2.2 函数的表示法
基础巩固
1.已知函数f(x)由表格给出,则f(f(3))等于( )
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 A
【解析】 由题中表格知f(3)=4,
故f(f(3))=f(4)=1.
故选A.
2.函数f(x)=x+的图象是( )
A B
C D
【答案】 C
【解析】函数f(x)=x+=作出函数图象如图所示.故选C.
3.(多选题)已知f(2x+1)=4x2,则下列结论正确的是( )
A.f(-3)=16 B.f(x)=4x2
C.f(x)=16x2+16x+4 D.f(x)=x2-2x+1
【答案】 AD
【解析】 依题意,f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)+1,因此f(x)=x2-2x+1,B,C错误,D正确;显然f(-3)=(-3)2-2×(-3)+1=16,A正确.故选A,D.
4.如图,四边形BCDE是矩形,BC=8,CD=6,△ABE是等腰直角三角形.点M从点A出发,沿着边AB,BC运动到点C,点N在边AE,ED上运动,直线MN∥CD.设点M运动的路程为x,MN的左侧部分的多边形的周长(含线段MN的长度)为L(x).当点M在线段BC上运动时,L(x)的解析式为( )
A.L(x)=2x+6(3≤x≤3+8)
B.L(x)=2x+6(0≤x≤8)
C.L(x)=2x+6+6(3≤x≤3+8)
D.L(x)=2x+6(0≤x≤8)
【答案】 A
【解析】 因为△ABE是等腰直角三角形,BE=CD=6,所以AB=3.
当点M在线段BC上运动时,
3≤x≤3+8,L(x)=2x+6.故选A.
5.已知函数y=若f(a)=10,则a的值是( )
A.3或-3 B.-3或5
C.-3 D.3或-3或5
【答案】 B
【解析】 若a≤0,则f(a)=a2+1=10,
解得a=-3(a=3舍去).
若a>0,则f(a)=2a=10,解得a=5.
综上可得,a=5或a=-3.故选B.
6.已知函数f(x)=若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.[-2,0)∪(0,2]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-2,0)∪(0,2)
【答案】 D
【解析】 若a>0,则f(a)-f(-a)>0,
即a+1-[-2×(-a)-1]>0,
解得a<2,所以0
若a<0,则f(a)-f(-a)<0,即-2a-1-(-a+1)<0,解得a>-2,所以-2综上,a的取值范围为(-2,0)∪(0,2).故选D.
7.已知函数y=f(x)的图象由两条射线及两条线段(包括端点)组成,如图所示.
(1)f(3.5)的值为 ;
(2)若f(x)=2,则x的值为 .
【答案】 (1)1.5 (2)0或2或4
【解析】 因为f(3)=1,f(4)=2,且当x≥3时,函数图象为一条射线,
所以f(3.5)==1.5.
由题图可知f(0)=2,f(2)=2,f(4)=2,
所以若f(x)=2,则x=0或2或4.
8.已知函数f(x)=a∈R,若存在a<0,且f(1-a)=f(1+a),则实数a= .
【答案】 -
【解析】 由a<0,得1-a>1,1+a<1.
由函数f(x)=a∈R,
得f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1,
f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.
由f(1-a)=f(1+a),得-a-1=3a+2,
解得a=-.
9.已知函数f(x)=
(1)求f(2),f(3),f(4)的值;
(2)请画出f(x)的图象.
【解】 (1)由函数f(x)=
得f(2)=22-2×2=0,f(3)=32-2×3=3,
f(4)=-2×4+9=1.
(2)画出函数f(x)的图象,如图所示.
10.(1)已知函数f(x)对任意实数x都有2f(x)-f()=2x+1,求f()的值.
(2)已知af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式.
【解】 (1)因为函数f(x)对任意实数x都有
2f(x)-f()=2x+1,
所以
解得f(x)=x++1.
所以f()=×++1=3.
(2)在原式中以-x替换x,
得af(-x)+f(x)=-bx.
由
消去f(-x),得f(x)=.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x,a≠±1.
