4.2 一元二次不等式及其解法
基础巩固
1.一元二次不等式2x2+x-6≥0的解集为( )
A.(-∞,-2]∪[,+∞)
B.(-∞,-]∪[2,+∞)
C.[-2,]
D.[-,2]
【答案】 A
【解析】 一元二次不等式2x2+x-6≥0可化为
(x+2)(2x-3)≥0,解得x≤-2或x≥,
所以原不等式的解集为(-∞,-2]∪[,+∞).故选A.
2.使“x2+5x-6<0”成立的一个充分不必要条件是( )
A.-5
C.-7【答案】 A
【解析】 由x2+5x-6<0,即(x+6)(x-1)<0,解得-63.已知不等式ax2+bx+3>0的解集是(-3,1),则a+b等于( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】 A
【解析】 不等式ax2+bx+3>0的解集是(-3,1),
则解得a=-1,b=-2,则a+b=-3.故选A.
4.若t>1,则关于x的不等式(t-x)(x-)<0的解集是( )
A.{x} B.{x|x>,或xC.{x|x<,或x>t} D.{x}
【答案】 C
【解析】 因为t>1,所以0<<1由(t-x)(x-)<0,得(x-t)(x-)>0,
解得x<,或x>t.
所以不等式的解集为{x|x<,或x>t}.故选C.
5.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-1A B
C D
【答案】 C
【解析】 由题意可得-1和是方程ax2-x-c=0的两个根,且a<0,
所以解得a=-2,c=-1,
则y=cx2-x-a=-x2-x+2=-(x+2)(x-1),
则函数图象开口向下,与x轴交于点(-2,0),(1,0).故选C.
6.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥3},则下列说法正确的是( )
A.a>0
B.ax+c>0的解集为{x|x<6}
C.8a+4b+3c>0
D.cx2+bx+a<0的解集为{x|-【答案】 BCD
【解析】 由题意可知,-2,3是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,
则3×(-2)=,3+(-2)=-,
即c=-6a,b=-a,选项A错误;
对于选项B,不等式ax+c>0为ax-6a>0,而a<0,
解得x<6,故选项B正确;
对于选项C,8a+4b+3c=8a-4a+3(-6a)=-14a>0,故选项C正确;
对于选项D,不等式cx2+bx+a<0为-6ax2-ax+a<0,即6x2+x-1<0,
解得-7.一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1
y -10 -4 0 2 2
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为 .
【答案】 (-1,2)
【解析】 由题意,一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的图象开口向下,且对称轴方程为x==,
所以当方程ax2+bx+c=0时,
解为x1=-1,x2=2,
所以ax2+bx+c>0的解为-18.不等式x2-2|x|-15>0的解集是 .
【答案】 {x|x>5或x<-5}
【解析】 不等式x2-2|x|-15>0可化为|x|2-2|x|-15=(|x|+3)(|x|-5)>0,
解得|x|>5或|x|<-3(舍去),所以x>5或x<-5,
即不等式x2-2|x|-15>0的解集为{x|x>5或x<-5}.
9.解下列不等式:
(1)(x-2)(3-x)≤0;
(2)x(x+2)≤3(x+2);
(3)(1-x)(2-x)<0;
(4)x2-x-2>0.
【解】 (1)(x-2)(3-x)≤0可以转化为(x-2)(x-3)≥0,解集为(-∞,2]∪[3,+∞).
(2)x(x+2)≤3(x+2),移项可得(x-3)(x+2)≤0,解集为[-2,3].
(3)(1-x)(2-x)<0可化为(x-1)(x-2)<0,解集为(1,2).
(4)x2-x-2>0,因式分解可得(x+1)(x-2)>0,解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).
10.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R).
【解】 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式化为(x-)(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1.
③当a<0时,原不等式化为(x-)(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1;
当<-1,即-2综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为{x|x≥,或x≤-1};
当-2当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为{x|-1≤x≤}.
