基础巩固
1.已知logx8=2,则x等于( )
A.2 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 因为logx8=2,所以x2=8,且x∈(0,1)∪(1,+∞),解得x=2.
故选B.
2.计算 log5等于( )
A.4 B.-4 C. D.-
【答案】 B
【解析】 令log5=t,则5t==5-4,所以t=-4.故选B.
3.对数log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是( )
A.(-∞,5)
B.(-3,5)
C.(-3,-2)∪(-2,5)
D.(-3,+∞)
【答案】 C
【解析】 因为对数式的底数为大于零且不等于1的实数,真数为正实数,
所以有
即a∈(-3,-2)∪(-2,5).故选C.
4.有下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于±2;④=-5成立.其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 B
【解析】 由对数的概念知,负数和0没有对数,故①正确;指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;以5为底25的对数等于2,故③错误;显然=-5不成立,故④错误.故选B.
5.(多选题)下列指数式与对数式的互化正确的是( )
A.100=1与lg 1=0
B.3-2=与log3=-
C.log55=1与51=5
D.ln N=与N=
【答案】 AC
【解析】 对于A,100=1 lg 1=0,故A正确;
对于B,3-2= log3=-2,故B错误;
对于C,log55=1 51=5,故C正确;
对于D,ln N= =N,故D错误.
故选A,C.
6.(多选题)已知x=log43,则下列计算正确的有( )
A.2x= B.2-x=
C.4x=9 D.(2x-2-x)2=
【答案】 ABD
【解析】 因为x=log43,所以4x=3,故2x=,2-x=,(2x-2-x)2=(-)2=()2=.因此选项A,B,D正确,C不正确.
故选A,B,D.
7.方程2x=7的解为 .
【答案】 x=log27
【解析】 由指数式化为对数式,得x=log27.
8.已知2a=5,log83=b,则4a-3b= .
【答案】
【解析】 由log83=b可得8b=23b=3,
所以4a-3b===.
9.求下列各式中x的值:
(1)log27x=-;
(2)logx16=-4;
(3)-ln e-3=x.
【解】 (1)由题意,x=2=(33=3-2=.
(2)由题意,x-4=16 ()4=24,而x>0,且x≠1,所以=2 x=.
(3)由题意,ln e-3=-x e-3=e-x x=3.
10.计算下列各式的值:
(1)+++1;
(2)++.
【解】 (1)原式=3+++
=3+()2+()3+()4
=3+32+33+34=120.
(2)原式=(+(+
=(+(+=1+2+=2+3+=6.
能力提升
11.已知a>0,b>0,log9a=log12b=log16(a+b),则等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 设log9a=log12b=log16(a+b)=k,
则有a=9k=32k,b=12k=3k×4k,a+b=16k=42k,
可得32k+3k×4k=42k,
即()2k+()k-1=0,
解得()k=(负值已舍去),
所以==()k=.
故选D.
12.已知f(ex)=xlg 5,则f(1)+f(e)= .
【答案】 lg 5
【解析】 令ex=1,则x=0,令ex=e,则x=1,
所以f(1)+f(e)=0×lg 5+1×lg 5=lg 5.
13.求下列各式中x的值:
(1)(2x2-4x+1)=1;
(2)log2[log3(log4x)]=0.
【解】 (1)由(2x2-4x+1)=1,
得2x2-4x+1=x2-2,
解得x=1或x=3.
当x=1时,x2-2=-1<0,舍去;
当x=3时,x2-2=7>0,2x2-4x+1=7>0,符合题意.综上,x=3.
(2)由log2[log3(log4x)]=0,
得log3(log4x)=1,故log4x=3,
所以x=43=64.
应用创新
14.著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃,那么t分钟后物体的温度θ(单位: ℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.若常数k=0.05,空气温度为30 ℃,则某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃,大约需要的时间为 分钟(参考数据:ln 3≈1.1).
【答案】 22
【解析】 由题知θ0=30,θ1=90,θ=50,
所以50=30+(90-30)e-0.05t.
