2.1 对数的运算性质
基础巩固
1.log318-log32等于( )
A.4 B.2log32
C.log32 D.2
【答案】 D
【解析】 log318-log32=log39=log332=2.故选D.
2.(多选题)若ab>0,则下列各式中,一定成立的是( )
A.lg(ab)=lg a+lg b
B.lg =lg a-lg b
C.lg()2=lg
D.lg=lg(ab)
【答案】 CD
【解析】 对于A,当a<0,b<0时,等式右边无意义,A错误;
对于B,当a<0,b<0时,等式右边无意义,B错误;
对于C,因为ab>0,所以lg()2=lg,C正确;
对于D,因为ab>0,所以lg=lg(ab=lg(ab),D正确.
故选C,D.
3.设a=lg 20+lg,b=log45,则a+2b的值为( )
A.2+ B.1+
C.27 D.26
【答案】 B
【解析】 因为a=lg 20+lg,b=log45,所以a+2b=lg+lg+=lg 10+=1+.故选B.
4.已知a,b∈R,lg a+lg(2b)=1,则4a+b的最小值为( )
A.2 B.4
C.2 D.4
【答案】 D
【解析】 因为lg a+lg(2b)=1,所以a>0,b>0,且lg(2ab)=1.所以2ab=10,即ab=5.所以4a+b≥
2=2=4,当且仅当4a=b,且ab=5,即时,等号成立.所以4a+b的最小值为4.故选D.
5.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标,在化学中,常用pH来表示溶液的酸碱度.pH的计算公式为pH=-lg c(H+),其中c(H+)表示溶液中氢离子的浓度,单位是mol·L-1.已知A溶液中c(H+)=0.135 mol·L-1,则A溶液的pH约为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈
0.477)( )
A.0.268 B.0.87 C.1.13 D.1.87
【答案】 B
【解析】 因为A溶液中c(H+)=0.135 mol·L-1,由题意得pH=-lg 0.135=-lg 135+3=-3lg 3-
lg 5+3=-3lg 3+lg 2+2≈0.87.故选B.
6.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C.=+ D.=-
【答案】 AD
【解析】 由于a,b,c都是正数,故可设4a=6b=9c=M,
所以=4,=6,=9,
则=logM4,=logM6,=logM9.
因为logM4+logM9=2logM6,
所以+=,
即=-,去分母整理,得ab+bc=2ac.故选A,D.
7.2+-lg-2lg 2= .
【答案】 11
【解析】 原式=+3-lg 5+lg 2-2lg 2
=32+3-(lg 5+lg 2)
=9+3-1=11.
8.若=,则3a+9a= .
【答案】 6
【解析】 由条件得a=log34=log32,
所以3a+9a=+=+=2+4=6.
9.化简下列各式:
(1)lg 25+lg 2+lg +lg(0.01)-1;
(2)(lg 5)2+lg 2·lg 50+;
(3)2(lg )2++lg ·lg 5.
【解】 (1)原式=lg 5+lg 2+lg 10+lg 100
=lg 10++2
=1++2=.
(2)=2×=2,
原式=(lg 5)2+lg 2(1+lg 5)+2=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2+2=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+2=lg 5
+lg 2+2=1+2.
(3)原式=2×(lg 2)2++lg 2·lg 5=(lg 2)2+1-lg +lg 2·lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+
1-lg 2=lg 2+1-lg 2=1.
10.(1)已知a=log32,3b=5,用a,b表示log3;
(2)已知loga3=m,loga2=n(a>0,且a≠1),若0【解】 (1)因为3b=5,所以b=log35.
所以log3=log360=log3(4×3×5)=(2log32+1+log35)=(1+2a+b).
(2)因为m+n=log32+1,
所以loga3+loga2=loga6=log36,
即a=3,因此x+x-1=3.
所以(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5.
由0所以x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-3.
能力提升
11.(多选题)若lg a,lg b是方程2x2+6x-1=0的两个根,则下列等式正确的是( )
A.lg a+lg b=-3 B.lg a·lg b=-3
C.lg(ab)=- D.( lg)2=11
【答案】 AD
【解析】 因为lg a,lg b是方程2x2+6x-1=0的两个根,所以lg a+lg b=-3,lg a·lg b=-,
lg(ab)=lg a+lg b=-3,
(lg)2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=9+4×=11.故选A,D.
12.设x,y为正实数,已知lg=,则+的值为 .
【答案】 7
【解析】 由lg=,
得lg()4=lg(xy),则()4=xy,
则()2=,则x+y=7,两边同时除以得+=7.
13.解下列对数方程:
(1)lg x2-lg(x+2)=0;
(2)1+log2x=log2(x2-3);
(3)log3[1+log2(1+3log2x)]=1.