能力提升
11.已知使不等式x2+(2a+1)x+2a≤0成立的任意一个x,都满足不等式x2-4x-5≤0,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-)
B.[-,]
C.[,+∞)
D.(-∞,-]∪[,+∞)
【答案】 B
【解析】 不等式x2-4x-5≤0可化为(x-5)(x+1)≤0,解得-1≤x≤5,
因为使不等式x2+(2a+1)x+2a≤0成立的任意一个x,都满足不等式x2-4x-5≤0,
所以不等式x2+(2a+1)x+2a≤0的解集是[-1,5]的子集,
由x2+(2a+1)x+2a≤0可得(x+2a)(x+1)≤0,(*)
当2a=1时,a=,不等式(*)的解集为{-1},满足{-1} [-1,5];
当a>时,不等式(*)的解集为[-2a,-1],令[-2a,-1] [-1,5],得-2a≥-1,解得a≤,无解;
当a<时,不等式(*)的解集为[-1,-2a],令[-1,-2a] [-1,5],得-2a≤5,解得a≥-,所以-≤a<.
综上,实数a的取值范围是{a|-≤a≤}.故选B.
12.若关于x的不等式x2-(m+1)x+m<0的解集中恰有3个整数,则实数m的取值范围为 .
【答案】 {m|-3≤m<-2或4【解析】 由x2-(m+1)x+m<0,可得(x-m)(x-1)<0.
①当m<1时,不等式x2-(m+1)x+m<0的解集为{x|m若解集中恰有3个整数,则-3≤m<-2;
②当m=1时,不等式x2-(m+1)x+m<0的解集为,不符合题意;
③当m>1时,不等式x2-(m+1)x+m<0的解集为{x|1若解集中恰有3个整数,则4综上,实数m的取值范围为{m|-3≤m<-2或413.已知二次函数y=x2-2ax-3a2,a∈R.
(1)若不等式y<0的解集为{x|-1(2)若-1【解】 (1)由题意知不等式x2-2ax-3a2<0的解集为{x|-1(2)不等式y<0,
即x2-2ax-3a2=(x-3a)(x+a)<0.
当a=0时,不等式y<0的解集为;
当a>0时,不等式y<0的解集为{x|-a当a<0时,不等式y<0的解集为{x|3a因为-1当a=0时,满足;
当a>0时,由或得0当a<0时,由或得-≤a<0,此时{x|3a综上,实数a的取值范围是{a|-≤a≤}.
应用创新
14.(多选题)已知关于x的不等式t(x+1)(x-2)-1>0的解集是(x1,x2),其中x1A.x1+x2-1=0 B.-1C.|x1-x2|>3 D.x1x2+2>0
【答案】 ABD
【解析】 t(x+1)(x-2)-1>0的解集为(x1,x2),即tx2-tx-2t-1>0的解集为(x1,x2),可知t<0,且x1+
x2=1,x1x2=-=-2->-2,故x1+x2-1=0,x1x2+2>0,故A,D正确;|x1-x2|==
<3,故C错误;因为=,由对称性可知x1>-=-1,x2<+=2,故-121世纪教育网(www.21cnjy.com)(共36张PPT)
4.2 一元二次不等式及其解法
1.从实际情境中抽象出一元二次不等式的概念,提升数学抽象素养.2.通过从一元二次函数的观点得到一元二次不等式的求解方法,提升数学抽象、逻辑推理素养.3.通过对一元二次不等式的学习,提升数学运算素养.
【课程标准要求】
1.一般地,形如 ,或 ,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
知识点一 一元二次不等式的概念
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
知识点二 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解方法
知识点三 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次函数y=
ax2+bx+c(a>0)的
图象
{x|xx2}
{x|x1[思考1] 关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R,a,b,c满足的条件是什么
题型一 解一元二次不等式
[例1] 求下列不等式的解集.
(1)2x2+5x-3<0;
(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2-4x+1>0;
(4)-x2+6x-10>0.
