第2课时 函数的最大(小)值
【课程标准要求】 理解函数最大(小)值的几何意义,会用函数的单调性求最值,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识点 函数的最大值、最小值
项目 最大值 最小值
条件 设函数y=f(x)的定义域是D,若存在实数M,对所有的x∈D
都有f(x)≤M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M 都有f(x)≥M,且存在x0∈D,使得f(x0)=M
结论 M为函数y=f(x)的最大值 M为函数y=f(x)的最小值
[思考1] 如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M,那么M一定是函数f(x)的最大值吗
提示:不一定.如函数f(x)=-x2≤1恒成立,但是1不是函数的最大值.
[思考2] 函数的最值与函数的值域有什么关系
提示:函数的值域是指函数值的集合,函数的最大(小)值一定是值域的元素.如果值域是一个闭区间,那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值.
[思考3] 函数最值的几何意义是什么
提示:函数图象最高(低)点的纵坐标.
题型一 图象法求函数的最值
[例1] 给定函数f(x)=x2-2,g(x)=-x+1,用M(x)表示函数f(x),g(x)中的较大者,即M(x)=
max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值为( )
A.0 B.
C. D.2
【答案】 C
【解析】 令f(x)≥g(x),即x2-2≥-x+1,解得x≤-2或x≥;令f(x)
-2所以
M(x)=
画出y=M(x)的图象(图中实线部分),
由图可知,M(x)的最小值为.故选C.
用图象法求最值的一般步骤
[变式训练] (1)已知函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.-2,f(2) B.2,f(2)
C.-2,f(5) D.2,f(5)
(2)函数f(x)=的最小值为 .
【答案】 (1)C (2)1
【解析】 (1)由函数的图象知,当 x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).
故选C.
(2)函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1.
题型二 利用单调性求函数的最值
[例2] (1)已知函数f(x)=,则f(x)在区间[2,6]上的最大值为( )
A. B.3 C.4 D.5
(2)函数f(x)=x2-4x+7(0≤x≤6)的最大值为 ,最小值为 .
【答案】 (1)C (2)19 3
【解析】 (1)因为f(x)==2+在[2,6]上单调递减,所以f(x)max=f(2)=4.
故选C.
(2)由一元二次函数的性质知,f(x)在[0,2)上单调递减,在[2,6]上单调递增,所以f(x)min=f(2)=3.
又f(0)=7,f(6)=19,
所以f(x)max=f(6)=19.
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最大值f(b).
(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最小值f(b).
(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值.
[变式训练] (1)若函数f(x)=在区间[0,1]上的最大值为,则实数m等于( )
A.3 B. C.2 D.或3
(2)已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是 .
【答案】 (1)B (2)(1,3]
【解析】 (1)函数f(x)==2+,x∈[0,1].
当m=2时,f(x)=2不满足题意;
当m-2>0,即m>2时,f(x)在[0,1]上单调递减,可得f(0)为最大值,即f(0)==,解得m=,满足题意;
当m-2<0,即m<2时,f(x)在[0,1]上单调递增,可得f(1)为最大值,即f(1)==,解得m=3,不满足题意.
综上可得m=.故选B.
(2)由题意知f(x)在[1,a]上单调递减,
又因为f(x)的单调递减区间为(-∞,3],
所以1题型三 函数最值的实际应用
[例3] 某快递公司欲引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为P(x)=x2+x+100(单位:万元).
(1)应买多少台机器人,可使每台机器人的平均成本最低
(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将物件放在机器人上,机器人将物件送达指定分拣处.经过试验知,每台机器人日平均分拣量为 Q(m)=
(单位:件).求引进机器人后,日平均分拣量的最大值.
【解】 (1)每台机器人的平均成本为=++1≥2+1=2,当且仅当=,即x=200时,等号成立.因此应买200台机器人,可使每台机器人的平均成本最低.
(2)当1≤m≤30时,每台机器人日平均分拣量的最大值为450.当30Q(m)=m(120-m)=[-(m-60)2+3 600].
当m=60时,每台机器人日平均分拣量的最大值为480.
因为450<480,所以引进200台机器人后,日平均分拣量的最大值为480×200=96 000(件).