【解】 (1)原方程可化为lg x2=lg(x+2),
故解得x=-1或x=2.
所以方程lg x2-lg(x+2)=0的解是x=-1或x=2.
(2)由1+log2x=log2(x2-3)可得log2(2x)=log2(x2-3),所以x2-3=2x,
即(x-3)(x+1)=0,
解得x=3或x=-1.
因为x>0,且x2-3>0,所以x=3.
所以方程1+log2x=log2(x2-3)的解为x=3.
(3)由原方程可得1+log2(1+3log2x)=3 log2(1+3log2x)=2 1+3log2x=4 3log2x=3 log2x=1
x=2,所以方程log3[1+log2(1+3log2x)]=1的解为x=2.
应用创新
14.已知lg 3≈0.477 1,则32 024大约有 位数.
【答案】 966
【解析】 设x=32 024,
则两边取对数得lg x=2 024lg 3≈965.650 4,
因此x≈10965.650 4.故32 024大约有966位数.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1 对数的运算性质
【课程标准要求】 1.理解对数的运算性质,通过对数的运算性质的推导,提升逻辑推理的核心素养.2.会运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明,提升数学运算的核心素养.
知识点 对数的运算性质
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则:
(1)loga(M·N)=logaM+logaN.
(2)loga=logaM-logaN.
(3)logaMb=blogaM.
[思考] 若a>0,且a≠1,则loga(MN)=logaM+logaN一定成立吗
提示:不一定,只有M>0,N>0时才成立.
题型一 利用对数运算性质化简求值
[例1] 化简下列各式:
(1)4lg 2+3lg 5-lg ;
(2)log2(1++)+log2(1+-).
【解】 (1)原式=lg =lg (24×54)
=lg (2×5)4
=4.
(2)原式=log2[(1++)(1+-)]
=log2[(1+)2-()2]=.
利用对数的运算性质化简求值
(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值计算,如利用lg 2+lg 5=1进行计算或化简.
[变式训练] 计算:(1)lo27+lg 4+lg 25;
(2)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg 2 )2+lg +lg 0.06.
【解】 (1)原式=lo()6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2+lg 5)=8.
(2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2
=3lg 2+3lg 5-2
=3(lg 2+lg 5)-2
=1.
题型二 指数式与对数运算性质的综合应用
[例2] 已知2a=5b=10,求+的值.
【解】 由2a=10可知alg 2=1,则=lg 2,
同理=lg 5,
因此+=lg 2+lg 5=lg 10=1.
[变式探究] 若本例改为:已知2a=5b=c,且-=1,求c的值.
【解】 由2a=5b=c>0知=logc2,=logc5,
则-=logc =1,
故c=.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算性质,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于多个指数式的相等问题,可令等式等于k(k>0),然后将指数式两边取对数后结合问题的特征求解.
[变式训练] 已知正数a,b,c满足2a=25b=10c,求证:-=.
【证明】 设2a=25b=10c=t(t>0),则
=logt2,=logt25,=logt10.
故-=logt5.
又=·logt25=logt5,
故-=.
【学海拾贝】
对数方程的解法
(1)对数方程:在对数符号后面含有未知数的方程叫作对数方程.
(2)主要类型及解法.
①同底法:由logaf(x)=logag(x)转化得
②指数法:由logf(x)g(x)=k转化得
③换元法:对于f(logax)=0,利用换元法,令 b=logax代入原方程再求解.
[典例探究] 解下列对数方程:
(1)log2(x2-6x+9)=log2(2x-6);
(2)xlg x+2=108.
【解】 (1)由log2(x2-6x+9)=log2(2x-6)可得x2-6x+9=2x-6,
解得x=3或x=5.
因为x2-6x+9>0,且2x-6>0,所以x=3舍去.所以方程的解为x=5.
(2)两边同取以10为底的对数,得lg xlg x+2=lg 108,即(lg x+2)lg x=8lg 10,
所以(lg x+2)lg x=8,
即(lg x)2+2lg x-8=0.
解方程得lg x=-4或lg x=2,
所以x=10-4或x=100.
经检验x=10-4,x=100都是原方程的解.
[应用探究] 解下列对数方程:
(1)lg(x+2)-lg(2x2+x-6)+1=0;
(2)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2.
【解】 (1)原式可化为lg(x+2)+1=lg(2x2+x-6),
再化为lg(x+2)+lg 10=lg(2x2+x-6),
即lg[10(x+2)]=lg(2x2+x-6),
即10(x+2)=2x2+x-6>0,
整理得2x2-9x-26=0,
解方程得x=或x=-2(舍去).
所以原方程的解是x=.
(2)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,得
解得x=2.
