第1课时 函数的单调性
基础巩固
1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[1,4]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
【答案】 C
【解析】 多个单调区间之间不能用“∪”连接.故选C.
2.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)
C.f(a2+a)【答案】 D
【解析】 在选项D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)3.若函数f(x)=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[-,+∞) B.(-∞,-]
C.[,+∞) D.(-∞,]
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=x2+(2a-1)x+1的图象是开口向上,以直线x=为对称轴的抛物线.因为函数在区间(-∞,2]上单调递减,所以2≤ a≤-.故选B.
4.设函数y=f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是( )
A.f(-3)>f(-π) B.f(-3)≥f(-π)
C.f(-3)【答案】 A
【解析】 因为>0,所以当x1>x2时,f(x1)>f(x2);当x1-π,所以f(-3)>f(-π).故选A.
5.下列函数中,在其定义域上是减函数的是( )
A.f(x)=2x B.f(x)=-x2
C.f(x)= D.f(x)=-2x+1
【答案】 D
【解析】 对于A,f(x)=2x,是正比例函数,在其定义域上为增函数,不符合题意;对于B,f(x)=-x2,是二次函数,在(-∞,0)上单调递增,不符合题意;对于C,f(x)=,是反比例函数,在其定义域内不具有单调性,不符合题意;对于D,f(x)=-2x+1,是一次函数,在其定义域上是减函数,符合题意.故选D.
6.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是( )
A.[-3,0) B.(-∞,-2]
C.(-∞,0) D.[-3,-2]
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)=是R上的增函数,所以-x2-ax-5在(-∞,1]上单调递增,故-≥1 a≤-2.此时,函数f(x)=在(1,+∞)上也是单调递增的,只需在x=1处满足-12-a-5≤,得a≥-3.综上所述,a的取值范围是[-3,-2].故选D.
7.函数g(x)=x|x-1|+1的单调递减区间为 .
【答案】 [,1)
【解析】根据题意,g(x)=
x|x-1|+1=
函数g(x)的大致图象如图所示.
当x<1时,函数在(-∞,)上单调递增,在[,1)上单调递减;
当x≥1时,函数在[1,+∞)上单调递增.
故函数的单调递减区间为[,1).
8.已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)【答案】 [1,)
【解析】 由题意,得
解得1≤x<,
故x的取值范围是[1,).
9.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(x)的解析式;
(2)指出f(x)的单调区间.
【解】 (1)当-1≤x≤0时,
设解析式为y=kx+b,
由图象有解得
所以y=x+1;
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1.
因为图象过点(4,0),所以0=a(4-2)2-1,
解得a=,所以y=(x-2)2-1.
综上,函数f(x)的解析式为
f(x)=
(2)由题图知函数的单调递增区间为[-1,0],[2,+∞);单调递减区间为(0,2].
10.已知函数f(x)=x+.
(1)讨论函数f(x)在(-2,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)当m∈(-2,2)时,有f(-2m+3)【解】 (1)函数f(x)=x+在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:
设-2则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=
(x1-x2)[1-].
又由-2则1则有f(x1)-f(x2)<0,故函数f(x)=x+在(-2,+∞)上单调递增.
(2)根据题意,当m∈(-2,2)时,
有-2m+3>-1,m2≥0.
由(1)的结论知,
若f(-2m+3)解得m<-3或m>1.
又由m∈(-2,2),则1能力提升
11.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;②y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,则 f(0),f(),f(3)的大小关系为( )
A.f()>f(0)>f(3)
B.f(3)>f(0)>f()
C.f()>f(3)>f(0)
D.f(3)>f()>f(0)
【答案】 B
【解析】 由函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,得f()=f(),f(3)=f(-1).又函数 y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,所以 f(-1)>f(0)>f(),即f(3)>f(0)>f().故选B.
12.若函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递增,且f(f(x)-x)=2,则f(2 025)= .
【答案】 2 026
【解析】 因为函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递增,且f(f(x)-x)=2,
所以f(x)-x=c(c≥0),且f(c)=2,
则f(x)=x+c.
所以f(c)=c+c=2,解得c=1,
则f(x)=x+1,
则f(2 025)=2 025+1=2 026.
13.已知二次函数f(x)满足:f(x+2)-f(x)=4x,且f(1)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(|x|)在区间[a,a+]上单调递增,求实数a的取值范围.
【解】 (1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,a≠0,
则f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4ax+4a+2b.
