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§3 对数函数
3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y=log2x的图象和性质
3.3 对数函数y=logax的图象和性质
第1课时 对数函数的概念和性质
1.理解对数函数的概念,提升数学抽象的核心素养.2.掌握对数函数的图象和简单性质,通过学习对数函数的图象和简单性质,提升数学抽象、直观想象的核心素养.3.了解对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
【课程标准要求】
知识点一 对数函数的概念
对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为以a为底的对数函数,记作x=logay.
习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成y=logax(a>0,且a≠1),其中a称为底数.特别地,称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
称对数函数y=logax(a>0,且a≠1)是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的 .
反函数
[思考1] 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域和值域与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域和值域有什么关系
提示:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域.
知识点二 对数函数的图象和性质
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表.
图象和性质 a>1 0
图象
定义域
值域 R
(0,+∞)
单调性 在(0,+∞)上是
增函数 在(0,+∞)上是
减函数
共点性 图象过定点 ,即当x=1时,y=0
函数值
特点 当x∈(0,1)时,y∈ ;
当x∈[1,+∞)时,y∈ 当x∈(0,1)时,y∈ ;
当x∈[1,+∞)时,y∈
对称性
(1,0)
(-∞,0)
[0,+∞)
(0,+∞)
(-∞,0]
x轴
[思考2] 对数函数的单调性与什么有关
提示:底数a与1的关系决定了对数函数的单调性.
当a>1时,对数函数在(0,+∞)上是增函数;当0题型一 对数函数的概念
[例1] 已知函数①y=4x;②y=logx2;③y=logπx;④y=log0.04x;⑤y=log3x+1;⑥y=
log2(x+1).其中是对数函数的是( )
A.①②③ B.③④⑤
C.③④ D.②④⑥
C
【解析】 根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a>0,且a≠1)形式的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数.易知,①是指数函数;②中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数;③y=logπx是对数函数;④y=log0.04x是对数函数;⑤⑥函数显然不是对数函数.故选C.
·解题策略·
判断一个函数是对数函数的方法
[变式训练] 若函数y=log(2a-1)[x+(a2-5a+4)]是对数函数,则a= .
4
[例2] 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=log(2x-1)(2-x);
题型二 对数(型)函数的定义域
·解题策略·
求对数(型)函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时,被开方数非负.
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
易错警示:定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于0;若自变量在底数上,应保证底数大于0且不等于1.
[变式训练] 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0,a≠1);
(2)f(x)=lg(3x2-5x).
题型三 对数(型)函数的图象
角度1 对数(型)函数图象过定点问题
[例3] 函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点( )
A.(1,1) B.(2,1) C.(1,2) D.(2,2)
B
【解析】 令x-1=1,则x=2,因此f(2)=1,所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1).
故选B.
·解题策略·
涉及与对数(型)函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=
klogag(x)+b(a>0,且a≠1),且g(m)=1,则f(x)的图象过定点P(m,b).
[变式训练] 若函数f(x)=mloga(x-b)+k的图象恒过定点(3,2),则k= ,
b= .
2
2
【解析】 因为f(x)=mloga(x-b)+k的图象恒过定点(3,2),所以3-b=1,k=2,
所以b=2,k=2.
角度2 对数(型)函数图象的识别
[例4] (1)函数y=-lg |x+1|的大致图象为( )
D
A B C D
(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
A
A B C D
·解题策略·
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得
到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
[变式训练] 函数y=log2(x+1)的图象大致是( )
C
A B C D
【解析】 函数y=log2(x+1)的图象是把函数y=log2x 的图象向左平移了1个单位长度得到的,定义域为(-1,+∞),过定点(0,0)且在(-1,+∞)上是增函数.故选C.