当堂检测
1.若a>0,且a≠1,M>0,N>0,则下列运算正确的是( )
A.(logaM)÷(logaN)=loga(M-N)
B.(logaM)N=NlogaM
C.loga=logaM
D.logaM+logaN=loga(M+N)
【答案】 C
【解析】 对于A,(logaM)÷(logaN)≠loga(M-N),故A错误;
对于B,(logaM)N≠NlogaM=logaMN,故B错误;
对于C,loga=logaM,故C正确;
对于D,logaM+logaN=logaMN≠loga(M+N),故D错误.
故选C.
2.2log510+log50.25等于( )
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】 C
【解析】 2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(102×0.25)=log525=2.
故选C.
3.下列四个结论中正确的是( )
A.log28=4 B.log35+log34=2
C.lg(lg 10)=0 D.=3
【答案】 C
【解析】 因为log28=log223=3≠4,所以A错误;因为log35+log34=log320≠2,所以B错误;因为lg(lg 10)=lg 1=0,所以C正确;因为===81≠3,所以D错误.故选C.
4.计算下列各式的值:
(1)log3+lg 25+lg 4+= ;
(2)2log32-log3+log38-= .
【答案】 (1) (2)-7
【解析】 (1)原式=log3+lg(25×4)+2=log3+lg 102+2=-+2+2=.
(2)原式=2log32-(log325-log39)+3log32-=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.
基础巩固
1.log318-log32等于( )
A.4 B.2log32
C.log32 D.2
【答案】 D
【解析】 log318-log32=log39=log332=2.故选D.
2.(多选题)若ab>0,则下列各式中,一定成立的是( )
A.lg(ab)=lg a+lg b
B.lg =lg a-lg b
C.lg()2=lg
D.lg=lg(ab)
【答案】 CD
【解析】 对于A,当a<0,b<0时,等式右边无意义,A错误;
对于B,当a<0,b<0时,等式右边无意义,B错误;
对于C,因为ab>0,所以lg()2=lg,C正确;
对于D,因为ab>0,所以lg=lg(ab=lg(ab),D正确.
故选C,D.
3.设a=lg 20+lg,b=log45,则a+2b的值为( )
A.2+ B.1+
C.27 D.26
【答案】 B
【解析】 因为a=lg 20+lg,b=log45,所以a+2b=lg+lg+=lg 10+=1+.故选B.
4.已知a,b∈R,lg a+lg(2b)=1,则4a+b的最小值为( )
A.2 B.4
C.2 D.4
【答案】 D
【解析】 因为lg a+lg(2b)=1,所以a>0,b>0,且lg(2ab)=1.所以2ab=10,即ab=5.所以4a+b≥
2=2=4,当且仅当4a=b,且ab=5,即时,等号成立.所以4a+b的最小值为4.故选D.
5.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标,在化学中,常用pH来表示溶液的酸碱度.pH的计算公式为pH=-lg c(H+),其中c(H+)表示溶液中氢离子的浓度,单位是mol·L-1.已知A溶液中c(H+)=0.135 mol·L-1,则A溶液的pH约为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈
0.477)( )
A.0.268 B.0.87 C.1.13 D.1.87
【答案】 B
【解析】 因为A溶液中c(H+)=0.135 mol·L-1,由题意得pH=-lg 0.135=-lg 135+3=-3lg 3-
lg 5+3=-3lg 3+lg 2+2≈0.87.故选B.
6.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么( )
A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac
C.=+ D.=-
【答案】 AD
【解析】 由于a,b,c都是正数,故可设4a=6b=9c=M,
所以=4,=6,=9,
则=logM4,=logM6,=logM9.
因为logM4+logM9=2logM6,
所以+=,
即=-,去分母整理,得ab+bc=2ac.故选A,D.
7.2+-lg-2lg 2= .
【答案】 11
【解析】 原式=+3-lg 5+lg 2-2lg 2
=32+3-(lg 5+lg 2)
=9+3-1=11.
8.若=,则3a+9a= .
【答案】 6
【解析】 由条件得a=log34=log32,
所以3a+9a=+=+=2+4=6.
9.化简下列各式:
(1)lg 25+lg 2+lg +lg(0.01)-1;
(2)(lg 5)2+lg 2·lg 50+;
(3)2(lg )2++lg ·lg 5.
【解】 (1)原式=lg 5+lg 2+lg 10+lg 100
=lg 10++2
=1++2=.
(2)=2×=2,
原式=(lg 5)2+lg 2(1+lg 5)+2=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2+2=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+2=lg 5
+lg 2+2=1+2.
(3)原式=2×(lg 2)2++lg 2·lg 5=(lg 2)2+1-lg +lg 2·lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+
1-lg 2=lg 2+1-lg 2=1.