解决函数最值应用题的方法
(1)解决实际问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学问题解决.
(2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数解析式的关键.
[变式训练] 如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍,可供建造围墙的材料总长为30 m,每间笼舍的宽度x为多少时,才能使得每间笼舍面积y达到最大 每间最大面积为多少平方米
【解】 由题意知笼舍的宽为x m,则笼舍的长为(30-3x) m,每间笼舍的面积为y=x(30-3x)=-(x-5)2+37.5,x∈(0,10).
当x=5时,y取得最大值37.5,即每间笼舍的宽度为5 m时,每间笼舍面积y达到最大,每间最大面积为37.5 m2.
当堂检测
1.已知函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为( )
A.f(2),f(-2) B.f(),f(-1)
C.f(),f(-) D.f(),f(0)
【答案】 C
【解析】 根据函数最值的定义,结合函数图象可知,当x=-时,有最小值f(-);当x=时,有最大值f().故选C.
2.函数f(x)=-x2-4x+1,x∈[-3,3]的值域是( )
A.(-∞,5] B.[5,+∞)
C.[-20,5] D.[4,5]
【答案】 C
【解析】 因为f(x)=-(x+2)2+5,
所以当x=-2时,函数有最大值5;
当x=3时,函数有最小值-20.
故选C.
3.函数f(x)=的最小值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】 B
【解析】 当x≤-1时,-x≥1;
当x>-1时,x2≥0.
所以f(x)=的最小值是0.
故选B.
4.已知函数f(x)=|x-2|(x+1),试研究函数的单调性,并确定函数是否存在最值.
【解】 当x≥2,即x-2≥0时,
f(x)=(x-2)(x+1)=x2-x-2=(x-)2-;
当x<2,即x-2<0时,
f(x)=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=
-(x-)2+.
所以f(x)=
画出该分段函数的图象,如图所示.
由图象可知,函数f(x)=|x-2|(x+1)在(-∞,],[2,+∞)上单调递增;在[,2]上单调递减.观察函数图象可知函数不存在最大值,也不存在最小值.
基础巩固
1.函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值为( )
A.3 B.
C.2 D.
【答案】 A
【解析】 因为f(x)===1+,
所以f(x)=在区间[2,6]上单调递减.
所以f(x)在[2,6]上的最大值为f(2)=3.故选A.
2.函数y=2x+4的最大值为( )
A.8 B.-8 C.2 D.4
【答案】 A
【解析】 令t=,t≥0,则x=3-t2,
则原函数的最大值即为f(t)=2(3-t2)+4t=-2t2+4t+6(t≥0)的最大值.
因为f(t)=-2t2+4t+6(t≥0)的图象开口向下,对称轴方程为t=1,
所以f(t)max=f(1)=8.
所以函数y=2x+4的最大值为8.
故选A.
3.(多选题)若函数y=x2-4x-3的定义域为[0,a],值域为[-7,-3],则a的值可能为( )
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】 BC
【解析】令y=x2-4x-3=-3,
得x=0或x=4,
令y=x2-4x-3=-7,
得x=2.
二次函数y=x2-4x-3图象的对称轴为直线x=2,
函数y=x2-4x-3的图象如图所示.
要想函数y=x2-4x-3的定义域为[0,a],值域为[-7,-3],
只需2≤a≤4,选项B,C符合.故选B,C.
4.某灯具商店销售一种节能灯,每件进价8元,每月销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元)之间满足如下关系式:y=-8x+400(20A.2 560元 B.3 496元
C.3 520元 D.3 528元
【答案】 D
【解析】 设灯具商店每月的利润为f(x),
则f(x)=(x-8)(-8x+400)=-8x2+464x-3 200=-8(x2-58x)-3 200=-8(x-29)2+3 528(20故当x=29时,f(x)的最大值为3 528,
所以灯具商店每月的最大利润为3 528元.故选D.
5.已知函数f(x)=≥a在区间[3,5]上恒成立,则实数a的最大值是( )
A.3 B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 因为f(x)===2+,所以函数f(x)在[3,5]上单调递减.所以函数f(x)的最小值为f(5)=.所以a≤,即a的最大值是.故选D.
