2.1 函数概念
【课程标准要求】 1.通过用集合语言和对应关系刻画函数,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,通过简单函数的定义域、值域的求解,提升数学运算的核心素养.
知识点一 函数的概念
给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中集合A称为函数的定义域,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.习惯上我们称y是x的函数.
[思考1] 如果函数y=f(x)的定义域、值域确定,那么对应关系确定吗
提示:不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系f(x)=x2或f(x)=|x|均可.
知识点二 同一个函数
一般地,如果两个函数的定义域相同,对应关系也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的是同一个函数.
[思考2] 函数y=f(x)(x∈R)与y=f(t)(t∈R)是同一个函数吗
提示:是,虽然自变量的表示字母不同,但是定义域都是R,并且对应关系f相同.
知识拓展
理解函数的概念应关注三点
(1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
(2)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”.
(3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数.
题型一 函数概念的理解
[例1] 下列从集合A到集合B的对应关系中,判断y是不是x的函数.
(1)A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系f:x→y=;
(2)A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x;
(3)A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25;
(4)A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y=x2;
(5)A={(x,t)|x∈R,t∈R},B={y|y∈R},对应关系f:(x,t)→y=x+t;
(6)A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={y|y=0},对应关系f:x→y=0.
【解】 (1)在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以y不是x的函数.
(2)在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以y不是x的函数.
(3)在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以y不是x的
函数.
(5)A不是数集,所以不能确定y是x的函数.
(4)(6)中的对应关系满足函数的概念,y是x的函数.
判断一个对应关系是不是函数的方法
[变式训练] (1)(多选题)下列对应关系f是A到B的函数的是( )
A.A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根
B.A=R,B=R,f:x→x的倒数
C.A=R,B=R,f:x→x2-2
D.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:x→x2
(2)(多选题)集合A,B与对应关系f如图所示,则f:A→B是从集合A到集合B的函数的是( )
A B
C D
【答案】 (1)CD (2)AC
【解析】 (1)对于A,集合A中的一个元素,在集合B中能找到两个元素与之对应,不是A到B的函数;对于B,集合A中有一个元素0,在集合B中没有对应元素,不是A到B的函数;对于C,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是A到B的函数;对于D,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是A到B的函数.故选C,D.
(2)对于A,集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个元素与之对应,是A到B的函数;对于B,集合A中存在元素3在集合B中没有与之对应的元素,不是A到B的函数;对于C,集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个元素与之对应,是A到B的函数;对于D,集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应,不是A到B的函数.故选A,C.
题型二 函数定义域的求法
[例2] 求下列函数的定义域.
(1)y=-;
(2)y=;
(3)y=+;
(4)f(x)=+.
【解】 (1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x≤1,且x≠-1,
即函数的定义域为{x|x≤1,且x≠-1}.
(2)要使函数有意义,则-x2+2x+8≥0,
解得-2≤x≤4,
因此函数的定义域为[-2,4].
(3)要使函数有意义,则
即所以x2=1,
从而函数的定义域为{x|x=±1}={1,-1}.
(4)要使函数有意义,
则即
即-3≤x<,
且x≠-,
所以函数的定义域为[-3,-)∪(-,).
根据函数的解析式求函数的定义域的方法
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个及以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各代数式都有意义的公共部分的集合.
易错警示:(1)求函数的定义域不要对解析式化简变形,以免定义域变化.
(2)函数的定义域要写成集合或区间的形式.
[变式训练] (1)函数f(x)=的定义域为( )
A.[1,+∞) B.(1,+∞)
C.[1,2) D.[1,2)∪(2,+∞)
(2)函数f(x)=(x-3)0++的定义域为( )
A.(-∞,1)∪[2,3) B.(-1,2)∪(3,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,3) D.(-1,2)∪(2,3]
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)由f(x)=,
得解得 x≥1,且x≠2,
所以函数f(x)=的定义域为[1,2)∪(2,+∞).故选D.
