第2课时 指数函数的图象和性质的应用
基础巩固
1.若2x+1<1,则x的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)
【答案】 D
【解析】 2x+1<1=20.因为函数y=2x为增函数,所以x+1<0.所以x<-1.所以x的取值范围为(-∞,-1).故选D.
2.函数y=()|x|的值域为( )
A.{y|y>0} B.{y|y≤1}
C.{y|y≥1} D.{y|0
【答案】 D
【解析】 由于|x|≥0,且y=()|x|为偶函数,结合其图象(图略)知0故选D.
3.设a=30.8,b=()-0.7,c=0.80.7,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
【答案】 A
【解析】 因为b=()-0.7=30.7,y=3x在R上单调递增,所以30.8>30.7>30.所以a>b>1.
因为y=0.8x在R上单调递减,所以0.80.7<0.80=1.所以a>b>c.故选A.
4.函数f(x)=()的单调递增区间为( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=(),0<<1,所以f(x)的单调递增区间为u(x)=x2-1的单调递减区间,即(-∞,0].故选A.
5.设a∈R.若函数f(x)=(a-1)x为指数函数,且f(2)>f(3),则a的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(-∞,2) D.(-∞,1)∪(1,2)
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=(a-1)x为指数函数,f(2)>f(3),所以函数f(x)在R上单调递减,故06.已知奇函数f(x)=aex-在R上为增函数,则a等于( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】 A
【解析】 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,
即a-=0,解得a=1或a=-1.
当a=1时,f(x)=ex-,函数定义域为R,由函数y=ex和y=-都是R上的增函数,得f(x)在 R上为增函数,且f(-x)=e-x-=-ex=-f(x),满足函数为奇函数;
当a=-1时,f(x)=-ex+在R上为减函数,不合题意.所以a=1.故选A.
7.已知函数y=的定义域是(-∞,0],则实数a的取值范围为 .
【答案】 (0,1)
【解析】 由ax-1≥0,得ax≥1=a0.
因为x∈(-∞,0],由指数函数的性质知08.函数y=()的值域是 .
【答案】 (0,]
【解析】 设g(x)=x2+2x+3,则g(x)=(x+1)2+2≥2,故0()的值域为(0,].
9.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过坐标原点.
(1)求b的值;
(2)设f(x)在区间[-1,1]上的最大值为m,最小值为n,若m+3n=0,求a的值.
【解】 (1)因为f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过坐标原点,
所以f(0)=1+b=0,解得b=-1.
(2)若0所以m=f(-1),n=f(1),
所以f(-1)+3f(1)=0,即-1+3(a-1)=0,解得a=(a=1舍去).
若a>1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,
所以m=f(1),n=f(-1),
所以f(1)+3f(-1)=0,即a-1+3(-1)=0,解得a=3(a=1舍去).
综上,a的值为或3.
10.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(-2,9).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2m-1)-f(m+3)>0,求实数m的取值范围.
【解】 (1)根据题意,指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)过点(-2,9),
所以f(-2)=a-2==9,解得a=(负值已舍去),所以函数f(x)的解析式为f(x)=()x.
(2)若f(2m-1)-f(m+3)>0,
则f(2m-1)>f(m+3),
所以()2m-1>()m+3.
由指数函数的单调性知,f(x)=()x在R上单调递减,所以2m-1所以实数m的取值范围是(-∞,4).
能力提升
11.(多选题)已知函数f(x)=a()|x|+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交,则( )
A.a+b=0
B.f(x)=()|x|-1
C.f(x)是偶函数
D.f(x)在(-∞,0]上单调递增
【答案】 AC
【解析】 因为函数f(x)=a()|x|+b的图象过原点,所以a()0+b=0 a+b=0,A项正确;因为f(x)的图象无限接近直线y=1,所以b=1,从而a=-1,所以f(x)=-()|x|+1,B项错误;因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,C项正确;当x>0时,f(x)=-()x+1在[0,+∞)上单调递增,因为偶函数的图象关于y轴对称,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,D项错误.故选A,C.
