4.2 简单幂函数的图象和性质
【课程标准要求】 1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式,提升数学抽象的核心素养.2.以五个常见的幂函数为载体,归纳幂函数的图象与性质,提升直观想象、逻辑推理的核心素养.
知识点一 幂函数的概念
一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
知识点二 幂函数的图象与性质
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 y=
图象
性 质 定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞)
值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
单调性 在(-∞,+∞) 上单调递增 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞) 上单调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0,+∞)上单调递增
定点 (1,1)
知识拓展
一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1).
(2)当α>0时,幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上单调递增.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸.
(3)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减.
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称.
(5)在第一象限,作直线x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,对应的幂指数按从小到大的顺序排列.
题型一 幂函数的概念
[例1] 已知幂函数f(x)=(3m2-2m)xm是定义域上的奇函数,则m等于( )
A.- B.1
C. D.-或1
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)=(3m2-2m)xm是幂函数,所以由幂函数的定义,得3m2-2m=1,
解得m=1或m=-.
当m=1时,f(x)=x是定义域上的奇函数,满足题意;
当m=-时,f(x)=是定义域上的奇函数,满足题意.
所以m=1或m=-.故选D.
幂函数y=xα的三个条件
(1)系数为1.
(2)指数为常数.
(3)后面不加任何项.
[变式训练] 有下列函数:①y=x3;②y=x2+2x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x.
其中幂函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 ②中解析式为多项式,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数.故选B.
题型二 幂函数的图象
[例2] 如图,曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象,已知n取±2,±四个值,则对应曲线C1,C2,C3,C4的n依次为( )
A.-2,-,,2 B.2,,-,-2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
【答案】 A
【解析】如图,作直线x=2,分别交四条曲线于A,B,C,D四点.
由于n取±2,±四个值,当x=2时,对应的四个函数值为2-2,,,22.
因为2-2<<<22,
故四个点的纵坐标依次为2-2,,,22.
由四个点的位置关系,四个函数图象对应的n的值从下而上依次为-2,-,,2.
故选A.
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小.
①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);
②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断.
[变式训练] 若幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( )
A.-2或0
B.-1
C.0
D.-2
【答案】 A
【解析】 由幂函数在第一象限的单调性可得m2+2m-3<0,解得-3
故选A.
题型三 幂函数性质的应用
角度1 利用幂函数的性质比较大小
[例3] 比较下列各组数的大小.
(1)()0.5与()0.5;
(2)(-)-1与(-)-1;
(3)()与 .
【解】 (1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上单调递增,且>,所以()0.5>()0.5.
(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,且-<-,所以(-)-1>(-)-1.
(3)因为函数y1=在[0,+∞)上单调递增,
且>1,所以> =1.
又因为函数y2=在[0,+∞)上单调递增,
且<1,所以< =1.
所以>.
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值,则可构造幂函数,利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是0或1.
[变式训练] 比较下列各组数的大小.
(1)2.,2.;
(2)(-0.31,0.3.
【解】 (1)因为函数y=在[0,+∞)上单调递增,且2.3<2.4,所以2.<2..
(2)因为y=为R上的偶函数,
所以(-0.31=0.3.
又函数y=在[0,+∞)上单调递增,
且0.31<0.35,
所以0.3<0.3,即(-0.31<0.3.
角度2 利用幂函数的性质求参数
[例4] 已知幂函数f(x)=(m2-2m+2)·(k∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增.
(1)求m的值及函数f(x)的解析式;
(2)若f(2x-1)【解】 (1)由题意得m2-2m+2=1,所以m=1.
因为5k-2k2>0,所以0即k=1或2.
因为f(x)为偶函数,所以k=2,即f(x)=x2.
(2)因为f(2x-1)f(|2-x|),
所以|2x-1|<|2-x|,即(2x-1)2<(2-x)2,
即x2<1,解得x∈(-1,1),
即x的取值范围为(-1,1).
由幂函数的性质求参数的方法
根据条件确定幂函数的类型,再按照幂函数的奇偶性、单调性转化为解方程、解不等式组求解.
[变式训练] 已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值;
(2)若(2a-1)-m<(a+3)-m,求a的取值范围.
【解】 (1)由幂函数的定义可得m2+4m+4=1,即m2+4m+3=0,解得m=-1或m=-3.