(2)根据题意可得解得x<3,且x≠1,所以函数f(x)=(x-3)0++的定义域为(-∞,1)∪(1,3).故选C.
题型三 同一个函数的判断
[例3] (1)(多选题)下列函数中,与函数y=x+1是同一个函数的是( )
A.y=()2 B.y=t+1
C.y=+1 D.y=+1
(2)(多选题)下列各选项中的两个函数是同一个函数的是( )
A.f(x)=2|x|,g(x)=
B.f(x)=,g(x)=
C.f(x)=,g(x)=
D.f(x)=x+1,g(x)=
【答案】 (1)BD (2)AC
【解析】 (1)只有定义域和对应关系都相同的两个函数才是同一个函数.函数y=x+1的定义域是R,y=()2的定义域为[-1,+∞),与y=x+1的定义域不同,所以两个函数不是同一个函数;函数y=t+1与y=x+1的对应关系、定义域都相同,所以两个函数为同一个函数;函数y=+1(x≠0)与y=x+1的定义域不同,所以两个函数不是同一个函数;函数y=+1=x+1与y=x+1的对应关系、定义域都相同,所以两个函数为同一个函数.故选B,D.
(2)因为g(x)==2|x|=f(x),且两函数定义域都是R,故两函数是同一个函数,所以A正确;因为f(x)=的定义域为[0,+∞),而g(x)=的定义域为(0,+∞),故两函数不是同一个函数,所以B错误;因为g(x)===f(x),且定义域都为{x|x≠0},故两函数是同一个函数,所以C正确;函数f(x)=x+1的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠1},故两函数不是同一个函数,所以D错误.故选A,C.
判断两个函数是不是同一个函数应注意三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时,必须是等价变形.
[变式训练] 下列各组函数是同一个函数的是( )
A.y=1,y=
B.y=·,y=
C.y=|x|,y=()2
D.y=x,y=
【答案】 D
【解析】 A,B,C中的两函数定义域均不相同.故选D.
题型四 函数值域的求法
[例4] 求下列函数的值域.
(1)y=;
(2)y=x+;
(3)y=x-;
(4)y=2-.
【解】 (1)因为y===5+,且≠0,所以y≠5.
所以函数的值域是{y|y≠5}.
(2)函数y=x+的定义域为{x|x≠0}.
当x>0时,y=x+≥2=4,当且仅当x=2时,等号成立;
当x<0时,y=x+=-(-x+)≤-2=-4,当且仅当x=-2时,等号成立.
所以y=x+的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).
(3)令t=(t≥0),
所以x=-t2+,
所以y=-t2-t+=-(t+1)2+1.
当t≥0时,y≤,
所以函数的值域为(-∞,].
(4)y=2-=2-.
因为0≤≤ =2,
所以y=2-的值域为[0,2].
常见求函数值域的方法
(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
(2)配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.
(3)分离常数法:此方法主要是针对形如y=(ac≠0)的有理分式,将有理分式变形转化为“反比例函数类”的形式或变形为y=+后结合不等式的性质求值域.
(4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b±),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域.
(5)基本不等式法:若所给函数解析式直接(或化简后)满足基本不等式的使用条件,可以直接使用基本不等式求最值.
[变式训练] 下列函数中值域是[0,+∞)的是( )
A.y=2x+1 B.y=(x-1)2
C.y= D.y=
【答案】 B
【解析】 y=2x+1的值域为(-∞,+∞);
y=(x-1)2的值域为[0,+∞);
y=的值域为[1,+∞);
y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).故选B.
【学海拾贝】
抽象函数的定义域
(1)若已知f(x)的定义域为[a,b],求函数f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定
义域.
(2)若已知f(g(x))的定义域为[c,d],则y=g(x)在[c,d]上的值域,即为f(x)的定义域.
[典例探究] (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域;
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;
(3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域.