所以e-0.05t=.
所以e0.05t=3.
所以0.05t=ln 3.
所以t==20×ln 3≈22.
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第四章 对数运算与对数函数
§1 对数的概念
1.理解对数的概念,知道自然对数和常用对数,提升数学抽象的核心素养.
2.掌握指数式与对数式的互化以及对数的性质,提升数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 对数的概念
1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b.
其中a叫作对数的 ,N叫作 .
2.ax=N x= (a>0,且a≠1).
3.常用对数:以10为底数的对数,记作lg N.
自然对数:以无理数e=2.718 281…为底数的对数,记作 ln N.
底数
真数
logaN
知识点二 对数的性质
1.loga1= (a>0,且a≠1).
2.logaa= (a>0,且a≠1).
3.零和负数 .
0
1
没有对数
知识点三 对数恒等式
题型一 指数式与对数式的互化
[例1] 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式:
(1)33=27;
【解】 (1)因为33=27,所以log327=3.
(4)lg 1 000=3.
【解】 (4)因为lg 1 000=3,
所以103=1 000.
·解题策略·
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式,只需要将幂值作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式.
(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂值,对数值作为指数,底数不变,写出指数式.
[变式训练] 将下列指数(对数)式化为对数(指数)式:
(1)ea=16;
【解】 (1)ea=16,化为对数式a=ln 16.
(3)log39=2;
【解】 (3)log39=2,化为指数式32=9.
(4)logxy=z(x>0,且x≠1,y>0).
【解】 (4)logxy=z,化为指数式xz=y.
[例2] 求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;
题型二 对数的性质
【解】 (1)因为log2(log5x)=0,
所以log5x=20=1.所以x=51=5.
(2)log3(lg x)=1;
【解】 (2)因为log3(lg x)=1,所以lg x=31=3.
所以x=103=1 000.
(3)log3[log4(log5x)]=0.
【解】 (3)由log3[log4(log5x)]=0,
得log4(log5x)=1,
故log5x=4,所以x=54=625.
[变式探究1] 若将本例中的(3)改为log3[log4(log5x)]=1,如何求x的值
【解】 由log3[log4(log5x)]=1
可得log4(log5x)=3,
则log5x=43=64,
所以x=564.
[变式探究2] 若将本例中的(2)改为log(x+1)(2x-3)=1,如何求x的值
·解题策略·
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时,应根据对数的两个性质loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再求解.
题型三 对数恒等式
·解题策略·
B
4
当堂检测
1.若m2 024=n(m>0,且m≠1),则( )
A.logmn=2 024 B.lognm=2 024
C.log2 024m=n D.log2 024n=m
A
【解析】 因为m2 024=n(m>0,且m≠1),
所以logmn=2 024.
故选A.
2.若a=log32,则3a+3-a的值为( )
A
3.计算:3log22+2log31-3log77+3ln 1= .
0
【解析】 原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0.
(2)logx49=4;【课程标准要求】 1.理解对数的概念,知道自然对数和常用对数,提升数学抽象的核心素养.2.掌握指数式与对数式的互化以及对数的性质,提升数学运算的核心素养.
知识点一 对数的概念
1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b.
其中a叫作对数的底数,N叫作真数.
2.ax=N x=logaN(a>0,且a≠1).
3.常用对数:以10为底数的对数,记作lg N.
自然对数:以无理数e=2.718 281…为底数的对数,记作 ln N.
知识点二 对数的性质
1.loga1=0(a>0,且a≠1).
2.logaa=1(a>0,且a≠1).
3.零和负数没有对数.
知识点三 对数恒等式
1.=N.
2.logaab=b.
题型一 指数式与对数式的互化
[例1] 将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式:
(1)33=27;(2)lo32=-5;
(3)()-2=16;(4)lg 1 000=3.
【解】 (1)因为33=27,所以log327=3.
(2)因为lo32=-5,所以()-5=32.
(3)因为()-2=16,所以lo16=-2.
