3.1 指数函数的概念
3.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质
基础巩固
1.下列函数中,不能化为指数函数的是( )
A.y=2x·3x B.y=2x-1
C.y= D.y=4-x
【答案】 B
【解析】 函数y=2x·3x=6x,是指数函数;
函数y=2x-1=·2x,不是指数函数;
函数y==9x,是指数函数;
函数y=4-x=()x,是指数函数.
故选B.
2.若指数函数f(x)的图象过点(4,81),则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=3x
C.f(x)=()x D.f(x)=()x
【答案】 B
【解析】 设f(x)=ax(a>0,且a≠1),由题意得a4=81,解得a=3,所以f(x)=3x.故选B.
3.函数y=3|x|的大致图象是( )
A B
C D
【答案】 B
【解析】 因为y=3|x|=
画出函数的大致图象,如图所示.
故选B.
4.函数f(x)=的定义域为( )
A.[0,2] B.[2,4]
C.(-∞,2] D.[2,+∞)
【答案】 C
【解析】 要使函数f(x)=有意义,则必有4-2x≥0,解得x≤2,所以定义域为(-∞,2].故
选C.
5.函数f(x)=()x,x∈[0,2],则f(x)的值域是( )
A.[0,4] B.[0,1]
C.[,1] D.[,1]
【答案】 C
【解析】 因为y=()x在[0,2]上单调递减,所以y=()x在[0,2]上的值域为[,1].故选C.
6.(多选题)函数y=ax-(a>1)的图象经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】 ABC
【解析】 当a>1时,f(x)=ax的图象过第一、第二象限,
故函数y=ax-(a>1)的图象是由f(x)的图象向下平移个单位长度得到的.
故函数y=ax-(a>1)的图象经过第一、第二、第三象限.
故选A,B,C.
7.函数y=的值域为 .
【答案】 [0,]
【解析】 当-1≤x≤0时,y=x4的值域为[0,1],当0
8.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为 .
【答案】 7
【解析】 由已知得解得所以f(x)=()x+3,所以f(-2)=()-2+3=4+3=7.
9.画出函数y=()|x-1|的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.
【解】 显然函数y=()|x|是偶函数,
先画出y=()x(x≥0)的图象,再作出其关于y轴对称的图象,即得y=()|x|的图象,再向右平移1个单位长度得到y=()|x-1|的图象,如图所示.
由图象可知,函数y=()|x-1|的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(1,+∞),其值域是(0,1].
10.设函数f(x)=-4(a>0,且a≠1),若y=f(x)的图象过点(3,12).
(1)求a的值及f(x)=0的解;
(2)求不等式f(x)≥12的解集.
【解】 (1)根据题意,函数f(x)=-4的图象过点(3,12),则有12=a2-4.
又a>0,且a≠1,所以a=4,
故f(x)=-4.
若f(x)=-4=0,则x=2.
(2)由f(x)≥12,得-4≥12,变形可得4x≥64=43,解得x≥3,即不等式的解集为[3,+∞).
能力提升
11.在同一直角坐标系中,函数y=x2+2ax+a-1与y=ax(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
【答案】 C
【解析】 ①当0②当a>1时,函数y=ax在R上单调递增,函数y=x2+2ax+a-1的图象的对称轴为直线x=-a,则-a<-1,当x=0时,y=a-1>0,所以函数y=x2+2ax+a-1的图象与y轴交于正半轴,选项A,B都不符合.
故选C.
12.已知函数y=-2(a>0,且a≠1)的图象过定点(s,t),正实数m,n满足ms-nt=1,则+的最小值为 .
【答案】 12
【解析】 令x-3=0,得x=3,此时y=1-2=-1,
所以函数y=-2的图象过定点(3,-1).所以s=3,t=-1.所以3m+n=1.所以+=(3m+n)(+)=6++≥6+2=12,
当且仅当即m=,n=时,等号成立.
所以+的最小值为12.
13.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.
【解】 (1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1).又f(0)=1+b<0,b<-1,所以b的取值范围为(-∞,-1).
(2)由题图②可知,y=|f(x)|的图象如图所示.
由图象可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{0}∪[3,+∞).
