4.1 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
基础巩固
1.函数f(x)=x2+的图象关于( )
A.原点对称
B.y轴对称
C.直线y=x对称
D.直线y=-x对称
【答案】 B
【解析】 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=(-x)2+=x2+=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称.故选B.
2.(多选题)下列函数中,是奇函数的为( )
A.y=x+1 B.y=-x2
C.y= D.y=x|x|
【答案】 CD
【解析】 y=x+1既不是奇函数也不是偶函数;y=-x2是偶函数;y=是奇函数;令f(x)=x|x|,则f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),因此函数y=x|x|是奇函数.故选C,D.
3.下列函数图象中,可以表示非奇非偶函数的是( )
A B C D
【答案】 D
【解析】 对于A,函数图象关于y轴对称,为偶函数,故A错误;
对于B,C,函数图象关于原点对称,为奇函数,故B,C错误;
对于D,函数图象既不关于y轴对称也不关于原点对称,是非奇非偶函数,故D正确.故选D.
4.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f(-)=,则f()等于( )
A.- B.- C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意可得f()=f(1+)=f(-)=-f(),而f()=f(1-)=f()=-f(-)=-,故f()=.故选C.
5.若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(5)>f(2),则下列各式中一定成立的是( )
A.f(-2)C.f(4)【答案】 A
【解析】 因为f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,所以f(-5)=f(5),f(-2)=f(2).因为f(5)>f(2),所以f(5)>f(-2),故A正确.因为无法判断函数f(x)的单调性,故其余选项不能判断是否一定成立.故选A.
6.(多选题)设函数f(x-1)=,则下列说法正确的是( )
A.f(-)=3
B.函数f(x)=(x≠-1)
C.函数f(x)为奇函数
D.函数f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称
【答案】 ABD
【解析】 由f(x-1)=,可得f(x)=(x≠-1),选项B正确;
f(-)==3,选项A正确;
由f(x)=(x≠-1)的定义域不关于原点对称,
可知函数f(x)不为奇函数,选项C错误;
由h(x)=(x≠0)的图象关于坐标原点中心对称,可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,选项D正确.故选A,B,D.
7.函数f(x)=为 函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”).
【答案】 奇
【解析】 函数的定义域为R,当x>0时,-x<0,f(x)=x(x+2),f(-x)=-x(2+x),此时 f(-x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(x)=x(2-x),f(-x)=-x(-x+2)=-x(2-x),此时f(-x)=-f(x).当x=0时,f(x)=0,满足 f(-x)=-f(x).综上,f(x)为奇函数.
8.已知f(x)=是定义在[2a,a+3]上的奇函数,则a= ,b= .
【答案】 -1 0
【解析】 因为f(x)是定义在[2a,a+3]上的奇函数,所以2a+a+3=0,解得a=-1.又因为f(x)=是奇函数,则f(-x)===-f(x)恒成立,即=恒成立,
化简得2bx2=0,所以b=0.
9.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=2x+;
(2)f(x)=4-|x|;
(3)f(x)=(1-x).
【解】 (1)函数的定义域为{x|x≠0}.
因为f(-x)=-2x+=-(2x+)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)函数的定义域为R.
因为f(-x)=4-|-x|=4-|x|=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
(3)由≥0,
得-1≤x<1,
所以函数f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,
故函数f(x)是非奇非偶函数.
10.已知函数f(x)=x2-4|x|+3.
(1)试证明函数f(x)是偶函数.
(2)画出f(x)的大致图象.
(1)【证明】 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
(2)【解】 当x≥0时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,且当y=0时,x=1或x=3,
因此当x≥0时,函数f(x)的图象是对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),且与x轴交于点(1,0),(3,0)的抛物线在y轴及右侧部分,如图,
再作出上述图象关于y轴对称的图形即得f(x)的大致图象.
能力提升
11.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】 C
【解析】 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)·g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)·|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数.故选C.
12.已知f(x)是定义在[-3,0)和(0,3]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是 .
【答案】 [-3,-1)∪(1,3]
【解析】利用奇函数图象的性质可以得到函数f(x)在[-3,0)上的图象,如图所示,利用图象得到函数f(x)的值域为[-3,-1)∪(1,3].
13.如图所示为偶函数f(x)在第一象限及坐标轴上的图象,请将图象补充完整,并回答下列问题.
(1)请写出f(1)和f(-2)的值;
(2)请写出函数f(x)的定义域和值域;
(3)若f()<1,求实数a的取值范围.
【解】 根据题意,f(x)为偶函数,其图象如图所示.
(1)由函数的图象可知,f(1)=1,
f(-2)=f(2)=2.
(2)由函数的图象可知,f(x)的定义域为[-3,3],值域为[0,2].