能力提升
11.(多选题)已知函数f(x)是一次函数,满足f(f(x))=9x+8,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2
C.f(x)=-3x+2 D.f(x)=-3x-4
【答案】 AD
【解析】 设f(x)=kx+b(k≠0),
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,
则k2x+kb+b=9x+8,
所以解得或
所以f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.故选A,D.
12.设函数f(x)=若f(x)+f(x-1)>2,则x的取值范围是 .
【答案】 (,+∞)
【解析】 ①当即x>2时,f(x)=x2-2x+3,f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)+3=x2-4x+6,由f(x)+f(x-1)>2,得x2-2x+3+x2-4x+6>2,即2x2-6x+7>0.
因为Δ=36-56<0,所以2x2-6x+7>0恒成立,所以x>2符合题意.
②当即1f(x)=x2-2x+3,f(x-1)=x-1+1=x,
由f(x)+f(x-1)>2,得x2-2x+3+x>2,
即x2-x+1>0,即(x-)2+>0恒成立,
所以1③当即x≤1时,
f(x)=x+1,f(x-1)=x-1+1=x,
由f(x)+f(x-1)>2,得x+1+x>2,
即x>,所以综上所述,x的取值范围是(,+∞).
13.已知函数f(x)对一切的实数x,y,都满足2f(x+y)-f(x-y)=x2+y2+6xy+x+3y-2,且f(0)=-2.
(1)求f(2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)求f(x)在[-3,1)上的值域.
【解】 (1)令x=y=1,
则2f(2)-f(0)=1+1+6+1+3-2=10.
因为f(0)=-2,所以f(2)=4.
(2)令y=0,则2f(x)-f(x)=x2+x-2,
所以f(x)=x2+x-2.
(3)因为f(x)图象的对称轴为直线x=-∈[-3,1),且开口向上,所以f(x)min=f(-)=-,
f(x)max=f(-3)=4.
所以f(x)∈[-,4].
应用创新
14.(多选题)已知函数f(x)=被称为狄利克雷函数,则下列结论成立的是( )
A.函数f(x)的值域为[0,1]
B.若f(x0)=1,则f(x0+1)=1
C.若f(x1)-f(x2)=0,则x1-x2∈Q
D. x∈R,f(x+)=1
【答案】 BD
【解析】 函数f(x)的值域为{0,1},A错误;
若f(x0)=1,则x0∈Q,x0+1∈Q,
则f(x0+1)=1,B正确;
f(2π)-f(π)=0-0=0,但2π-π=π Q,C错误;
当x=-时,f(x+)=f(-+)=f(0)=1,则 x∈R,f(x+)=1,D正确.故选B,D.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 函数的表示法
【课程标准要求】 1.掌握函数的三种表示法,体会三种表示法的作用,提升数学抽象的核心素养.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一 函数的表示方法
函数的表示方法通常有解析法、列表法和图象法.
(1)一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法.
(2)用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法.
(3)用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法.
[思考1] 是否所有的函数都有三种表示方法呢
提示:不是,有些函数无法写出其解析式.
[思考2] 任何一个函数都可以用列表法表示吗
提示:若一个函数的定义域是连续的数集,则函数就不能用列表法表示.
[思考3] 任何一个函数都可以用图象法表示吗
提示:有些函数是不能画出图象的,
如f(x)=
知识点二 分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数.
[思考4] 分段函数有多段,那么它是多个函数吗
提示:分段函数是一个函数而不是多个函数.
知识拓展
函数三种表示法的优缺点比较
表示法 优点 缺点
解析法 一是简明、全面概括了变量间的关系; 二是利用解析式可求任一函数值 不够形象、直观,而且并不是所有函数都有解析式
列表法 不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值 仅能表示自变量取较少个数时的对应关系
图象法 能形象、直观地表示函数的变化情况 只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大
题型一 列表法与图象法表示函数
[例1] (1)已知函数y=f(x),用列表法表示如表:
x -2 -1 0 1 2
y 1 0 -2 2 -1
则f(-2)+f(f(-2))等于( )
A.-4 B.0
C.2 D.3
(2)某市一天内的气温Q(t)(单位:℃)与时刻t(单位:h)之间的关系如图所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差),C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则其中最接近的是( )
A B
C D
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)由题中表格可得f(-2)=1,
f(1)=2,
所以f(f(-2))=f(1)=2,
所以f(-2)+f(f(-2))=3.故选D.
