第2课时 对数函数性质的应用
【课程标准要求】 通过运用对数函数的性质解决相关问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养.
题型一 对数函数的单调性及应用
角度1 利用单调性比较大小
[例1] 比较下列各题中两个数的大小.
(1)lo0.2与log21.2;
(2)log43与log0.250.5;
(3)log3与log5;
(4)log1.11.7与log0.21.7.
【解】 (1)lo0.2=lo=log25.
因为y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
所以log25>log21.2,
所以lo0.2>log21.2.
(2)因为log0.250.5=lo=log42
所以log43>log0.250.5.
(3)log3=log32-log33=log32-1,
log5=log56-1.
因为log56>log33=1>log32,
所以log56>log32,所以log32-1所以log3(4)因为log1.11.7>log1.11=0,
log0.21.7log0.21.7.
比较两个对数值大小的方法
(1)logab与logac型(同底数).
①构造函数y=logax;
②判断b与c的大小关系;
③利用y=logax的单调性比较大小.
(2)logac与logbc型(同真数).
①在同一平面直角坐标系中作出y=logax与 y=logbx的图象;
②作直线x=c与两图象分别交于A,B两点;
③根据A,B点高低判断对数值的大小.
(3)logab与logcd型(底数不同,真数不同).
①取中间值,通常为1,0,logad或logcb;
②把两个对数值与中间值进行比较;
③利用不等关系的传递性,间接得到对数值的大小关系.
[变式训练] 比较下列各题中两个数的大小:
(1)loga2.7,loga2.8(a>0,且a≠1);
(2)log34,log65;
(3)log0.37,log97.
【解】 (1)当a>1时,由函数y=logax的单调性可知loga2.7当0loga2.8.
(2)log34>log33=1,log65所以log34>log65.
(3)log0.37log91=0,
所以log0.37角度2 对数不等式的解法
[例2] (1)解不等式log2(x+1)>log2(1-x);
(2)若loga<1,求实数a的取值范围.
【解】 (1)原不等式等价于
解得0所以原不等式的解集为(0,1).
(2)若a>1,则loga<1=logaa,a>,所以a>1.
若0所以0综上所述,实数a的取值范围是(0,)∪(1,+∞).
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如logf(x)a>logg(x)a[f(x),g(x)>0且不等于1,a>0]的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
[变式训练] 函数y= 的定义域为( )
A.[-,0)∪(,1] B.(-,0)∪(,1]
C.[-,0)∪(,1) D.(-,0)∪(,1)
【答案】 A
【解析】 由题可知log0.5(4x2-3x)≥0,
由对数函数的单调性,可得0<4x2-3x≤1,
解得-≤x<0或所以y=的定义域为[-,0)∪(,1].故选A.
角度3 复合型对数函数的单调性
[例3] (1)函数f(x)=log2(-x2+6x-5)的单调递减区间是( )
A.(-∞,3] B.(1,3]
C.[3,+∞) D.[3,5)
(2)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)设y=log2t,t=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,令-x2+6x-5>0 x2-6x+5<0,解得1(2)由x2-4x-5>0得x>5或x<-1,
所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),
因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,
所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5.
故选D.
形如f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调区间的求法
(1)先求g(x)>0的解集[也就是函数f(x)的定义域].
(2)当底数a>1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间,g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间.
(3)当底数00这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间,g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间.
易错警示:含参数的对数函数的单调性问题,既要考虑对数的真数对应函数的单调性,还要考虑真数在所给区间上要满足大于0的性质.
[变式训练] (1)函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
(2)若y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 .
【答案】 (1)D (2)(1,3]
【解析】 (1)函数y=f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),因为函数y=f(x)是由y=lot与t=g(x)
=x2-4复合而成,又y=lot在定义域上单调递减,g(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,所以函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-2).故选D.
(2)因为y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)上单调递增,
所以
解得1题型二 对数(型)函数的值域
[例4] (1)函数f(x)=lo(x2+2x+3)的值域是 .
(2)函数f(x)=log2·log4(4x2)的最小值为 .