因为 f(x) 在(0,+∞)上单调递减,所以m+2<0,即m<-2,则m=-3.
(2)由(1)可知m=-3,若(2a-1)-m<(a+3)-m,则(2a-1)3<(a+3)3.
设g(x)=x3,则g(x)是R上的增函数,
则2a-1当堂检测
1.下列函数是幂函数的是( )
A.y=2x B.y=2x-1
C.y=(x+1)2 D.y=
【答案】 D
【解析】 根据幂函数的定义,A,B,C均不是幂函数,只有D选项y==形如y=xα(α为常数),是幂函数,所以D正确.故选D.
2.(多选题)已知幂函数f(x)满足f()=5,则( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=x2
C.f(x)的图象经过原点
D.f(x)的图象不经过第二象限
【答案】 ACD
【解析】 设幂函数f(x)=xa(a为常数),根据题意可得5=()a,解得a=3,则f(x)=x3.f(x)的图象如图所示,则f(x)的图象经过原点,不经过第二象限.故选A,C,D.
3.下列幂函数中,在定义域内是偶函数且在(0,+∞)上单调递减的是( )
A.f(x)=x-2 B.f(x)=x-1
C.f(x)=x2 D.f(x)=
【答案】 A
【解析】 A中函数f(x)=x-2,可得其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且满足 f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x),所以函数f(x)=x-2为定义域上的偶函数,再由幂函数的性质,可得函数f(x)=x-2在(0,+∞)上单调递减,所以A正确;B中函数f(x)=x-1=,可得函数f(x)为定义域上的奇函数,所以B错误;C中函数f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,所以C错误;D中函数f(x)=的定义域为[0,+∞),其定义域不关于原点对称,所以为非奇非偶函数,所以D错误.故选A.
4.-3.143与-π3的大小关系是 (用“>”连接).
【答案】 -3.143>-π3
【解析】 函数y=x3是R上的增函数,且3.14<π,则3.143<π3,所以-3.143>-π3.
基础巩固
1.下列函数是幂函数的是( )
A.y=- B.y=x+1
C.y= D.y=2x2
【答案】 C
【解析】 根据幂函数的定义知,幂函数形如y=xα(α为常数),而y==,符合幂函数的定义,A,B,D在形式上都不符合幂函数的定义.故选C.
2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则f(9)等于( )
A. B.1
C.2 D.3
【答案】 D
【解析】 设f(x)=xa(a为常数),由f(2)=2a=,得a=,
所以f(x)=,则f(9)==3.故选D.
3.已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 结合题意可得,当x<0时,易知f(x)=x-2=为幂函数,在(-∞,0)上单调递增;
当x≥0时,易知f(x)==为幂函数,在[0,+∞)单调递增.
故函数f(x)=的图象如图所示.
要得到y=-f(x)的图象,只需将y=f(x)的图象沿x轴翻折即可.故选C.
4.如图,函数 y=x-1,y=x,y=1的图象和直线 x=1将平面直角坐标系的第一象限分成:①②③④⑤⑥⑦⑧八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)可能是( )
A.y=x2 B.y=
C.y= D.y=x-2
【答案】 B
【解析】 因为幂函数y=f(x)=xα(α为常数)的图象过④⑧部分,所以函数y=xα在第一象限内单调递减,所以α<0.又当 x=2时,y==,则5.已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)上单调递减,则m的值为( )
A.1 B.-3
C.-4 D.1或-3
【答案】 B
【解析】 因为该函数是幂函数,
所以m2+2m-2=1 m=-3或m=1.
当m=-3时,函数f(x)=x-1在(0,+∞)上单调递减,符合题意;
当m=1时,函数f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
故选B.
6.已知a=()0.3,b=()0.3,c=()-0.3,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.b【答案】 D
【解析】 由题意知c=()-0.3=40.3.
因为幂函数f(x)=x0.3在(0,+∞)上单调递增,
且<<4,
所以f()即()0.3<()0.3<40.3.
所以b7.若点(-3,-27)在幂函数f(x)=axb+c的图象上,则a+b+c的值为 .
【答案】 4
【解析】 因为f(x)=axb+c为幂函数,所以a=1,c=0,即f(x)=xb.
又点(-3,-27)在函数f(x)的图象上,
所以(-3)b=-27,
解得b=3.