(3)若f()<1,
结合函数的图象可得-1<<1,
解得a<-2或a>0.
故实数a的取值范围为{a|a<-2或a>0}.
应用创新
14.已知对于任意x,y∈R,都有f(x)+f(y)=2f()f(),f(0)≠0,则f(x)( )
A.是奇函数但不是偶函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.是偶函数但不是奇函数
【答案】 D
【解析】 令x=y=0,可得f(0)+f(0)=2f(0)·f(0) f2(0)=f(0),
因为f(0)≠0,所以f(0)=1.
再令y=-x,可得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x),因为f(0)=1,所以f(x)=f(-x),所以函数f(x)是偶函数.又因为f(0)≠0,所以函数f(x)不是奇函数,所以f(x)是偶函数但不是奇函数.故选D.
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§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义,提升直观想象和数学抽象的核心素养.2.能判断函数的奇偶性,运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点 函数的奇偶性
前提 一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D
条件
结论 f(x)为奇函数 f(x)为偶函数
图象
特征 关于原点对称 关于y轴对称
等价
形式
f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)
(1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)],才能说f(x)是奇(偶)函数.
(2)函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件:定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数y=x2在区间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇偶性可言.
『知识拓展』
(3)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.
(4)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集.
[例1] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3+x;
题型一 判断函数的奇偶性
【解】 (1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=(-x)3+(-x)=
-(x3+x)=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
【解】 (3)当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,则-x<0,
f(-x)=(-x)2+2×(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);
当x<0时,f(x)=x2+2x-1,则-x>0,f(-x)=-(-x)2+2×(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).
所以函数y=f(x)为奇函数.
【解】 (4)因为函数f(x)的定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(4)f(x)=|x+3|+|x-3|.
·解题策略·
判断函数奇偶性的步骤:先看定义域是否关于原点对称.若不对称,则既不是奇函数也不是偶函数;若对称,则再看f(-x)与f(x)的关系,即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0.
提醒:(1)若函数的解析式不是最简形式,需要等价变形后化简函数的解析式再判断函数的奇偶性.
(2)函数解析式中含参数的需要对参数分类讨论.
【解】 (1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=(-x)4+2(-x)2=
x4+2x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x4+2x2;
【解】 (3)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.当b=0 时,f(-x)=a(-x)2+c=
ax2+c=f(x),此时函数f(x)是偶函数;当b≠0时,函数f(x)既不是奇函数也不是
偶函数.
(3)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
题型二 奇函数、偶函数的图象特征
[例2] 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象;
【解】 (1)先描出点(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图.
(2)解不等式xf(x)>0.
·解题策略·
由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇函数、偶函数图象的问题.
[变式训练] 设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)<
0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
B
【解析】因为奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)-f(-x)=2f(x)<0,
即f(x)<0.
又f(1)=0,
则f(-1)=0,大致图象如图所示,所以当f(x)<0时,x∈(-∞,-1)∪(0,1).故选B.
【学海拾贝】
抽象函数的奇偶性
[典例探究] 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).
(1)求f(1),f(-1)的值;
【解】 (1)因为f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),
令x=y=1,有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1),
所以f(1)=0;
令x=y=-1,有f((-1)×(-1))=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1),所以f(-1)=0.
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
【解】 (2)因为f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=0,有f(0)=0,令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1),
将f(-1)=0代入,
得f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)是定义在R上的奇函数.
·解题策略·
抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义,判断f(x)和f(-x)的关系,关键在于合理赋值,构造出f(x)和f(-x).
[应用探究] 已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇函数.
【证明】 令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),
所以f(0)=0.
又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得f(-x+x)=f(-x)+f(x),
即f(-x)+f(x)=0,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
当堂检测
1.下列函数图象中,可以表示偶函数的有( )
A
【解析】 根据偶函数图象关于y轴对称,结合函数图象可知符合题意的只有A选项.故选A.
A B C D
2.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
A
【解析】 因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.故选A.
C
4.若函数g(x)=f(3x)-9x2是奇函数,且f(-1)=3,则f(1)= .
-14.1 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
【课程标准要求】 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义,提升直观想象和数学抽象的核心素养.2.能判断函数的奇偶性,运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
知识点 函数的奇偶性
前提 一般地,设函数f(x)的定义域是D,如果对任意的x∈D,有-x∈D
条件 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)
结论 f(x)为奇函数 f(x)为偶函数
图象 特征 关于原点对称 关于y轴对称
等价 形式 若f(x)≠0, 则=-1 若f(x)≠0, 则=1
知识拓展
(1)函数的单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)],才能说f(x)是奇(偶)函数.
(2)函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件:定义域关于原点对称.换言之,若所给函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性.例如,函数y=x2在区间(-∞,+∞)上是偶函数,但在区间[-1,2]上却无奇偶性可言.