应用创新
14.如图,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点E,B,则a等于( )
A. B. C.2 D.3
【答案】 A
【解析】 设点C(0,m)(m>0),则由已知可得A(,m),E(,m),B(,2m).
又因为点E,B在指数函数的图象上,
所以
①式两边平方得m2=,③
②③联立,得m2-2m=0,所以m=0(舍去)或m=2.所以a=.故选A.
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3.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质
【课程标准要求】 1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,提升数学抽象的核心素养.2.能从实例中归纳出指数函数的图象和性质,提升逻辑推理与直观想象的核心素养.
知识点一 指数函数的概念
根据指数幂的定义,当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应.因此,y=ax是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.
[思考1] 指数函数定义中为什么规定a>0,且a≠1
提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,无研究价值;当x≤0时,ax无意义.
②如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于x=,,…,在实数范围内的函数值不存在.
③如果a=1,则y=1x是一个常量,无研究价值.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.
[思考2] 由指数函数的定义看,函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域是什么
提示:(0,+∞).
[思考3] 指数函数与幂函数的解析式有什么区别
提示:指数函数是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数,其自变量在指数位置上,而幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数,其自变量在底数位置上.
知识点二 指数函数的图象和性质
图象 和性质 a>1 0图象
性 质 定义域 R
值域 (0,+∞)
定点 (0,1),即当x=0时,y=1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y=ax与y=a-x的图象 关于y轴对称
[思考4] 在平面直角坐标系中指数函数图象不能出现在第几象限
提示:指数函数图象只能出现在第一、第二象限,不可能出现在第三、第四象限.
[思考5] 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中底数a对函数图象有什么影响
提示:设a>b>1>c>d>0,则y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图,
从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.
题型一 指数函数的概念
[例1] (1)有下列函数:①y=6x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=8x(x∈N+);⑥y=ex(无理数e=
2.718 281…);⑦y=;⑧y=(2a-1)x(a>,且a≠1).其中是指数函数的是 (填序号).
(2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),求f(x)及f(-1).
(1)【答案】 ①⑥⑧
【解析】 根据指数函数的定义进行判断得①⑥⑧为指数函数.
②中自变量不在指数上;③是-1与指数函数4x的乘积;④中底数-4<0;⑤中定义域不是R;⑦中指数不是x,而是x2,故②③④⑤⑦都不是指数函数.
(2)【解】 设f(x)=ax(a>0,且a≠1),
将点(2,9)代入解析式得a2=9,
解得a=3或a=-3(舍去),即f(x)=3x,
所以f(-1)=3-1=.
判断一个函数是不是指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点如下:
[变式训练] (多选题)若函数f(x)=(a-3)·ax(a>0,且a≠1)是指数函数,则下列说法正确的是( )
A.a=8 B.f(1)=-3
C.f()=2 D.a=4
【答案】 AC
【解析】 因为函数f(x)=(a-3)·ax(a>0,且a≠1)是指数函数,
所以a-3=1,解得a=8,选项A正确,D错误;
由此知f(x)=8x,所以f(1)=8,选项B错误;
f()==2,选项C正确.故选A,C.
题型二 指数(型)函数的图象
角度1 根据指数(型)函数图象确定解析式中的参数
[例2] 若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、第三、第四象限,则必有( )
A.00 B.0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0
【答案】 D
【解析】 法一 由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=ax(a>1)的图象过第一、第二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图.若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、第三、第四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
法二 由题意知,函数是增函数,则a>1,
又当x=0时,f(0)<0,得b>0.故选D.
识别指数(型)函数的图象问题的方法
(1)根据图象的单调性,确定底数a>1或0(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)的原则,确定图象的平移变换,从而确定指数函数的图象与两坐标轴的交点位置.
[变式训练] 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0【答案】 D
【解析】 法一 由题图可知,f(x)是减函数,
所以0又0即-b>0,b<0.故选D.
法二 观察曲线的变化趋势可以得到函数f(x)为减函数,从而有0f(x)的图象是由函数y=ax(00,即b<0.故选D.
角度2 指数(型)函数图象过定点问题
[例3] 已知常数a>0,且a≠1,若无论a取何值,函数y=ax-b+m(b,m为实数)的图象恒过定点(1,3),则b= ,m= .