所以a+b+c=1+3+0=4.
8.已知幂函数f(x)经过点(,2),则不等式f(x+3)≤f(2x-1)的解集为 .
【答案】 [4,+∞)
【解析】 设f(x)=xα(α为常数),
由f()=()α=2,得 α=3,则f(x)=x3.
因为f(x)=x3在R上单调递增,
所以由f(x+3)≤f(2x-1),
得x+3≤2x-1,即x≥4.
即不等式f(x+3)≤f(2x-1)的解集为[4,+∞).
9.比较下列各组数的大小.
(1)和3.;
(2)-和-();
(3)(-)和(-);
(4)4.,3.和(-1.9(用“<”连接).
【解】 (1)因为函数y=在(0,+∞)上为减函数,且3<3.1,所以>3..
(2)-=-().
因为函数y=在[0,+∞)上为增函数,
且>,
所以()>(),从而-()<.
所以-<-().
(3)(-)=(),(-)=().
因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,
且>,
所以(-)<(-).
(4)因为4.>=1,0<3.<=1,
(-1.9<0,所以(-1.9<3.<4..
10.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由m2-5m+7=1可得m=2或m=3.
又f(x)为偶函数,则m=3,
所以f(x)=x2.
(2)因为g(x)=x2-ax-3=(x-)2-3-在[1,3]上不单调,
所以对称轴方程x=满足1<<3,
即2所以实数a的取值范围为(2,6).
能力提升
11.(多选题)已知幂函数f(x)=(9m2-3)xm的图象过点(n,-),则( )
A.m=-
B.f(x)为偶函数
C.n=
D.不等式f(a+1)>f(3-a)的解集为(-∞,1)
【答案】 AB
【解析】 因为幂函数f(x)=(9m2-3)xm的图象过点(n,-),
所以9m2-3=1,解得m=±.
当m=时,f(n)==-,n的值不存在;
当m=-时,f(n)==,解得n=±.
所以m=-,且f(x)=是定义域{x|x≠0}上的偶函数.
所以选项A,B正确,选项C错误.
因为f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,所以f(a+1)>f(3-a)等价于0<|a+1|<|3-a|,解得a<1,且a≠-1.
所以不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),选项D错误.故选A,B.
12.写出一个同时具有下列性质的函数f(x)= .
①f(x)是奇函数;
②f(x)在(0,+∞)上单调递减;
③f(x1x2)=f(x1)f(x2).
【答案】 x-1(答案不唯一,符合条件即可)
【解析】 因为f(x)是奇函数,幂函数具有奇偶性,
又f(x)在(0,+∞)上单调递减,
同时f(x1x2)=f(x1)f(x2),
故可选f(x)=xα,α<0,且α为奇数.
13.已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x+5)【解】 (1)由题意知a2-2a-2=1,
整理得a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3.
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以a=3.所以f(x)=x3.
(2)因为f(x)=x3在R上单调递增,
所以f(x+5)整理得x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5.
所以原不等式的解集为(-∞,-1)∪(5,+∞).
应用创新
14.已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=m2,x=m(0A. B.1 C. D.2
【答案】 B
【解析】 根据题图可知b>1>a>0,当0|CD|,所以m2a-m2b=(ma+mb)·(ma-mb)=ma-mb.因为ma-mb>0,所以ma+mb=1.
故选B.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共37张PPT)
4.2 简单幂函数的图象和性质
1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式,提升数学抽象的核心素养.2.以五个常见的幂函数为载体,归纳幂函数的图象与性质,提升直观想象、逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 幂函数的概念
一般地,形如 (α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
y=xα
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y=x-1
图象
知识点二 幂函数的图象与性质
性
质 定义域 R R R
值域 R R
奇偶性 函数 函数 函数 函数 函数
{x|x≠0}
[0,+∞)
[0,+∞)
{y|y≠0}
[0,+∞)
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
性
质 单调性 在(-∞,+∞)上单调 在(-∞,0]上单调 ,在[0,+∞)上单调 在(-∞,+∞)上单调 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 在[0,+∞)上单调
定点
递增
递减
递增
递增
递减
递减
递增
(1,1)
『知识拓展』
一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1).
(2)当α>0时,幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上单调递增.特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸;当0<α<1时,幂函数的图象上凸.
