(共23张PPT)
第七章 概 率
§1 随机现象与
随机事件
1.1 随机现象
1.2 样本空间
1.3 随机事件
1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念,提升数学抽象的核心素养.2.理解随机事件的概念,能正确求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间,提升数学运算与逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 随机现象与样本空间
1.确定性现象和随机现象:
在一定条件下 的现象,称为确定性现象;在一定条件下进行试验或观察会出现 ,而且每次试验之前都 会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.
必然出现
不同的结果
无法预言
2.在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为
,一般用E来表示,把观察结果或实验结果称为 .
一般地,将试验E的 称为试验E的样本空间,记作Ω.样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的 ,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为
.
试验
试验结果
所有可能结果组成的集合
样本点
有限样本
空间
[思考] 随机现象有什么特点
提示:结果至少有两种,事先不能确定会出现哪种结果.
知识点二 随机事件
随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的 称为E的随机事件,简称
,常用A,B,C等表示.
必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.
不可能事件:空集 也是Ω的一个子集,可以看作一个事件,由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称 为不可能事件.
子集
事件
题型一 随机现象与样本空间
[例1] 下列说法中,一次试验各指什么 试写出试验的样本空间.
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次;
【解】 (1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”,试验的样本空间为{(正,反),(正,正),(反,反),(反,正)}.
(2)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d这4个球的袋中,任取3个球.
【解】 (2)一次试验是指“从装有4个球的袋中取3个球”,试验的样本空间为{(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d)}.
·解题策略·
写样本空间的三种方法
(1)列举法:适用样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.
(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
(3)树状图法:适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
[变式训练] (1)以下现象中不是随机现象的是( )
A.在相同的条件下投掷一枚质地均匀的硬币两次,正反两面都出现
B.明天下雨
C.连续两次抛掷同一骰子,两次都出现2点
D.平面四边形的内角和是360°
D
(1)【解析】 因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实,而其他三个现象都是随机出现的,所以选项D符合题意.故选D.
(2)集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数,构成一个两位数,则所有样本点的个数为( )
A.8 B.9
C.12 D.11
D
(2)【解析】 根据题意,所有样本点为21,22,24,31,32,34,12,13,23,42,43,共11个.故选D.
(3)某人开车上班要过三个十字路口,为表示他在三个路口是否遇到红灯的情况,请选择合适的方法表示样本点,并写出样本空间.
(3)【解】 用0表示没遇到红灯,1表示遇到红灯,则样本空间为{(0,0,0),(0,0,1),
(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}.
题型二 事件类型的判断
[例2] (1)在25件同类产品中,有2件次品,从中任取3件产品,其中不可能事件为
( )
A.3件都是正品 B.至少有1件次品
C.3件都是次品 D.至少有1件正品
C
【解析】 (1)25件同类产品中只有2件次品,所以不可能取出3件都是次品.故选C.
(2)有下列事件:①在标准大气压下,水加热到100 ℃并持续加热沸腾;②地球每天都在自转;③骑车到十字路口遇到红灯;④明天会下雨;⑤没有水分,种子发芽了.其中随机事件的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
【解析】 (2)事件①是基本事实,因此是必然事件;事件②是基本事实,因此它是必然事件;事件③④是随机事件;事件⑤是不可能事件.
故选B.
·解题策略·
对事件类型判断的两个关键点
(1)条件:在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生.
(2)结果发生与否:若一定发生的,则为必然事件;一定不发生的,则为不可能事件;若不确定发生与否,则称其为随机事件.
[变式训练] (1)下列事件是随机事件的是( )
①连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面向上;
②异性电荷相互吸引;
③在标准大气压下,水在4 ℃时结冰;
④任意掷一枚骰子,朝上的点数是偶数.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
D
【解析】 (1)①④中的事件为随机事件,②中的事件为必然事件,③中的事件为不可能事件.故选D.
