【课程标准要求】 1.通过指数幂的拓展学习,理解n次方根及根式的概念,能正确运用根式运算性质进行运算,提升数学抽象的核心素养.2.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化,提升数学运算的核心素养.3.掌握有理数指数幂的运算性质,提升数学运算的核心素养.
知识点一 分数指数幂的意义
正分数 指数幂 给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),若存在唯一的正数b,使得bn=am,则称b为a的次幂,记作b=.规定:=
负分数 指数幂 规定:==(a>0,m,n∈N+,n>1,且m,n互素)
0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
[思考1] 在分数指数幂与根式的互化公式=中,为什么必须规定a>0
提示:①若a=0,0的正分数指数幂恒等于0,即==0,无研究价值.
②若a<0,=不一定成立,如(-2=无意义,故为了避免上述情况规定了a>0.
[思考2] 分数指数幂能理解为个a相乘吗 如何理解其意义呢
提示:不能.分数指数幂不可以理解为个a相乘.事实上,它是根式的一种新写法.对于(a>0)意义的理解,除可以根据定义外,也可以借助根式理解:将(a>0)看成根式,由此可以看出就是正数am的n次方根,如==(即27的4次算术根).
知识点二 指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:
(1)aα·aβ=aα+β.
(2)(aα)β=aαβ.
(3)(ab)α=aαbα.
知识拓展
(1)根式及相关概念.
①a的n次方根.如果xn=a,那么x叫作a的n次方根,其中n>1,且n∈N+.
②a的n次方根的表示.
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0,+∞)
③根式.式子叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数.
(2)根式的性质(n>1,且n∈N+).
①当n为奇数时,=a.
②当n为偶数时,=|a|=
③ =0.
④负数没有偶次方根.
题型一 根式
[例1] (1)式子+()3的值等于 .
(2)化简:+(a
1,且n∈N+).
(1)【答案】 0
【解析】 原式=|-2|+(-2)=2-2=0.
(2)【解】 当n是奇数时,
原式=(a-b)+(a+b)=2a;
当n是偶数时,
因为a所以a-b<0,a+b<0,
所以原式=-(a-b)-(a+b)=-2a.
所以+=
(1)对()n与的理解:()n是实数a的n次方根的n次幂,其中实数a的取值由n的奇偶来决定.当n为大于1的奇数时,()n=a(a∈R);当n为大于1的偶数时,()n=a(a≥0).而是实数an的n次方根,是一个恒有意义的式子,不受n的奇偶的限制,因此a∈R,但是该式子的值受n的奇偶的限制,
=
(2)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式[完全平方公式、立方和(差)公式],将所求代数式通过恰当的变形,达到化繁为简的目的.
[变式训练] (1)若1A.1 B.-1
C.3-2a D.2a-3
(2)下列各式正确的是( )
A.=
B.=3-π
C.=|a|(n>1,n∈N*)
D.()n=a(a>0,n>1,n∈N*)
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)若1则+=1-a+2-a=3-2a.故选C.
(2)由<0,>0,得≠,因此A不正确;=π-3,因此B不正确;
=
C不正确;()n=a(a>0,n>1,n∈N*),因此D正确.故选D.
题型二 根式与分数指数幂
[例2] 用分数指数幂的形式表示下列各式:
(1)(a>0);
(2)((b>0);
(3)(x>0,y>0).
【解】 (1)===
=.
(2)原式=[(==.
(3)法一 从外向里化为分数指数幂.
=()
=[()]
={[()]}
=()·()·()
=··==.
法二 从里向外化为分数指数幂.
====(·x)=.
(1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.
①根指数 分数指数的分母;
②被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.
[变式训练] 将下列各式化为分数指数幂的形式:
(1)m2·(m>0);
(2)(m>0);
(3)(a>0,b>0).
【解】 (1)m2·=m2·=
=.
(2)===(=.
(3)原式=[ab3(ab5=[a·b3·(b5=(=.
题型三 指数幂的运算性质
[例3] 计算下列各式:
(1)0.008 1-0.25-[3×()0]-1×[81-0.25+()]-0.5-10×0.02;
(2)(×)6+(-4×()-×80.25-(-2 024)0.
【解】 (1)原式=[()4]-3-1×[3-1+()-1]-10×[()3]
=()-1-×(+)-10×
=--3=0.
(2)原式=(×)6+(-4×[()2]-×-1
=22×33+-4×()-1-2-1
=108+2-7-3=100.
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,要先化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.
易错警示:化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
[变式训练] 计算下列各式:
(1)()0.5+0.1-2+()-3π0+;
(2)(-)+0.00-10×(-2)-1+(-)0.
【解】 (1)原式=()+102+()-3+=+100+-3+=100.
