基础巩固
1.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
A.一次函数
B.幂函数
C.对数函数
D.指数函数
【答案】 C
【解析】 从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势.故选C.
2.设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,正确的是( )
A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢
【答案】 B
【解析】 画出函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x中,
当x∈(4,+∞)时,函数g(x)=2x增长速度最快,h(x)=log2x增长速度最慢.
所以选项B说法正确;选项A,C,D说法错误.故选B.
3.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂型函数关系的变量依次是( )
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2
【答案】 C
【解析】 指数型函数增长变化率最快,对数型函数增长变化率最慢,幂型函数增长变化率趋于中间,所以y1是幂型函数,y2是指数型函数,y3是对数型函数.故选C.
4.(多选题)下图是某厂实施“节能减碳”措施前后,月产量y与时间x(单位:月)的函数图象,则该厂( )
A.前3个月的月产量逐月增加
B.5月的月产量比4月少
C.6月的月产量与5月持平
D.第3个月结束后开始减产,直至停产
【答案】 AC
【解析】 前三个月,图象上升,且函数值增加幅度越来越大,故前3个月的月产量逐月增加,A正确.从3月开始到5月,图象仍然上升,但函数值增加的幅度变小,B错误.5月到6月月产量持平,故C正确,D错误.故选A,C.
5.(多选题)声强级LI(单位:dB)与声强I(单位:W/m2)之间的关系是:LI=10lg ,其中I0指的是人能听到的最低声强,对应的声强级称为闻阈;人能承受的最大声强为1 W/m2,对应的声强级为120 dB,称为痛阈.某歌唱家唱歌时,声强级范围为[60,70](单位:dB),下列选项中正确的是( )
A.闻阈的声强级为0 dB
B.此歌唱家唱歌时的声强范围为[10-6,10-5](单位:W/m2)
C.如果声强变为原来的2倍,对应声强级也变为原来的2倍
D.声强级增加10 dB,则声强变为原来的10倍
【答案】 ABD
【解析】 因为LI=10lg =10lg I-10lg I0,I=1 W/m2时,LI=120,代入公式得I0=10-12W/m2,对于A,I=I0时,LI=10lg 1=0,故A正确;
对于B,由题意60≤10lg I-10lg 10-12≤70,即60≤10lg I+120≤70,因此-6≤lg I≤-5,解得10-6≤I≤
10-5,故B正确;
对于C,当I变为2I时,代入有LI′=10lg 2I-10lg I0≠2LI,故C错误;
对于D,设声强变为原来的k倍,则10lg kI-10lg I=10,解得k=10,故D正确.
故选A,B,D.
6.下列四种说法中,正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xn>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax
【答案】 D
【解析】 对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较,故A错误;对于B,C,当0
1时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1”,则结论不成立,故D正确.故选D.
7.已知函数f(x)=3x,g(x)=x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为 .
【答案】 f(x)>g(x)
【解析】 在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3x,g(x)=x的图象,如图所示,
由于函数f(x)=3x的增长趋势是“爆炸式”的,其图象在函数g(x)=x图象的上方,
则f(x)>g(x).
8.某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%,若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍,则至少需要经过 年.(结果取整数,参考数据:取lg 3≈0.48,lg 11≈1.041)
【答案】 12
【解析】 假设该林区当前的木材蓄积量为1,经过x年的木材蓄积量为()x.由题意得()x≥3,得x≥lo3.因为lo3=≈≈11.7,所以x≥11.7,故至少需要经过12年.
9.函数f(x)=1.1x和g(x)=ln x+1的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数,并比较 f(x) 与g(x)的大小(以x1,x2为分界点);
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 026),g(2 026)的大小.
【解】 (1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数为g(x)=ln x+1.
当xg(x);
当x1当x>x2时,f(x)>g(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
(2)因为f(1)>g(1),f(2)f(13)g(14),
所以1所以x1<6x2.
从题图可以看出,当x1所以f(6)当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 026)>g(2 026).
又g(2 026)>g(6),
所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6).
10.普姆克系数(单位:pmk)是一个用于表示治愈效果的系数,该系数越大,表示治愈效果越好.已知某批药品在2025年治愈效果的普姆克系数y(单位:pmk)与月份x(1≤x≤12,x∈N)的部分统计数据如下表:
x/月 10 11 12
普姆克系数y/pmk 10 240 20 480 40 960
(1)根据上表数据,从下列两个函数模型①y=max(m>0,a>1),②y=n+m(n>0,m>0)中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2025年治愈效果的普姆克系数y与月份x之间的关系,并写出这个函数解析式;
(2)用(1)中的函数模型,试问2025年哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在(1 000,10 000)内
【解】 (1)因为函数模型①是指数型函数,其增长速度越来越快,函数模型②的增长速度较为缓慢,
所以根据表中数据,应选函数模型①更为恰当.