【答案】 (1)(-∞,-1] (2)-
【解析】 (1)函数f(x)=lo(x2+2x+3)=lo[(x+1)2+2],
因为(x+1)2+2≥2,
所以lo[(x+1)2+2]≤lo2=-1,
所以函数f(x)的值域是(-∞,-1].
(2)由题意知函数f(x)的定义域是(0,+∞),log2x∈R,
f(x)=log2·log4(4x2)=(log2x-2)(1+log4x2)=(log2x-2)(1+log2x)=(log2x)2-log2x-2=(log2x-)2-,
所以当x=时,f(x)min=-.
[变式探究] (1)求本例(1)中的函数f(x)在区间[-3,1]上的值域;
(2)本例(2)中,函数解析式不变,函数的定义域为[2,4],求函数的值域.
【解】 (1)因为x∈[-3,1],
所以2≤x2+2x+3≤6,
所以lo6≤lo(x2+2x+3)≤lo2,
即-log26≤f(x)≤-1,
所以f(x)的值域为[-log26,-1].
(2)当x∈[2,4]时,1≤log2x≤2,
因此由f(x)=(log2x-)2-可知当log2x=1时,函数取得最小值-2,当log2x=2时,函数取得最大值0,因此函数的值域为[-2,0].
y=logaf(x)型函数值域(最值)的求法
(1)在函数y=logaf(x)(a>0,a≠1,下同)的定义域中确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数的值域.
(2)在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值.
易错警示:若底数a的值不确定,需要分类讨论.
【学海拾贝】
对数函数性质的综合应用
求解对数函数与函数性质的综合应用问题,首先应根据对数的真数大于0的条件,确定函数的定义域,然后结合要研究的函数性质特征求解,尤其涉及对数型复合函数的单调性问题,要注意“复合函数”的单调性法则的应用.
[典例探究] 已知函数f(x)=ln(e-x)-ln(e+x),e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(3)已知f(1+2m)+f(-m)≥0,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由题意,可得
解得-e所以函数f(x)的定义域为(-e,e).
(2)函数f(x)是奇函数,证明如下:
f(x)的定义域(-e,e)关于原点对称,
因为f(x)=ln(e-x)-ln(e+x),
所以f(-x)=ln(e+x)-ln(e-x)=-[ln(e-x)-ln(e+x)]=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
(3)f(x)=ln(e-x)-ln(e+x)=ln =ln(-1+),
令t=-1+,
因为t=-1+在区间(-e,e)上单调递减,y=ln t为增函数,
所以函数f(x)=ln(-1+)在定义域(-e,e)上为减函数,又函数f(x)是奇函数,
所以f(1+2m)≥-f(-m)=f(m),
所以解得-所以实数m的取值范围为(-,-1].
[应用探究] 已知函数f(x)=log2(x2+ax+3)-2.
(1)若a=2,求函数f(x)的值域;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由题知f(x)=log2(x2+2x+3)-2,因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,所以f(x)=log2(x2+2x+3)-
2≥log22-2=-1,即函数f(x)的值域为[-1,+∞).
(2)因为函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,又函数y=log2u-2在定义域上单调递增,所以u=x2+ax
+3在(1,+∞)上单调递增,且u>0在(1,+∞)上恒成立,所以-≤1且12+1×a+3≥0,解得a≥-2,即实数a的取值范围为[-2,+∞).
当堂检测
1.设函数f(x)=log2x,若f(a+1)<2,则实数a的取值范围为( )
A.(-1,3) B.(-∞,3)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=log2x在定义域内单调递增,f(4)=log24=2,
所以不等式f(a+1)<2=f(4)等价于02.函数f(x)=log2(1+2x)的单调递增区间是 .
【答案】 (-,+∞)
【解析】 易知函数f(x)的定义域为(-,+∞),
又因为函数y=log2x和y=1+2x都是增函数,
所以函数f(x)的单调递增区间是(-,+∞).
3.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a= .
【答案】 4
【解析】 因为a>1,所以函数f(x)=logax在区间[a,2a]上单调递增,
所以loga(2a)-logaa=,即loga2=,
所以=2,所以a=4.
