等式16kx2+8kx+3>0对一切实数x都成立,
则解得0综上所述,k的取值范围为{k|0≤k<3}.
故选D.
7.如图,在长为8 m,宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪,如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,则花卉带的宽度至少应为 m.
【答案】 1
【解析】 设花卉带的宽度为x m,则
即
所以
故1≤x<3,
所以花卉带的宽度至少应为1 m.
8.关于x的不等式ax2-2x+1≤0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,1]
【解析】 由不等式ax2-2x+1≤0以及x∈(0,2],
可得a≤,
依题意可知a≤()max,x∈(0,2]即可,
令y=,x∈(0,2],
又y==-(-1)2+1,令t=,
由x∈(0,2]可得t=∈[,+∞),
令y=-(t-1)2+1,开口向下,对称轴为直线t=1,t∈[,+∞),
所以ymax=1,即可得a≤1;
即实数a的取值范围是(-∞,1].
9.解关于x的不等式>1(a>0).
【解】 -1>0 >0 [(a-1)x+2-a](x-2)>0.
①当a=1时,不等式的解集为{x|x>2}.
②当a≠1时,方程[(a-1)x+2-a](x-2)=0的两个根为和2,所以当02,不等式的解集为{x|2当a>1时,<2,不等式的解集为{x|x<或 x>2}.
综上所述,当0当a=1时,原不等式的解集为{x|x>2};
当a>1时,原不等式的解集为{x|x<或 x>2}.
10.某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价.
(1)设该商品一天的营业额为y,试求出y与x之间的关系式;
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
【解】 (1)依题意售价降低x成则商品售价为100(1-)=10(10-x)元/件,
售出商品数量为100(1+x)=4(25+4x)件,
所以该商品一天的营业额为y=10(10-x)·4(25+4x)=40(10-x)(25+4x),又售价不能低于成本价,所以10(10-x)-80≥0,解得x≤2,
所以y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2).
(2)由(1)商品一天的营业额为y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2),令40(10-x)(25+4x)≥10 260,化简得8x2-30x+13≤0,
解得≤x≤,又0≤x≤2,
所以x的取值范围为{x|≤x≤2}.
能力提升
11.若关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,则实数m的最小值为( )
A.9 B.5 C.6 D.
【答案】 B
【解析】 因为x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,所以m+1≥x+在[1,4]上有解,
所以m+1≥(x+)min(x∈[1,4]),
又因为x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时取等号,
所以m+1≥6,所以m≥5,即m的最小值为5.故选B.
12.已知关于x的不等式≤0的解集为空集,则实数k的取值范围是 .
【答案】 [0,4)
【解析】 x2-3x+7=(x-)2+>0恒成立,
不等式等价于kx2-kx+1≤0的解集是.
当k=0时,1≤0不成立,解集是;
当k≠0时,解得0综上,0≤k<4.
13.如图所示,某小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米a元.在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺设花岗岩地坪,造价为每平方米210元.再在四个空角(图中四个三角形)上铺设草坪,造价为每平方米80元.
(1)设AD长为x m,总造价为S元.写出S与x的函数关系式.
(2)若市面上花坛造价每平方米1 000到4 000元不等,该小区投入到该休闲场所的资金最多102 000元,问花坛造价最多投入每平方米多少元
【解】 (1)由题意可得,AM=,且AM>0,则0则S=ax2+210×(200-x2)+80×4××()2=(a-200)x2++38 000(0(2)由(1)可知,S=(a-200)x2++38 000≥2+38 000=400+38 000,
当且仅当(a-200)x2=时,等号成立,
由于投入到该休闲场所的资金最多102 000元,所以400+38 000≤102 000,解得a≤2 760,所以花坛造价最多投入每平方米2 760元.
应用创新
14.定义运算:x*y=x(x+y)(x,y∈R).若关于x的不等式(x-a)*(1-2x)<1恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.{a|-1C. D.{a|0【答案】 B
【解析】 由题意,(x-a)*(1-2x)<1可化为(x-a)(x-a+1-2x)-1<0,化简可得x2-x-a2+a+1>0恒成立,所以Δ=1-4×1×(-a2+a+1)<0恒成立,化简可得(2a-3)(2a+1)<0,
解得-21世纪教育网(www.21cnjy.com)4.3 一元二次不等式的应用
基础巩固
1.不等式<的解集是( )
A.{x|x<2} B.{x|x>2}
C.{x|02}
【答案】 D
【解析】 由<可得-<0,即<0,
所以2x(2-x)<0,解得x<0或x>2.故选D.
2.若“-1A.a≤-2或a≥3 B.a<-1或a>3
C.-2【答案】 A
【解析】 <0 (x-a)(x-a-1)>0,解得x>a+1或x由题意可知,{x|-1a+1},得a≥3或a+1≤-1,即a≥3或a≤-2.故选A.
3.某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个,若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,这批削笔器的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A.(10,20) B.[15,20)
C.(16,20) D.[15,25)
【答案】 B
【解析】 设这批削笔器的销售价格定为x(x≥15)元/个,
由题意得[30-(x-15)×2]·x>400,即x2-30x+200<0,因为方程x2-30x+200=0的两个实数根为x1=10,x2=20,
所以x2-30x+200<0的解集为{x|10故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.故选B.