(2)(多选题)已知集合A是集合B的真子集,下列是关于非空集合A,B的四个
命题:
①若任取x∈A,则x∈B是必然事件;
②若任取x A,则x∈B是不可能事件;
③若任取x∈B,则x∈A是随机事件;
④若任取x B,则x A是必然事件.
其中正确的命题是( )
A.① B.② C.③ D.④
ACD
【解析】 (2)因为集合A是集合B的真子集,所以集合A中的元素都在集合B中,集合B中存在元素不是集合A中的元素,作出Venn图可知,
对于①,集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,
任取x∈A,则x∈B是必然事件,故①正确;
对于②,任取x A,则x∈B是随机事件,故②不正确;
对于③,因为集合A是集合B的真子集,集合B中存在元素不是集合A中的元素,集合B中也存在集合A中的元素,所以任取x∈B,则x∈A是随机事件,故③正确;
对于④,因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,任取x B,则x A是必然事件,故④正确.所以①③④正确.
故选A,C,D.
当堂检测
1.下列成语描述的事件为随机事件的是( )
A.水中捞月 B.守株待兔
C.水涨船高 D.画饼充饥
B
【解析】 对于A,水中捞月是不可能事件,故不符合题意;对于B,守株待兔是随机事件,故符合题意;对于C,水涨船高是必然事件,故不符合题意;对于D,画饼充饥是不可能事件,故不符合题意.故选B.
2.有下列事件:
①在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾;
②实数的绝对值不小于零;
③在地球上没有空气和水,人类可能生存下去.
其中必然事件是( )
A.② B.③ C.①②③ D.②③
A
【解析】 事件分为随机事件、必然事件和不可能事件,必然事件是一次试验中必然发生的事件.
因为在标准大气压下,水加热到100 ℃并持续加热沸腾,所以①不是必然事
件;因为实数的绝对值不小于零,所以②是必然事件;在地球上没有空气和水,人类则无法生存,所以③是不可能事件.故选A.
3.为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组,小明要随机选报其中的2个,则该试验中样本点的个数为
( )
A.3 B.5 C.6 D.9
C
【解析】 由题意,得样本点为(数学,计算机),(数学,航空模型),(数学,绘画),(计算机,航空模型),(计算机,绘画),(航空模型,绘画),共6个.故选C.
4.从1,2,3,…,10中任意选一个数,这个试验的样本空间为
,“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为 .
Ω={1,2,3,4,5,6,
7,8,9,10}
5
【解析】 任意选一个数,共有10种不同的选法,故样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,
7,8,9,10},其中偶数共有5个,故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.1.1 随机现象
1.2 样本空间
1.3 随机事件
【课程标准要求】 1.了解随机现象、样本点和样本空间的概念,提升数学抽象的核心素养.2.理解随机事件的概念,能正确求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间,提升数学运算与逻辑推理的核心素养.
知识点一 随机现象与样本空间
1.确定性现象和随机现象:
在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象;在一定条件下进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.
2.在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E来表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.
一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
[思考] 随机现象有什么特点
提示:结果至少有两种,事先不能确定会出现哪种结果.
知识点二 随机事件
随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件,常用A,B,C等表示.
必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.
不可能事件:空集 也是Ω的一个子集,可以看作一个事件,由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称 为不可能事件.
题型一 随机现象与样本空间
[例1] 下列说法中,一次试验各指什么 试写出试验的样本空间.
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次;
(2)从装有大小相同但颜色不同的a,b,c,d这4个球的袋中,任取3个球.
【解】 (1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”,试验的样本空间为{(正,反),(正,正),(反,反),(反,正)}.
(2)一次试验是指“从装有4个球的袋中取3个球”,试验的样本空间为{(a,b,c),(a,b,d),
(a,c,d),(b,c,d)}.
写样本空间的三种方法
(1)列举法:适用样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏.