4.已知函数f(x)=lg (ax2+2x+1).
(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为函数f(x)的值域为R,
所以u=ax2+2x+1的值域包含区间(0,+∞).
当a<0时,显然不可能;
当a=0时,u=2x+1∈R成立;
当a>0时,若u=ax2+2x+1的值域包含区间(0,+∞),
则Δ=4-4a≥0,解得0综上,可知a的取值范围是[0,1].
(2)由已知,u=ax2+2x+1的值恒为正数,
所以解得a>1,
故a的取值范围是(1,+∞).
基础巩固
1.已知集合A={x|log3(x+1)≤1},B={x|(x+3)·(1-x)≥0},则A∩B等于( )
A.(-1,1] B.[-3,2]
C.[-3,1] D.[1,2]
【答案】 A
【解析】 令解得-12.函数y=ln x,x∈(1,e3]的值域是( )
A.(0,+∞) B.(0,3]
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
【答案】 B
【解析】 由于对数函数y=ln x在其定义域上是增函数,当x∈(1,e3]时,ln 13.已知a=log35,b=log23,c=,则( )
A.aC.b【答案】 D
【解析】 因为2log23=log29>log28=3,
所以log23>,
又2log35=log325因为=,所以=log3=log34.点(2,4)在函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象上,则f()等于( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
【答案】 C
【解析】 点(2,4)在函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数即y=ax的图象上,所以4=a2,又a>0,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f()=log2=-1.
故选C.
5.若y=loga(3a-1)恒为正值,则a的取值范围为( )
A.(,+∞) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(,)∪(1,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为y=loga(3a-1)恒为正值,
所以或
解得1.
故选D.
6.(多选题)已知a>0,b>0,且a≠1,b≠1,若logab<1,则下列不等式可能成立的是( )
A.(b-1)(b-a)>0
B.(b-1)(a-b)>0
C.(a-1)(b-a)>0
D.(a-1)(a-b)>0
【答案】 ABD
【解析】 若a>1,因为logab<1=logaa,所以b0,故D正确;
当b<10,故A正确;
当10,故B正确;
若0a.
则(a-1)(a-b)>0,故C错误.故选A,B,D.
7.函数f(x)=ln (x+2)+ln (4-x)的单调递减区间是 .
【答案】 (1,4)
【解析】 由得-2f(x)=ln (x+2)+ln (4-x)=ln (-x2+2x+8)
=ln [-(x-1)2+9],
设u=-(x-1)2+9,
又y=ln u是增函数,
u=-(x-1)2+9在(1,4)上单调递减,
因此f(x)的单调递减区间是(1,4).
8.设0loga(3x+5),则实数x的取值范围是 .
【答案】 (-1,4)
【解析】 因为0loga(3x+5),
所以解得-1所以x的取值范围是(-1,4).
9.已知函数f(x)=log2(1+x2).
求证:(1)函数f(x)是偶函数;
(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
【证明】 (1)函数f(x)的定义域是R,f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(2)设x1,x2为区间(0,+∞)内的任意两个实数,且x1由于0则0<<,0<1+<1+,
所以0<<1,
所以log2<0,
所以f(x1)所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
10.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,求a的值;
(2)解关于x的不等式lo(-ax-1)>lo(a-x2).
【解】 (1)因为y=logax在[a,2a]上为单调函数,
且函数y=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,
所以|loga(2a)-logaa|=|loga2|=1,
解得a=2或.
(2)因为函数y=lox是(0,+∞)上的减函数,
所以即
当a>1时,->-1>-,原不等式解集为(-1,-).
当0综上所述,a>1时,解集为(-1,-),0能力提升
11.已知函数f(x)=lg(6x-x2)在(a,a+1)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.[0,2] B.(0,2]
C.[3,5] D.[3,5)
【答案】 A
【解析】 由6x-x2>0,得0所以f(x)的定义域为(0,6),
又y=6x-x2在(0,3)上单调递增,且f(x)=lg(6x-x2)在(a,a+1)上单调递增,所以解得0≤a≤2,即a的取值范围是[0,2].故选A.