·解题策略·
解一元二次不等式的一般步骤
第一步:把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正,右边为0的形式);第二步:求Δ=b2-4ac;第三步:若Δ≤0,根据一元二次函数图象直接写出解集;若Δ>0,根据对应方程的根写出解集(大于取两边,小于取中间).
[变式训练] 求下列不等式的解集.
(1)2x2+7x+3>0;
(3)-2x2+3x-2<0.
【解】 (3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,
因为方程2x2-3x+2=0的Δ=9-4×2×2=-7<0,
所以方程2x2-3x+2=0无实根,
又一元二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
题型二 解含参数的一元二次不等式
C
(2)若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(1,3)
C.(-1,3)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
C
【答案】 (2)若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),所以当x=1时,ax-b=0,即a=b,且a<0,不等式(ax+b)(x-3)>0为(ax+a)(x-3)>0,即(x+1)(x-3)<0,所以-1<
x<3.故选C.
·解题策略·
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
[变式训练] 求关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集,其中a是常数.
题型三 三个“二次”之间的关系
[例3] 已知关于x的不等式ax2+bx-12≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}.
(1)求a,b的值;
(2)求关于x的不等式bx2+ax+6≥0的解集.
【解】 (2)由(1)知,a=1,b=-1时,
不等式bx2+ax+6≥0为-x2+x+6≥0 (x+2)(x-3)≤0 -2≤x≤3,
所以不等式bx2+ax+6≥0的解集是{x|-2≤x≤3}.
·解题策略·
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
给出了一元二次不等式的解集,则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.
[变式训练] 已知不等式x2-(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2}.
(1)求实数a,b的值;
(2)解关于x的不等式(x-c)(ax-b)>0(c为常数,且c≠2).
【解】 (2)将a=1,b=2代入关于x的不等式(x-c)(ax-b)>0,得(x-c)(x-2)>0,
因为c为常数,且c≠2,所以当c>2时,不等式的解集为{x|x>c,或x<2};
当c<2时,不等式的解集为{x|x>2,或x1.(多选题)下列不等式一定是一元二次不等式的是( )
A.x2>0 B.-x2-x≤5
C.mx2-5y<0 D.ax2+bx+c>0
当堂检测
AB
【解析】 对于A,x2>0,符合一元二次不等式的定义,是一元二次不等式,故A正确;
对于B,-x2-x≤5,符合一元二次不等式的定义,是一元二次不等式,故B正确;
对于C,mx2-5y<0,含有两个未知数,故不是一元二次不等式,故C错误;
对于D,ax2+bx+c>0,当a=0时不是一元二次不等式,故D错误.
故选A,B.
C
D
4.已知关于x的不等式kx2-kx-1<0解集为R,则实数k的取值范围是 .
(-4,0]4.2 一元二次不等式及其解法
【课程标准要求】 1.从实际情境中抽象出一元二次不等式的概念,提升数学抽象素养.2.通过从一元二次函数的观点得到一元二次不等式的求解方法,提升数学抽象、逻辑推理素养.3.通过对一元二次不等式的学习,提升数学运算素养.
知识点一 一元二次不等式的概念
1.一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,
a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集:使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
知识点二 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解方法
知识点三 一元二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠-} R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1< x[思考1] 关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R,a,b,c满足的条件是什么
提示:或
[思考2] 关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为,a,b,c满足的条件是什么
提示:或
题型一 解一元二次不等式
[例1] 求下列不等式的解集.
(1)2x2+5x-3<0;
(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2-4x+1>0;
(4)-x2+6x-10>0.
【解】 (1)方程2x2+5x-3=0的两实根为x1=-3,x2=,作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①.由图可得原不等式的解集为{x|-3(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.方程3x2-6x+2=0的Δ=36-4×3×2=12>0,
解方程3x2-6x+2=0,得x1=,
x2=.
作出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②,
由图可得原不等式的解集为{x|x≤,或x≥}.
(3)因为方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=.作出函数y=4x2-4x+1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为{x|x≠}.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,
因为方程x2-6x+10=0的Δ=36-40=-4<0,
所以方程x2-6x+10=0无实根,
所以原不等式的解集为.