根据题意可得,当x=11时,y=20 480;当x=12时,y=40 960,
由解得
故该函数解析式为y=10×2x(1≤x≤12,x∈N).
(2)函数y=10×2x在其定义域内单调递增,
令1 000<10×2x<10 000,得log2100故7月份,8月份,9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在(1 000,10 000)内.
能力提升
11.某工厂6年来生产某种产品的情况:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变.以下可以用来描述该厂前t年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的是( )
A B C D
【答案】 A
【解析】 注意以下几种情形:图①表示不增长,图②表示增速恒定不变,图③表示增长速度越来越快,图④表示增长速度逐渐变慢.A选项符合题意.故选A.
12.若已知16【答案】 >log2x
【解析】 作出f(x)=和g(x)=log2x的图象,如图所示.
由图象可知,在(0,4)内,>log2x;
x=4或x=16时,=log2x;在(4,16)内,log2x.
13.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积约为18 m2,经过3个月其覆盖面积约为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=loga(x+1)+q(a>1,q为常数)可供选择(参考数据: lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式;
(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍
【解】 (1)因为函数y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,函数y=loga(x+1)+q(a>1,q为常数)的增长速度越来越慢,
所以依题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则有
解得所以y=8·(x∈N).
(2)设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍,
则k·≥100k.
因为k>0,所以≥100,
所以x≥lo100==≈11.36.
因为x∈N,所以x≥12.
所以约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.
应用创新
14.(多选题)现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃,一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,65 ℃,给出两个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=80·()t+20;②T=60·()t+20.根据所给的数据,下列结论中正确的是( )
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
A.选择函数模型①
B.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟
C.选择函数模型②
D.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
【答案】 AD
【解析】 选择函数模型①,则当t=1时,T=80×()1+20=80,当t=2时,T=80×()2+20=65,符合要求,选择函数模型②,则当t=1时,T=60×()1+20=60,不符合要求,故选择函数模型①,即A正确,C错误;
令T=60,则有60=80·()t+20,即tlg =lg ,即t==≈=2.5,故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟,故B错误,D正确.故选A,D.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)【课程标准要求】 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具,在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,提升数学抽象、数学建模的核心素养.2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点 三种函数的增长趋势
性质 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα (x>0,α>0)
在(0,+∞) 上的增减性 增函数
图象的变 化趋势 随x增大,近似与y轴平行 随x增大,近似与x轴平行 α值较小(α<1)时,增长较慢;α值较大(α>1)时,增长较快
增长速度 ①随x增大,y=ax增长速度越来越快,并且当a越大时,y=ax增长速度越快.随x增大,y=ax增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度. ②随x增大,y=logax增长速度越来越慢,并且当a越大时,y=logax增长速度越慢. ③存在一个x0,当x>x0时,有ax>xα>logax
知识拓展
三种函数增长对比
对数函数随x的增大,增长速度越来越慢,幂函数增长和指数函数增长的快慢交替出现,当x足够大时,一定有指数函数的增长快于幂函数的增长,幂函数的增长快于对数函数的增长.
题型一 三种函数的增长趋势
[例1] 下列函数增长速度最快的是( )
A.y=2 026x B.y=2 026x2
C.y=log2 026x D.y=2 026x
【答案】 A
【解析】 函数y=2 026x为单调递增的指数函数,函数y=2 026x2为二次函数,y=log2 026x为单调递增的对数函数,y=2 026x为单调递增的一次函数,根据一次函数、指数函数、对数函数、二次函数的图象与性质,可得指数函数增长速度最快.故选A.
三种函数模型的表达形式及其增长特点
(1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“对数增长”.
(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a>0,α>0)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有一次函数模型和三次函数模型.
[变式训练] (多选题)当a>1时,下列结论中正确的是( )
A.指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长速度越快
B.指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长速度越快
C.对数函数y=logax(a>0,且a≠1),当a越大时,其函数值的增长速度越快
D.对数函数y=logax(a>0,且a≠1),当a越小时,其函数值的增长速度越快
【答案】 AD
【解析】 结合指数函数及对数函数的图象可知A,D正确.故选A,D.
题型二 不同函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 026),g(2 026)的大小.
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),
所以1所以x1<6x2,
从图象上可以看出,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),
即f(2 026)>g(2 026).