由f(x+2)-f(x)=4x,得
解得a=1,b=-2.
又f(1)=1,即a+b+c=1,于是c=2,
所以f(x)的解析式是f(x)=x2-2x+2.
(2)由(1)得f(|x|)=|x|2-2|x|+2.
当x>0时,f(|x|)=x2-2x+2的单调递增区间为[1,+∞),依题意,[a,a+] [1,+∞),
则a≥1;
当x≤0时,f(|x|)=x2+2x+2的单调递增区间为[-1,0],依题意,[a,a+] [-1,0],
则
解得-1≤a≤-.
所以实数a的取值范围是[-1,-]∪[1,+∞).
应用创新
14.如果函数y=f(x)在区间I上单调递减,而函数y=在区间I上单调递增,那么称函数y=
f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫作“缓减区间”.可以证明函数f(x)=+(a>0,b>0)的单调递增区间为(-∞,-],[,+∞);单调递减区间为[-,0),(0,].若函数f(x)=x2-2x+
1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数f(x)的“缓减区间”的是( )
A.(-∞,2] B.[0,]
C.[,2] D.[1,]
【答案】 C
【解析】 由题意可知,二次函数f(x)=x2-2x+1的图象的对称轴为直线x=2,f(x)在区间
(-∞,2]上单调递减,
函数y==+-2在区间[-,0),(0,]上单调递减,在区间(-∞,-],[,+∞)上单调递增.
若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则f(x)在区间I上单调递减,函数y==+
-2在区间I上单调递增,则区间I为(-∞,-],[,2].
故选C.
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§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
1.结合实例,经历从具体的直观描述到数学的符号语言表达函数单调性的过程,提升数学抽象和直观想象的核心素养.2.利用特殊函数,理解函数单调性及几何意义,提升直观想象的核心素养.3.会根据函数单调性的定义,判断、证明单调性,提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点 函数的单调性
设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间:
(1)如果对于任意的x1,x2∈I,当x1单调递增
单调递增区间
增函数
(2)如果对于任意的x1,x2∈I,当x1f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间I上 .这时,区间I叫作函数y=f(x)的 .如果对于定义域D上任意的x1,x2,当x1f(x2),那么就称函数y=f(x)是
.
(3)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上 .单调递增区间和单调递减区间统称为 .
单调递减
单调递减区间
减函数
具有单调性
单调区间
『知识拓展』
(2)对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.
题型一 函数单调性(或单调区间)的判定
【解】 (2)当x≥1时,f(x)=2x+1,当x<1时,f(x)=5-x,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),
[1,+∞),并且函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
根据解析式可作出函数的图象如图所示.
由图象可知,
函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞),
并且函数f(x)在区间(-∞,-1],[0,1)上单调递增,在区间(-1,0),[1,+∞)上单调
递减.
·解题策略·
(1)利用基本初等函数的单调性,如一次函数的单调性由一次项系数的符号确定,二次函数的单调性由二次项系数以及二次函数图象的对称轴确定等求函数的单调区间.
(2)若函数的单调性不能由解析式直接确定,也可以作出函数的图象,利用函数的图象确定函数的单调区间.
AD
题型二 证明函数的单调性
(2)判断并证明函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性.
·解题策略·
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
题型三 函数单调性的应用
C
角度1 利用函数的单调性解不等式
·解题策略·
解决此类函数的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法:若函数y=f(x)在区间D上单调递增,对任意x1,x2∈D,且f(x1)x2.
D
角度2 利用函数的单调性求参数的取值(范围)
[例4] 若函数f(x)=|2x+a|在区间[6,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ;若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[6,+∞),则a的取值集合是 .
[-12,+∞)
{-12}
·解题策略·
已知函数的单调区间求参数的方法
若函数在某一区间上单调,则此区间是函数相应单调区间的子区间,由此转化为不等式问题求解.
易错警示:函数的单调区间与函数在某区间上单调含义不相同.函数的单调区间是I,指的是函数单调区间的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.
[变式训练] 已知函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3在区间(-3,4]上单调递增,则m的取值范围是( )
A.[-3,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,5] D.(-∞,-3]
D
【解析】 因为函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3的图象开口向下,对称轴方程为x=1-m,所以1-m≥4,解得m≤-3,即m∈(-∞,-3].故选D.
题型四 分段函数的单调性问题
D
·解题策略·
含参数的分段函数的单调性
对于分段函数在实数集R上单调的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系(若函数是增函数,则左边比右边小;若函数是减函数,则右边比左边小),这样才能满足在R上单调,否则求出的参数的取值范围会出现错误.