12.函数f(x)=()x-()x+2在[-1,2]的最小值是 .
【答案】
【解析】 令t=()x,x∈[-1,2],
则t∈[,2],故y=t2-t+2=(t-)2+,
当t=,即x=1时,y取得最小值.
13.已知函数f(x)=(-)x.
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明.
(3)求证:f(x)<0.
(1)【解】 由1-4x≠0,解得x≠0,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)【解】 f(x)为偶函数,证明如下:
f(x)=·x=·x(x≠0),
因为f(-x)=·(-x)=-·
x=·x=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)【证明】 因为x≠0,
所以当x>0时,1-4x<0,1+4x>0,
所以·x<0,
当x<0时,由f(x)为偶函数,
得f(x)=f(-x)<0.
综上,f(x)<0.
应用创新
14.定义运算:a b=则函数f(x)=3-x 3x的值域为 .
【答案】 (0,1]
【解析】 当x≤0时,3-x≥3x,当x>0时,3-x<3x,
所以f(x)=3-x 3x=
当x≤0时,0<3x≤1,当x>0时,0<3-x<1,
所以函数f(x)的值域是(0,1].
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【课程标准要求】 1.掌握指数函数的性质并能利用指数函数的图象和性质解决与单调性、比较大小等相关的问题,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.2.通过本节内容的学习,进一步体会指数函数图象和性质在研究数学问题中的应用,提升数学抽象的核心素养.
题型一 指数函数性质的应用
角度1 利用指数函数的单调性比较大小
[例1] 比较下列各题中两个数的大小.
(1)1.52.5和1.53.2;(2)0.6-1.2和0.6-1.5;
(3)1.70.2和0.92.1;(4)a1.1与a0.3(a>0,且a≠1).
【解】 (1)1.52.5,1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值.因为底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数.因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
(2)0.6-1.2,0.6-1.5可看作函数y=0.6x的两个函数值.因为函数y=0.6x在R上是减函数,且-1.2>
-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.
(3)由指数函数的性质,得1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,所以1.70.2>0.92.1.
(4)当a>1时,y=ax在R上是增函数,故a1.1>a0.3;当0指数幂的比较大小问题的三种类型及解法
易错警示:若待比较大小的两个指数幂的底数含参数,要注意分类讨论.
[变式训练] (1)若a=20.6,b=40.4,c=0.83,则( )
A.cC.a(2)设a=(),b=()2,c=(),d=(),则a,b,c,d的大小关系是( )
A.a>c>b>d B.c>a>d>b
C.c>a>b>d D.c>d>a>b
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)因为a=20.6,b=40.4=20.8,且指数函数y=2x是定义域R上的增函数,所以1=20<
20.6<20.8,即1(2)由指数函数y=()x是增函数,得()>()0=1.由指数函数y=()x是减函数,得()<()0=1,故c=()>1>()=a.
因为幂函数y=在第一象限内单调递增,所以a=()>()=d.又指数函数y=()x为减函数,所以d=()>()2=b.
综上可得c>a>d>b.故选B.
角度2 利用指数函数的性质解指数不等式
[例2] (1)解不等式:()3x-1≤2;
(2)已知0,且a≠1),求x的取值范围.
【解】 (1)因为2=()-1,
所以原不等式可以转化为()3x-1≤()-1.
因为y=()x在R上是减函数,
所以3x-1≥-1,所以x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)①当0所以x2-3x+1>x+6.
所以x2-4x-5>0,
解得x<-1或x>5.
②当a>1时,函数f(x)=ax在R上是增函数,
所以x2-3x+1所以x2-4x-5<0,
解得-1综上所述,当05};
当a>1时,不等式的解集是{x|-1指数不等式的常见类型及求解方法
(1)af(x)>ag(x)或af(x)解法:af(x)>ag(x) 或
af(x)(2)形如ax>b的不等式.注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解.