又因为g(2 026)>g(6),
所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6).
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型指数函数、对数函数和一次函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数,图象呈直线上升的函数是一次函数.
[变式训练] 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)以两图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较.
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当xf(x);
当x1g(x);
当x>x2时,g(x)>f(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
题型三 幂、指、对数函数的实际应用
[例3] 某公司为了实现1 000万元的利润目标,制定了一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过利润的25%.
(1)请指出符合公司要求的模型应该满足的条件.
(2)现有三个奖励模型:y=1.003x,y=lg x+2,y=,其中是否有模型能完全符合公司的要求 请说明理由(参考数据:1.003600≈6).
【解】 (1)由题意,符合公司要求的模型只需满足:当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.
(2)对于y=1.003x,易知满足①;但当x>600时,y>6,不满足公司的要求.
对于y=lg x+2,易知满足①;当x∈[10,1 000]时,y≤lg 1 000+2=5,所以满足②;
但lg 10+2=3>,所以不满足③,不满足公司的要求.
对于y=,易知满足①;当x∈[10,1 000]时,y≤=5,所以满足②;
又x∈[10,1 000]时,y=≤=≤,由此可知满足③.
综上所述,只有奖励模型y=能完全符合公司的要求.
几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变,即自变量增加相同量时,函数值的增量相等,此时的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度越来越快,即自变量增加相同量时,函数值的增量成倍增加,此时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越小,此时的函数模型是对数函数模型.
[变式训练] 下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前途的生意是 .
①y=10×1.05x;②y=20+x1.5;③y=30+lg(x-1);④y=50x.
【答案】 ①
【解析】 ①为指数型函数,②为幂函数型函数,③为对数型函数,④为正比例函数,其中指数型函数增长速率最快,故从足够长远的角度看,更为有前途的生意是①.
当堂检测
1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A.y=ex B.y=ln x
C.y=2x D.y=e-x
【答案】 A
【解析】 结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知选项A符合题意.故选A.
2.已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)=x3,f2(x)=,f3(x)=log3x,f4(x)=3x,如果运动时间足够长,则运动在最前面的物体一定是( )
A.a B.b C.c D.d
【答案】 D
【解析】 根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体.故选D.
3.某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
【答案】 D
【解析】 其增长速度先快后慢,符合对数型函数的特点.故选D.
4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是 .
【答案】 y2
【解析】 以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
基础巩固
1.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
A.一次函数
B.幂函数
C.对数函数
D.指数函数
【答案】 C
【解析】 从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢,反映的是对数函数的增长趋势.故选C.
2.设f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,正确的是( )
A.f(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
B.g(x)的增长速度最快,h(x)的增长速度最慢
C.g(x)的增长速度最快,f(x)的增长速度最慢
D.f(x)的增长速度最快,g(x)的增长速度最慢
【答案】 B
【解析】 画出函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x中,
当x∈(4,+∞)时,函数g(x)=2x增长速度最快,h(x)=log2x增长速度最慢.
所以选项B说法正确;选项A,C,D说法错误.故选B.
3.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂型函数关系的变量依次是( )
A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1 D.y3,y1,y2
【答案】 C
【解析】 指数型函数增长变化率最快,对数型函数增长变化率最慢,幂型函数增长变化率趋于中间,所以y1是幂型函数,y2是指数型函数,y3是对数型函数.故选C.
4.(多选题)下图是某厂实施“节能减碳”措施前后,月产量y与时间x(单位:月)的函数图象,则该厂( )
A.前3个月的月产量逐月增加
B.5月的月产量比4月少
C.6月的月产量与5月持平
D.第3个月结束后开始减产,直至停产
【答案】 AC
【解析】 前三个月,图象上升,且函数值增加幅度越来越大,故前3个月的月产量逐月增加,A正确.从3月开始到5月,图象仍然上升,但函数值增加的幅度变小,B错误.5月到6月月产量持平,故C正确,D错误.故选A,C.