角度3 根据图象求解析式中的参数
[例5] 已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列结论正确的是( )
A.a>0,b<-1
B.a>0,-1C.0D.0D
【解析】 由图象知函数f(x)=loga(x-b)为减函数,所以00,即b>-1,又因为函数图象与y轴有交点,所以b<0,所以-1·解题策略·
判断与对数(型)函数有关的图象问题的方法
(1)弄清函数单调性;
(2)函数图象过定点;
(3)特殊值的确定;
(4)平移及对称变换.
[变式训练] 已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0C.01
D.0D
【解析】 因为函数单调递减,所以0当x=1时,loga(x+c)=loga(1+c)<0=loga1,
即1+c>1,所以c>0,
当x=0时,loga(x+c)=logac>0,
所以0当堂检测
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y=log3(x+1)
B.y=loga(2x)(a>0,且a≠1)
C.y=ln x
D.y=logax2(a>0,且a≠1)
C
【解析】 根据对数函数的定义可知只有y=ln x为对数函数.故选C.
D
【解析】 设此对数函数的解析式为y=logax(a>0,且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=loga16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x.故
选D.
B3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y=log2x的图象和性质
3.3 对数函数y=logax的图象和性质
第1课时 对数函数的概念和性质
基础巩固
1.函数f(x)=+ln x的定义域是( )
A.(0,+∞) B.(0,2]
C.(0,2)∪(2,+∞) D.[2,+∞)
【答案】 D
【解析】 若函数有意义,需满足所以x≥2,
函数的定义域为[2,+∞).故选D.
2.已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0,a≠1)恒过定点(m,n),则m+n等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 令2x-3=1,解得x=2,故f(2)=1+0=1,故m=2,n=1,故m+n=3.故选C.
3.函数y=log2(x+1)的图象大致是( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 函数y=log2(x+1)的图象是由函数y=log2x的图象向左平移了一个单位长度得到的,
定义域为(-1,+∞),
过定点(0,0),在(-1,+∞)上是增函数.故选C.
4.函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象如图所示,则a,b,c,d的大小顺序是( )
A.cC.c【答案】 A
【解析】 令4个函数取同样的函数值1,即1=logax,1=logbx,1=logcx,1=logdx,作出F(x)=1的图象从左到右依次与题图中函数图象交于A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1)(图略),所以c5.设正实数a,b,c分别满足a·2a=b·log3b=c·log2c=1,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
【答案】 B
【解析】 由已知可得=2a,=log3b,=log2c,
作出y=2x,y=log2x,y=log3x的图象如图所示,它们与y=交点的横坐标分别为a,c,b,由图象可得b>c>a.故选B.
6.(多选题)已知函数f(x)=(x-m)(x-n)的图象如图所示,则g(x)=logm(x+n)的图象可能是( )
A B C D
【答案】 AB
【解析】 由函数f(x)=(x-m)(x-n)的图象得m,n两个数一个大于1,一个大于0且小于1,当m>1,01时,g(x)在定义域内单调递减,g(0)=logmn<0,故A正确.故选A,B.
7.函数y=lo(3x-a)的定义域是(,+∞),则实数a= .
【答案】 2
【解析】 由y=lo(3x-a)知,3x-a>0,
即x>,所以=,即a=2.
8.若函数f(x)与g(x)=10x的图象关于直线y=x对称,则f(100)= .
【答案】 2
【解析】 因为函数f(x)与g(x)=10x的图象关于直线y=x对称,
所以两个函数互为反函数,则f(x)=lg x,所以f(100)=lg 100=2.
9.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m【解】 作出函数f(x)=|log2x|的图象,如图所示,得010.已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的反函数是其本身,求实数a的值.
【解】 (1)由8-2x>0,得2x<8,解得x<3,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,3).
(2)由y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1),得x=log2(8-ay),互换x,y,得y=log2(8-ax),所以函数f(x)的反函数为y=log2(8-ax).
又因为函数f(x)的反函数是其本身,所以a=2.