【答案】 1 2
【解析】 因为当x=b时,y=1+m,故函数过定点(b,1+m),所以b=1,m=2.
解决指数(型)函数图象过定点问题的思路
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令指数x+c=0,即x=-c,得y=k+b,函数图象过定点(-c,k+b).
[变式训练] 已知函数f(x)=ax+1-3的图象恒过定点P,则点P的坐标为( )
A.(0,-2) B.(-1,-2)
C.(-2,1) D.(0,-3)
【答案】 B
【解析】 令x+1=0,解得x=-1,
此时f(-1)=1-3=-2.
所以点P的坐标为(-1,-2).
故选B.
【学海拾贝】
指数(型)函数的图象变换
与指数函数有关的函数的图象,一般是根据其解析式的结构特征,利用函数图象的平移、对称或翻折变换得到,然后利用图象直观地研究其性质.
[典例探究] 画出函数y=2|x-1|的图象,并根据图象指出这个函数的一些重要性质.
【解】 y=2|x-1|=
其图象是由两部分组成的:
一是把y=2x的图象向右平移1个单位长度,取x≥1的部分;二是把y=()x的图象向右平移1个单位长度,取x<1的部分,如图中实线部分所示.
由图象可知,该函数有三个重要性质.
①对称性:图象的对称轴为直线x=1;
②单调性:在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增;
③函数的值域:[1,+∞).
[应用探究] 已知函数y=()|x+1|.
(1)试利用指数函数的图象作出该函数的图象;
(2)由图象指出该函数的单调区间;
(3)由图象指出当x取何值时,函数有最值.
【解】 (1)先画出y=()x的图象,保留y轴右侧部分,把y轴右侧部分翻到左侧,原左侧部分去掉,可得y=()|x|的图象,将其向左平移1个单位长度,得到y=()|x+1|的图象,如图中实线部分所示.
(2)由图象知,函数的单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是(-1,+∞).
(3)由图象知,当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.
当堂检测
1.有下列函数:①y=x2;②y=(-2)x;③y=2x+1;④y=(a-1)x(a>1,且a≠2).其中指数函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 A
【解析】 ①是一元二次函数;②底数小于0,故不是指数函数;③指数为x+1,故不是指数函数;④是指数函数.故选A.
2.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为( )
A.4 B.8 C.16 D.1
【答案】 B
【解析】 设函数的解析式为f(x)=ax(a>0,且a≠1),
由函数的图象过点(2,4),得a2=4,解得a=2(负值已舍去),即f(x)=2x,所以f(3)=23=8.故选B.
3.已知两个指数函数y=ax,y=bx的部分图象如图所示,则( )
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
【答案】 D
【解析】 根据题意,y=ax,y=bx都是指数函数,易得函数y=ax,y=bx均单调递增,则a>1,b>1.当x=-1时,a-1=>b-1=,得aa>1.故选D.
4.若直线y=a与函数y=|2x-1|的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .
【答案】 (0,1)
【解析】 y=|2x-1|=画出其图象,数形结合可知,a∈(0,1).
基础巩固
1.下列函数中,不能化为指数函数的是( )
A.y=2x·3x B.y=2x-1
C.y= D.y=4-x
【答案】 B
【解析】 函数y=2x·3x=6x,是指数函数;
函数y=2x-1=·2x,不是指数函数;
函数y==9x,是指数函数;
函数y=4-x=()x,是指数函数.
故选B.
2.若指数函数f(x)的图象过点(4,81),则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x3 B.f(x)=3x
C.f(x)=()x D.f(x)=()x
【答案】 B
【解析】 设f(x)=ax(a>0,且a≠1),由题意得a4=81,解得a=3,所以f(x)=3x.故选B.
3.函数y=3|x|的大致图象是( )
A B
C D
【答案】 B
【解析】 因为y=3|x|=
画出函数的大致图象,如图所示.
故选B.
4.函数f(x)=的定义域为( )
A.[0,2] B.[2,4]
C.(-∞,2] D.[2,+∞)
【答案】 C
【解析】 要使函数f(x)=有意义,则必有4-2x≥0,解得x≤2,所以定义域为(-∞,2].故
选C.