[4,8)
【学海拾贝】
复合函数的单调性
复合函数y=f(g(x)),若u=g(x)在给定的区间(a,b)上是单调函数且y=f(u)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a)) 上也是单调函数,则复合函数y=f(g(x))在(a,b)上是单调函数.
(1)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上都单调递增或都单调递减,则y=f(g(x))单调递增;
(2)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上一个单调递增,另一个单调递减,则y=f(g(x))单调递减.
列表如下:
内层函数
u=g(x) 外层函数
y=f(u) 复合函数
y=f(g(x))
单调递增 单调递增 单调递增
复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内层、外层函数的单调性相同时,复合函数单调递增,相异时单调递减.
单调递增 单调递减 单调递减
单调递减 单调递增 单调递减
单调递减 单调递减 单调递增
D
C
(2)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则函数f(|x-2|)的单调递减区间是
( )
A.(-∞,2] B.(-∞,-2]
C.[2,+∞) D.R
A
【解析】 (2)函数f(|x-2|)可以看作由内层函数t=|x-2|,外层函数y=f(t)复合而成的,
因为内层函数在区间(-∞,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,外层函数是增函数,所以函数f(|x-2|)的单调递减区间为(-∞,2].故选A.
当堂检测
D
【解析】 所给选项中的函数只有f(x)=1-x在(-∞,0)上单调递减.故选D.
2.若函数y=(a+1)x+b,x∈R在其定义域上是增函数,则( )
A.a>-1 B.a<-1
C.b>0 D.b<0
A
【解析】 若函数y=(a+1)x+b,x∈R在其定义域上是增函数,则a+1>0,即a>-1.故选A.
3.(多选题)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间是( )
A.[-4,-2] B.[-3,-1]
C.[-4,0] D.[1,4]
AD
【解析】 由题图可得f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,1]上单调递增,在区间[1,4]上单调递减,所以函数f(x)的单调递减区间为[-4,-2],[1,4].故选A,D.
f(-1)第1课时 函数的单调性
【课程标准要求】 1.结合实例,经历从具体的直观描述到数学的符号语言表达函数单调性的过程,提升数学抽象和直观想象的核心素养.2.利用特殊函数,理解函数单调性及几何意义,提升直观想象的核心素养.3.会根据函数单调性的定义,判断、证明单调性,提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识点 函数的单调性
设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间:
(1)如果对于任意的x1,x2∈I,当x1(2)如果对于任意的x1,x2∈I,当x1f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间I上单调递减.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递减区间.如果对于定义域D上任意的x1,x2,当x1f(x2),那么就称函数y=f(x)是减函数.
(3)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间.
知识拓展
(1)函数单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.若(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0,则函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递增;若(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0,则函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递减.
(2)对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.
题型一 函数单调性(或单调区间)的判定
[例1] 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减.
(1)f(x)=-;
(2)f(x)=
(3)f(x)=-x2+2|x|+3.
【解】 (1)函数f(x)=-的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),且f(x)在区间(-∞,0),(0,+∞)上都单调
递增.
(2)当x≥1时,f(x)=2x+1,当x<1时,f(x)=5-x,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),[1,+∞),并且函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
(3)因为f(x)=-x2+2|x|+3=
根据解析式可作出函数的图象如图所示.
由图象可知,
函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞),
并且函数f(x)在区间(-∞,-1],[0,1)上单调递增,在区间(-1,0),[1,+∞)上单调递减.
(1)利用基本初等函数的单调性,如一次函数的单调性由一次项系数的符号确定,二次函数的单调性由二次项系数以及二次函数图象的对称轴确定等求函数的单调区间.
(2)若函数的单调性不能由解析式直接确定,也可以作出函数的图象,利用函数的图象确定函数的单调区间.
[变式训练] (多选题)下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递减的是( )
A.y=x2-2 024 B.y=|x+1|
C.y=x2+x+1 D.y=
【答案】 AD
【解析】 函数y=x2- 2 024在区间(-∞,0)上单调递减,因此A正确;当x<0时,y=|x+1|=所以该函数在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间[-1,0)上单调递增,因此B不正确;因为一元二次函数y=x2+x+1的图象开口向上,对称轴为直线x=-,所以该函数在区间(-∞,-)上单调递减,在区间(-,0)上单调递增,因此C不正确;y=在区间(-∞,0)上单调递减,因此D正确.故选A,D.