【解】 (1)由题意知函数f(2x+1)中2x+1的取值范围与函数f(x)中x的取值范围相同.
因为f(x)中x∈[1,3],所以2x+1∈[1,3],
即x∈[0,1].
所以f(2x+1)的定义域为[0,1].
(2)因为x∈[1,3],所以2x+1∈[3,7].
所以f(x)的定义域为[3,7].
(3)因为x∈[1,3],所以2x+1∈[3,7].
所以3x∈[3,7],即x∈[1,].
所以f(3x)的定义域为[1,].
[应用探究] 若函数y=f(x)的定义域为{x|0A.(0,1) B.(1,2)
C.(1,)∪(,2) D.(1,3)
【答案】 C
【解析】 因为函数y=f(x)的定义域为{x|0应有0<|2x-3|<1,
即-1<2x-3<1,且2x-3≠0,
解得1所以函数y=f(|2x-3|)的定义域为(1,)∪(,2).故选C.
当堂检测
1.(多选题)已知集合M={x|-2≤x≤2},集合N={y|0≤y≤2},如图能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A B
C D
【答案】 BD
【解析】 对于选项A,显然当x∈(0,2]时,在集合N中,没有与之对应的实数,故不表示从集合M到集合N的函数关系,所以A不符合题意;对于选项B,当x∈[-2,2]时,任意一个x,在集合N中,都有唯一与之对应的实数,故表示从集合M到集合N的函数关系,所以B符合题意;对于选项C,显然当x=0时,在集合N中有两个数与之对应,故不表示从集合M到集合N的函数关系,所以C不符合题意;对于选项D,当x∈[-2,2]时,任意一个x,在集合N中,都有唯一与之对应的实数,故表示从集合M到集合N的函数关系,所以D符合题意.故选B,D.
2.下列函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=x2与y=()4
B.y=x-3与y=
C.y=与y=
D.y=x2与S=a2
【答案】 D
【解析】 对于A,y=x2的定义域为R,y=()4=x2的定义域为[0,+∞),两函数的定义域不同,不是同一个函数;
对于B,y=x-3的定义域为R,y==|x-3|的定义域为R,但两函数的对应关系不同,不是同一个函数;
对于C,y==其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=其定义域为R,两函数的定义域不同,不是同一个函数;
对于D,y=x2的定义域为R,S=a2的定义域为R,两函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数.故选D.
3.函数y=的定义域为( )
A.[-3,4) B.(-3,4]
C.[-4,-3)∪(-3,4] D.[-3,4]
【答案】 C
【解析】 要使函数有意义,
则
解得-4≤x≤4,且x≠-3,
故函数的定义域为[-4,-3)∪(-3,4].故选C.
4.已知函数f(x)=x2+1,那么f(5)= ,f(a+1)= .
【答案】 26 a2+2a+2
【解析】 因为f(x)=x2+1,所以f(5)=52+1=26,f(a+1)=(a+1)2+1=a2+2a+2.
基础巩固
1.已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是( )
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=x
【答案】 D
【解析】 根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,在集合B中没有元素与它对应.
故选D.
2.下列各曲线表示的y与x之间的关系中,y不是x的函数的是( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 根据函数的定义,选项A,B,D都是一对一与多对一的对应关系,均满足函数定义,而C选项属于一对多,不满足函数定义.
故选C.
3.(多选题)下列各组函数是同一个函数的是( )
A.y=与y=x
B.y=()3与y=()4
C.y=x0与y=
D.y=x2+2x-1与s=t2+2t-1
【答案】 ACD
【解析】 对于A,y===x,与y=x的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数.对于B,y=()3的定义域是R,y=()4的定义域是[0,+∞),两函数的定义域不同,不是同一个函数.对于C,y=x0=1(x≠0),y==1(x≠0),两函数的对应关系与定义域均相同,故是同一个函数.对于D,y=x2+2x-1,s=t2+2t-1,两函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数.故选A,C,D.