(2)由题意,C(t)从0到4逐渐增大,从4到8不变,是常数,且该常数为2,从8到12逐渐增大,从12到20不变,从20到24又逐渐增大,只有D满足题意.故选D.
(1)利用列表法研究函数,主要是通过表格中的自变量对应的函数值的特征求解.
(2)图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势,从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系,函数图象既可以是一段或几段光滑的曲线,也可以由一些孤立的点或几段线段组成.
[变式训练] 已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则g(f(2))的值为 ,f(g(2))的值为 .
x 1 2 3
f(x) 3 2 1
【答案】 1 3
【解析】 由题中图象可知,g(2)=1,
由题中表格可知,f(2)=2,f(1)=3,
则g(f(2))=g(2)=1,f(g(2))=f(1)=3.
题型二 解析法表示函数
角度1 待定系数法求函数解析式
[例2] 若函数f(x)是二次函数,且满足2f(x+2)-f(x-1)=x2+11x+13,求函数f(x)的解析式.
【解】 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c=ax2+(4a+b)x+4a+2b+c,
f(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2-(2a-b)x+a-b+c.
所以2f(x+2)-f(x-1)=ax2+(10a+b)x+7a+5b+c,所以ax2+(10a+b)x+7a+5b+c=x2+11x+13,
所以解得
所以f(x)=x2+x+1.
待定系数法求函数解析式
已知f(x)的结构特征,求f(x),一般用“待定系数法”求解.设出f(x)的表达式,由已知条件列出关于f(x)中未知参数的方程组,解方程组求出未知数.一般地,一次函数设为f(x)=kx+b(k≠0),二次函数设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
[变式训练] 已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)等于( )
A.3x+2 B.3x-2
C.2x+3 D.2x-3
【答案】 B
【解析】 设f(x)=kx+b(k≠0).
因为2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
所以解得
所以f(x)=3x-2.
故选B.
角度2 换元(配凑)法求函数解析式
[例3] 已知f(+1)=+2,求f(x)的解析式.
【解】 法一 因为+2=+-+2
=(++1)-2(+1)+3
=(+1)2-2(+1)+3,
所以f(+1)=(+1)2-2(+1)+3,
所以f(x)=x2-2x+3.
又1+≠1,所以f(x)=x2-2x+3(x≠1).
法二 设t=+1,则=t-1(t≠1),
所以f(t)=(t-1)2+2=t2-2t+3(t≠1),
所以f(x)=x2-2x+3(x≠1).
已知f(g(x))=h(x),求f(x)常用的方法有两种:
(1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,即为函数解析式,注意换元后新元的取值范围.
(2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
注意:f(g(x))=h(x),求f(x)时,若y=g(x)的取值不是全体实数,要在所求得的函数解析式中,标注函数的定义域,也就是函数y=g(x)的值域.
[变式训练] 已知f(+1)=x+2,求f(x).
【解】 设t=+1(t≥1),则=t-1,
因此f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
即f(x)=x2-1(x≥1).
角度3 构造方程组法求函数解析式
[例4] 已知函数y=f(x)满足f(x)=2f()+x,求f(x)的解析式.
【解】 由f(x)=2f()+x,①
将x换成,得f()=2f(x)+.②
由①②消去f(),得f(x)=--,
即f(x)=-(x≠0).
构造方程组法求函数解析式
当一个对应关系中同时含有f(x)与f(-x)或f(x)与f()时,常通过构造方程组求解.
[变式训练] 已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).
【解】 由题意知,
f(x)+2f(-x)=x2+2x,①
将x换成-x,-x换成x,
得f(-x)+2f(x)=x2-2x,②
所以由①②可得3f(x)=x2-6x,
所以f(x)=x2-2x.
题型三 分段函数
[例5] (1)已知函数f(x)=则f(1)-f(2)等于( )
A.12 B.2 C.-2 D.3
(2)已知f(x)=若f(a-3)=f(a+2),则f(a)等于( )
A.2 B. C.1 D.0
(3)已知函数f(x)=若 f(a)=-3,则实数a的值为 .