6.已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是( )
A.[160,+∞)
B.(-∞,40]
C.(-∞,40]∪[160,+∞)
D.(-∞,20]∪[80,+∞)
【答案】 C
【解析】 由于二次函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.因为二次函数f(x)=4x2-kx-8图象的对称轴为直线x=,因此≤5或≥20,所以k≤40或k≥160.
故选C.
7.函数f(x)=-的值域为 .
【答案】 [-,]
【解析】 因为所以-2≤x≤4.
所以函数f(x)的定义域为[-2,4].
又y1=,y2=-在区间[-2,4]上均单调递减,
所以f(x)=-在[-2,4]上为减函数.所以f(4)≤f(x)≤f(-2),
即-≤f(x)≤ .
8.已知函数f(x)=|x2-4x|,x∈[2,5],则f(x)的最小值是 ,最大值是 .
【答案】 0 5
【解析】 画出函数的图象如图中实线部分所示.根据图象可知,当x=4时,函数取得最小值0;当x=5时,函数取得最大值f(5)=|52-4×5|=5.
9.画出函数y=-x(|x-2|-2),x∈[-1,5]的图象,并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值.
【解】原函数化为
y=
在平面直角坐标系内作出其图象,如图.
观察图象得,函数
y=-x(|x-2|-2)的单调递减区间是[-1,0],[2,5],单调递增区间是(0,2).
当x=2时,ymax=4,当x=5时,ymin=-5,
所以原函数的最大值为4,最小值为-5.
10.已知函数f(x)=,点A(1,5),B(2,4)是f(x)图象上的两点.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值.
【解】 (1)因为点A(1,5),B(2,4)在f(x)的图象上,所以
解得所以a=1,b=8.
(2)由(1)可知f(x)==2+,
易知f(x)在[1,3]上单调递减,
所以f(x)max=f(1)=5,
f(x)min=f(3)=.
所以函数f(x)在[1,3]上的最大值为5,最小值为.
能力提升
11.若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )
A.与a无关,与b有关
B.与a有关,与b无关
C.与a有关,且与b有关
D.与a无关,且与b无关
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=x2-2bx+3a的图象开口向上,且对称轴为直线x=b.
①当b>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,则M=f(0)=3a,m=f(1)=1-2b+3a,
此时M-m=2b-1,故M-m的值与a无关,与b有关.
②当b<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,则M=f(1)=1-2b+3a,m=f(0)=3a,
此时M-m=1-2b,故M-m的值与a无关,与b有关.
③当0≤b≤1时,m=f(b)=3a-b2,
若0≤b≤,f(1)≥f(0),有M=f(1)=1-2b+3a,
所以M-m=b2-2b+1,故M-m的值与a无关,与b有关;
若有M=f(0)=3a,
所以M-m=b2,故M-m的值与a无关,与b有关.
综上,M-m的值与a无关,与b有关.故选A.
12.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围是 .
【答案】 [0,1]
【解析】 当x>0时,f(x)=1+>1;当x≤0时,f(x)=(x-a)2的图象开口向上,对称轴方程为x=a.若要满足 f(0)=a2是f(x)的最小值,则有解得 0≤a≤1,故a的取值范围为[0,1].
13.已知函数f(x)=x++1(a∈R).
(1)若a=2,判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若存在x∈(0,1),使不等式f()<-++4成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)若a=2,则f(x)=x++1,当x>0时,f(x) 在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.证明如下:
取 x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则f(x2)-f(x1)=(x2++1)-(x1++1)=(x2-x1)+(-)=(x2-x1)+
=(x2-x1)·(1-)=.又x2>x1>0,所以x2-x1>0,x2x1>0.当x1,x2∈(0,)时,
x2x1-2<0,所以<0,故f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)0,所以>0,故 f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数 f(x) 在(,+∞)上单调递增.
(2)因为f()<-++4,即++1<-++4,即<-2++3,所以存在x∈(0,1),使得a<-2x+3+1成立.
令t=,t∈(0,1),
所以存在t∈(0,1),
使得a<-2t2+3t+1成立,
所以a<(-2t2+3t+1)max,t∈(0,1).