(2)原式=(-1×()+()-+1
=()+50-10×(+2)+1
=+10-10-20+1
=-.
题型四 条件求值问题
[例4] 已知+=3,求下列各式的值:
(1)a+a-1;
(2)a2+a-2;
(3).
【解】 (1)将+=3两边平方,得a+a-1+2=9,所以a+a-1=7.
(2)对(1)中的式子两边平方,得a2+a-2+2=49,
所以a2+a-2=47.
(3)==a+a-1+1=8.
解决条件求值问题的一般方法
——整体代入法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将所求代数式通过恰当的变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
[变式训练] (1)已知x+x-1=14,求的值.
(2)已知-=1,求的值.
【解】 (1)因为(+)2=x+x-1+2=16,+>0,所以+=4.又x2+x-2=(x+x-1)2-2=194,
所以==-.
(2)由-=1,得a+a-1=(-)2+2=3,则a2+a-2=(a+a-1)2-2=7,-=(-)(a+1+a-1)=4,
所以=.
当堂检测
1.下列运算正确的是( )
A.a2a3=a5
B.(=
C.(-1)0=1
D.(-a)4·(a2)π-2=aπ
【答案】 A
【解析】 a2a3=a2+3=a5;(==a2;(-1)0=1,若成立,需要满足a≠1;(-a)4·(a2)π-2=(a2)2·(a2)π-2=(a2)2+π-2=(a2)π=a2π.
故选A.
2.将根式化为分数指数幂为( )
A. B. C.- D.
【答案】 A
【解析】 =.故选A.
3.化简[的结果为( )
A.5 B. C.- D.-5
【答案】 B
【解析】 [=(==.故选B.
4.()0.5+(-1)5÷()-2+()= .
【答案】
【解析】 原式=()0.5+(-1)×+()=-+()=.
基础巩固
1.已知a<1,则+等于( )
A.-1 B.1
C.2a-1 D.1-2a
【答案】 B
【解析】 因为a<1,所以原式=|a-1|+a=1-a+a=1.故选B.
2.(×(等于( )
A. B.5 C. D.25
【答案】 C
【解析】 (×(=(=.故选C.
3.下列各等式中成立的是( )
A.=(a>0) B.=(a>0)
C.=±(a>0) D.=-(a>0)
【答案】 B
【解析】 对于A,=,a>0,故A错误;对于B,=,a>0,故B正确;对于C,=,a>
0,故C错误;对于D,=,a>0,故D错误.故选B.
4.已知10m=2,10n=3,则1等于( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 因为10m=2,10n=3,
所以1=1÷10n=(10m÷3=÷3=.故选D.
5.(多选题)下列各式中一定成立的有( )
A.()7=n7
B.=
C.=(x+y
D.=
【答案】 BD
【解析】 A中,应为()7=n7m-7;B中,==,B正确;C中,当x=y=1时,等式不成立;D正确.故选B,D.
6.化简(a,b>0)的结果是( )
A. B.ab C. D.a2b
【答案】 C
【解析】 由分数指数幂的运算性质可得,
原式=b÷(ab2)=·=ab-1=.故选C.
7.已知a,b∈R+,化简(b·= .
【答案】 ab4
【解析】 因为a,b∈R+,
所以(b·=a·=ab4.
8.设=2,a>0,则= .
【答案】
【解析】 原式==a2x-1+a-2x=2-1+=.
9.(1)化简:(2)(-6)(-3)(a>0,b>0);
(2)求值:()0+2-2×()-0.010.5.
【解】 (1)(2)(-6)·(-3)=
2×(-6)×(-3)=36a.
(2)()0+2-2×()-0.010.5
=1+×()-()
=1+×-=1+-=.
10.已知a=,b=9.求:
(1)÷;
(2).
【解】 (1)÷
=÷
=÷
=.
因为a=,所以=()=3.
(2)===a+b.
因为a=,b=9,所以a+b=.
能力提升
11.已知ab=-5,则a+b的值是( )
A.2 B.0
C.-2 D.±2
【答案】 B
【解析】 由题意知ab<0,则a+b=a+b=a+b=a+b=0.故选B.
12.计算:-()-(π-3)0+()-= .
【答案】
【解析】 -()-(π-3)0+()-
=-[()3]-1+[()2]-(2-)
=--1+2-2+
=.
13.已知方程x2-8x+4=0的两根为x1,x2(x1(1)求-的值;
(2)求-的值.
【解】 由题意知x1+x2=8,x1·x2=4.
(1)因为x1所以-===
==2.
(2)-==
==1.
应用创新
14.计算:(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)= .
【答案】 2-
【解析】 原式=
=2(1+)(1+)(1+)(1+)(1-)
=2(1-)
=2-.