12.已知函数f(x)=lg[x2-2(a-1)x+5]在区间(1,+∞)上有最小值,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (2,+1)
【解析】 函数t=x2-2(a-1)x+5为开口向上的抛物线,对称轴为直线x=a-1,函数f(x)=lg[x2
-2(a-1)x+5]在区间(1,+∞)上有最小值,则t=x2-2(a-1)x+5在(1,+∞)上先减后增,
所以
解得213.已知函数f(x)=log2(-1)为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求满足f(x)【解】 (1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
则log2(-1)=-log2(-1),即
log2()=-log2()=log2(),
则a=4.
经检验,a=4满足题意,所以a=4.
(2)由(1)知,f(x)=log2(-1)=log2,
由>0,即(x-2)(x+2)<0,解得-2由f(x)即log2即log2(x+2)-log2(2-x)lox=log2x2,即解得-2又0故x的取值范围为(0,1).
应用创新
14.已知函数h(x)=logm在定义域[a,b]上为减函数,且值域为[logmm(b-1),logmm(a-1)],则实数m的取值范围为 .
【答案】 (0,)
【解析】 因为h(x)=logm=logm(1-)为减函数,
所以h(x)在[a,b]上的值域为[h(b),h(a)],
即
即
故a,b为方程=m(x-1)在x>4上的两个根,即mx2+(3m-1)x+4-4m=0有两个大于4的根,
设u(x)=mx2+(3m-1)x+4-4m,对称轴方程为x=,
有Δ>0且>4且u(4)>0,即
解得021世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 对数函数性质的应用
基础巩固
1.已知集合A={x|log3(x+1)≤1},B={x|(x+3)·(1-x)≥0},则A∩B等于( )
A.(-1,1] B.[-3,2]
C.[-3,1] D.[1,2]
【答案】 A
【解析】 令解得-12.函数y=ln x,x∈(1,e3]的值域是( )
A.(0,+∞) B.(0,3]
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
【答案】 B
【解析】 由于对数函数y=ln x在其定义域上是增函数,当x∈(1,e3]时,ln 13.已知a=log35,b=log23,c=,则( )
A.aC.b【答案】 D
【解析】 因为2log23=log29>log28=3,
所以log23>,
又2log35=log325因为=,所以=log3=log34.点(2,4)在函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象上,则f()等于( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
【答案】 C
【解析】 点(2,4)在函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数即y=ax的图象上,所以4=a2,又a>0,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f()=log2=-1.
故选C.
5.若y=loga(3a-1)恒为正值,则a的取值范围为( )
A.(,+∞) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(,)∪(1,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为y=loga(3a-1)恒为正值,
所以或
解得1.
故选D.
6.(多选题)已知a>0,b>0,且a≠1,b≠1,若logab<1,则下列不等式可能成立的是( )
A.(b-1)(b-a)>0
B.(b-1)(a-b)>0
C.(a-1)(b-a)>0
D.(a-1)(a-b)>0
【答案】 ABD
【解析】 若a>1,因为logab<1=logaa,所以b0,故D正确;
当b<10,故A正确;
当10,故B正确;
若0a.
则(a-1)(a-b)>0,故C错误.故选A,B,D.
7.函数f(x)=ln (x+2)+ln (4-x)的单调递减区间是 .
【答案】 (1,4)
【解析】 由得-2f(x)=ln (x+2)+ln (4-x)=ln (-x2+2x+8)
=ln [-(x-1)2+9],
设u=-(x-1)2+9,
又y=ln u是增函数,
u=-(x-1)2+9在(1,4)上单调递减,
因此f(x)的单调递减区间是(1,4).
8.设0loga(3x+5),则实数x的取值范围是 .
【答案】 (-1,4)
【解析】 因为0loga(3x+5),
所以解得-1所以x的取值范围是(-1,4).
9.已知函数f(x)=log2(1+x2).