(2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
(3)树状图法:适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
[变式训练] (1)以下现象中不是随机现象的是( )
A.在相同的条件下投掷一枚质地均匀的硬币两次,正反两面都出现
B.明天下雨
C.连续两次抛掷同一骰子,两次都出现2点
D.平面四边形的内角和是360°
(2)集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数,构成一个两位数,则所有样本点的个数为( )
A.8 B.9 C.12 D.11
(3)某人开车上班要过三个十字路口,为表示他在三个路口是否遇到红灯的情况,请选择合适的方法表示样本点,并写出样本空间.
(1)【答案】 D
【解析】 因为平面四边形的内角和是360°是一个确定的事实,而其他三个现象都是随机出现的,所以选项D符合题意.故选D.
(2)【答案】 D
【解析】 根据题意,所有样本点为21,22,24,31,32,34,12,13,23,42,43,共11个.故选D.
(3)【解】 用0表示没遇到红灯,1表示遇到红灯,则样本空间为{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),
(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}.
题型二 事件类型的判断
[例2] (1)在25件同类产品中,有2件次品,从中任取3件产品,其中不可能事件为( )
A.3件都是正品 B.至少有1件次品
C.3件都是次品 D.至少有1件正品
(2)有下列事件:①在标准大气压下,水加热到100 ℃并持续加热沸腾;②地球每天都在自转;③骑车到十字路口遇到红灯;④明天会下雨;⑤没有水分,种子发芽了.其中随机事件的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 (1)C (2)B
【解析】 (1)25件同类产品中只有2件次品,所以不可能取出3件都是次品.故选C.
(2)事件①是基本事实,因此是必然事件;事件②是基本事实,因此它是必然事件;事件③④是随机事件;事件⑤是不可能事件.
故选B.
对事件类型判断的两个关键点
(1)条件:在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生.
(2)结果发生与否:若一定发生的,则为必然事件;一定不发生的,则为不可能事件;若不确定发生与否,则称其为随机事件.
[变式训练] (1)下列事件是随机事件的是( )
①连续两次掷一枚硬币,两次都出现正面向上;
②异性电荷相互吸引;
③在标准大气压下,水在4 ℃时结冰;
④任意掷一枚骰子,朝上的点数是偶数.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
(2)(多选题)已知集合A是集合B的真子集,下列是关于非空集合A,B的四个命题:
①若任取x∈A,则x∈B是必然事件;
②若任取x A,则x∈B是不可能事件;
③若任取x∈B,则x∈A是随机事件;
④若任取x B,则x A是必然事件.
其中正确的命题是( )
A.① B.② C.③ D.④
【答案】 (1)D (2)ACD
【解析】 (1)①④中的事件为随机事件,②中的事件为必然事件,③中的事件为不可能事件.故选D.
(2)因为集合A是集合B的真子集,所以集合A中的元素都在集合B中,集合B中存在元素不是集合A中的元素,作出Venn图可知,
对于①,集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,任取x∈A,则x∈B是必然事件,故①正确;
对于②,任取x A,则x∈B是随机事件,故②不正确;
对于③,因为集合A是集合B的真子集,集合B中存在元素不是集合A中的元素,集合B中也存在集合A中的元素,所以任取x∈B,则x∈A是随机事件,故③正确;
对于④,因为集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,任取x B,则x A是必然事件,故④正确.所以①③④正确.
故选A,C,D.
当堂检测
1.下列成语描述的事件为随机事件的是( )
A.水中捞月 B.守株待兔
C.水涨船高 D.画饼充饥
【答案】 B
【解析】 对于A,水中捞月是不可能事件,故不符合题意;对于B,守株待兔是随机事件,故符合题意;对于C,水涨船高是必然事件,故不符合题意;对于D,画饼充饥是不可能事件,故不符合题意.故选B.
2.有下列事件:
①在标准大气压下,水加热到80 ℃时会沸腾;
②实数的绝对值不小于零;
③在地球上没有空气和水,人类可能生存下去.
其中必然事件是( )
A.② B.③ C.①②③ D.②③
【答案】 A
【解析】 事件分为随机事件、必然事件和不可能事件,必然事件是一次试验中必然发生的事件.