又-2t2+3t+1=-2(t-)2+,
所以当t=时,(-2t2+3t+1)max=.所以a<,即实数a的取值范围为(-∞,).
应用创新
14.若函数f(x)与g(x)对于任意x1,x2∈[c,d],都有f(x1)·g(x2)≥m,则称函数f(x) 与g(x)是区间[c,d]上的“m阶依附函数”.已知函数f(x)=3x-2与g(x)=x2-ax-a+6是区间[1,2]上的“2阶依附函数”,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,-2+2]
【解析】 因为函数f(x)=3x-2在[1,2]上单调递增,
所以当x∈[1,2]时,1≤f(x)≤4.
依题意,对任意x1,x2∈[1,2],
都有f(x1)·g(x2)≥2,
即对任意x1,x2∈[1,2],
都有g(x2)≥,
即g(x)min≥[]max.
因为[]max=2,
所以当<1,即a<2时,
g(x)min=g(1)=7-2a≥2,解得a≤.
又因为a<2,所以a<2.
当>2,即a>4时,
g(x)min=g(2)=10-3a≥2,
解得a≤(舍去).
当1≤≤2,即2≤a≤4时,
g(x)min=g()=--a+6≥2,
化简得a2+4a-16≤0,
解得-2-2≤a≤-2+2.
又因为2≤a≤4,
所以2≤a≤-2+2.
综上,实数a的取值范围为(-∞,-2+2].
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 函数的最大(小)值
基础巩固
1.函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值为( )
A.3 B.
C.2 D.
【答案】 A
【解析】 因为f(x)===1+,
所以f(x)=在区间[2,6]上单调递减.
所以f(x)在[2,6]上的最大值为f(2)=3.故选A.
2.函数y=2x+4的最大值为( )
A.8 B.-8 C.2 D.4
【答案】 A
【解析】 令t=,t≥0,则x=3-t2,
则原函数的最大值即为f(t)=2(3-t2)+4t=-2t2+4t+6(t≥0)的最大值.
因为f(t)=-2t2+4t+6(t≥0)的图象开口向下,对称轴方程为t=1,
所以f(t)max=f(1)=8.
所以函数y=2x+4的最大值为8.
故选A.
3.(多选题)若函数y=x2-4x-3的定义域为[0,a],值域为[-7,-3],则a的值可能为( )
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】 BC
【解析】令y=x2-4x-3=-3,
得x=0或x=4,
令y=x2-4x-3=-7,
得x=2.
二次函数y=x2-4x-3图象的对称轴为直线x=2,
函数y=x2-4x-3的图象如图所示.
要想函数y=x2-4x-3的定义域为[0,a],值域为[-7,-3],
只需2≤a≤4,选项B,C符合.故选B,C.
4.某灯具商店销售一种节能灯,每件进价8元,每月销售量y(单位:件)与销售价格x(单位:元)之间满足如下关系式:y=-8x+400(20A.2 560元 B.3 496元
C.3 520元 D.3 528元
【答案】 D
【解析】 设灯具商店每月的利润为f(x),
则f(x)=(x-8)(-8x+400)=-8x2+464x-3 200=-8(x2-58x)-3 200=-8(x-29)2+3 528(20故当x=29时,f(x)的最大值为3 528,
所以灯具商店每月的最大利润为3 528元.故选D.
5.已知函数f(x)=≥a在区间[3,5]上恒成立,则实数a的最大值是( )
A.3 B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 因为f(x)===2+,所以函数f(x)在[3,5]上单调递减.所以函数f(x)的最小值为f(5)=.所以a≤,即a的最大值是.故选D.
6.已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是( )
A.[160,+∞)
B.(-∞,40]
C.(-∞,40]∪[160,+∞)
D.(-∞,20]∪[80,+∞)
【答案】 C
【解析】 由于二次函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,因此函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上是单调函数.因为二次函数f(x)=4x2-kx-8图象的对称轴为直线x=,因此≤5或≥20,所以k≤40或k≥160.
故选C.
7.函数f(x)=-的值域为 .
【答案】 [-,]
【解析】 因为所以-2≤x≤4.