能力提升
11.已知lg a=-lg b≠0,则函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx的图象可能是( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 因为lg a+lg b=0,所以ab=1且a≠1,b≠1,则b=,从而g(x)=logbx=lox,f(x)=a-x=()x,
f(x)与g(x)互为反函数,图象关于直线y=x对称,所以C选项正确.故选C.
12.已知f(x)=的值域为R,那么实数a的取值范围是 .
【答案】 [-,)
【解析】 要使函数f(x)的值域为R,
则必须满足
即所以-≤a<.
13.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
【解】 (1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).
由题意得f(9)=loga9=2,
故a2=9,解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.
应用创新
14.(多选题)已知a>0,且a≠1,把底数相同的指数函数f(x)=ax与对数函数g(x)=logax图象的公共点称为f(x)(或g(x))的“亮点”.当a=时,在下列四点中,不能成为f(x)“亮点”的有( )
A.(1,1) B.(,)
C.(,) D.(,)
【答案】 ABC
【解析】 将x=1,x=代入f(x),可得()1=≠1,()=≠,则(1,1),(,)不是f(x)的亮点;
将x=代入f(x),g(x),可得()=≠,
lo=lo=,则(,)不是f(x)的亮点,(,)是f(x)的亮点.
故选A,B,C.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y=log2x的图象和性质
3.3 对数函数y=logax的图象和性质
第1课时 对数函数的概念和性质
【课程标准要求】 1.理解对数函数的概念,提升数学抽象的核心素养.2.掌握对数函数的图象和简单性质,通过学习对数函数的图象和简单性质,提升数学抽象、直观想象的核心素养.3.了解对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
知识点一 对数函数的概念
对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为以a为底的对数函数,记作x=logay.
习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成y=logax(a>0,且a≠1),其中a称为底数.特别地,称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
称对数函数y=logax(a>0,且a≠1)是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数.
[思考1] 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域和值域与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域和值域有什么关系
提示:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域.
知识点二 对数函数的图象和性质
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质如下表.
图象和 性质 a>1 0图象
定义域 (0,+∞)
值域 R
单调性 在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数
共点性 图象过定点(1,0),即当x=1时,y=0
函数值 特点 当x∈(0,1)时,y∈(-∞,0); 当x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞) 当x∈(0,1)时,y∈(0,+∞); 当x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0]
对称性 函数y=logax与y=lox的 图象关于x轴对称
[思考2] 对数函数的单调性与什么有关
提示:底数a与1的关系决定了对数函数的单调性.
当a>1时,对数函数在(0,+∞)上是增函数;当0题型一 对数函数的概念
[例1] 已知函数①y=4x;②y=logx2;③y=logπx;④y=log0.04x;⑤y=log3x+1;⑥y=log2(x+1).其中是对数函数的是( )
A.①②③ B.③④⑤
C.③④ D.②④⑥
【答案】 C
【解析】 根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a>0,且a≠1)形式的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数.易知,①是指数函数;②中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数;③y=logπx是对数函数;④y=log0.04x是对数函数;⑤⑥函数显然不是对数函数.故选C.
判断一个函数是对数函数的方法
[变式训练] 若函数y=log(2a-1)[x+(a2-5a+4)]是对数函数,则a= .
【答案】 4
【解析】 因为y=log(2a-1)[x+(a2-5a+4)]是对数函数,所以解得a=4.
题型二 对数(型)函数的定义域
[例2] 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=log(2x-1)(2-x);
(2)f(x)=.
【解】 (1)要使函数有意义,则
即
所以故函数的定义域为{x|(2)要使函数有意义,则
解得x<4,且x≠3,所以函数f(x)=的定义域是{x|x<4,且x≠3}.
求对数(型)函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时,被开方数非负.
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.
易错警示:定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求与对数函数有关的定义域问题时,要注意对数函数的概念,若自变量在真数上,则必须保证真数大于0;若自变量在底数上,应保证底数大于0且不等于1.
[变式训练] 求下列函数的定义域.
(1)f(x)=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0,a≠1);
(2)f(x)=lg(3x2-5x).