【答案】 (1)B (2)B (3)-5或3
【解析】 (1)因为f(1)=f(3)=2×3+1=7,f(2)=2×2+1=5,
所以f(1)-f(2)=7-5=2.
故选B.
(2)因为f(x)=f(a-3)=f(a+2),所以必有a-3≤0,a+2>0,所以a-3+3=,解得a=2或a=-1(舍去).所以f(a)=f(2)=.故选B.
(3)当a≤-1时,由a+2=-3,解得a=-5;
当a>-1时,由解得a=3.
所以实数a的值为-5或3.
(1)求分段函数函数值的方法.
①先确定要求值的自变量属于哪一段区间;
②然后代入该段的解析式求值;
③当出现 f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知函数值求自变量取值的步骤.
①先对自变量的取值范围分类讨论;
②然后代入到不同的解析式中;
③通过解方程求出自变量的值;
④检验所求的值是否在所讨论的区间内.
[变式训练] (1)设f(x)=则f(f(0))等于( )
A.1 B.0 C.2 D.-1
(2)已知函数y=则使函数值为5的x的值是( )
A.-2 B.2或-
C.2或-2 D.2或-2或-
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)因为f(x)=
所以f(0)=1,所以f(f(0))=f(1)=1+1=2.故选C.
(2)当x≤0时,令x2+1=5,解得x=-2;
当x>0时,-2x<0,不符合题意.
故x=-2.故选A.
【学海拾贝】
函数的图象及应用
[典例探究] 画出下列各函数的图象.
(1)y=-x+1,x∈Z;
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;
(3)y=|1-x|.
【解】 (1)因为函数的定义域为Z,所以图象为一群孤立的点,如图①.
(2)因为函数的定义域不是R,所以图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分,如图②.
(3)根据绝对值的定义得y=其图象如图③.
(1)描点法画函数图象的基本步骤.
(2)画函数图象时的注意点.
①在定义域内作图;
②图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
③要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心点.
(3)画函数图象时,若函数解析式不是最简形式(如含有绝对值等),需要先化简函数解析式.分段函数的图象要根据各段的函数解析式画出.
[应用探究] 已知函数f(x)=1+(-2(1)用分段函数的形式表示该函数;
(2)画出该函数的图象;
(3)写出该函数的值域.
【解】 (1)当0≤x≤2时,
f(x)=1+=1;
当-2所以f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).
当堂检测
1.已知函数f(x),g(x)分别由表给出,则f(g(2))的值是( )
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
g(x) 3 2 1
A.1 B.2 C.3 D.1和2
【答案】 C
【解析】 由题表可知,f(g(2))=f(2)=3.故选C.
2.若函数f(2x+1)=x2-3x+1,则f(3)等于( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
【答案】 A
【解析】 由2x+1=3,得x=1,则f(3)=1-3+1=-1.故选A.
3.已知函数f(x)=若f(m)=4,则m= .
【答案】 0或2
【解析】 由题意可得或
所以m=0或m=2.
4.已知f(-1)=x-2,则f(x)= .
【答案】 x2-1,x≥-1
【解析】 因为(-1)2=x-2+1,
所以x-2=(-1)2-1.
所以f(-1)=x-2=(-1)2-1,
其中-1≥-1.所以f(x)=x2-1,x≥-1.
基础巩固
1.已知函数f(x)由表格给出,则f(f(3))等于( )
x 1 2 3 4
f(x) 3 2 4 1
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 A
【解析】 由题中表格知f(3)=4,
故f(f(3))=f(4)=1.
故选A.
2.函数f(x)=x+的图象是( )
A B
C D
【答案】 C
【解析】函数f(x)=x+=作出函数图象如图所示.故选C.
3.(多选题)已知f(2x+1)=4x2,则下列结论正确的是( )
A.f(-3)=16 B.f(x)=4x2
C.f(x)=16x2+16x+4 D.f(x)=x2-2x+1
【答案】 AD
【解析】 依题意,f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)+1,因此f(x)=x2-2x+1,B,C错误,D正确;显然f(-3)=(-3)2-2×(-3)+1=16,A正确.故选A,D.
