北京理工大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题 (含答案)

2025北京理工大附中高一（下）期中
数 学
考试时间 90 分钟
选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在范围内，与角终边相同的角是
A. B. C. D.
2. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
B.
C. 2 D. 4
3. 已知角终边上一点，若，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D.
4.下列各式的值等于的是（ ）
A． B． C． D．
5. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　）
A. B. C. D.
6. 已知满足，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数．若对任意，都有≤≤成立，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
8. 已知函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 若，则（ ）
A. B. C. D.
10. 函数是（ ）
A. 奇函数，且最大值为 B. 偶函数，且最大值为
C. 奇函数，且最大值为 D. 偶函数，且最大值为
11.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A. B. C. D.
12. 如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ）
0 B.
C. 2 D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
13. 已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.
14. ；
.
如图,边长为2的正方形中,点满足
,则 ；若点是线段上的动点,则的取值范围是 ．
16. 已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为__________.
17. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论错误的序号是___；
①的一个周期为；
②的最大值为；
③的图象关于直线对称；
④在区间上有3个零点．
三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18. 已知向量.
（1）当时，求实数的值；
（2）当时，求向量与的夹角的余弦值.
19. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.
20．已知函数的一段图象如图所示：
(1)求函数的表达式和单调递减区间；
(2)若函数在的值域是，求的取值范围；
(3)若，，求的值．
21. 设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数和是否具有性质？(结论不要求证明)
（2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；
（3）若函数具有性质，且直线为其图象的一条对称轴，证明：为周期函数.
参考答案
选择题：
1-6 A A D D B C 7-12 C A B D A D
二、填空题：
13. 14.； 15. ; [1，2]
16. 17. ① ②③
三、解答题：
18. （1）由题意可得，
因为，所以.
（2），因，所以，
所以，所以，
即向量与的夹角的余弦值为.
19. （1）由锐角，，得点，都在第一象限，而点的纵坐标为，点的横坐标为，则点的横坐标为，点的纵坐标为，因此；
.
（2）由（1）知，.
（3）依题意，点在角的终边上，且，由（1）知，
则点的横坐标为，
点的纵坐标为，
所以点的坐标为.
20．（1）由图象可知，，所以，又，故.
由，得，又，故.
于是.
由，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
又
（3），即，
，
由，得，又，
所以，
则，
于是.
21. （1）函数不具有性质，具有性质，（2）在上有最大值，（3）证明见解析
【解析】（1）因为函数是单调递增函数，所以函数不具有性质，
当时，函数对于任意，成立，所以具有性质，
（2）设，则，则题意得，
所以，，
所以当，在上有最大值，
（3）当，时，结论显然成立，
以下考虑不恒为零的情况，即，使得，
由直线为图像的一条对称轴，得，
由题意可得，，，使得成立，
所以，即，
由直线为图像的一条对称轴，得，
因为，，
所以，所以，
所以对于任意，成立，其中，
综上，为周期函数.