解一元二次不等式的一般步骤
第一步:把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正,右边为0的形式);第二步:求Δ=b2-4ac;第三步:若Δ≤0,根据一元二次函数图象直接写出解集;若Δ>0,根据对应方程的根写出解集(大于取两边,小于取中间).
[变式训练] 求下列不等式的解集.
(1)2x2+7x+3>0;
(2)-4x2+18x-≥0;
(3)-2x2+3x-2<0.
【解】 (1)因为方程2x2+7x+3=0的Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,x2=-.又一元二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x>-,或x<-3}.
(2)原不等式可化为(2x-)2≤0,
所以原不等式的解集为{x|x=}.
(3)原不等式可化为2x2-3x+2>0,
因为方程2x2-3x+2=0的Δ=9-4×2×2=-7<0,
所以方程2x2-3x+2=0无实根,
又一元二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
题型二 解含参数的一元二次不等式
[例2] (1)当实数a<-1时,关于x的一元二次不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是( )
A.{x|-1B.{x|x≠-1}
C.{x|x<-1,或x>}
D.{x|(2)若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(1,3)
C.(-1,3)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)因为a<-1,所以0>>-1,
所以(ax-1)(x+1)<0的解集为{x|x<-1,或x>}.故选C.
(2)若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),所以当x=1时,ax-b=0,即a=b,且a<0,不等式(ax+b)(x-3)>0为(ax+a)(x-3)>0,即(x+1)(x-3)<0,所以-1解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.
[变式训练] 求关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0的解集,其中a是常数.
【解】 当a=0时,原不等式可化为x>1.
当a≠0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0.
当a<0时,不等式可化为(x-)(x-1)>0,
因为<1,所以x<或x>1.
当a>0时,原不等式可化为(x-)(x-1)<0.
若<1,即a>1时,则若=1,即a=1时,则x∈;
若>1,即0综上所述,当a<0时,原不等式的解集为{x|x<,或x>1};
当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1};
当0当a=1时,原不等式的解集为;
当a>1时,原不等式的解集为{x|题型三 三个“二次”之间的关系
[例3] 已知关于x的不等式ax2+bx-12≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4}.
(1)求a,b的值;
(2)求关于x的不等式bx2+ax+6≥0的解集.
【解】 (1)关于x的不等式ax2+bx-12≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},所以a>0,且-3和4是方程ax2+bx-12=0的两实数根,
由根与系数的关系知,
解得a=1,b=-1.
(2)由(1)知,a=1,b=-1时,
不等式bx2+ax+6≥0为-x2+x+6≥0 (x+2)(x-3)≤0 -2≤x≤3,
所以不等式bx2+ax+6≥0的解集是{x|-2≤x≤3}.
应用三个“二次”之间的关系解题的思想
给出了一元二次不等式的解集,则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程
的根.
[变式训练] 已知不等式x2-(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2}.
(1)求实数a,b的值;
(2)解关于x的不等式(x-c)(ax-b)>0(c为常数,且c≠2).
【解】 (1)因为不等式x2-(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2},所以
所以a=1,b=2.
(2)将a=1,b=2代入关于x的不等式(x-c)(ax-b)>0,得(x-c)(x-2)>0,
因为c为常数,且c≠2,所以当c>2时,不等式的解集为{x|x>c,或x<2};
当c<2时,不等式的解集为{x|x>2,或x当堂检测
1.(多选题)下列不等式一定是一元二次不等式的是( )
A.x2>0 B.-x2-x≤5
C.mx2-5y<0 D.ax2+bx+c>0
【答案】 AB
【解析】 对于A,x2>0,符合一元二次不等式的定义,是一元二次不等式,故A正确;
对于B,-x2-x≤5,符合一元二次不等式的定义,是一元二次不等式,故B正确;
对于C,mx2-5y<0,含有两个未知数,故不是一元二次不等式,故C错误;
对于D,ax2+bx+c>0,当a=0时不是一元二次不等式,故D错误.