[变式训练] 若不等式ax+1>()5-3x(a>0,且a≠1)的解集为A,且2∈A,求A.
【解】 因为2∈A,
所以a2+1>()5-6=a,即a3>a,因此a>1.
由于ax+1>()5-3x,所以ax+1>a3x-5.当a>1时,y=ax为增函数,可得x+1>3x-5,所以x<3.因此A={x|x<3}.
角度3 形如y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数的单调性
[例3] 函数f(x)=()的单调递增区间为( )
A.(-∞,] B.(-∞,]
C.[,+∞) D.[,+∞)
【答案】 A
【解析】 由x2-x-1≥0,得x≤或x≥.
因为函数t=x2-x-1在x∈(-∞,]上单调递减,在x∈[,+∞)上单调递增,而函数y=()t在t∈[0,+∞)上单调递减,所以函数f(x)=()的单调递增区间为(-∞,].故选A.
(1)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考察f(u)和φ(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y=f(φ(x))的单调性.
(2)指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0[变式训练] 若函数f(x)=在区间(0,1)上单调递增,则a的取值范围是 .
【答案】 [0,+∞)
【解析】 因为函数y=2x在R上单调递增,要使函数f(x)=在区间(0,1)上单调递增,则需y=x2+ax在区间(0,1)上单调递增,即-≤0,即a≥0,所以a的取值范围是[0,+∞).
题型二 指数(型)函数的定义域和值域
[例4] 求下列函数的定义域和值域.
(1)y=;(2)y=();
(3)y=;(4)y=4x+2x+1+3.
【解】 (1)由x-4≠0,得x≠4,
所以函数的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞).
因为x-4≠0,即≠0,所以≠1,
故函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)显然函数的定义域为R.
令t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,
因为y=()t在R上为减函数,
所以由t≤1可得()≥()1=,故函数y=()的值域为[,+∞).
(3)由32x-1-≥0,得32x-1≥=3-2,
所以2x-1≥-2,解得x≥-,
故函数的定义域为[-,+∞).
又32x-1-≥0,所以y≥0,即函数的值域为[0,+∞).
(4)函数的定义域为R.
由题意,得y=4x+2x+1+3=(2x+1)2+2,
由于2x>0,所以(2x+1)2>1,
所以y=4x+2x+1+3的值域是(3,+∞).
指数(型)函数的定义域、值域的求法
(1)函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.
(2)函数y=af(x)的值域的求解方法如下:
①换元,令t=f(x).
②求t=f(x)的定义域,x∈D.
③求t=f(x)的值域,t∈M.
④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
(3)关于ax(a>0,且a≠1)的二次函数问题,可利用换元法转化为二次函数问题,要注意换元后新元的取值范围.
[变式训练] 求下列函数的定义域、值域.
(1)y=;(2).
【解】 (1)因为x-1≥0,所以x≥1,
所以函数的定义域为[1,+∞).
又当x≥1时,-≤0,
所以≤30=1.
所以0所以函数的值域为(0,1].
(2)因为1-2x≥0,
所以2x≤1=20.
所以x≤0.所以函数的定义域为(-∞,0].
由2x>0可知-2x<0,1-2x<1.结合1-2x≥0,可知函数y=的值域为[0,1).
题型三 指数(型)函数的奇偶性
[例5] 设函数f(x)=a·2x-2-x(a∈R).
(1)若函数y=f(x)为奇函数,求方程f(x)+=0的实根;
(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2-x在x∈[0,1]上的最大值为-2,求实数a的值.
【解】 (1)因为函数f(x)=a·2x-2-x为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a·2-x-2x=-(a·2x-2-x).所以(a-1)·(2x+2-x)=0.因为2x+2-x≠0,所以a-1=0,即a=1,经检验得f(x)=2x-2-x.由方程f(x)+=0,得2x-+=0,化简得2(2x)2+3·2x-2=0,解得2x=或2x=-2(舍去),所以x=-1.所以方程f(x)+=0的实根为-1.