(3)若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.
(4)若f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类,即f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集.
题型一 判断函数的奇偶性
[例1] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3+x;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
(4)f(x)=|x+3|+|x-3|.
【解】 (1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
(2)由
可得-6f(x)的定义域不关于原点对称,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)当x>0时,f(x)=-x2+2x+1,则-x<0,
f(-x)=(-x)2+2×(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);
当x<0时,f(x)=x2+2x-1,则-x>0,f(-x)=-(-x)2+2×(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).
所以函数y=f(x)为奇函数.
(4)因为函数f(x)的定义域是R,且f(-x)=|-x+3|+|-x-3|=|x-3|+|x+3|=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
判断函数奇偶性的步骤:先看定义域是否关于原点对称.若不对称,则既不是奇函数也不是偶函数;若对称,则再看f(-x)与f(x)的关系,即f(-x)=±f(x)或f(-x)±f(x)=0.
提醒:(1)若函数的解析式不是最简形式,需要等价变形后化简函数的解析式再判断函数的奇偶性.
(2)函数解析式中含参数的需要对参数分类讨论.
[变式训练] 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x4+2x2;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
【解】 (1)因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)=+的定义域满足即x=1,
因此函数f(x)的定义域为{1},不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.当b=0 时,f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),此时函数f(x)是偶函数;当b≠0时,函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
题型二 奇函数、偶函数的图象特征
[例2] 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)画出f(x)的图象;
(2)解不等式xf(x)>0.
【解】 (1)先描出点(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图象如图.
(2)由xf(x)>0,得或
所以xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).
由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇函数、偶函数图象的问题.
[变式训练] 设奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)<0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
【答案】 B
【解析】因为奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)-f(-x)=2f(x)<0,
即f(x)<0.
又f(1)=0,
则f(-1)=0,大致图象如图所示,所以当f(x)<0时,x∈(-∞,-1)∪(0,1).故选B.
【学海拾贝】
抽象函数的奇偶性
[典例探究] 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+
xf(y).
(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
【解】 (1)因为f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),
令x=y=1,有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1),
所以f(1)=0;
令x=y=-1,有f((-1)×(-1))=(-1)×f(-1)+(-1)×f(-1),所以f(-1)=0.
(2)因为f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=0,有f(0)=0,令y=-1,有f(-x)=-f(x)+
xf(-1),
将f(-1)=0代入,
得f(-x)=-f(x),
所以函数f(x)是定义在R上的奇函数.
抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义,判断f(x)和f(-x)的关系,关键在于合理赋值,构造出f(x)和f(-x).
[应用探究] 已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇
函数.
【证明】 令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),
所以f(0)=0.
又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得f(-x+x)=f(-x)+f(x),
即f(-x)+f(x)=0,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
当堂检测
1.下列函数图象中,可以表示偶函数的有( )
A B C D
【答案】 A
【解析】 根据偶函数图象关于y轴对称,结合函数图象可知符合题意的只有A选项.故
选A.
2.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
【答案】 A
【解析】 因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},根据奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b有一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.故选A.
3.下列函数是偶函数的是( )
A.y=x2,x∈[0,1] B.y=
C.y=2x2-3 D.y=x
【答案】 C
【解析】 对于A,y=x2,x∈[0,1]的定义域不关于原点对称,不是偶函数;对于B,y=的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,不是偶函数;对于C,令f(x)=y=2x2-3,则f(-x)=2(-x)2-3=2x2-3=
f(x),为偶函数;对于D,令f(x)=y=x,则f(-x)=-x=-f(x),为奇函数.故选C.
4.若函数g(x)=f(3x)-9x2是奇函数,且f(-1)=3,则f(1)= .
【答案】 -1
【解析】 由函数g(x)=f(3x)-9x2是奇函数,得g(-x)=-g(x),当x=-时,g(-)=f(-1)-1=2,则g()=f(1)-1=-2,则f(1)=-1.
基础巩固
1.函数f(x)=x2+的图象关于( )
A.原点对称
B.y轴对称
C.直线y=x对称
D.直线y=-x对称
【答案】 B
【解析】 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=(-x)2+=x2+=f(x),
所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称.故选B.
2.(多选题)下列函数中,是奇函数的为( )
A.y=x+1 B.y=-x2
C.y= D.y=x|x|
【答案】 CD
【解析】 y=x+1既不是奇函数也不是偶函数;y=-x2是偶函数;y=是奇函数;令f(x)=x|x|,则f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),因此函数y=x|x|是奇函数.故选C,D.
3.下列函数图象中,可以表示非奇非偶函数的是( )
A B C D
【答案】 D
【解析】 对于A,函数图象关于y轴对称,为偶函数,故A错误;
对于B,C,函数图象关于原点对称,为奇函数,故B,C错误;
对于D,函数图象既不关于y轴对称也不关于原点对称,是非奇非偶函数,故D正确.故选D.