(3)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减.
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称.
(5)在第一象限,作直线x=a(a>1),它同各幂函数图象相交,按交点从下到上的顺序,对应的幂指数按从小到大的顺序排列.
题型一 幂函数的概念
D
·解题策略·
幂函数y=xα的三个条件
(1)系数为1.
(2)指数为常数.
(3)后面不加任何项.
[变式训练] 有下列函数:①y=x3;②y=x2+2x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x.
其中幂函数的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
【解析】 ②中解析式为多项式,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数.故选B.
题型二 幂函数的图象
A
【解析】如图,作直线x=2,分别交四条曲线于A,B,C,D四点.
·解题策略·
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小.
①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);
②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).
A
A.-2或0
B.-1
C.0
D.-2
【解析】 由幂函数在第一象限的单调性可得m2+2m-3<0,解得-3-2或0.
故选A.
角度1 利用幂函数的性质比较大小
题型三 幂函数性质的应用
·解题策略·
比较幂值大小的方法
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值,则可构造幂函数,利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,这里的中间值可以是0或1.
角度2 利用幂函数的性质求参数
(2)若f(2x-1)【解】 (2)因为f(2x-1)f(|2-x|),
所以|2x-1|<|2-x|,即(2x-1)2<(2-x)2,
即x2<1,解得x∈(-1,1),
即x的取值范围为(-1,1).
·解题策略·
由幂函数的性质求参数的方法
根据条件确定幂函数的类型,再按照幂函数的奇偶性、单调性转化为解方程、解不等式组求解.
【解】 (1)由幂函数的定义可得m2+4m+4=1,即m2+4m+3=0,解得m=-1或
m=-3.
因为 f(x) 在(0,+∞)上单调递减,所以m+2<0,即m<-2,则m=-3.
[变式训练] 已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减.
(1)求m的值;
(2)若(2a-1)-m<(a+3)-m,求a的取值范围.
【解】 (2)由(1)可知m=-3,若(2a-1)-m<(a+3)-m,则(2a-1)3<(a+3)3.
设g(x)=x3,则g(x)是R上的增函数,
则2a-1当堂检测
D
ACD
A
4.-3.143与-π3的大小关系是 (用“>”连接).
-3.143>-π3
【解析】 函数y=x3是R上的增函数,且3.14<π,则3.143<π3,所以-3.143>-π3.4.2 简单幂函数的图象和性质
基础巩固
1.下列函数是幂函数的是( )
A.y=- B.y=x+1
C.y= D.y=2x2
【答案】 C
【解析】 根据幂函数的定义知,幂函数形如y=xα(α为常数),而y==,符合幂函数的定义,A,B,D在形式上都不符合幂函数的定义.故选C.
2.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,),则f(9)等于( )
A. B.1
C.2 D.3
【答案】 D
【解析】 设f(x)=xa(a为常数),由f(2)=2a=,得a=,
所以f(x)=,则f(9)==3.故选D.
3.已知函数f(x)=则y=-f(x)的图象大致为( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 结合题意可得,当x<0时,易知f(x)=x-2=为幂函数,在(-∞,0)上单调递增;
当x≥0时,易知f(x)==为幂函数,在[0,+∞)单调递增.
故函数f(x)=的图象如图所示.
要得到y=-f(x)的图象,只需将y=f(x)的图象沿x轴翻折即可.故选C.
4.如图,函数 y=x-1,y=x,y=1的图象和直线 x=1将平面直角坐标系的第一象限分成:①②③④⑤⑥⑦⑧八个部分.若幂函数f(x)的图象经过的部分是④⑧,则f(x)可能是( )
A.y=x2 B.y=
C.y= D.y=x-2
【答案】 B
【解析】 因为幂函数y=f(x)=xα(α为常数)的图象过④⑧部分,所以函数y=xα在第一象限内单调递减,所以α<0.又当 x=2时,y==,则5.已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)上单调递减,则m的值为( )
A.1 B.-3
C.-4 D.1或-3
【答案】 B
【解析】 因为该函数是幂函数,
所以m2+2m-2=1 m=-3或m=1.
当m=-3时,函数f(x)=x-1在(0,+∞)上单调递减,符合题意;
当m=1时,函数f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增,不符合题意.
故选B.