(2)h(x)=a·2x+4x=(2x)2+a·2x.设t=2x,由x∈[0,1],得t∈[1,2].令H(t)=h(x),则H(t)=t2+at,t∈[1,2].函数H(t)的图象的对称轴为直线t=-,当-≤,即a≥-3时,H(t)max=H(2)=22+2a=-2,所以a=
-3;当->,即a<-3时,H(t)max=H(1)=12+a=-2,所以a=-3,舍去.
综上,实数a的值为-3.
(1)涉及由指数函数通过四则运算构成的含参数函数的奇偶性求参数时,可利用奇偶函数的解析式特征,结合指数幂的运算性质求解.
(2)涉及由指数函数通过四则运算构成的函数单调性的证明,可利用函数单调性的定义,结合指数函数的值域为(0,+∞)证明.
[变式训练] 已知函数f(x)=+a为奇函数,则常数a= ,f(1)= .
【答案】 - -
【解析】 因为函数f(x)=+a为奇函数,所以f(0)=0.所以+a=0,a=-,经验证a=-符合题意,即f(x)=-,所以f(1)=-.
当堂检测
1.下列判断正确的是( )
A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83
C.π2< D.0.90.3>0.90.5
【答案】 D
【解析】 因为函数y=0.9x是减函数,且0.5>0.3,
所以0.90.3>0.90.5.故选D.
2.函数y=()1-x的单调递增区间为( )
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
【答案】 A
【解析】 由已知可得,函数的定义域为R.设u=1-x,则y=()u.
因为u=1-x在(-∞,+∞)上为减函数,
y=()u在(-∞,+∞)上为减函数,
所以y=()1-x在(-∞,+∞)上是增函数.故选A.
3.若()2a-1<()3-2a,则实数a的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,)
【答案】 A
【解析】 因为y=()x在R上是减函数,
且()2a-1<()3-2a,所以2a-1>3-2a.
所以a>1.故选A.
4.已知函数y=ax-2(a>0,且a≠1,-1≤x≤1)的值域是[-,1],则实数a= .
【答案】 3或
【解析】 当a>1时,函数y=ax-2(a>0,且a≠1,-1≤x≤1)是增函数,则值域是[a-1-2,a-2],
所以 a=3;当00,且a≠1,-1≤x≤1)是减函数,则值域是[a-2,a-1-2],所以 a=.
综上所述,实数a=3或.
基础巩固
1.若2x+1<1,则x的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)
【答案】 D
【解析】 2x+1<1=20.因为函数y=2x为增函数,所以x+1<0.所以x<-1.所以x的取值范围为(-∞,-1).故选D.
2.函数y=()|x|的值域为( )
A.{y|y>0} B.{y|y≤1}
C.{y|y≥1} D.{y|0【答案】 D
【解析】 由于|x|≥0,且y=()|x|为偶函数,结合其图象(图略)知0故选D.
3.设a=30.8,b=()-0.7,c=0.80.7,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.c>b>a
【答案】 A
【解析】 因为b=()-0.7=30.7,y=3x在R上单调递增,所以30.8>30.7>30.所以a>b>1.
因为y=0.8x在R上单调递减,所以0.80.7<0.80=1.所以a>b>c.故选A.
4.函数f(x)=()的单调递增区间为( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=(),0<<1,所以f(x)的单调递增区间为u(x)=x2-1的单调递减区间,即(-∞,0].故选A.
5.设a∈R.若函数f(x)=(a-1)x为指数函数,且f(2)>f(3),则a的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(-∞,2) D.(-∞,1)∪(1,2)
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=(a-1)x为指数函数,f(2)>f(3),所以函数f(x)在R上单调递减,故06.已知奇函数f(x)=aex-在R上为增函数,则a等于( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】 A
【解析】 因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,
即a-=0,解得a=1或a=-1.