5.函数f(x)=()x,x∈[0,2],则f(x)的值域是( )
A.[0,4] B.[0,1]
C.[,1] D.[,1]
【答案】 C
【解析】 因为y=()x在[0,2]上单调递减,所以y=()x在[0,2]上的值域为[,1].故选C.
6.(多选题)函数y=ax-(a>1)的图象经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】 ABC
【解析】 当a>1时,f(x)=ax的图象过第一、第二象限,
故函数y=ax-(a>1)的图象是由f(x)的图象向下平移个单位长度得到的.
故函数y=ax-(a>1)的图象经过第一、第二、第三象限.
故选A,B,C.
7.函数y=的值域为 .
【答案】 [0,]
【解析】 当-1≤x≤0时,y=x4的值域为[0,1],当08.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为 .
【答案】 7
【解析】 由已知得解得所以f(x)=()x+3,所以f(-2)=()-2+3=4+3=7.
9.画出函数y=()|x-1|的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.
【解】 显然函数y=()|x|是偶函数,
先画出y=()x(x≥0)的图象,再作出其关于y轴对称的图象,即得y=()|x|的图象,再向右平移1个单位长度得到y=()|x-1|的图象,如图所示.
由图象可知,函数y=()|x-1|的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(1,+∞),其值域是(0,1].
10.设函数f(x)=-4(a>0,且a≠1),若y=f(x)的图象过点(3,12).
(1)求a的值及f(x)=0的解;
(2)求不等式f(x)≥12的解集.
【解】 (1)根据题意,函数f(x)=-4的图象过点(3,12),则有12=a2-4.
又a>0,且a≠1,所以a=4,
故f(x)=-4.
若f(x)=-4=0,则x=2.
(2)由f(x)≥12,得-4≥12,变形可得4x≥64=43,解得x≥3,即不等式的解集为[3,+∞).
能力提升
11.在同一直角坐标系中,函数y=x2+2ax+a-1与y=ax(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
【答案】 C
【解析】 ①当0②当a>1时,函数y=ax在R上单调递增,函数y=x2+2ax+a-1的图象的对称轴为直线x=-a,则-a<-1,当x=0时,y=a-1>0,所以函数y=x2+2ax+a-1的图象与y轴交于正半轴,选项A,B都不符合.
故选C.
12.已知函数y=-2(a>0,且a≠1)的图象过定点(s,t),正实数m,n满足ms-nt=1,则+的最小值为 .
【答案】 12
【解析】 令x-3=0,得x=3,此时y=1-2=-1,
所以函数y=-2的图象过定点(3,-1).所以s=3,t=-1.所以3m+n=1.所以+=(3m+n)(+)=6++≥6+2=12,
当且仅当即m=,n=时,等号成立.
所以+的最小值为12.
13.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1).
(1)若f(x)的图象如图①所示,求a,b的取值范围;
(2)若f(x)的图象如图②所示,|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.
【解】 (1)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1).又f(0)=1+b<0,b<-1,所以b的取值范围为(-∞,-1).
(2)由题图②可知,y=|f(x)|的图象如图所示.
由图象可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为{0}∪[3,+∞).
应用创新
14.如图,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点E,B,则a等于( )
A. B. C.2 D.3
【答案】 A
【解析】 设点C(0,m)(m>0),则由已知可得A(,m),E(,m),B(,2m).
又因为点E,B在指数函数的图象上,
所以
①式两边平方得m2=,③
②③联立,得m2-2m=0,所以m=0(舍去)或m=2.所以a=.故选A.
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§3 指数函数
3.1 指数函数的概念
3.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,提升数学抽象的核心素养.2.能从实例中归纳出指数函数的图象和性质,提升逻辑推理与直观想象的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 指数函数的概念
根据指数幂的定义,当给定正数a,且a≠1时,对于任意的实数x,都有唯一确定的正数y=ax与之对应.因此, 是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.
y=ax
[思考1] 指数函数定义中为什么规定a>0,且a≠1
提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,无研究价值;当x≤0时,ax无意义.
③如果a=1,则y=1x是一个常量,无研究价值.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.
[思考2] 由指数函数的定义看,函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域是什么
提示:(0,+∞).
[思考3] 指数函数与幂函数的解析式有什么区别
提示:指数函数是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数,其自变量在指数位置上,而幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数,其自变量在底数位置上.