4.函数y=的定义域为( )
A.(-∞,3] B.[0,3]
C.(0,2)∪(2,3) D.[0,2)∪(2,3]
【答案】 D
【解析】 由题意可得
故x∈[0,2)∪(2,3].故选D.
5.已知函数f(x)=,则函数g(x)=f(x-1)+的定义域为( )
A.[0,2)∪(2,+∞)
B.(-1,2)∪(2,+∞)
C.(4,+∞)
D.[1,2)∪(2,+∞)
【答案】 D
【解析】 函数f(x)=的定义域为[0,+∞).
要使函数g(x)=f(x-1)+有意义,
则解得x≥1,且x≠2.
所以函数g(x)的定义域为[1,2)∪(2,+∞).故选D.
6.下列函数中,值域为[0,+∞)的函数是( )
A.y=3x+1 B.y=-2x2
C.y= D.y=
【答案】 C
【解析】 根据一次函数的性质可得函数y=3x+1的值域为R,A不符合题意;
根据二次函数的性质可得函数y=-2x2的值域为(-∞,0],B不符合题意;
由≥0可得函数y=的值域为[0,+∞),C符合题意;
由函数y=可得其定义域为{x|x≠1},
由(x-1)2>0可得函数的值域为(0,+∞),D不符合题意.故选C.
7.函数y=的定义域为 .
【答案】 (-∞,0)∪[,+∞)
【解析】 因为y=,所以解得x≥或x<0.所以定义域为(-∞,0)∪[,+∞).
8.函数f(x)=4-的值域为 .
【答案】 [2,4]
【解析】 由题意得3+2x-x2=4-(x-1)2≥0,
且3+2x-x2=4-(x-1)2≤4,所以0≤≤2,即2≤4-≤4.所以函数f(x)的值域为[2,4].
9.已知f(x)=,g(x)=x2+1.
(1)求f(x),g(x)的定义域;
(2)求f(2),g(2)的值;
(3)求f(g(3))的值.
【解】 (1)对于函数f(x)=,
由x+2≠0,得x≠-2,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠-2},
函数g(x)=x2+1的定义域为R.
(2)因为f(x)=,g(x)=x2+1,
所以f(2)==,g(2)=22+1=5.
(3)因为f(x)=,g(x)=x2+1,
所以g(3)=32+1=10,
则f(g(3))=f(10)==.
10.函数y=的定义域为集合A,B={x|x2-6x+5≤0},C={x|m-2≤x≤m+1}.
(1)求A∩B,( RA)∩B;
(2)若B∪C=B,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由-x2+x+6≥0,得x2-x-6≤0,
解得-2≤x≤3,则A=[-2,3],
所以 RA=(-∞,-2)∪(3,+∞).
由x2-6x+5≤0,得1≤x≤5,则B=[1,5],
所以A∩B=[1,3],( RA)∩B=(3,5].
(2)由B∪C=B,得C B,而C≠,
则解得3≤m≤4,
所以实数m的取值范围是[3,4].
能力提升
11.若函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],则函数y=的定义域为( )
A.[0,1)∪(1,2] B.[-2,0]
C.[1,2] D.(1,2]
【答案】 D
【解析】 由函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],
即-1≤x≤1,得-3≤2x-1≤1,
因此,由函数y=有意义,
得解得1所以函数y=的定义域为(1,2].故选D.
12.函数f(x)=的值域为 .
【答案】 (-∞,)∪(,1)∪(1,+∞)
【解析】 因为f(x)=====1+(x≠-3,且x≠2),所以函数f(x)的值域为(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞).
13.已知函数f(x)=x2-x+,是否存在实数m,使得函数的定义域和值域都是[1,m](m>1) 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【解】 函数f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的图象的对称轴为直线x=1,顶点为(1,1),且开口向上.
因为m>1,
所以要使f(x)的定义域和值域都是[1,m],
则有
所以m2-m+=m,即m2-4m+3=0.