故选A,B.
2.不等式3+5x-2x2≤0的解集为( )
A.{x|x>3,或x<-}
B.{x|-≤x≤3}
C.{x|x≥3,或x≤-}
D.R
【答案】 C
【解析】 3+5x-2x2≤0 2x2-5x-3≥0 (x-3)(2x+1)≥0 x≥3或x≤-.故选C.
3.若0A.{x|xB.{x|x>,或xC.{x|x>m,或x<}
D.{x|m【答案】 D
【解析】 因为01>m,
故原不等式的解集为{x|m4.已知关于x的不等式kx2-kx-1<0解集为R,则实数k的取值范围是 .
【答案】 (-4,0]
【解析】 k=0时,-1<0恒成立,满足题意;
k≠0时,解得-4所以k的取值范围是(-4,0].
基础巩固
1.一元二次不等式2x2+x-6≥0的解集为( )
A.(-∞,-2]∪[,+∞)
B.(-∞,-]∪[2,+∞)
C.[-2,]
D.[-,2]
【答案】 A
【解析】 一元二次不等式2x2+x-6≥0可化为
(x+2)(2x-3)≥0,解得x≤-2或x≥,
所以原不等式的解集为(-∞,-2]∪[,+∞).故选A.
2.使“x2+5x-6<0”成立的一个充分不必要条件是( )
A.-5C.-7【答案】 A
【解析】 由x2+5x-6<0,即(x+6)(x-1)<0,解得-63.已知不等式ax2+bx+3>0的解集是(-3,1),则a+b等于( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【答案】 A
【解析】 不等式ax2+bx+3>0的解集是(-3,1),
则解得a=-1,b=-2,则a+b=-3.故选A.
4.若t>1,则关于x的不等式(t-x)(x-)<0的解集是( )
A.{x} B.{x|x>,或xC.{x|x<,或x>t} D.{x}
【答案】 C
【解析】 因为t>1,所以0<<1由(t-x)(x-)<0,得(x-t)(x-)>0,
解得x<,或x>t.
所以不等式的解集为{x|x<,或x>t}.故选C.
5.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-1A B
C D
【答案】 C
【解析】 由题意可得-1和是方程ax2-x-c=0的两个根,且a<0,
所以解得a=-2,c=-1,
则y=cx2-x-a=-x2-x+2=-(x+2)(x-1),
则函数图象开口向下,与x轴交于点(-2,0),(1,0).故选C.
6.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-2或x≥3},则下列说法正确的是( )
A.a>0
B.ax+c>0的解集为{x|x<6}
C.8a+4b+3c>0
D.cx2+bx+a<0的解集为{x|-【答案】 BCD
【解析】 由题意可知,-2,3是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,
则3×(-2)=,3+(-2)=-,
即c=-6a,b=-a,选项A错误;
对于选项B,不等式ax+c>0为ax-6a>0,而a<0,
解得x<6,故选项B正确;
对于选项C,8a+4b+3c=8a-4a+3(-6a)=-14a>0,故选项C正确;
对于选项D,不等式cx2+bx+a<0为-6ax2-ax+a<0,即6x2+x-1<0,
解得-7.一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:
x -3 -2 -1 0 1
y -10 -4 0 2 2
则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为 .
【答案】 (-1,2)
【解析】 由题意,一元二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的图象开口向下,且对称轴方程为x==,
所以当方程ax2+bx+c=0时,
解为x1=-1,x2=2,
所以ax2+bx+c>0的解为-18.不等式x2-2|x|-15>0的解集是 .
【答案】 {x|x>5或x<-5}
【解析】 不等式x2-2|x|-15>0可化为|x|2-2|x|-15=(|x|+3)(|x|-5)>0,
解得|x|>5或|x|<-3(舍去),所以x>5或x<-5,
即不等式x2-2|x|-15>0的解集为{x|x>5或x<-5}.