5.(多选题)声强级LI(单位:dB)与声强I(单位:W/m2)之间的关系是:LI=10lg ,其中I0指的是人能听到的最低声强,对应的声强级称为闻阈;人能承受的最大声强为1 W/m2,对应的声强级为120 dB,称为痛阈.某歌唱家唱歌时,声强级范围为[60,70](单位:dB),下列选项中正确的是( )
A.闻阈的声强级为0 dB
B.此歌唱家唱歌时的声强范围为[10-6,10-5](单位:W/m2)
C.如果声强变为原来的2倍,对应声强级也变为原来的2倍
D.声强级增加10 dB,则声强变为原来的10倍
【答案】 ABD
【解析】 因为LI=10lg =10lg I-10lg I0,I=1 W/m2时,LI=120,代入公式得I0=10-12W/m2,对于A,I=I0时,LI=10lg 1=0,故A正确;
对于B,由题意60≤10lg I-10lg 10-12≤70,即60≤10lg I+120≤70,因此-6≤lg I≤-5,解得10-6≤I≤
10-5,故B正确;
对于C,当I变为2I时,代入有LI′=10lg 2I-10lg I0≠2LI,故C错误;
对于D,设声强变为原来的k倍,则10lg kI-10lg I=10,解得k=10,故D正确.
故选A,B,D.
6.下列四种说法中,正确的是( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xn>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax
【答案】 D
【解析】 对于A,幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较,故A错误;对于B,C,当01时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1”,则结论不成立,故D正确.故选D.
7.已知函数f(x)=3x,g(x)=x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为 .
【答案】 f(x)>g(x)
【解析】 在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3x,g(x)=x的图象,如图所示,
由于函数f(x)=3x的增长趋势是“爆炸式”的,其图象在函数g(x)=x图象的上方,
则f(x)>g(x).
8.某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%,若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍,则至少需要经过 年.(结果取整数,参考数据:取lg 3≈0.48,lg 11≈1.041)
【答案】 12
【解析】 假设该林区当前的木材蓄积量为1,经过x年的木材蓄积量为()x.由题意得()x≥3,得x≥lo3.因为lo3=≈≈11.7,所以x≥11.7,故至少需要经过12年.
9.函数f(x)=1.1x和g(x)=ln x+1的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数,并比较 f(x) 与g(x)的大小(以x1,x2为分界点);
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 026),g(2 026)的大小.
【解】 (1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数为g(x)=ln x+1.
当xg(x);
当x1当x>x2时,f(x)>g(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
(2)因为f(1)>g(1),f(2)f(13)g(14),
所以1所以x1<6x2.
从题图可以看出,当x1所以f(6)当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 026)>g(2 026).
又g(2 026)>g(6),
所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6).
10.普姆克系数(单位:pmk)是一个用于表示治愈效果的系数,该系数越大,表示治愈效果越好.已知某批药品在2025年治愈效果的普姆克系数y(单位:pmk)与月份x(1≤x≤12,x∈N)的部分统计数据如下表:
x/月 10 11 12
普姆克系数y/pmk 10 240 20 480 40 960
(1)根据上表数据,从下列两个函数模型①y=max(m>0,a>1),②y=n+m(n>0,m>0)中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2025年治愈效果的普姆克系数y与月份x之间的关系,并写出这个函数解析式;
(2)用(1)中的函数模型,试问2025年哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在(1 000,10 000)内
【解】 (1)因为函数模型①是指数型函数,其增长速度越来越快,函数模型②的增长速度较为缓慢,
所以根据表中数据,应选函数模型①更为恰当.
根据题意可得,当x=11时,y=20 480;当x=12时,y=40 960,
由解得
故该函数解析式为y=10×2x(1≤x≤12,x∈N).
(2)函数y=10×2x在其定义域内单调递增,
令1 000<10×2x<10 000,得log2100故7月份,8月份,9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在(1 000,10 000)内.
能力提升
11.某工厂6年来生产某种产品的情况:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变.以下可以用来描述该厂前t年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的是( )
A B C D
【答案】 A
【解析】 注意以下几种情形:图①表示不增长,图②表示增速恒定不变,图③表示增长速度越来越快,图④表示增长速度逐渐变慢.A选项符合题意.故选A.
12.若已知16【答案】 >log2x
【解析】 作出f(x)=和g(x)=log2x的图象,如图所示.
由图象可知,在(0,4)内,>log2x;
x=4或x=16时,=log2x;在(4,16)内,log2x.
13.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积约为18 m2,经过3个月其覆盖面积约为27 m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=loga(x+1)+q(a>1,q为常数)可供选择(参考数据: lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该函数模型的解析式;
(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍
【解】 (1)因为函数y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,函数y=loga(x+1)+q(a>1,q为常数)的增长速度越来越慢,
所以依题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则有
解得所以y=8·(x∈N).
(2)设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍,
则k·≥100k.
因为k>0,所以≥100,
所以x≥lo100==≈11.36.
因为x∈N,所以x≥12.
所以约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍.