所以m=3或m=1(舍去),
所以存在实数m=3满足条件.
应用创新
14.设函数f(x)满足:对任意非零实数x,均有f(x)=f(1)x+-1,则f(x)在(0,+∞)上的最小值为 .
【答案】 -1
【解析】 令x=1,2,分别得f(1)=f(1)+f(2)-1与f(2)=2f(1)+-1,
解得f(2)=1,f(1)=,从而对x≠0,有f(x)=x+-1.
当x∈(0,+∞)时,f(x)≥2-1=-1,当且仅当x=时,等号成立.
所以f(x)在(0,+∞)上的最小值为-1.
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基础巩固
1.已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是( )
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=x
【答案】 D
【解析】 根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,在集合B中没有元素与它对应.
故选D.
2.下列各曲线表示的y与x之间的关系中,y不是x的函数的是( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 根据函数的定义,选项A,B,D都是一对一与多对一的对应关系,均满足函数定义,而C选项属于一对多,不满足函数定义.
故选C.
3.(多选题)下列各组函数是同一个函数的是( )
A.y=与y=x
B.y=()3与y=()4
C.y=x0与y=
D.y=x2+2x-1与s=t2+2t-1
【答案】 ACD
【解析】 对于A,y===x,与y=x的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数.对于B,y=()3的定义域是R,y=()4的定义域是[0,+∞),两函数的定义域不同,不是同一个函数.对于C,y=x0=1(x≠0),y==1(x≠0),两函数的对应关系与定义域均相同,故是同一个函数.对于D,y=x2+2x-1,s=t2+2t-1,两函数的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数.故选A,C,D.
4.函数y=的定义域为( )
A.(-∞,3] B.[0,3]
C.(0,2)∪(2,3) D.[0,2)∪(2,3]
【答案】 D
【解析】 由题意可得
故x∈[0,2)∪(2,3].故选D.
5.已知函数f(x)=,则函数g(x)=f(x-1)+的定义域为( )
A.[0,2)∪(2,+∞)
B.(-1,2)∪(2,+∞)
C.(4,+∞)
D.[1,2)∪(2,+∞)
【答案】 D
【解析】 函数f(x)=的定义域为[0,+∞).
要使函数g(x)=f(x-1)+有意义,
则解得x≥1,且x≠2.
所以函数g(x)的定义域为[1,2)∪(2,+∞).故选D.
6.下列函数中,值域为[0,+∞)的函数是( )
A.y=3x+1 B.y=-2x2
C.y= D.y=
【答案】 C
【解析】 根据一次函数的性质可得函数y=3x+1的值域为R,A不符合题意;
根据二次函数的性质可得函数y=-2x2的值域为(-∞,0],B不符合题意;
由≥0可得函数y=的值域为[0,+∞),C符合题意;
由函数y=可得其定义域为{x|x≠1},
由(x-1)2>0可得函数的值域为(0,+∞),D不符合题意.故选C.
7.函数y=的定义域为 .
【答案】 (-∞,0)∪[,+∞)
【解析】 因为y=,所以解得x≥或x<0.所以定义域为(-∞,0)∪[,+∞).
8.函数f(x)=4-的值域为 .
【答案】 [2,4]
【解析】 由题意得3+2x-x2=4-(x-1)2≥0,
且3+2x-x2=4-(x-1)2≤4,所以0≤≤2,即2≤4-≤4.所以函数f(x)的值域为[2,4].
9.已知f(x)=,g(x)=x2+1.
(1)求f(x),g(x)的定义域;
(2)求f(2),g(2)的值;
(3)求f(g(3))的值.
【解】 (1)对于函数f(x)=,
由x+2≠0,得x≠-2,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠-2},
函数g(x)=x2+1的定义域为R.
(2)因为f(x)=,g(x)=x2+1,
所以f(2)==,g(2)=22+1=5.
(3)因为f(x)=,g(x)=x2+1,
所以g(3)=32+1=10,
则f(g(3))=f(10)==.