4.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f(-)=,则f()等于( )
A.- B.- C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意可得f()=f(1+)=f(-)=-f(),而f()=f(1-)=f()=-f(-)=-,故f()=.故选C.
5.若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(5)>f(2),则下列各式中一定成立的是( )
A.f(-2)C.f(4)【答案】 A
【解析】 因为f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,所以f(-5)=f(5),f(-2)=f(2).因为f(5)>f(2),所以f(5)>f(-2),故A正确.因为无法判断函数f(x)的单调性,故其余选项不能判断是否一定成立.故选A.
6.(多选题)设函数f(x-1)=,则下列说法正确的是( )
A.f(-)=3
B.函数f(x)=(x≠-1)
C.函数f(x)为奇函数
D.函数f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称
【答案】 ABD
【解析】 由f(x-1)=,可得f(x)=(x≠-1),选项B正确;
f(-)==3,选项A正确;
由f(x)=(x≠-1)的定义域不关于原点对称,
可知函数f(x)不为奇函数,选项C错误;
由h(x)=(x≠0)的图象关于坐标原点中心对称,可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,选项D正确.故选A,B,D.
7.函数f(x)=为 函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”).
【答案】 奇
【解析】 函数的定义域为R,当x>0时,-x<0,f(x)=x(x+2),f(-x)=-x(2+x),此时 f(-x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(x)=x(2-x),f(-x)=-x(-x+2)=-x(2-x),此时f(-x)=-f(x).当x=0时,f(x)=0,满足 f(-x)=-f(x).综上,f(x)为奇函数.
8.已知f(x)=是定义在[2a,a+3]上的奇函数,则a= ,b= .
【答案】 -1 0
【解析】 因为f(x)是定义在[2a,a+3]上的奇函数,所以2a+a+3=0,解得a=-1.又因为f(x)=是奇函数,则f(-x)===-f(x)恒成立,即=恒成立,
化简得2bx2=0,所以b=0.
9.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=2x+;
(2)f(x)=4-|x|;
(3)f(x)=(1-x).
【解】 (1)函数的定义域为{x|x≠0}.
因为f(-x)=-2x+=-(2x+)=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)函数的定义域为R.
因为f(-x)=4-|-x|=4-|x|=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
(3)由≥0,
得-1≤x<1,
所以函数f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,
故函数f(x)是非奇非偶函数.
10.已知函数f(x)=x2-4|x|+3.
(1)试证明函数f(x)是偶函数.
(2)画出f(x)的大致图象.
(1)【证明】 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3=f(x),
所以函数f(x)为偶函数.
(2)【解】 当x≥0时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1,且当y=0时,x=1或x=3,
因此当x≥0时,函数f(x)的图象是对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),且与x轴交于点(1,0),(3,0)的抛物线在y轴及右侧部分,如图,
再作出上述图象关于y轴对称的图形即得f(x)的大致图象.
能力提升
11.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】 C
【解析】 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)·g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)·|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数.故选C.
12.已知f(x)是定义在[-3,0)和(0,3]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是 .
【答案】 [-3,-1)∪(1,3]
【解析】利用奇函数图象的性质可以得到函数f(x)在[-3,0)上的图象,如图所示,利用图象得到函数f(x)的值域为[-3,-1)∪(1,3].
13.如图所示为偶函数f(x)在第一象限及坐标轴上的图象,请将图象补充完整,并回答下列问题.
(1)请写出f(1)和f(-2)的值;
(2)请写出函数f(x)的定义域和值域;
(3)若f()<1,求实数a的取值范围.
【解】 根据题意,f(x)为偶函数,其图象如图所示.
(1)由函数的图象可知,f(1)=1,
f(-2)=f(2)=2.
(2)由函数的图象可知,f(x)的定义域为[-3,3],值域为[0,2].
(3)若f()<1,
结合函数的图象可得-1<<1,
解得a<-2或a>0.
故实数a的取值范围为{a|a<-2或a>0}.
应用创新
14.已知对于任意x,y∈R,都有f(x)+f(y)=2f()f(),f(0)≠0,则f(x)( )
A.是奇函数但不是偶函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.是偶函数但不是奇函数
【答案】 D
【解析】 令x=y=0,可得f(0)+f(0)=2f(0)·f(0) f2(0)=f(0),
因为f(0)≠0,所以f(0)=1.
再令y=-x,可得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x),因为f(0)=1,所以f(x)=f(-x),所以函数f(x)是偶函数.又因为f(0)≠0,所以函数f(x)不是奇函数,所以f(x)是偶函数但不是奇函数.故选D.
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