【解】 (1)由得-3所以函数的定义域是{x|-3(2)由题意知,3x2-5x>0,即x(3x-5)>0,
所以x<0或x>,则函数的定义域为(-∞,0)∪(,+∞).
题型三 对数(型)函数的图象
角度1 对数(型)函数图象过定点问题
[例3] 函数f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点( )
A.(1,1) B.(2,1) C.(1,2) D.(2,2)
【答案】 B
【解析】 令x-1=1,则x=2,因此f(2)=1,所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1).
故选B.
涉及与对数(型)函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klogag(x)+b(a>0,且a≠1),且g(m)=1,则f(x)的图象过定点P(m,b).
[变式训练] 若函数f(x)=mloga(x-b)+k的图象恒过定点(3,2),则k= ,b= .
【答案】 2 2
【解析】 因为f(x)=mloga(x-b)+k的图象恒过定点(3,2),所以3-b=1,k=2,
所以b=2,k=2.
角度2 对数(型)函数图象的识别
[例4] (1)函数y=-lg |x+1|的大致图象为( )
A B C D
(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
A B C D
【答案】 (1)D (2)A
【解析】 (1)法一 函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1},可排除A,C;当x=1时,y=-lg 2<0,显然只有D符合题意.
故选D.
法二 y=-lg |x+1|=
又x∈(-1,+∞)时,y=-lg (x+1)是减函数.故选D.
(2)由对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x可知:
①当0②当a>1时,此时a-1>0,对数函数y=logax为增函数,而二次函数y=(a-1)x2-x开口向上,且其对称轴为直线x=>0,故B错误,而A符合题意.
故选A.
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
[变式训练] 函数y=log2(x+1)的图象大致是( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 函数y=log2(x+1)的图象是把函数y=log2x 的图象向左平移了1个单位长度得到的,定义域为(-1,+∞),过定点(0,0)且在(-1,+∞)上是增函数.故选C.
角度3 根据图象求解析式中的参数
[例5] 已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列结论正确的是( )
A.a>0,b<-1
B.a>0,-1C.0D.0【答案】 D
【解析】 由图象知函数f(x)=loga(x-b)为减函数,所以00,即b>-1,又因为函数图象与y轴有交点,所以b<0,所以-1判断与对数(型)函数有关的图象问题的方法
(1)弄清函数单调性;
(2)函数图象过定点;
(3)特殊值的确定;
(4)平移及对称变换.
[变式训练] 已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0且a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0C.01
D.0【答案】 D
【解析】 因为函数单调递减,所以0当x=1时,loga(x+c)=loga(1+c)<0=loga1,
即1+c>1,所以c>0,
当x=0时,loga(x+c)=logac>0,
所以0当堂检测
1.下列函数是对数函数的是( )
A.y=log3(x+1)
B.y=loga(2x)(a>0,且a≠1)
C.y=ln x
D.y=logax2(a>0,且a≠1)
【答案】 C
【解析】 根据对数函数的定义可知只有y=ln x为对数函数.故选C.
2.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( )
A.y=log4x B.y=lox
C.y=lox D.y=log2x
【答案】 D
【解析】 设此对数函数的解析式为y=logax(a>0,且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=loga16,得a=2.所以对数函数的解析式为y=log2x.故选D.
3.函数y=的定义域是( )
A.(1,2] B.(1,2)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
【答案】 B
【解析】 由得所以1所以函数的定义域为(1,2).
故选B.
4.已知函数y=loga(x+b) (a,b为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则a+b的值为 .
【答案】
【解析】 由图象知,logab=2,loga(+b)=0,
解得b=,a=,故a+b=.
基础巩固
1.函数f(x)=+ln x的定义域是( )
A.(0,+∞) B.(0,2]
C.(0,2)∪(2,+∞) D.[2,+∞)
【答案】 D
【解析】 若函数有意义,需满足所以x≥2,
函数的定义域为[2,+∞).故选D.