10.函数y=的定义域为集合A,B={x|x2-6x+5≤0},C={x|m-2≤x≤m+1}.
(1)求A∩B,( RA)∩B;
(2)若B∪C=B,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由-x2+x+6≥0,得x2-x-6≤0,
解得-2≤x≤3,则A=[-2,3],
所以 RA=(-∞,-2)∪(3,+∞).
由x2-6x+5≤0,得1≤x≤5,则B=[1,5],
所以A∩B=[1,3],( RA)∩B=(3,5].
(2)由B∪C=B,得C B,而C≠,
则解得3≤m≤4,
所以实数m的取值范围是[3,4].
能力提升
11.若函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],则函数y=的定义域为( )
A.[0,1)∪(1,2] B.[-2,0]
C.[1,2] D.(1,2]
【答案】 D
【解析】 由函数f(2x-1)的定义域为[-1,1],
即-1≤x≤1,得-3≤2x-1≤1,
因此,由函数y=有意义,
得解得1所以函数y=的定义域为(1,2].故选D.
12.函数f(x)=的值域为 .
【答案】 (-∞,)∪(,1)∪(1,+∞)
【解析】 因为f(x)=====1+(x≠-3,且x≠2),所以函数f(x)的值域为(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞).
13.已知函数f(x)=x2-x+,是否存在实数m,使得函数的定义域和值域都是[1,m](m>1) 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
【解】 函数f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的图象的对称轴为直线x=1,顶点为(1,1),且开口向上.
因为m>1,
所以要使f(x)的定义域和值域都是[1,m],
则有
所以m2-m+=m,即m2-4m+3=0.
所以m=3或m=1(舍去),
所以存在实数m=3满足条件.
应用创新
14.设函数f(x)满足:对任意非零实数x,均有f(x)=f(1)x+-1,则f(x)在(0,+∞)上的最小值为 .
【答案】 -1
【解析】 令x=1,2,分别得f(1)=f(1)+f(2)-1与f(2)=2f(1)+-1,
解得f(2)=1,f(1)=,从而对x≠0,有f(x)=x+-1.
当x∈(0,+∞)时,f(x)≥2-1=-1,当且仅当x=时,等号成立.
所以f(x)在(0,+∞)上的最小值为-1.
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§2 函 数
2.1 函数概念
1.通过用集合语言和对应关系刻画函数,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,提升数学抽象的核心素养.2.了解构成函数的要素,通过简单函数的定义域、值域的求解,提升数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 函数的概念
给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个 ,记作 ,x∈A.其中集合A称为函数的 ,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的 .习惯上我们称y是x的函数.
唯一确定
函数
y=f(x)
定义域
值域
[思考1] 如果函数y=f(x)的定义域、值域确定,那么对应关系确定吗
提示:不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系f(x)=x2或f(x)=|x|均可.
知识点二 同一个函数
一般地,如果两个函数的 相同, 也相同(即对自变量的每一个值,两个函数表达式得到的函数值都相等),则称这两个函数表达式表示的是同一个函数.
定义域
对应关系
[思考2] 函数y=f(x)(x∈R)与y=f(t)(t∈R)是同一个函数吗
提示:是,虽然自变量的表示字母不同,但是定义域都是R,并且对应关系f
相同.
理解函数的概念应关注三点
(1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
(2)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”.
(3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数.
『知识拓展』
题型一 函数概念的理解
(2)A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y2=3x;
(3)A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→x2+y2=25;
(4)A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y=x2;
(5)A={(x,t)|x∈R,t∈R},B={y|y∈R},对应关系f:(x,t)→y=x+t;
(6)A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={y|y=0},对应关系f:x→y=0.
【解】 (1)在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以y不是x的函数.
(2)在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以y不是x的函数.
(3)在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以y不是x的函数.
(5)A不是数集,所以不能确定y是x的函数.