4.如图,四边形BCDE是矩形,BC=8,CD=6,△ABE是等腰直角三角形.点M从点A出发,沿着边AB,BC运动到点C,点N在边AE,ED上运动,直线MN∥CD.设点M运动的路程为x,MN的左侧部分的多边形的周长(含线段MN的长度)为L(x).当点M在线段BC上运动时,L(x)的解析式为( )
A.L(x)=2x+6(3≤x≤3+8)
B.L(x)=2x+6(0≤x≤8)
C.L(x)=2x+6+6(3≤x≤3+8)
D.L(x)=2x+6(0≤x≤8)
【答案】 A
【解析】 因为△ABE是等腰直角三角形,BE=CD=6,所以AB=3.
当点M在线段BC上运动时,
3≤x≤3+8,L(x)=2x+6.故选A.
5.已知函数y=若f(a)=10,则a的值是( )
A.3或-3 B.-3或5
C.-3 D.3或-3或5
【答案】 B
【解析】 若a≤0,则f(a)=a2+1=10,
解得a=-3(a=3舍去).
若a>0,则f(a)=2a=10,解得a=5.
综上可得,a=5或a=-3.故选B.
6.已知函数f(x)=若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞)
B.[-2,0)∪(0,2]
C.(-∞,-2]∪[2,+∞)
D.(-2,0)∪(0,2)
【答案】 D
【解析】 若a>0,则f(a)-f(-a)>0,
即a+1-[-2×(-a)-1]>0,
解得a<2,所以0若a<0,则f(a)-f(-a)<0,即-2a-1-(-a+1)<0,解得a>-2,所以-2综上,a的取值范围为(-2,0)∪(0,2).故选D.
7.已知函数y=f(x)的图象由两条射线及两条线段(包括端点)组成,如图所示.
(1)f(3.5)的值为 ;
(2)若f(x)=2,则x的值为 .
【答案】 (1)1.5 (2)0或2或4
【解析】 因为f(3)=1,f(4)=2,且当x≥3时,函数图象为一条射线,
所以f(3.5)==1.5.
由题图可知f(0)=2,f(2)=2,f(4)=2,
所以若f(x)=2,则x=0或2或4.
8.已知函数f(x)=a∈R,若存在a<0,且f(1-a)=f(1+a),则实数a= .
【答案】 -
【解析】 由a<0,得1-a>1,1+a<1.
由函数f(x)=a∈R,
得f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1,
f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.
由f(1-a)=f(1+a),得-a-1=3a+2,
解得a=-.
9.已知函数f(x)=
(1)求f(2),f(3),f(4)的值;
(2)请画出f(x)的图象.
【解】 (1)由函数f(x)=
得f(2)=22-2×2=0,f(3)=32-2×3=3,
f(4)=-2×4+9=1.
(2)画出函数f(x)的图象,如图所示.
10.(1)已知函数f(x)对任意实数x都有2f(x)-f()=2x+1,求f()的值.
(2)已知af(x)+f(-x)=bx,其中a≠±1,求函数f(x)的解析式.
【解】 (1)因为函数f(x)对任意实数x都有
2f(x)-f()=2x+1,
所以
解得f(x)=x++1.
所以f()=×++1=3.
(2)在原式中以-x替换x,
得af(-x)+f(x)=-bx.
由
消去f(-x),得f(x)=.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x,a≠±1.
能力提升
11.(多选题)已知函数f(x)是一次函数,满足f(f(x))=9x+8,则f(x)的解析式可能为( )
A.f(x)=3x+2 B.f(x)=3x-2
C.f(x)=-3x+2 D.f(x)=-3x-4
【答案】 AD
【解析】 设f(x)=kx+b(k≠0),
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,
则k2x+kb+b=9x+8,
所以解得或
所以f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4.故选A,D.
12.设函数f(x)=若f(x)+f(x-1)>2,则x的取值范围是 .