当a=1时,f(x)=ex-,函数定义域为R,由函数y=ex和y=-都是R上的增函数,得f(x)在 R上为增函数,且f(-x)=e-x-=-ex=-f(x),满足函数为奇函数;
当a=-1时,f(x)=-ex+在R上为减函数,不合题意.所以a=1.故选A.
7.已知函数y=的定义域是(-∞,0],则实数a的取值范围为 .
【答案】 (0,1)
【解析】 由ax-1≥0,得ax≥1=a0.
因为x∈(-∞,0],由指数函数的性质知08.函数y=()的值域是 .
【答案】 (0,]
【解析】 设g(x)=x2+2x+3,则g(x)=(x+1)2+2≥2,故0()的值域为(0,].
9.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过坐标原点.
(1)求b的值;
(2)设f(x)在区间[-1,1]上的最大值为m,最小值为n,若m+3n=0,求a的值.
【解】 (1)因为f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象过坐标原点,
所以f(0)=1+b=0,解得b=-1.
(2)若0所以m=f(-1),n=f(1),
所以f(-1)+3f(1)=0,即-1+3(a-1)=0,解得a=(a=1舍去).
若a>1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,
所以m=f(1),n=f(-1),
所以f(1)+3f(-1)=0,即a-1+3(-1)=0,解得a=3(a=1舍去).
综上,a的值为或3.
10.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(-2,9).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(2m-1)-f(m+3)>0,求实数m的取值范围.
【解】 (1)根据题意,指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)过点(-2,9),
所以f(-2)=a-2==9,解得a=(负值已舍去),所以函数f(x)的解析式为f(x)=()x.
(2)若f(2m-1)-f(m+3)>0,
则f(2m-1)>f(m+3),
所以()2m-1>()m+3.
由指数函数的单调性知,f(x)=()x在R上单调递减,所以2m-1所以实数m的取值范围是(-∞,4).
能力提升
11.(多选题)已知函数f(x)=a()|x|+b的图象过原点,且无限接近直线y=1但又不与该直线相交,则( )
A.a+b=0
B.f(x)=()|x|-1
C.f(x)是偶函数
D.f(x)在(-∞,0]上单调递增
【答案】 AC
【解析】 因为函数f(x)=a()|x|+b的图象过原点,所以a()0+b=0 a+b=0,A项正确;因为f(x)的图象无限接近直线y=1,所以b=1,从而a=-1,所以f(x)=-()|x|+1,B项错误;因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,C项正确;当x>0时,f(x)=-()x+1在[0,+∞)上单调递增,因为偶函数的图象关于y轴对称,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,D项错误.故选A,C.
12.函数f(x)=()x-()x+2在[-1,2]的最小值是 .
【答案】
【解析】 令t=()x,x∈[-1,2],
则t∈[,2],故y=t2-t+2=(t-)2+,
当t=,即x=1时,y取得最小值.
13.已知函数f(x)=(-)x.
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明.
(3)求证:f(x)<0.
(1)【解】 由1-4x≠0,解得x≠0,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.
(2)【解】 f(x)为偶函数,证明如下:
f(x)=·x=·x(x≠0),
因为f(-x)=·(-x)=-·
x=·x=f(x),所以f(x)为偶函数.
(3)【证明】 因为x≠0,
所以当x>0时,1-4x<0,1+4x>0,
所以·x<0,
当x<0时,由f(x)为偶函数,
得f(x)=f(-x)<0.
综上,f(x)<0.
应用创新
14.定义运算:a b=则函数f(x)=3-x 3x的值域为 .
【答案】 (0,1]
【解析】 当x≤0时,3-x≥3x,当x>0时,3-x<3x,
所以f(x)=3-x 3x=
当x≤0时,0<3x≤1,当x>0时,0<3-x<1,
所以函数f(x)的值域是(0,1].