6.已知a=()0.3,b=()0.3,c=()-0.3,则a,b,c的大小关系为( )
A.aC.b【答案】 D
【解析】 由题意知c=()-0.3=40.3.
因为幂函数f(x)=x0.3在(0,+∞)上单调递增,
且<<4,
所以f()即()0.3<()0.3<40.3.
所以b7.若点(-3,-27)在幂函数f(x)=axb+c的图象上,则a+b+c的值为 .
【答案】 4
【解析】 因为f(x)=axb+c为幂函数,所以a=1,c=0,即f(x)=xb.
又点(-3,-27)在函数f(x)的图象上,
所以(-3)b=-27,
解得b=3.
所以a+b+c=1+3+0=4.
8.已知幂函数f(x)经过点(,2),则不等式f(x+3)≤f(2x-1)的解集为 .
【答案】 [4,+∞)
【解析】 设f(x)=xα(α为常数),
由f()=()α=2,得 α=3,则f(x)=x3.
因为f(x)=x3在R上单调递增,
所以由f(x+3)≤f(2x-1),
得x+3≤2x-1,即x≥4.
即不等式f(x+3)≤f(2x-1)的解集为[4,+∞).
9.比较下列各组数的大小.
(1)和3.;
(2)-和-();
(3)(-)和(-);
(4)4.,3.和(-1.9(用“<”连接).
【解】 (1)因为函数y=在(0,+∞)上为减函数,且3<3.1,所以>3..
(2)-=-().
因为函数y=在[0,+∞)上为增函数,
且>,
所以()>(),从而-()<.
所以-<-().
(3)(-)=(),(-)=().
因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,
且>,
所以(-)<(-).
(4)因为4.>=1,0<3.<=1,
(-1.9<0,所以(-1.9<3.<4..
10.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)-ax-3在[1,3]上不是单调函数,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由m2-5m+7=1可得m=2或m=3.
又f(x)为偶函数,则m=3,
所以f(x)=x2.
(2)因为g(x)=x2-ax-3=(x-)2-3-在[1,3]上不单调,
所以对称轴方程x=满足1<<3,
即2所以实数a的取值范围为(2,6).
能力提升
11.(多选题)已知幂函数f(x)=(9m2-3)xm的图象过点(n,-),则( )
A.m=-
B.f(x)为偶函数
C.n=
D.不等式f(a+1)>f(3-a)的解集为(-∞,1)
【答案】 AB
【解析】 因为幂函数f(x)=(9m2-3)xm的图象过点(n,-),
所以9m2-3=1,解得m=±.
当m=时,f(n)==-,n的值不存在;
当m=-时,f(n)==,解得n=±.
所以m=-,且f(x)=是定义域{x|x≠0}上的偶函数.
所以选项A,B正确,选项C错误.
因为f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,所以f(a+1)>f(3-a)等价于0<|a+1|<|3-a|,解得a<1,且a≠-1.
所以不等式的解集为(-∞,-1)∪(-1,1),选项D错误.故选A,B.
12.写出一个同时具有下列性质的函数f(x)= .
①f(x)是奇函数;
②f(x)在(0,+∞)上单调递减;
③f(x1x2)=f(x1)f(x2).
【答案】 x-1(答案不唯一,符合条件即可)
【解析】 因为f(x)是奇函数,幂函数具有奇偶性,
又f(x)在(0,+∞)上单调递减,
同时f(x1x2)=f(x1)f(x2),
故可选f(x)=xα,α<0,且α为奇数.
13.已知幂函数f(x)=(a2-2a-2)xa(a∈R)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x+5)【解】 (1)由题意知a2-2a-2=1,
整理得a2-2a-3=0,解得a=-1或a=3.
又f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以a=3.所以f(x)=x3.
(2)因为f(x)=x3在R上单调递增,
所以f(x+5)整理得x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5.
所以原不等式的解集为(-∞,-1)∪(5,+∞).
应用创新
14.已知幂函数y=xa与y=xb的部分图象如图所示,直线x=m2,x=m(0A. B.1 C. D.2
【答案】 B
【解析】 根据题图可知b>1>a>0,当0|CD|,所以m2a-m2b=(ma+mb)·(ma-mb)=ma-mb.因为ma-mb>0,所以ma+mb=1.
故选B.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)