所以函数f(x)的定义域为[-2,4].
又y1=,y2=-在区间[-2,4]上均单调递减,
所以f(x)=-在[-2,4]上为减函数.所以f(4)≤f(x)≤f(-2),
即-≤f(x)≤ .
8.已知函数f(x)=|x2-4x|,x∈[2,5],则f(x)的最小值是 ,最大值是 .
【答案】 0 5
【解析】 画出函数的图象如图中实线部分所示.根据图象可知,当x=4时,函数取得最小值0;当x=5时,函数取得最大值f(5)=|52-4×5|=5.
9.画出函数y=-x(|x-2|-2),x∈[-1,5]的图象,并根据图象指出函数的单调区间和最大值、最小值.
【解】原函数化为
y=
在平面直角坐标系内作出其图象,如图.
观察图象得,函数
y=-x(|x-2|-2)的单调递减区间是[-1,0],[2,5],单调递增区间是(0,2).
当x=2时,ymax=4,当x=5时,ymin=-5,
所以原函数的最大值为4,最小值为-5.
10.已知函数f(x)=,点A(1,5),B(2,4)是f(x)图象上的两点.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值.
【解】 (1)因为点A(1,5),B(2,4)在f(x)的图象上,所以
解得所以a=1,b=8.
(2)由(1)可知f(x)==2+,
易知f(x)在[1,3]上单调递减,
所以f(x)max=f(1)=5,
f(x)min=f(3)=.
所以函数f(x)在[1,3]上的最大值为5,最小值为.
能力提升
11.若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )
A.与a无关,与b有关
B.与a有关,与b无关
C.与a有关,且与b有关
D.与a无关,且与b无关
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=x2-2bx+3a的图象开口向上,且对称轴为直线x=b.
①当b>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,则M=f(0)=3a,m=f(1)=1-2b+3a,
此时M-m=2b-1,故M-m的值与a无关,与b有关.
②当b<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,则M=f(1)=1-2b+3a,m=f(0)=3a,
此时M-m=1-2b,故M-m的值与a无关,与b有关.
③当0≤b≤1时,m=f(b)=3a-b2,
若0≤b≤,f(1)≥f(0),有M=f(1)=1-2b+3a,
所以M-m=b2-2b+1,故M-m的值与a无关,与b有关;
若有M=f(0)=3a,
所以M-m=b2,故M-m的值与a无关,与b有关.
综上,M-m的值与a无关,与b有关.故选A.
12.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围是 .
【答案】 [0,1]
【解析】 当x>0时,f(x)=1+>1;当x≤0时,f(x)=(x-a)2的图象开口向上,对称轴方程为x=a.若要满足 f(0)=a2是f(x)的最小值,则有解得 0≤a≤1,故a的取值范围为[0,1].
13.已知函数f(x)=x++1(a∈R).
(1)若a=2,判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(2)若存在x∈(0,1),使不等式f()<-++4成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)若a=2,则f(x)=x++1,当x>0时,f(x) 在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.证明如下:
取 x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则f(x2)-f(x1)=(x2++1)-(x1++1)=(x2-x1)+(-)=(x2-x1)+
=(x2-x1)·(1-)=.又x2>x1>0,所以x2-x1>0,x2x1>0.当x1,x2∈(0,)时,
x2x1-2<0,所以<0,故f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)0,所以>0,故 f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数 f(x) 在(,+∞)上单调递增.
(2)因为f()<-++4,即++1<-++4,即<-2++3,所以存在x∈(0,1),使得a<-2x+3+1成立.
令t=,t∈(0,1),
所以存在t∈(0,1),
使得a<-2t2+3t+1成立,
所以a<(-2t2+3t+1)max,t∈(0,1).
又-2t2+3t+1=-2(t-)2+,
所以当t=时,(-2t2+3t+1)max=.所以a<,即实数a的取值范围为(-∞,).
应用创新
14.若函数f(x)与g(x)对于任意x1,x2∈[c,d],都有f(x1)·g(x2)≥m,则称函数f(x) 与g(x)是区间[c,d]上的“m阶依附函数”.已知函数f(x)=3x-2与g(x)=x2-ax-a+6是区间[1,2]上的“2阶依附函数”,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,-2+2]
【解析】 因为函数f(x)=3x-2在[1,2]上单调递增,
所以当x∈[1,2]时,1≤f(x)≤4.