因为在标准大气压下,水加热到100 ℃并持续加热沸腾,所以①不是必然事件;因为实数的绝对值不小于零,所以②是必然事件;在地球上没有空气和水,人类则无法生存,所以③是不可能事件.故选A.
3.为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型、绘画4个兴趣小组,小明要随机选报其中的2个,则该试验中样本点的个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.9
【答案】 C
【解析】 由题意,得样本点为(数学,计算机),(数学,航空模型),(数学,绘画),(计算机,航空模型),(计算机,绘画),(航空模型,绘画),共6个.故选C.
4.从1,2,3,…,10中任意选一个数,这个试验的样本空间为 ,“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为 .
【答案】 Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 5
【解析】 任意选一个数,共有10种不同的选法,故样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},其中偶数共有5个,故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.
基础巩固
1.掷一枚质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子,观察向上的一面的点数,下列属于必然事件的是( )
A.出现的点数是7 B.出现的点数不会是0
C.出现的点数是2 D.出现的点数为奇数
【答案】 B
【解析】 由正方体骰子的特征可知向上的一面的点数可能是1,2,3,4,5,6中的1个,因此不可能是0.故选B.
2.一个家庭有两个小孩,把第一个孩子的性别写在前边,第二个孩子的性别写在后边,则所有的样本点有( )
A.(男,女),(男,男),(女,女)
B.(男,女),(女,男)
C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)
D.(男,男),(女,女)
【答案】 C
【解析】 由题知所有的样本点是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).故选C.
3.若随机试验的样本空间为Ω={0,1,2},则下列说法不正确的是( )
A.事件P={1,2}是随机事件
B.事件Q={0,1,2}是必然事件
C.事件M={-1,-2}是不可能事件
D.事件N={-1,0}是随机事件
【答案】 D
【解析】 随机试验的样本空间为Ω={0,1,2},对于A,事件P={1,2}是随机事件,故A正确;对于B,事件Q={0,1,2}是必然事件,故B正确;对于C,事件M={-1,-2}是不可能事件,故C正确;对于D,事件N={-1,0}是不可能事件,故D错误.故选D.
4.下列事件中,是随机事件的是( )
①射击运动员某次比赛第一枪击中9环;②投掷两枚质地均匀的正方体骰子,点数之和为14;③13个人中至少有2个人的生日在同一个月;④抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上.
A.①③ B.③④ C.①④ D.②③
【答案】 C
【解析】 根据题意,①④为随机事件,②为不可能事件,③为必然事件,所以随机事件是①④.故选C.
5.从6个同类产品(4个正品,2个次品)中,任意抽取3个,不可能事件是( )
A.3个都是正品 B.至少有1个次品
C.3个都是次品 D.至少有1个正品
【答案】 C
【解析】 抽取的3个产品,可能有3个正品;1个正品,2个次品;2个正品,1个次品的情况.所以A,B选项都是随机事件,C选项是不可能事件,D选项是必然事件.故选C.
6.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
【答案】 C
【解析】 “点P落在x轴上”包含的样本点为(-9,0),(-7,0),(-5,0),(-3,0),(-1,0),(2,0),(4,0),
(6,0),(8,0),共9个.故选C.
7.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为 .
【答案】 4
【解析】 从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),
(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个样本点,其中三个数字之和为奇数的样本点为(1,2,4),
(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5),共4个.
8.给出下列事件:
①函数y=logax(0
②学生和老师打乒乓球,老师胜利;
③一所学校共有998名学生,有3名学生的生日相同;
④若集合A,B,C满足A B,B C,则A C;
⑤在标准大气压下,河流在20 ℃时结冰;
⑥从1,3,9中任选两个数,其和为偶数.
其中属于随机事件的是 ,属于必然事件的是 ,属于不可能事件的是 (填序号).
【答案】 ②③ ④⑥ ①⑤
【解析】 ①中函数y=logax(09.某转盘被平均分成10份(如图所示).
转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.