题型二 证明函数的单调性
[例2] 已知函数f(x)=ax2-,且f(-1)=-1,f(1)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断并证明函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性.
【解】 (1)因为f(-1)=-1,f(1)=3,
所以解得
所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2+.
(2)函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,证明如下:
由(1)知f(x)=x2+,取任意x1,x2∈(1,+∞),且x1x1>1,所以x1+x2>2,x1x2>1.所以0<<1,则0<<2.所以->-2,即x1+x2->0.所以f(x1)-f(x2)<0.所以函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
[变式训练] 已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
【解】 (1)由x2-1≠0,得x≠±1,
故函数f(x)=的定义域为{x|x≠±1}.
(2)函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
证明如下:
x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=
=.
因为-1>0,-1>0,
x2+x1>0,x2-x1>0,所以f(x1)>f(x2).
故函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
题型三 函数单调性的应用
角度1 利用函数的单调性解不等式
[例3] 已知函数f(x)在定义域(-∞,0)上单调递减,且f(-2-x)A.(-2,+∞) B.(-2,2)
C.(-2,) D.(,2)
【答案】 C
【解析】 因为函数f(x)在定义域(-∞,0)上单调递减,且f(-2-x)所以所以
所以-2解决此类函数的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法:若函数y=f(x)在区间D上单调递增,对任意x1,x2∈D,且f(x1)x2.
[变式训练] 已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)A.(-∞,) B.[,)
C.(,) D.[,)
【答案】 D
【解析】 由已知2x-1在函数的定义域内,又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(2x-1)角度2 利用函数的单调性求参数的取值(范围)
[例4] 若函数f(x)=|2x+a|在区间[6,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ;若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[6,+∞),则a的取值集合是 .
【答案】 [-12,+∞) {-12}
【解析】 因为f(x)=
所以f(x)的单调递增区间是[-,+∞).
若函数在区间[6,+∞)上单调递增,
则-≤6,解得a≥-12.
若函数f(x)的单调递增区间是[6,+∞),
则-=6,解得a=-12.
已知函数的单调区间求参数的方法
若函数在某一区间上单调,则此区间是函数相应单调区间的子区间,由此转化为不等式问题求解.
易错警示:函数的单调区间与函数在某区间上单调含义不相同.函数的单调区间是I,指的是函数单调区间的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.
[变式训练] 已知函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3在区间(-3,4]上单调递增,则m的取值范围是( )
A.[-3,+∞) B.[3,+∞)
C.(-∞,5] D.(-∞,-3]
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)=-x2+2(1-m)x+3的图象开口向下,对称轴方程为x=1-m,所以1-m≥4,解得m≤-3,即m∈(-∞,-3].故选D.
题型四 分段函数的单调性问题
[例5] 已知函数f(x)=若对R上的任意实数x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,那么实数a的取值范围是( )
A.(0,3) B.(0,3]
C.[2,3) D.(0,2]
【答案】 D
【解析】 因为对任意x1,x2∈(-∞,+∞),x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,则函数f(x)在R上为减函数,
所以解得0含参数的分段函数的单调性
对于分段函数在实数集R上单调的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系(若函数是增函数,则左边比右边小;若函数是减函数,则右边比左边小),这样才能满足在R上单调,否则求出的参数的取值范围会出现错误.
[变式训练] 已知分段函数f(x)=
若f(x)是R上的增函数,则实数a的取值范围为 .
【答案】 [4,8)
【解析】 因为f(x)是R上的增函数,
所以解得4≤a<8.
【学海拾贝】
复合函数的单调性
复合函数y=f(g(x)),若u=g(x)在给定的区间(a,b)上是单调函数且y=f(u)在(g(a),g(b))或(g(b),g(a)) 上也是单调函数,则复合函数y=f(g(x))在(a,b)上是单调函数.
(1)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上都单调递增或都单调递减,则y=f(g(x))单调递增;
(2)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上一个单调递增,另一个单调递减,则y=f(g(x))单调
递减.
列表如下:
内层函数 u=g(x) 外层函数 y=f(u) 复合函数 y=f(g(x))
单调递增 单调递增 单调递增
单调递增 单调递减 单调递减
单调递减 单调递增 单调递减
单调递减 单调递减 单调递增
复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内层、外层函数的单调性相同时,复合函数单调递增,相异时单调递减.