【答案】 (,+∞)
【解析】 ①当即x>2时,f(x)=x2-2x+3,f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)+3=x2-4x+6,由f(x)+f(x-1)>2,得x2-2x+3+x2-4x+6>2,即2x2-6x+7>0.
因为Δ=36-56<0,所以2x2-6x+7>0恒成立,所以x>2符合题意.
②当即1f(x)=x2-2x+3,f(x-1)=x-1+1=x,
由f(x)+f(x-1)>2,得x2-2x+3+x>2,
即x2-x+1>0,即(x-)2+>0恒成立,
所以1③当即x≤1时,
f(x)=x+1,f(x-1)=x-1+1=x,
由f(x)+f(x-1)>2,得x+1+x>2,
即x>,所以综上所述,x的取值范围是(,+∞).
13.已知函数f(x)对一切的实数x,y,都满足2f(x+y)-f(x-y)=x2+y2+6xy+x+3y-2,且f(0)=-2.
(1)求f(2)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)求f(x)在[-3,1)上的值域.
【解】 (1)令x=y=1,
则2f(2)-f(0)=1+1+6+1+3-2=10.
因为f(0)=-2,所以f(2)=4.
(2)令y=0,则2f(x)-f(x)=x2+x-2,
所以f(x)=x2+x-2.
(3)因为f(x)图象的对称轴为直线x=-∈[-3,1),且开口向上,所以f(x)min=f(-)=-,
f(x)max=f(-3)=4.
所以f(x)∈[-,4].
应用创新
14.(多选题)已知函数f(x)=被称为狄利克雷函数,则下列结论成立的是( )
A.函数f(x)的值域为[0,1]
B.若f(x0)=1,则f(x0+1)=1
C.若f(x1)-f(x2)=0,则x1-x2∈Q
D. x∈R,f(x+)=1
【答案】 BD
【解析】 函数f(x)的值域为{0,1},A错误;
若f(x0)=1,则x0∈Q,x0+1∈Q,
则f(x0+1)=1,B正确;
f(2π)-f(π)=0-0=0,但2π-π=π Q,C错误;
当x=-时,f(x+)=f(-+)=f(0)=1,则 x∈R,f(x+)=1,D正确.故选B,D.
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2.2 函数的
表示法
1.掌握函数的三种表示法,体会三种表示法的作用,提升数学抽象的核心素养.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 函数的表示方法
函数的表示方法通常有 、 和 .
(1)一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来,这种方法称为解析法.
(2)用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法,称为列表法.
(3)用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法,称为图象法.
解析法
列表法
图象法
[思考1] 是否所有的函数都有三种表示方法呢
提示:不是,有些函数无法写出其解析式.
[思考2] 任何一个函数都可以用列表法表示吗
提示:若一个函数的定义域是连续的数集,则函数就不能用列表法表示.
[思考3] 任何一个函数都可以用图象法表示吗
知识点二 分段函数
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的 .
,则称其为分段函数.
对应
关系
[思考4] 分段函数有多段,那么它是多个函数吗
提示:分段函数是一个函数而不是多个函数.
函数三种表示法的优缺点比较
『知识拓展』
表示法 优点 缺点
解析法 一是简明、全面概括了变量间的关系;
二是利用解析式可求任一函数值 不够形象、直观,而且并不是所有函数都有解析式
列表法 不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值 仅能表示自变量取较少个数时的对应关系
图象法 能形象、直观地表示函数的变化情况 只能近似求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大
题型一 列表法与图象法表示函数
[例1] (1)已知函数y=f(x),用列表法表示如表:
x -2 -1 0 1 2
y 1 0 -2 2 -1
则f(-2)+f(f(-2))等于( )
A.-4 B.0
C.2 D.3
D
【解析】 (1)由题中表格可得f(-2)=1,
f(1)=2,
所以f(f(-2))=f(1)=2,
所以f(-2)+f(f(-2))=3.故选D.
(2)某市一天内的气温Q(t)(单位:℃)与时刻t(单位:h)之间的关系如图所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差),C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则其中最接近的是( )
D
A B C D
【解析】 (2)由题意,C(t)从0到4逐渐增大,从4到8不变,是常数,且该常数为2,从8到12逐渐增大,从12到20不变,从20到24又逐渐增大,只有D满足题意.故
选D.