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第2课时 指数函数的图象和性质的应用
1.掌握指数函数的性质并能利用指数函数的图象和性质解决与单调性、比较大小等相关的问题,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.2.通过本节内容的学习,进一步体会指数函数图象和性质在研究数学问题中的应用,提升数学抽象的核心素养.
【课程标准要求】
题型一 指数函数性质的应用
【解】 (1)1.52.5,1.53.2可看作函数y=1.5x的两个函数值.因为底数1.5>1,所以函数y=1.5x在R上是增函数.因为2.5<3.2,所以1.52.5<1.53.2.
角度1 利用指数函数的单调性比较大小
[例1] 比较下列各题中两个数的大小.
(1)1.52.5和1.53.2;
(2)0.6-1.2和0.6-1.5;
【解】 (2)0.6-1.2,0.6-1.5可看作函数y=0.6x的两个函数值.因为函数y=0.6x在R上是减函数,且-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.
(3)1.70.2和0.92.1;
【解】 (3)由指数函数的性质,得1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1,所以1.70.2>0.92.1.
(4)a1.1与a0.3(a>0,且a≠1).
【解】 (4)当a>1时,y=ax在R上是增函数,故a1.1>a0.3;当0·解题策略·
指数幂的比较大小问题的三种类型及解法
易错警示:若待比较大小的两个指数幂的底数含参数,要注意分类讨论.
[变式训练] (1)若a=20.6,b=40.4,c=0.83,则( )
A.cC.aA
【解析】 (1)因为a=20.6,b=40.4=20.8,且指数函数y=2x是定义域R上的增函数,所以1=20<20.6<20.8,即1<0.80=1,即c<1.综上,cB
角度2 利用指数函数的性质解指数不等式
【解】 (2)①当0所以x2-3x+1>x+6.
所以x2-4x-5>0,
解得x<-1或x>5.
②当a>1时,函数f(x)=ax在R上是增函数,
所以x2-3x+1所以x2-4x-5<0,
解得-1综上所述,当05};
当a>1时,不等式的解集是{x|-1·解题策略·
指数不等式的常见类型及求解方法
·解题策略·
(2)形如ax>b的不等式.注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助函数y=ax的单调性求解.
角度3 形如y=af(x)(a>0,且a≠1)型函数的单调性
A
·解题策略·
(1)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=
f(u),u=φ(x),通过考察f(u)和φ(x)的单调性,利用同增异减原则,求出y=f(φ(x))的单调性.
(2)指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0<
a<1;二是f(x)的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.
[0,+∞)
题型二 指数(型)函数的定义域和值域
(4)y=4x+2x+1+3.
【解】 (4)函数的定义域为R.
由题意,得y=4x+2x+1+3=(2x+1)2+2,
由于2x>0,所以(2x+1)2>1,
所以y=4x+2x+1+3的值域是(3,+∞).
·解题策略·
指数(型)函数的定义域、值域的求法
(1)函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.
(2)函数y=af(x)的值域的求解方法如下:
①换元,令t=f(x).
②求t=f(x)的定义域,x∈D.
·解题策略·
③求t=f(x)的值域,t∈M.
④利用y=at的单调性求y=at,t∈M的值域.
(3)关于ax(a>0,且a≠1)的二次函数问题,可利用换元法转化为二次函数问题,要注意换元后新元的取值范围.
题型三 指数(型)函数的奇偶性
(2)若函数h(x)=f(x)+4x+2-x在x∈[0,1]上的最大值为-2,求实数a的值.
·解题策略·
(1)涉及由指数函数通过四则运算构成的含参数函数的奇偶性求参数时,可利用奇偶函数的解析式特征,结合指数幂的运算性质求解.
(2)涉及由指数函数通过四则运算构成的函数单调性的证明,可利用函数单调性的定义,结合指数函数的值域为(0,+∞)证明.
当堂检测
D
【解析】 因为函数y=0.9x是减函数,且0.5>0.3,
所以0.90.3>0.90.5.故选D.
A
A