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第三章 指数运算与指数函数
§1 指数幂的拓展
§2 指数幂的运算性质
1.通过指数幂的拓展学习,理解n次方根及根式的概念,能正确运用根式运算性质进行运算,提升数学抽象的核心素养.2.理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化,提升数学运算的核心素养.3.掌握有理数指数幂的运算性质,提升数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 分数指数幂的意义
分
数
指
数
幂 正分数
指数幂
分
数
指
数
幂 负分数
指数幂
0的分数
指数幂 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 意义
0
没有
知识点二 指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:
(1)aα·aβ=aα+β.
(2)(aα)β=aαβ.
(3)(ab)α=aαbα.
『知识拓展』
(1)根式及相关概念.
①a的n次方根.如果xn=a,那么x叫作a的n次方根,其中n>1,且n∈N+.
②a的n次方根的表示.
题型一 根式
0
【解析】 原式=|-2|+(-2)=2-2=0.
·解题策略·
·解题策略·
(2)根式化简的思想是将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式[完全平方公式、立方和(差)公式],将所求代数式通过恰当的变形,达到化繁为简的目的.
C
D
题型二 根式与分数指数幂
·解题策略·
(1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应.
①根指数 分数指数的分母;
②被开方数(式)的指数 分数指数的分子.
(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条:一是由里向外化为分数指数幂;二是由外向里化为分数指数幂.
题型三 指数幂的运算性质
·解题策略·
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,要先化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示,便于用指数幂的运算性质.
易错警示:化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
题型四 条件求值问题
(2)a2+a-2;
【解】 (2)对(1)中的式子两边平方,得a2+a-2+2=49,
所以a2+a-2=47.
·解题策略·
解决条件求值问题的一般方法
——整体代入法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将所求代数式通过恰当的变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值.
当堂检测
A
A
B基础巩固
1.已知a<1,则+等于( )
A.-1 B.1
C.2a-1 D.1-2a
【答案】 B
【解析】 因为a<1,所以原式=|a-1|+a=1-a+a=1.故选B.
2.(×(等于( )
A. B.5 C. D.25
【答案】 C
【解析】 (×(=(=.故选C.
3.下列各等式中成立的是( )
A.=(a>0) B.=(a>0)
C.=±(a>0) D.=-(a>0)
【答案】 B
【解析】 对于A,=,a>0,故A错误;对于B,=,a>0,故B正确;对于C,=,a>
0,故C错误;对于D,=,a>0,故D错误.故选B.
4.已知10m=2,10n=3,则1等于( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 因为10m=2,10n=3,
所以1=1÷10n=(10m÷3=÷3=.故选D.
5.(多选题)下列各式中一定成立的有( )
A.()7=n7
B.=
C.=(x+y
D.=
【答案】 BD
【解析】 A中,应为()7=n7m-7;B中,==,B正确;C中,当x=y=1时,等式不成立;D正确.故选B,D.
6.化简(a,b>0)的结果是( )
A. B.ab C. D.a2b
【答案】 C
【解析】 由分数指数幂的运算性质可得,
原式=b÷(ab2)=·=ab-1=.故选C.
7.已知a,b∈R+,化简(b·= .
【答案】 ab4
【解析】 因为a,b∈R+,
所以(b·=a·=ab4.
8.设=2,a>0,则= .
【答案】
【解析】 原式==a2x-1+a-2x=2-1+=.
9.(1)化简:(2)(-6)(-3)(a>0,b>0);
(2)求值:()0+2-2×()-0.010.5.
【解】 (1)(2)(-6)·(-3)=
2×(-6)×(-3)=36a.
(2)()0+2-2×()-0.010.5
=1+×()-()
=1+×-=1+-=.
10.已知a=,b=9.求:
(1)÷;
(2).
【解】 (1)÷
=÷
=÷
=.
因为a=,所以=()=3.
(2)===a+b.
因为a=,b=9,所以a+b=.
能力提升
11.已知ab=-5,则a+b的值是( )
A.2 B.0
C.-2 D.±2
【答案】 B
【解析】 由题意知ab<0,则a+b=a+b=a+b=a+b=0.故选B.
12.计算:-()-(π-3)0+()-= .
【答案】
【解析】 -()-(π-3)0+()-
=-[()3]-1+[()2]-(2-)
=--1+2-2+
=.
13.已知方程x2-8x+4=0的两根为x1,x2(x1(1)求-的值;
(2)求-的值.
【解】 由题意知x1+x2=8,x1·x2=4.
(1)因为x1所以-===
==2.
(2)-==
==1.
应用创新
14.计算:(1+)(1+)(1+)(1+)(1+)= .
【答案】 2-
【解析】 原式=
=2(1+)(1+)(1+)(1+)(1-)
=2(1-)
=2-.
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