(4)因为lg 1 000=3,
所以103=1 000.
指数式与对数式互化的方法
(1)将指数式化为对数式,只需要将幂值作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式.
(2)将对数式化为指数式,只需将真数作为幂值,对数值作为指数,底数不变,写出指数式.
[变式训练] 将下列指数(对数)式化为对数(指数)式:
(1)ea=16;(2)6=4;
(3)log39=2;(4)logxy=z(x>0,且x≠1,y>0).
【解】 (1)ea=16,化为对数式a=ln 16.
(2)6=4,化为对数式log644=.
(3)log39=2,化为指数式32=9.
(4)logxy=z,化为指数式xz=y.
题型二 对数的性质
[例2] 求下列各式中x的值:
(1)log2(log5x)=0;
(2)log3(lg x)=1;
(3)log3[log4(log5x)]=0.
【解】 (1)因为log2(log5x)=0,
所以log5x=20=1.所以x=51=5.
(2)因为log3(lg x)=1,所以lg x=31=3.
所以x=103=1 000.
(3)由log3[log4(log5x)]=0,
得log4(log5x)=1,
故log5x=4,所以x=54=625.
[变式探究1] 若将本例中的(3)改为log3[log4(log5x)]=1,如何求x的值
【解】 由log3[log4(log5x)]=1
可得log4(log5x)=3,
则log5x=43=64,
所以x=564.
[变式探究2] 若将本例中的(2)改为log(x+1)(2x-3)=1,如何求x的值
【解】 由log(x+1)(2x-3)=1,
得
解得x=4.
利用对数的性质求值的方法
(1)求解此类问题时,应根据对数的两个性质loga1=0和logaa=1(a>0,且a≠1),进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log ”后再求解.
题型三 对数恒等式
[例3] 求下列各式的值:
(1)·+;
(2)+102+lg 2+eln 3.
【解】 (1)因为=4,==,
=24·=16×5=80,
所以原式=4×+80=83.
(2)因为=5·=5×3=15,
102+lg 2=102·10lg 2=100×2=200,eln 3=3,
所以原式=15+200+3=218.
对数恒等式=N与logaab=b的作用
(1)=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式.
(2)logaab=b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数.
[变式训练] (1)设=25,则x的值等于( )
A.10 B.13
C.100 D.±1 001
(2)对数式的值为 .
【答案】 (1)B (2)4
【解析】 (1)由对数恒等式,得=2x-1=25,所以x=13.故选B.
(2)=(32==4.
当堂检测
1.若m2 024=n(m>0,且m≠1),则( )
A.logmn=2 024 B.lognm=2 024
C.log2 024m=n D.log2 024n=m
【答案】 A
【解析】 因为m2 024=n(m>0,且m≠1),
所以logmn=2 024.
故选A.
2.若a=log32,则3a+3-a的值为( )
A. B. C. D.-
【答案】 A
【解析】 由a=log32,得3a=2,所以3a+3-a=3a+=2+=.故选A.
3.计算:3log22+2log31-3log77+3ln 1= .
【答案】 0
【解析】 原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0.
4.求下列各式中x的值:
(1)lox=-3;
(2)logx49=4;
(3)()=x;
(4)2ln e+lg 1+-log216=x.
【解】 (1)因为lox=-3,
所以x=()-3=27.
(2)因为logx49=4,所以x4=49.
又因为x>0,且x≠1,得x=.
(3)由()=()-1×()=3×=x,得x=.
(4)由2ln e+lg 1+-log216=21+2-4=x,
得x=0.
基础巩固
1.已知logx8=2,则x等于( )
A.2 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 因为logx8=2,所以x2=8,且x∈(0,1)∪(1,+∞),解得x=2.
故选B.
2.计算 log5等于( )
A.4 B.-4 C. D.-
【答案】 B
【解析】 令log5=t,则5t==5-4,所以t=-4.故选B.