10.(1)已知a=log32,3b=5,用a,b表示log3;
(2)已知loga3=m,loga2=n(a>0,且a≠1),若0【解】 (1)因为3b=5,所以b=log35.
所以log3=log360=log3(4×3×5)=(2log32+1+log35)=(1+2a+b).
(2)因为m+n=log32+1,
所以loga3+loga2=loga6=log36,
即a=3,因此x+x-1=3.
所以(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5.
由0所以x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-3.
能力提升
11.(多选题)若lg a,lg b是方程2x2+6x-1=0的两个根,则下列等式正确的是( )
A.lg a+lg b=-3 B.lg a·lg b=-3
C.lg(ab)=- D.( lg)2=11
【答案】 AD
【解析】 因为lg a,lg b是方程2x2+6x-1=0的两个根,所以lg a+lg b=-3,lg a·lg b=-,
lg(ab)=lg a+lg b=-3,
(lg)2=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=9+4×=11.故选A,D.
12.设x,y为正实数,已知lg=,则+的值为 .
【答案】 7
【解析】 由lg=,
得lg()4=lg(xy),则()4=xy,
则()2=,则x+y=7,两边同时除以得+=7.
13.解下列对数方程:
(1)lg x2-lg(x+2)=0;
(2)1+log2x=log2(x2-3);
(3)log3[1+log2(1+3log2x)]=1.
【解】 (1)原方程可化为lg x2=lg(x+2),
故解得x=-1或x=2.
所以方程lg x2-lg(x+2)=0的解是x=-1或x=2.
(2)由1+log2x=log2(x2-3)可得log2(2x)=log2(x2-3),所以x2-3=2x,
即(x-3)(x+1)=0,
解得x=3或x=-1.
因为x>0,且x2-3>0,所以x=3.
所以方程1+log2x=log2(x2-3)的解为x=3.
(3)由原方程可得1+log2(1+3log2x)=3 log2(1+3log2x)=2 1+3log2x=4 3log2x=3 log2x=1
x=2,所以方程log3[1+log2(1+3log2x)]=1的解为x=2.
应用创新
14.已知lg 3≈0.477 1,则32 024大约有 位数.
【答案】 966
【解析】 设x=32 024,
则两边取对数得lg x=2 024lg 3≈965.650 4,
因此x≈10965.650 4.故32 024大约有966位数.
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§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
1.理解对数的运算性质,通过对数的运算性质的推导,提升逻辑推理的核心素养.2.会运用对数的运算性质进行一些简单的化简与证明,提升数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点 对数的运算性质
若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则:
(1)loga(M·N)= .
logaM+logaN
logaM-logaN
(3)logaMb= .
blogaM
[思考] 若a>0,且a≠1,则loga(MN)=logaM+logaN一定成立吗
提示:不一定,只有M>0,N>0时才成立.
题型一 利用对数运算性质化简求值
·解题策略·
利用对数的运算性质化简求值
(1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式逆用.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用.
(3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值计算,如利用lg 2+lg 5=1进行计算或化简.
【解】 (2)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2-lg 6+lg 6-2
=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2
=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2
=3lg 2+3lg 5-2
=3(lg 2+lg 5)-2
=1.
题型二 指数式与对数运算性质的综合应用
·解题策略·
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算性
质,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.
(2)对于多个指数式的相等问题,可令等式等于k(k>0),然后将指数式两边取对数后结合问题的特征求解.
【学海拾贝】
对数方程的解法
(1)对数方程:在对数符号后面含有未知数的方程叫作对数方程.
(2)主要类型及解法.
①同底法:由logaf(x)=logag(x)转化得
②指数法:由logf(x)g(x)=k转化得
[典例探究] 解下列对数方程:
(1)log2(x2-6x+9)=log2(2x-6);
【解】 (1)由log2(x2-6x+9)=log2(2x-6)可得x2-6x+9=2x-6,
解得x=3或x=5.
因为x2-6x+9>0,且2x-6>0,所以x=3舍去.所以方程的解为x=5.
(2)xlg x+2=108.
【解】 (2)两边同取以10为底的对数,得lg xlg x+2=lg 108,即(lg x+2)lg x=8lg 10,
所以(lg x+2)lg x=8,
即(lg x)2+2lg x-8=0.
解方程得lg x=-4或lg x=2,
所以x=10-4或x=100.
经检验x=10-4,x=100都是原方程的解.
[应用探究] 解下列对数方程:
(1)lg(x+2)-lg(2x2+x-6)+1=0;
(2)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2.
当堂检测
C
2.2log510+log50.25等于( )
A.0 B.1 C.2 D.4
C
【解析】 2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(102×0.25)=log525=2.
故选C.
C
-7