[典例探究] 函数y=的单调递增区间是( )
A.(-∞,-3] B.(-∞,-1]
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
【答案】 D
【解析】 由x2+2x-3≥0可得x≤-3或x≥1.
y=可看作由y=和u=x2+2x-3复合而成的.
又u=x2+2x-3=(x+1)2-4在区间(-∞,-3]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,y=为增
函数,
所以函数y=在区间(-∞,-3]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
故y=的单调递增区间是[1,+∞).故选D.
[应用探究] (1)函数f(x)=的单调递增区间为( )
A.(-∞,3] B.[3,4]
C.[2,3] D.[3,+∞)
(2)已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则函数f(|x-2|)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,-2]
C.[2,+∞) D.R
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)因为f(x)=,
所以-x2+6x-8≥0,即x2-6x+8≤0.
所以(x-2)(x-4)≤0,解得2≤x≤4.
所以f(x)=的定义域为{x|2≤x≤4}.
设t=-x2+6x-8,则其图象是开口向下的抛物线,对称轴方程为x=3,其单调递增区间为(-∞,3].
由得x∈[2,3],
所以函数f(x)=的单调递增区间为[2,3].故选C.
(2)函数f(|x-2|)可以看作由内层函数t=|x-2|,外层函数y=f(t)复合而成的,
因为内层函数在区间(-∞,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,外层函数是增函数,所以函数f(|x-2|)的单调递减区间为(-∞,2].故选A.
当堂检测
1.下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递减的是( )
A.f(x)=- B.f(x)=x
C.f(x)=-x2 D.f(x)=1-x
【答案】 D
【解析】 所给选项中的函数只有f(x)=1-x在(-∞,0)上单调递减.故选D.
2.若函数y=(a+1)x+b,x∈R在其定义域上是增函数,则( )
A.a>-1 B.a<-1 C.b>0 D.b<0
【答案】 A
【解析】 若函数y=(a+1)x+b,x∈R在其定义域上是增函数,则a+1>0,即a>-1.故选A.
3.(多选题)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间是( )
A.[-4,-2] B.[-3,-1]
C.[-4,0] D.[1,4]
【答案】 AD
【解析】 由题图可得f(x)在区间[-4,-2]上单调递减,在区间[-2,1]上单调递增,在区间[1,4]上单调递减,所以函数f(x)的单调递减区间为[-4,-2],[1,4].故选A,D.
4.若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则f(),f(-1),f(-2)三个数中最大的一个是 .
【答案】 f(-1)
【解析】 因为f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,且-2<-<-1,
所以f(-2)基础巩固
1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )
A.函数在区间[-5,-3]上单调递增
B.函数在区间[1,4]上单调递增
C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
D.函数在区间[-5,5]上没有单调性
【答案】 C
【解析】 多个单调区间之间不能用“∪”连接.故选C.
2.已知函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,若a∈R,则( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2+a)【答案】 D
【解析】 在选项D中,因为a2+1>a,f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,所以f(a2+1)3.若函数f(x)=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.[-,+∞) B.(-∞,-]
C.[,+∞) D.(-∞,]
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=x2+(2a-1)x+1的图象是开口向上,以直线x=为对称轴的抛物线.因为函数在区间(-∞,2]上单调递减,所以2≤ a≤-.故选B.
4.设函数y=f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是( )
A.f(-3)>f(-π) B.f(-3)≥f(-π)
C.f(-3)【答案】 A
【解析】 因为>0,所以当x1>x2时,f(x1)>f(x2);当x1-π,所以f(-3)>f(-π).故选A.
5.下列函数中,在其定义域上是减函数的是( )
A.f(x)=2x B.f(x)=-x2
C.f(x)= D.f(x)=-2x+1
【答案】 D
【解析】 对于A,f(x)=2x,是正比例函数,在其定义域上为增函数,不符合题意;对于B,f(x)=-x2,是二次函数,在(-∞,0)上单调递增,不符合题意;对于C,f(x)=,是反比例函数,在其定义域内不具有单调性,不符合题意;对于D,f(x)=-2x+1,是一次函数,在其定义域上是减函数,符合题意.故选D.
6.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是( )
A.[-3,0) B.(-∞,-2]
C.(-∞,0) D.[-3,-2]
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)=是R上的增函数,所以-x2-ax-5在(-∞,1]上单调递增,故-≥1 a≤-2.此时,函数f(x)=在(1,+∞)上也是单调递增的,只需在x=1处满足-12-
a-5≤,得a≥-3.综上所述,a的取值范围是[-3,-2].故选D.