图象
和性质 a>1 0图象
知识点二 指数函数的图象和性质
性
质 定义域 R
值域
定点 ,即当x=0时,y=
单调性 在R上是 在R上是
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数y=ax与y=a-x的图象
关于 对称
(0,+∞)
(0,1)
1
增函数
减函数
y轴
[思考4] 在平面直角坐标系中指数函数图象不能出现在第几象限
提示:指数函数图象只能出现在第一、第二象限,不可能出现在第三、第四象限.
[思考5] 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中底数a对函数图象有什么影响
提示:设a>b>1>c>d>0,则y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图,
从图中可以看出:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.
题型一 指数函数的概念
①⑥⑧
【解析】 根据指数函数的定义进行判断得①⑥⑧为指数函数.
②中自变量不在指数上;③是-1与指数函数4x的乘积;④中底数-4<0;⑤中定义域不是R;⑦中指数不是x,而是x2,故②③④⑤⑦都不是指数函数.
(2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9),求f(x)及f(-1).
·解题策略·
判断一个函数是不是指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点如下:
AC
题型二 指数(型)函数的图象
角度1 根据指数(型)函数图象确定解析式中的参数
[例2] 若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、第三、第四象限,则必有( )
A.00 B.0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0
D
【解析】 法一 由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=ax(a>1)的图象过第一、第二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图.若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、第三、第四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
法二 由题意知,函数是增函数,则a>1,
又当x=0时,f(0)<0,得b>0.故选D.
·解题策略·
识别指数(型)函数的图象问题的方法
(1)根据图象的单调性,确定底数a>1或0(2)利用图象变换,如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)的原则,确定图象的平移变换,从而确定指数函数的图象与两坐标轴的交点位置.
[变式训练] 函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0D
【解析】 法一 由题图可知,f(x)是减函数,
所以0又0即-b>0,b<0.故选D.
法二 观察曲线的变化趋势可以得到函数f(x)为减函数,从而有00,即b<0.故选D.
角度2 指数(型)函数图象过定点问题
[例3] 已知常数a>0,且a≠1,若无论a取何值,函数y=ax-b+m(b,m为实数)的图象恒过定点(1,3),则b= ,m= .
1
2
【解析】 因为当x=b时,y=1+m,故函数过定点(b,1+m),所以b=1,m=2.
·解题策略·
解决指数(型)函数图象过定点问题的思路
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此可解决形如y=k·ax+c+b
(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令指数x+c=0,即x=-c,得y=
k+b,函数图象过定点(-c,k+b).
[变式训练] 已知函数f(x)=ax+1-3的图象恒过定点P,则点P的坐标为( )
A.(0,-2) B.(-1,-2)
C.(-2,1) D.(0,-3)
B
【解析】 令x+1=0,解得x=-1,
此时f(-1)=1-3=-2.
所以点P的坐标为(-1,-2).
故选B.
【学海拾贝】
指数(型)函数的图象变换
与指数函数有关的函数的图象,一般是根据其解析式的结构特征,利用函数图象的平移、对称或翻折变换得到,然后利用图象直观地研究其性质.
[典例探究] 画出函数y=2|x-1|的图象,并根据图象指出这个函数的一些重要
性质.
(2)由图象指出该函数的单调区间;
【解】 (2)由图象知,函数的单调递增区间是(-∞,-1],单调递减区间是(-1,+∞).
(3)由图象指出当x取何值时,函数有最值.
【解】 (3)由图象知,当x=-1时,函数有最大值1,无最小值.
1.有下列函数:①y=x2;②y=(-2)x;③y=2x+1;④y=(a-1)x(a>1,且a≠2).其中指数函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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A
【解析】 ①是一元二次函数;②底数小于0,故不是指数函数;③指数为x+1,故不是指数函数;④是指数函数.故选A.
2.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为( )
A.4 B.8 C.16 D.1
B
【解析】 设函数的解析式为f(x)=ax(a>0,且a≠1),
由函数的图象过点(2,4),得a2=4,解得a=2(负值已舍去),即f(x)=2x,所以f(3)=
23=8.故选B.
3.已知两个指数函数y=ax,y=bx的部分图象如图所示,则( )
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
D
4.若直线y=a与函数y=|2x-1|的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .
(0,1)