依题意,对任意x1,x2∈[1,2],
都有f(x1)·g(x2)≥2,
即对任意x1,x2∈[1,2],
都有g(x2)≥,
即g(x)min≥[]max.
因为[]max=2,
所以当<1,即a<2时,
g(x)min=g(1)=7-2a≥2,解得a≤.
又因为a<2,所以a<2.
当>2,即a>4时,
g(x)min=g(2)=10-3a≥2,
解得a≤(舍去).
当1≤≤2,即2≤a≤4时,
g(x)min=g()=--a+6≥2,
化简得a2+4a-16≤0,
解得-2-2≤a≤-2+2.
又因为2≤a≤4,
所以2≤a≤-2+2.
综上,实数a的取值范围为(-∞,-2+2].
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第2课时 函数的
最大(小)值
理解函数最大(小)值的几何意义,会用函数的单调性求最值,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
项目 最大值 最小值
条件 设函数y=f(x)的定义域是D,若存在实数M,对所有的x∈D
都有 ,且存在x0∈D,使得 都有 ,且存在x0∈D,使得
结论 M为函数y=f(x)的最大值 M为函数y=f(x)的最小值
知识点 函数的最大值、最小值
f(x)≤M
f(x0)=M
f(x)≥M
f(x0)=M
[思考1] 如果函数f(x)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M,那么M一定是函数f(x)的最大值吗
提示:不一定.如函数f(x)=-x2≤1恒成立,但是1不是函数的最大值.
[思考2] 函数的最值与函数的值域有什么关系
提示:函数的值域是指函数值的集合,函数的最大(小)值一定是值域的元素.如果值域是一个闭区间,那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值.
[思考3] 函数最值的几何意义是什么
提示:函数图象最高(低)点的纵坐标.
题型一 图象法求函数的最值
C
画出y=M(x)的图象(图中实线部分),
·解题策略·
用图象法求最值的一般步骤
[变式训练] (1)已知函数f(x)在区间[-2,5]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.-2,f(2) B.2,f(2)
C.-2,f(5) D.2,f(5)
C
【解析】 (1)由函数的图象知,当 x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).
故选C.
1
【解析】 (2)函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1.
题型二 利用单调性求函数的最值
C
(2)函数f(x)=x2-4x+7(0≤x≤6)的最大值为 ,最小值为 .
19
3
【解析】 (2)由一元二次函数的性质知,f(x)在[0,2)上单调递减,在[2,6]上单调递增,所以f(x)min=f(2)=3.
又f(0)=7,f(6)=19,
所以f(x)max=f(6)=19.
·解题策略·
函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递增,在区间[b,c)上单调递减,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最大值f(b).
(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上单调递减,在区间[b,c)上单调递增,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最小值f(b).
(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值.
B
(2)已知函数f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值为f(a),则实数a的取值范围是 .
(1,3]
【解析】 (2)由题意知f(x)在[1,a]上单调递减,
又因为f(x)的单调递减区间为(-∞,3],
所以1题型三 函数最值的实际应用
(1)应买多少台机器人,可使每台机器人的平均成本最低
·解题策略·
解决函数最值应用题的方法
(1)解决实际问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学问题解决.
(2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数解析式的关键.
[变式训练] 如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍,可供建造围墙的材料总长为30 m,每间笼舍的宽度x为多少时,才能使得每间笼舍面积y达到最大 每间最大面积为多少平方米
当堂检测
1.已知函数y=f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为( )
C
2.函数f(x)=-x2-4x+1,x∈[-3,3]的值域是( )
A.(-∞,5] B.[5,+∞)
C.[-20,5] D.[4,5]
C
【解析】 因为f(x)=-(x+2)2+5,
所以当x=-2时,函数有最大值5;
当x=3时,函数有最小值-20.
故选C.
B
4.已知函数f(x)=|x-2|(x+1),试研究函数的单调性,并确定函数是否存在最值.