求证:(1)函数f(x)是偶函数;
(2)函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
【证明】 (1)函数f(x)的定义域是R,f(-x)=log2[1+(-x)2]=log2(1+x2)=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(2)设x1,x2为区间(0,+∞)内的任意两个实数,且x1由于0则0<<,0<1+<1+,
所以0<<1,
所以log2<0,
所以f(x1)所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
10.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1).
(1)若f(x)在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,求a的值;
(2)解关于x的不等式lo(-ax-1)>lo(a-x2).
【解】 (1)因为y=logax在[a,2a]上为单调函数,
且函数y=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1,
所以|loga(2a)-logaa|=|loga2|=1,
解得a=2或.
(2)因为函数y=lox是(0,+∞)上的减函数,
所以即
当a>1时,->-1>-,原不等式解集为(-1,-).
当0综上所述,a>1时,解集为(-1,-),0能力提升
11.已知函数f(x)=lg(6x-x2)在(a,a+1)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.[0,2] B.(0,2]
C.[3,5] D.[3,5)
【答案】 A
【解析】 由6x-x2>0,得0所以f(x)的定义域为(0,6),
又y=6x-x2在(0,3)上单调递增,且f(x)=lg(6x-x2)在(a,a+1)上单调递增,所以解得0≤a≤2,即a的取值范围是[0,2].故选A.
12.已知函数f(x)=lg[x2-2(a-1)x+5]在区间(1,+∞)上有最小值,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (2,+1)
【解析】 函数t=x2-2(a-1)x+5为开口向上的抛物线,对称轴为直线x=a-1,函数f(x)=lg[x2
-2(a-1)x+5]在区间(1,+∞)上有最小值,则t=x2-2(a-1)x+5在(1,+∞)上先减后增,
所以
解得213.已知函数f(x)=log2(-1)为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求满足f(x)【解】 (1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
则log2(-1)=-log2(-1),即
log2()=-log2()=log2(),
则a=4.
经检验,a=4满足题意,所以a=4.
(2)由(1)知,f(x)=log2(-1)=log2,
由>0,即(x-2)(x+2)<0,解得-2由f(x)即log2即log2(x+2)-log2(2-x)lox=log2x2,即解得-2又0故x的取值范围为(0,1).
应用创新
14.已知函数h(x)=logm在定义域[a,b]上为减函数,且值域为[logmm(b-1),logmm(a-1)],则实数m的取值范围为 .
【答案】 (0,)
【解析】 因为h(x)=logm=logm(1-)为减函数,
所以h(x)在[a,b]上的值域为[h(b),h(a)],
即
即
故a,b为方程=m(x-1)在x>4上的两个根,即mx2+(3m-1)x+4-4m=0有两个大于4的根,
设u(x)=mx2+(3m-1)x+4-4m,对称轴方程为x=,
有Δ>0且>4且u(4)>0,即
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第2课时 对数函数
性质的应用
通过运用对数函数的性质解决相关问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
题型一 对数函数的单调性及应用
角度1 利用单调性比较大小
(2)log43与log0.250.5;
(4)log1.11.7与log0.21.7.
【解】 (4)因为log1.11.7>log1.11=0,
log0.21.7log0.21.7.
·解题策略·
比较两个对数值大小的方法
(1)logab与logac型(同底数).
①构造函数y=logax;
②判断b与c的大小关系;
③利用y=logax的单调性比较大小.
(2)logac与logbc型(同真数).
①在同一平面直角坐标系中作出y=logax与 y=logbx的图象;
②作直线x=c与两图象分别交于A,B两点;
③根据A,B点高低判断对数值的大小.
·解题策略·
(3)logab与logcd型(底数不同,真数不同).
①取中间值,通常为1,0,logad或logcb;
②把两个对数值与中间值进行比较;
③利用不等关系的传递性,间接得到对数值的大小关系.
[变式训练] 比较下列各题中两个数的大小:
(1)loga2.7,loga2.8(a>0,且a≠1);
【解】 (1)当a>1时,由函数y=logax的单调性可知loga2.7当0loga2.8.