(1)设事件A=“转出的数字是5”,事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件
(2)设事件B=“转出的数字是0”,事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件
(3)设事件C=“转出的数字x满足1≤x≤10,x∈Z”,事件C是必然事件、不可能事件还是随机事件
【解】 (1)“转出的数字是5”可能发生,也可能不发生,故事件A是随机事件.
(2)“转出的数字是0”,即B={0},不是样本空间 Ω={1,2,…,10}的子集,故事件B是不可能事件.
(3)C=Ω={1,2,…,10},故事件C是必然事件.
10.写出下列试验的样本空间.
(1)随机安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班,每人值班1天,记录值班的情况;
(2)从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.
【解】 (1)设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4,
所以样本空间Ω1={(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3),
(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1)}.
(2)设正品为H,次品为T,
样本空间Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}.
能力提升
11.在10名学生中,男生有x人.现从10名学生中任选6人去参加某项活动,有下列事件:①至少有一名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x为( )
A.5 B.6 C.3或4 D.5或6
【答案】 C
【解析】 由题意知,10名学生中,男生人数少于5,但不少于3,所以x=3或x=4.故选C.
12.将一枚质地均匀的骰子掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点的个数为 .
【答案】 19
【解析】 将一枚质地均匀的骰子掷两次,先后出现的点数构成的样本点共36个.其中方程有实数根的充要条件为b2≥4c,共有1+2+4+6+6=19(个)样本点.
b 1 2 3 4 5 6
b2≥4c 样本点数 0 1 2 4 6 6
13.如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是不是通路看成是一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:
M=“恰好两个元件正常”;
N=“电路是通路”;
T=“电路是断路”.
【解】 (1)法一 分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示元件的“失效”状态,则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.
法二 如图,还可以借助树状图列出试验的所有可能结果.用1表示元件的“正常”状态,用0表示元件的“失效”状态,
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1.
所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),
(1,1,1)}.
同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),
(0,1,1),(1,0,0)}.
应用创新
14.某棋类游戏的规则为:棋子的初始位置在起点处,玩家每掷出一次质地均匀的骰子,朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如玩家第一次掷出的骰子点数为3,则走到炸弹所在位置),若踩到炸弹则返回起点重新开始,若到达终点则游戏结束.现在已知某人掷三次骰子后游戏恰好结束,则所有不同的情况种数为 .
【答案】 21
【解析】 设某人掷三次骰子的点数为(x,y,z),x,y,z∈{1,2,3,4,5,6},则符合题意的样本点有(3,4,5),(3,6,3),(3,5,4),(1,3,5),(1,4,4),(1,5,3),(1,6,2),(2,2,5),(2,3,4),(2,4,3),(2,5,2),(2,6,1),(4,1,4),(4,2,3),(4,3,2),(4,4,1),(5,1,3),(5,2,2),(5,3,1),(6,1,2),(6,2,1),共21种.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1 随机现象
1.2 样本空间
1.3 随机事件
基础巩固
1.掷一枚质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子,观察向上的一面的点数,下列属于必然事件的是( )
A.出现的点数是7 B.出现的点数不会是0
C.出现的点数是2 D.出现的点数为奇数
【答案】 B
【解析】 由正方体骰子的特征可知向上的一面的点数可能是1,2,3,4,5,6中的1个,因此不可能是0.故选B.
2.一个家庭有两个小孩,把第一个孩子的性别写在前边,第二个孩子的性别写在后边,则所有的样本点有( )
A.(男,女),(男,男),(女,女)
B.(男,女),(女,男)
C.(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)
D.(男,男),(女,女)
【答案】 C
【解析】 由题知所有的样本点是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女).故选C.
3.若随机试验的样本空间为Ω={0,1,2},则下列说法不正确的是( )
A.事件P={1,2}是随机事件
B.事件Q={0,1,2}是必然事件
C.事件M={-1,-2}是不可能事件
D.事件N={-1,0}是随机事件
【答案】 D
【解析】 随机试验的样本空间为Ω={0,1,2},对于A,事件P={1,2}是随机事件,故A正确;对于B,事件Q={0,1,2}是必然事件,故B正确;对于C,事件M={-1,-2}是不可能事件,故C正确;对于D,事件N={-1,0}是不可能事件,故D错误.故选D.