(4)(6)中的对应关系满足函数的概念,y是x的函数.
·解题策略·
判断一个对应关系是不是函数的方法
[变式训练] (1)(多选题)下列对应关系f是A到B的函数的是( )
A.A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3},f:x→x的平方根
B.A=R,B=R,f:x→x的倒数
C.A=R,B=R,f:x→x2-2
D.A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:x→x2
CD
【解析】 (1)对于A,集合A中的一个元素,在集合B中能找到两个元素与之对应,不是A到B的函数;对于B,集合A中有一个元素0,在集合B中没有对应元素,不是A到B的函数;对于C,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是A到B的函数;对于D,集合A中任一元素,B中都有唯一确定的元素与之对应,是A到B的函数.故选C,D.
(2)(多选题)集合A,B与对应关系f如图所示,则f:A→B是从集合A到集合B的函数的是( )
A B
C D
AC
【解析】 (2)对于A,集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个元素与之对应,是A到B的函数;对于B,集合A中存在元素3在集合B中没有与之对应的元素,不是A到B的函数;对于C,集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个元素与之对应,是A到B的函数;对于D,集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应,不是A到B的函数.故选A,C.
题型二 函数定义域的求法
【解】 (2)要使函数有意义,则-x2+2x+8≥0,
解得-2≤x≤4,
因此函数的定义域为[-2,4].
·解题策略·
根据函数的解析式求函数的定义域的方法
(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0要求x≠0.
(2)当一个函数由两个及以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各代数式都有意义的公共部分的集合.
易错警示:(1)求函数的定义域不要对解析式化简变形,以免定义域变化.
(2)函数的定义域要写成集合或区间的形式.
D
C
题型三 同一个函数的判断
BD
AC
·解题策略·
判断两个函数是不是同一个函数应注意三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数,即使定义域与值域都相同,也不一定是同一个函数.
(2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.
(3)在化简解析式时,必须是等价变形.
D
【解析】 A,B,C中的两函数定义域均不相同.故选D.
题型四 函数值域的求法
·解题策略·
常见求函数值域的方法
(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
(2)配方法:此方法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法.
·解题策略·
·解题策略·
B
【学海拾贝】
抽象函数的定义域
(1)若已知f(x)的定义域为[a,b],求函数f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域.
(2)若已知f(g(x))的定义域为[c,d],则y=g(x)在[c,d]上的值域,即为f(x)的定义域.
[典例探究] (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域;
【解】 (1)由题意知函数f(2x+1)中2x+1的取值范围与函数f(x)中x的取值范围相同.
因为f(x)中x∈[1,3],所以2x+1∈[1,3],
即x∈[0,1].
所以f(2x+1)的定义域为[0,1].
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;
【解】 (2)因为x∈[1,3],所以2x+1∈[3,7].
所以f(x)的定义域为[3,7].
(3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域.
C
A B
C D
当堂检测
1.(多选题)已知集合M={x|-2≤x≤2},集合N={y|0≤y≤2},如图能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
BD
【解析】 对于选项A,显然当x∈(0,2]时,在集合N中,没有与之对应的实数,故不表示从集合M到集合N的函数关系,所以A不符合题意;对于选项B,当x∈[-2,2]时,任意一个x,在集合N中,都有唯一与之对应的实数,故表示从集合M到集合N的函数关系,所以B符合题意;对于选项C,显然当x=0时,在集合N中有两个数与之对应,故不表示从集合M到集合N的函数关系,所以C不符合题意;对于选项D,当x∈[-2,2]时,任意一个x,在集合N中,都有唯一与之对应的实数,故表示从集合M到集合N的函数关系,所以D符合题意.故选B,D.
D
C
4.已知函数f(x)=x2+1,那么f(5)= ,f(a+1)= .
26
a2+2a+2
【解析】 因为f(x)=x2+1,所以f(5)=52+1=26,f(a+1)=(a+1)2+1=a2+2a+2.