应用创新
14.(多选题)现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃,一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,65 ℃,给出两个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=80·()t+20;②T=60·()t+20.根据所给的数据,下列结论中正确的是( )
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
A.选择函数模型①
B.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟
C.选择函数模型②
D.该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
【答案】 AD
【解析】 选择函数模型①,则当t=1时,T=80×()1+20=80,当t=2时,T=80×()2+20=65,符合要求,选择函数模型②,则当t=1时,T=60×()1+20=60,不符合要求,故选择函数模型①,即A正确,C错误;
令T=60,则有60=80·()t+20,即tlg =lg ,即t==≈=2.5,故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟,故B错误,D正确.故选A,D.
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§4 指数函数、幂函数、
对数函数增长的比较
*§5 信息技术支持的
函数研究
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具,在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,提升数学抽象、数学建模的核心素养.2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义,提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点 三种函数的增长趋势
性质 y=ax
(a>1) y=logax
(a>1) y=xα
(x>0,α>0)
在(0,+∞)
上的增减性
图象的变
化趋势 随x增大,近似与y轴平行 随x增大,近似与x轴平行 α值较小(α<1)时,增长较慢;α值较大(α>1)时,增长较快
增函数
增长速度 ①随x增大,y=ax增长速度 ,并且当a越大时,y=ax增长速度 .随x增大,y=ax增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.
②随x增大,y=logax增长速度 ,并且当a越大时,y=
logax增长速度 .
③存在一个x0,当x>x0时,有
越来越快
越快
越来越慢
越慢
ax>xα>logax
『知识拓展』
三种函数增长对比
对数函数随x的增大,增长速度越来越慢,幂函数增长和指数函数增长的快慢交替出现,当x足够大时,一定有指数函数的增长快于幂函数的增长,幂函数的增长快于对数函数的增长.
题型一 三种函数的增长趋势
[例1] 下列函数增长速度最快的是( )
A.y=2 026x B.y=2 026x2
C.y=log2 026x D.y=2 026x
A
【解析】 函数y=2 026x为单调递增的指数函数,函数y=2 026x2为二次函数,y
=log2 026x为单调递增的对数函数,y=2 026x为单调递增的一次函数,根据一次函数、指数函数、对数函数、二次函数的图象与性质,可得指数函数增长速度最快.故选A.
·解题策略·
三种函数模型的表达形式及其增长特点
(1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“对数增长”.
(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a>0,α>0)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有一次函数模型和三次函数模型.
[变式训练] (多选题)当a>1时,下列结论中正确的是( )
A.指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长速度越快
B.指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长速度越快
C.对数函数y=logax(a>0,且a≠1),当a越大时,其函数值的增长速度越快
D.对数函数y=logax(a>0,且a≠1),当a越小时,其函数值的增长速度越快
AD
【解析】 结合指数函数及对数函数的图象可知A,D正确.故选A,D.
[例2] 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),
B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
题型二 不同函数模型的比较
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 026),g(2 026)的大小.
【解】 (2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),
所以1所以x1<6x2,
从图象上可以看出,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),
即f(2 026)>g(2 026).
又因为g(2 026)>g(6),
所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6).
·解题策略·
由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型指数函数、对数函数和一次函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数,图象呈直线上升的函数是一次函数.
[变式训练] 函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;
【解】 (1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)以两图象交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较.
【解】 (2)当xf(x);
当x1g(x);
当x>x2时,g(x)>f(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
题型三 幂、指、对数函数的实际应用
[例3] 某公司为了实现1 000万元的利润目标,制定了一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过利润的25%.
(1)请指出符合公司要求的模型应该满足的条件.
【解】 (1)由题意,符合公司要求的模型只需满足:当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.
·解题策略·
几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变,即自变量增加相同量时,函数值的增量相等,此时的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度越来越快,即自变量增加相同量时,函数值的增量成倍增加,此时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越小,此时的函数模型是对数函数模型.
[变式训练] 下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数,从足够长远的角度看,更为有前途的生意是 .
①y=10×1.05x;②y=20+x1.5;③y=30+lg(x-1);④y=50x.
①
【解析】 ①为指数型函数,②为幂函数型函数,③为对数型函数,④为正比例函数,其中指数型函数增长速率最快,故从足够长远的角度看,更为有前途的生意是①.
当堂检测
1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )
A.y=ex B.y=ln x
C.y=2x D.y=e-x
A
【解析】 结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知选项A符合题意.故选A.
D
【解析】 根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体.故选D.
3.某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
D
【解析】 其增长速度先快后慢,符合对数型函数的特点.故选D.
4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是 .
y2
【解析】 以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.