4.不等式≥0的解集为( )
A.[-1,-]∪[3,+∞)
B.[-1,-)∪(3,+∞)
C.[-1,-)∪[3,+∞)
D.[-1,-)∪(3,+∞)
【答案】 C
【解析】 不等式≥0等价于
利用数轴标根法可得-1≤x<-或x≥3,所以不等式的解集为[-1,-)∪[3,+∞).故选C.
5.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤-4或a≥4}
B.{a|-4≤a≤4}
C.{a|a<-4或a>4}
D.{a|-4【答案】 B
【解析】 因为不等式x2+ax+4<0的解集为空集,
所以Δ=a2-4×4≤0,即-4≤a≤4.故选B.
6.若不等式16kx2+8kx+3>0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为( )
A.{k|0C.{k|0【答案】 D
【解析】 当k=0时,不等式为3>0对一切实数x都成立,符合题意,当k≠0时,要使得不等式16kx2+8kx+3>0对一切实数x都成立,
则解得0综上所述,k的取值范围为{k|0≤k<3}.
故选D.
7.如图,在长为8 m,宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪,如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,则花卉带的宽度至少应为 m.
【答案】 1
【解析】 设花卉带的宽度为x m,则
即
所以
故1≤x<3,
所以花卉带的宽度至少应为1 m.
8.关于x的不等式ax2-2x+1≤0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,1]
【解析】 由不等式ax2-2x+1≤0以及x∈(0,2],
可得a≤,
依题意可知a≤()max,x∈(0,2]即可,
令y=,x∈(0,2],
又y==-(-1)2+1,令t=,
由x∈(0,2]可得t=∈[,+∞),
令y=-(t-1)2+1,开口向下,对称轴为直线t=1,t∈[,+∞),
所以ymax=1,即可得a≤1;
即实数a的取值范围是(-∞,1].
9.解关于x的不等式>1(a>0).
【解】 -1>0 >0 [(a-1)x+2-a](x-2)>0.
①当a=1时,不等式的解集为{x|x>2}.
②当a≠1时,方程[(a-1)x+2-a](x-2)=0的两个根为和2,所以当02,不等式的解集为{x|2当a>1时,<2,不等式的解集为{x|x<或 x>2}.
综上所述,当0当a=1时,原不等式的解集为{x|x>2};
当a>1时,原不等式的解集为{x|x<或 x>2}.
10.某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价.
(1)设该商品一天的营业额为y,试求出y与x之间的关系式;
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围.
【解】 (1)依题意售价降低x成则商品售价为100(1-)=10(10-x)元/件,
售出商品数量为100(1+x)=4(25+4x)件,
所以该商品一天的营业额为y=10(10-x)·4(25+4x)=40(10-x)(25+4x),又售价不能低于成本价,所以10(10-x)-80≥0,解得x≤2,
所以y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2).
(2)由(1)商品一天的营业额为y=40(10-x)(25+4x)(0≤x≤2),令40(10-x)(25+4x)≥10 260,化简得8x2-30x+13≤0,
解得≤x≤,又0≤x≤2,
所以x的取值范围为{x|≤x≤2}.
能力提升
11.若关于x的不等式x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,则实数m的最小值为( )
A.9 B.5 C.6 D.
【答案】 B
【解析】 因为x2-(m+1)x+9≤0在[1,4]上有解,所以m+1≥x+在[1,4]上有解,
所以m+1≥(x+)min(x∈[1,4]),
又因为x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时取等号,
所以m+1≥6,所以m≥5,即m的最小值为5.故选B.
12.已知关于x的不等式≤0的解集为空集,则实数k的取值范围是 .
【答案】 [0,4)
【解析】 x2-3x+7=(x-)2+>0恒成立,
不等式等价于kx2-kx+1≤0的解集是.
当k=0时,1≤0不成立,解集是;
当k≠0时,解得0综上,0≤k<4.
13.如图所示,某小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米a元.在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺设花岗岩地坪,造价为每平方米210元.再在四个空角(图中四个三角形)上铺设草坪,造价为每平方米80元.
(1)设AD长为x m,总造价为S元.写出S与x的函数关系式.
(2)若市面上花坛造价每平方米1 000到4 000元不等,该小区投入到该休闲场所的资金最多102 000元,问花坛造价最多投入每平方米多少元
【解】 (1)由题意可得,AM=,且AM>0,则0则S=ax2+210×(200-x2)+80×4××()2=(a-200)x2++38 000(0(2)由(1)可知,S=(a-200)x2++38 000≥2+38 000=400+38 000,
当且仅当(a-200)x2=时,等号成立,
由于投入到该休闲场所的资金最多102 000元,所以400+38 000≤102 000,解得a≤2 760,所以花坛造价最多投入每平方米2 760元.
应用创新
14.定义运算:x*y=x(x+y)(x,y∈R).若关于x的不等式(x-a)*(1-2x)<1恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.{a|-1C. D.{a|0【答案】 B
【解析】 由题意,(x-a)*(1-2x)<1可化为(x-a)(x-a+1-2x)-1<0,化简可得x2-x-a2+a+1>0恒成立,所以Δ=1-4×1×(-a2+a+1)<0恒成立,化简可得(2a-3)(2a+1)<0,
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