(2)log34,log65;
【解】 (2)log34>log33=1,log65所以log34>log65.
(3)log0.37,log97.
【解】 (3)log0.37log91=0,
所以log0.37角度2 对数不等式的解法
[例2] (1)解不等式log2(x+1)>log2(1-x);
·解题策略·
对数不等式的三种考查类型及解法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(b=logaab),再借助y=logax的单调性求解.
(3)形如logf(x)a>logg(x)a[f(x),g(x)>0且不等于1,a>0]的不等式,可利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用函数图象求解.
A
角度3 复合型对数函数的单调性
[例3] (1)函数f(x)=log2(-x2+6x-5)的单调递减区间是( )
A.(-∞,3] B.(1,3]
C.[3,+∞) D.[3,5)
D
【解析】 (1)设y=log2t,t=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,令-x2+6x-5>0 x2-6x+5<0,解得1(2)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(5,+∞) D.[5,+∞)
D
【解析】 (2)由x2-4x-5>0得x>5或x<-1,
所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞),
因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,
所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5.
故选D.
·解题策略·
形如f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调区间的求法
(1)先求g(x)>0的解集[也就是函数f(x)的定义域].
(2)当底数a>1时,在g(x)>0这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间,g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间.
(3)当底数00这一前提下,g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间,g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间.
易错警示:含参数的对数函数的单调性问题,既要考虑对数的真数对应函数的单调性,还要考虑真数在所给区间上要满足大于0的性质.
D
(2)若y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是
.
(1,3]
题型二 对数(型)函数的值域
(-∞,-1]
[变式探究] (1)求本例(1)中的函数f(x)在区间[-3,1]上的值域;
(2)本例(2)中,函数解析式不变,函数的定义域为[2,4],求函数的值域.
·解题策略·
y=logaf(x)型函数值域(最值)的求法
(1)在函数y=logaf(x)(a>0,a≠1,下同)的定义域中确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数的值域.
(2)在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值.
易错警示:若底数a的值不确定,需要分类讨论.
【学海拾贝】
对数函数性质的综合应用
求解对数函数与函数性质的综合应用问题,首先应根据对数的真数大于0的条件,确定函数的定义域,然后结合要研究的函数性质特征求解,尤其涉及对数型复合函数的单调性问题,要注意“复合函数”的单调性法则的应用.
[典例探究] 已知函数f(x)=ln(e-x)-ln(e+x),e为自然对数的底数.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明你的结论;
【解】 (2)函数f(x)是奇函数,证明如下:
f(x)的定义域(-e,e)关于原点对称,
因为f(x)=ln(e-x)-ln(e+x),
所以f(-x)=ln(e+x)-ln(e-x)=-[ln(e-x)-ln(e+x)]=-f(x),
所以函数f(x)是奇函数.
(3)已知f(1+2m)+f(-m)≥0,求实数m的取值范围.
[应用探究] 已知函数f(x)=log2(x2+ax+3)-2.
(1)若a=2,求函数f(x)的值域;
【解】 (1)由题知f(x)=log2(x2+2x+3)-2,因为x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,所以f(x)=
log2(x2+2x+3)-2≥log22-2=-1,即函数f(x)的值域为[-1,+∞).
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
当堂检测
1.设函数f(x)=log2x,若f(a+1)<2,则实数a的取值范围为( )
A.(-1,3) B.(-∞,3)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
【解析】 因为函数f(x)=log2x在定义域内单调递增,f(4)=log24=2,
所以不等式f(a+1)<2=f(4)等价于0A
2.函数f(x)=log2(1+2x)的单调递增区间是 .
4
4.已知函数f(x)=lg (ax2+2x+1).
(1)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围;
【解】 (1)因为函数f(x)的值域为R,
所以u=ax2+2x+1的值域包含区间(0,+∞).
当a<0时,显然不可能;
当a=0时,u=2x+1∈R成立;
当a>0时,若u=ax2+2x+1的值域包含区间(0,+∞),
则Δ=4-4a≥0,解得0综上,可知a的取值范围是[0,1].
(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.