·解题策略·
(1)利用列表法研究函数,主要是通过表格中的自变量对应的函数值的特征求解.
(2)图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势,从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系,函数图象既可以是一段或几段光滑的曲线,也可以由一些孤立的点或几段线段组成.
[变式训练] 已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则g(f(2))的值为 ,f(g(2))的值为 .
x 1 2 3
f(x) 3 2 1
1
3
【解析】 由题中图象可知,g(2)=1,
由题中表格可知,f(2)=2,f(1)=3,
则g(f(2))=g(2)=1,f(g(2))=f(1)=3.
题型二 解析法表示函数
角度1 待定系数法求函数解析式
[例2] 若函数f(x)是二次函数,且满足2f(x+2)-f(x-1)=x2+11x+13,求函数f(x)的解析式.
·解题策略·
待定系数法求函数解析式
已知f(x)的结构特征,求f(x),一般用“待定系数法”求解.设出f(x)的表达式,由已知条件列出关于f(x)中未知参数的方程组,解方程组求出未知数.一般地,一次函数设为f(x)=kx+b(k≠0),二次函数设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
[变式训练] 已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)等于( )
A.3x+2 B.3x-2
C.2x+3 D.2x-3
B
角度2 换元(配凑)法求函数解析式
·解题策略·
已知f(g(x))=h(x),求f(x)常用的方法有两种:
(1)换元法,即令t=g(x),解出x,代入h(x)中,得到一个含t的解析式,即为函数解析式,注意换元后新元的取值范围.
(2)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),用g(x)来表示h(x),然后将解析式中的g(x)用x代替即可.
注意:f(g(x))=h(x),求f(x)时,若y=g(x)的取值不是全体实数,要在所求得的函数解析式中,标注函数的定义域,也就是函数y=g(x)的值域.
角度3 构造方程组法求函数解析式
·解题策略·
[变式训练] 已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x).
题型三 分段函数
B
【解析】 (1)因为f(1)=f(3)=2×3+1=7,f(2)=2×2+1=5,
所以f(1)-f(2)=7-5=2.
故选B.
B
-5或3
·解题策略·
(1)求分段函数函数值的方法.
①先确定要求值的自变量属于哪一段区间;
②然后代入该段的解析式求值;
③当出现 f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
·解题策略·
(2)已知函数值求自变量取值的步骤.
①先对自变量的取值范围分类讨论;
②然后代入到不同的解析式中;
③通过解方程求出自变量的值;
④检验所求的值是否在所讨论的区间内.
C
A
【解析】 (2)当x≤0时,令x2+1=5,解得x=-2;
当x>0时,-2x<0,不符合题意.
故x=-2.故选A.
【学海拾贝】
函数的图象及应用
[典例探究] 画出下列各函数的图象.
(1)y=-x+1,x∈Z;
【解】 (1)因为函数的定义域为Z,所以图象为一群孤立的点,如图①.
(2)y=2x2-4x-3,0≤x<3;
【解】 (2)因为函数的定义域不是R,所以图象不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分,如图②.
(3)y=|1-x|.
·解题策略·
(1)描点法画函数图象的基本步骤.
·解题策略·
(2)画函数图象时的注意点.
①在定义域内作图;
②图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象;
③要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心点.
(3)画函数图象时,若函数解析式不是最简形式(如含有绝对值等),需要先化简函数解析式.分段函数的图象要根据各段的函数解析式画出.
(2)画出该函数的图象;
【解】 (2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)写出该函数的值域.
【解】 (3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).
当堂检测
1.已知函数f(x),g(x)分别由表给出,则f(g(2))的值是( )
C
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
g(x) 3 2 1
A.1 B.2 C.3 D.1和2
【解析】 由题表可知,f(g(2))=f(2)=3.故选C.
2.若函数f(2x+1)=x2-3x+1,则f(3)等于( )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
A
【解析】 由2x+1=3,得x=1,则f(3)=1-3+1=-1.故选A.
0或2
x2-1,x≥-1