9.解下列不等式:
(1)(x-2)(3-x)≤0;
(2)x(x+2)≤3(x+2);
(3)(1-x)(2-x)<0;
(4)x2-x-2>0.
【解】 (1)(x-2)(3-x)≤0可以转化为(x-2)(x-3)≥0,解集为(-∞,2]∪[3,+∞).
(2)x(x+2)≤3(x+2),移项可得(x-3)(x+2)≤0,解集为[-2,3].
(3)(1-x)(2-x)<0可化为(x-1)(x-2)<0,解集为(1,2).
(4)x2-x-2>0,因式分解可得(x+1)(x-2)>0,解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).
10.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R).
【解】 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式化为(x-)(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1.
③当a<0时,原不等式化为(x-)(x+1)≤0.
当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;
当=-1,即a=-2时,解得x=-1;
当<-1,即-2综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为{x|x≥,或x≤-1};
当-2当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为{x|-1≤x≤}.
能力提升
11.已知使不等式x2+(2a+1)x+2a≤0成立的任意一个x,都满足不等式x2-4x-5≤0,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-)
B.[-,]
C.[,+∞)
D.(-∞,-]∪[,+∞)
【答案】 B
【解析】 不等式x2-4x-5≤0可化为(x-5)(x+1)≤0,解得-1≤x≤5,
因为使不等式x2+(2a+1)x+2a≤0成立的任意一个x,都满足不等式x2-4x-5≤0,
所以不等式x2+(2a+1)x+2a≤0的解集是[-1,5]的子集,
由x2+(2a+1)x+2a≤0可得(x+2a)(x+1)≤0,(*)
当2a=1时,a=,不等式(*)的解集为{-1},满足{-1} [-1,5];
当a>时,不等式(*)的解集为[-2a,-1],令[-2a,-1] [-1,5],得-2a≥-1,解得a≤,无解;
当a<时,不等式(*)的解集为[-1,-2a],令[-1,-2a] [-1,5],得-2a≤5,解得a≥-,所以-≤a<.
综上,实数a的取值范围是{a|-≤a≤}.故选B.
12.若关于x的不等式x2-(m+1)x+m<0的解集中恰有3个整数,则实数m的取值范围为 .
【答案】 {m|-3≤m<-2或4【解析】 由x2-(m+1)x+m<0,可得(x-m)(x-1)<0.
①当m<1时,不等式x2-(m+1)x+m<0的解集为{x|m若解集中恰有3个整数,则-3≤m<-2;
②当m=1时,不等式x2-(m+1)x+m<0的解集为,不符合题意;
③当m>1时,不等式x2-(m+1)x+m<0的解集为{x|1若解集中恰有3个整数,则4综上,实数m的取值范围为{m|-3≤m<-2或413.已知二次函数y=x2-2ax-3a2,a∈R.
(1)若不等式y<0的解集为{x|-1(2)若-1【解】 (1)由题意知不等式x2-2ax-3a2<0的解集为{x|-1(2)不等式y<0,
即x2-2ax-3a2=(x-3a)(x+a)<0.
当a=0时,不等式y<0的解集为;
当a>0时,不等式y<0的解集为{x|-a当a<0时,不等式y<0的解集为{x|3a因为-1当a=0时,满足;
当a>0时,由或得0当a<0时,由或得-≤a<0,此时{x|3a综上,实数a的取值范围是{a|-≤a≤}.
应用创新
14.(多选题)已知关于x的不等式t(x+1)(x-2)-1>0的解集是(x1,x2),其中x1A.x1+x2-1=0 B.-1C.|x1-x2|>3 D.x1x2+2>0
【答案】 ABD
【解析】 t(x+1)(x-2)-1>0的解集为(x1,x2),即tx2-tx-2t-1>0的解集为(x1,x2),可知t<0,且x1+
x2=1,x1x2=-=-2->-2,故x1+x2-1=0,x1x2+2>0,故A,D正确;|x1-x2|==
<3,故C错误;因为=,由对称性可知x1>-=-1,x2<+=2,故-121世纪教育网(www.21cnjy.com)