2.已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0,a≠1)恒过定点(m,n),则m+n等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 令2x-3=1,解得x=2,故f(2)=1+0=1,故m=2,n=1,故m+n=3.故选C.
3.函数y=log2(x+1)的图象大致是( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 函数y=log2(x+1)的图象是由函数y=log2x的图象向左平移了一个单位长度得到的,
定义域为(-1,+∞),
过定点(0,0),在(-1,+∞)上是增函数.故选C.
4.函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的图象如图所示,则a,b,c,d的大小顺序是( )
A.cC.c【答案】 A
【解析】 令4个函数取同样的函数值1,即1=logax,1=logbx,1=logcx,1=logdx,作出F(x)=1的图象从左到右依次与题图中函数图象交于A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1)(图略),所以c5.设正实数a,b,c分别满足a·2a=b·log3b=c·log2c=1,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
【答案】 B
【解析】 由已知可得=2a,=log3b,=log2c,
作出y=2x,y=log2x,y=log3x的图象如图所示,它们与y=交点的横坐标分别为a,c,b,由图象可得b>c>a.故选B.
6.(多选题)已知函数f(x)=(x-m)(x-n)的图象如图所示,则g(x)=logm(x+n)的图象可能是( )
A B C D
【答案】 AB
【解析】 由函数f(x)=(x-m)(x-n)的图象得m,n两个数一个大于1,一个大于0且小于1,当m>1,01时,g(x)在定义域内单调递减,g(0)=logmn<0,故A正确.故选A,B.
7.函数y=lo(3x-a)的定义域是(,+∞),则实数a= .
【答案】 2
【解析】 由y=lo(3x-a)知,3x-a>0,
即x>,所以=,即a=2.
8.若函数f(x)与g(x)=10x的图象关于直线y=x对称,则f(100)= .
【答案】 2
【解析】 因为函数f(x)与g(x)=10x的图象关于直线y=x对称,
所以两个函数互为反函数,则f(x)=lg x,所以f(100)=lg 100=2.
9.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m【解】 作出函数f(x)=|log2x|的图象,如图所示,得010.已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的反函数是其本身,求实数a的值.
【解】 (1)由8-2x>0,得2x<8,解得x<3,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,3).
(2)由y=f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1),得x=log2(8-ay),互换x,y,得y=log2(8-ax),所以函数f(x)的反函数为y=log2(8-ax).
又因为函数f(x)的反函数是其本身,所以a=2.
能力提升
11.已知lg a=-lg b≠0,则函数f(x)=a-x与函数g(x)=logbx的图象可能是( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 因为lg a+lg b=0,所以ab=1且a≠1,b≠1,则b=,从而g(x)=logbx=lox,f(x)=a-x=()x,
f(x)与g(x)互为反函数,图象关于直线y=x对称,所以C选项正确.故选C.
12.已知f(x)=的值域为R,那么实数a的取值范围是 .
【答案】 [-,)
【解析】 要使函数f(x)的值域为R,
则必须满足
即所以-≤a<.
13.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围;
(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.
【解】 (1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1).
由题意得f(9)=loga9=2,
故a2=9,解得a=3或a=-3.
又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.
(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,
即f(x)的取值范围为(-∞,0).
(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox.
应用创新
14.(多选题)已知a>0,且a≠1,把底数相同的指数函数f(x)=ax与对数函数g(x)=logax图象的公共点称为f(x)(或g(x))的“亮点”.当a=时,在下列四点中,不能成为f(x)“亮点”的有( )
A.(1,1) B.(,)
C.(,) D.(,)
【答案】 ABC
【解析】 将x=1,x=代入f(x),可得()1=≠1,()=≠,则(1,1),(,)不是f(x)的亮点;
将x=代入f(x),g(x),可得()=≠,
lo=lo=,则(,)不是f(x)的亮点,(,)是f(x)的亮点.
故选A,B,C.
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