7.函数g(x)=x|x-1|+1的单调递减区间为 .
【答案】 [,1)
【解析】根据题意,g(x)=
x|x-1|+1=
函数g(x)的大致图象如图所示.
当x<1时,函数在(-∞,)上单调递增,在[,1)上单调递减;
当x≥1时,函数在[1,+∞)上单调递增.
故函数的单调递减区间为[,1).
8.已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)【答案】 [1,)
【解析】 由题意,得
解得1≤x<,
故x的取值范围是[1,).
9.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.
(1)求f(x)的解析式;
(2)指出f(x)的单调区间.
【解】 (1)当-1≤x≤0时,
设解析式为y=kx+b,
由图象有解得
所以y=x+1;
当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1.
因为图象过点(4,0),所以0=a(4-2)2-1,
解得a=,所以y=(x-2)2-1.
综上,函数f(x)的解析式为
f(x)=
(2)由题图知函数的单调递增区间为[-1,0],[2,+∞);单调递减区间为(0,2].
10.已知函数f(x)=x+.
(1)讨论函数f(x)在(-2,+∞)上的单调性,并用定义证明;
(2)当m∈(-2,2)时,有f(-2m+3)【解】 (1)函数f(x)=x+在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:
设-2则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=
(x1-x2)[1-].
又由-2则1则有f(x1)-f(x2)<0,故函数f(x)=x+在(-2,+∞)上单调递增.
(2)根据题意,当m∈(-2,2)时,
有-2m+3>-1,m2≥0.
由(1)的结论知,
若f(-2m+3)解得m<-3或m>1.
又由m∈(-2,2),则1能力提升
11.已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称;②y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,则 f(0),f(),f(3)的大小关系为( )
A.f()>f(0)>f(3)
B.f(3)>f(0)>f()
C.f()>f(3)>f(0)
D.f(3)>f()>f(0)
【答案】 B
【解析】 由函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,得f()=f(),f(3)=f(-1).又函数 y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,所以 f(-1)>f(0)>f(),即f(3)>f(0)>f().故选B.
12.若函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递增,且f(f(x)-x)=2,则f(2 025)= .
【答案】 2 026
【解析】 因为函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递增,且f(f(x)-x)=2,
所以f(x)-x=c(c≥0),且f(c)=2,
则f(x)=x+c.
所以f(c)=c+c=2,解得c=1,
则f(x)=x+1,
则f(2 025)=2 025+1=2 026.
13.已知二次函数f(x)满足:f(x+2)-f(x)=4x,且f(1)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(|x|)在区间[a,a+]上单调递增,求实数a的取值范围.
【解】 (1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,a≠0,
则f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=4ax+4a+2b.
由f(x+2)-f(x)=4x,得
解得a=1,b=-2.
又f(1)=1,即a+b+c=1,于是c=2,
所以f(x)的解析式是f(x)=x2-2x+2.
(2)由(1)得f(|x|)=|x|2-2|x|+2.
当x>0时,f(|x|)=x2-2x+2的单调递增区间为[1,+∞),依题意,[a,a+] [1,+∞),
则a≥1;
当x≤0时,f(|x|)=x2+2x+2的单调递增区间为[-1,0],依题意,[a,a+] [-1,0],
则
解得-1≤a≤-.
所以实数a的取值范围是[-1,-]∪[1,+∞).
应用创新
14.如果函数y=f(x)在区间I上单调递减,而函数y=在区间I上单调递增,那么称函数y=
f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫作“缓减区间”.可以证明函数f(x)=+(a>0,b>0)的单调递增区间为(-∞,-],[,+∞);单调递减区间为[-,0),(0,].若函数f(x)=x2-2x+
1是区间I上的“缓减函数”,则下列区间中为函数f(x)的“缓减区间”的是( )
A.(-∞,2] B.[0,]
C.[,2] D.[1,]
【答案】 C
【解析】 由题意可知,二次函数f(x)=x2-2x+1的图象的对称轴为直线x=2,f(x)在区间
(-∞,2]上单调递减,
函数y==+-2在区间[-,0),(0,]上单调递减,在区间(-∞,-],[,+∞)上单调递增.
若函数f(x)=x2-2x+1是区间I上的“缓减函数”,则f(x)在区间I上单调递减,函数y==+
-2在区间I上单调递增,则区间I为(-∞,-],[,2].
故选C.
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