3.对数log(a+3)(5-a)中实数a的取值范围是( )
A.(-∞,5)
B.(-3,5)
C.(-3,-2)∪(-2,5)
D.(-3,+∞)
【答案】 C
【解析】 因为对数式的底数为大于零且不等于1的实数,真数为正实数,
所以有
即a∈(-3,-2)∪(-2,5).故选C.
4.有下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于±2;④=-5成立.其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】 B
【解析】 由对数的概念知,负数和0没有对数,故①正确;指数式(-1)2=1没有相应的对数式,故②错误;以5为底25的对数等于2,故③错误;显然=-5不成立,故④错误.故选B.
5.(多选题)下列指数式与对数式的互化正确的是( )
A.100=1与lg 1=0
B.3-2=与log3=-
C.log55=1与51=5
D.ln N=与N=
【答案】 AC
【解析】 对于A,100=1 lg 1=0,故A正确;
对于B,3-2= log3=-2,故B错误;
对于C,log55=1 51=5,故C正确;
对于D,ln N= =N,故D错误.
故选A,C.
6.(多选题)已知x=log43,则下列计算正确的有( )
A.2x= B.2-x=
C.4x=9 D.(2x-2-x)2=
【答案】 ABD
【解析】 因为x=log43,所以4x=3,故2x=,2-x=,(2x-2-x)2=(-)2=()2=.因此选项A,B,D正确,C不正确.
故选A,B,D.
7.方程2x=7的解为 .
【答案】 x=log27
【解析】 由指数式化为对数式,得x=log27.
8.已知2a=5,log83=b,则4a-3b= .
【答案】
【解析】 由log83=b可得8b=23b=3,
所以4a-3b===.
9.求下列各式中x的值:
(1)log27x=-;
(2)logx16=-4;
(3)-ln e-3=x.
【解】 (1)由题意,x=2=(33=3-2=.
(2)由题意,x-4=16 ()4=24,而x>0,且x≠1,所以=2 x=.
(3)由题意,ln e-3=-x e-3=e-x x=3.
10.计算下列各式的值:
(1)+++1;
(2)++.
【解】 (1)原式=3+++
=3+()2+()3+()4
=3+32+33+34=120.
(2)原式=(+(+
=(+(+=1+2+=2+3+=6.
能力提升
11.已知a>0,b>0,log9a=log12b=log16(a+b),则等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 设log9a=log12b=log16(a+b)=k,
则有a=9k=32k,b=12k=3k×4k,a+b=16k=42k,
可得32k+3k×4k=42k,
即()2k+()k-1=0,
解得()k=(负值已舍去),
所以==()k=.
故选D.
12.已知f(ex)=xlg 5,则f(1)+f(e)= .
【答案】 lg 5
【解析】 令ex=1,则x=0,令ex=e,则x=1,
所以f(1)+f(e)=0×lg 5+1×lg 5=lg 5.
13.求下列各式中x的值:
(1)(2x2-4x+1)=1;
(2)log2[log3(log4x)]=0.
【解】 (1)由(2x2-4x+1)=1,
得2x2-4x+1=x2-2,
解得x=1或x=3.
当x=1时,x2-2=-1<0,舍去;
当x=3时,x2-2=7>0,2x2-4x+1=7>0,符合题意.综上,x=3.
(2)由log2[log3(log4x)]=0,
得log3(log4x)=1,故log4x=3,
所以x=43=64.
应用创新
14.著名数学家、物理学家牛顿曾提出:物体在空气中冷却,如果物体的初始温度为θ1 ℃,空气温度为θ0 ℃,那么t分钟后物体的温度θ(单位: ℃)满足:θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.若常数k=0.05,空气温度为30 ℃,则某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃,大约需要的时间为 分钟(参考数据:ln 3≈1.1).
【答案】 22
【解析】 由题知θ0=30,θ1=90,θ=50,
所以50=30+(90-30)e-0.05t.
所以e-0.05t=.
所以e0.05t=3.
所以0.05t=ln 3.
所以t==20×ln 3≈22.
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