4.下列事件中,是随机事件的是( )
①射击运动员某次比赛第一枪击中9环;②投掷两枚质地均匀的正方体骰子,点数之和为14;③13个人中至少有2个人的生日在同一个月;④抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上.
A.①③ B.③④ C.①④ D.②③
【答案】 C
【解析】 根据题意,①④为随机事件,②为不可能事件,③为必然事件,所以随机事件是①④.故选C.
5.从6个同类产品(4个正品,2个次品)中,任意抽取3个,不可能事件是( )
A.3个都是正品 B.至少有1个次品
C.3个都是次品 D.至少有1个正品
【答案】 C
【解析】 抽取的3个产品,可能有3个正品;1个正品,2个次品;2个正品,1个次品的情况.所以A,B选项都是随机事件,C选项是不可能事件,D选项是必然事件.故选C.
6.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
【答案】 C
【解析】 “点P落在x轴上”包含的样本点为(-9,0),(-7,0),(-5,0),(-3,0),(-1,0),(2,0),(4,0),
(6,0),(8,0),共9个.故选C.
7.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数,则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为 .
【答案】 4
【解析】 从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),
(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10个样本点,其中三个数字之和为奇数的样本点为(1,2,4),
(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5),共4个.
8.给出下列事件:
①函数y=logax(0②学生和老师打乒乓球,老师胜利;
③一所学校共有998名学生,有3名学生的生日相同;
④若集合A,B,C满足A B,B C,则A C;
⑤在标准大气压下,河流在20 ℃时结冰;
⑥从1,3,9中任选两个数,其和为偶数.
其中属于随机事件的是 ,属于必然事件的是 ,属于不可能事件的是 (填序号).
【答案】 ②③ ④⑥ ①⑤
【解析】 ①中函数y=logax(09.某转盘被平均分成10份(如图所示).
转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.
(1)设事件A=“转出的数字是5”,事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件
(2)设事件B=“转出的数字是0”,事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件
(3)设事件C=“转出的数字x满足1≤x≤10,x∈Z”,事件C是必然事件、不可能事件还是随机事件
【解】 (1)“转出的数字是5”可能发生,也可能不发生,故事件A是随机事件.
(2)“转出的数字是0”,即B={0},不是样本空间 Ω={1,2,…,10}的子集,故事件B是不可能事件.
(3)C=Ω={1,2,…,10},故事件C是必然事件.
10.写出下列试验的样本空间.
(1)随机安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班,每人值班1天,记录值班的情况;
(2)从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.
【解】 (1)设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4,
所以样本空间Ω1={(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),(2,1,4,3),
(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1)}.
(2)设正品为H,次品为T,
样本空间Ω2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}.
能力提升
11.在10名学生中,男生有x人.现从10名学生中任选6人去参加某项活动,有下列事件:①至少有一名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x为( )
A.5 B.6 C.3或4 D.5或6
【答案】 C
【解析】 由题意知,10名学生中,男生人数少于5,但不少于3,所以x=3或x=4.故选C.
12.将一枚质地均匀的骰子掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点的个数为 .
【答案】 19
【解析】 将一枚质地均匀的骰子掷两次,先后出现的点数构成的样本点共36个.其中方程有实数根的充要条件为b2≥4c,共有1+2+4+6+6=19(个)样本点.
b 1 2 3 4 5 6
b2≥4c 样本点数 0 1 2 4 6 6
13.如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是不是通路看成是一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:
M=“恰好两个元件正常”;
N=“电路是通路”;
T=“电路是断路”.
【解】 (1)法一 分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示元件的“失效”状态,则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.
法二 如图,还可以借助树状图列出试验的所有可能结果.用1表示元件的“正常”状态,用0表示元件的“失效”状态,
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1.
所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),
(1,1,1)}.
同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),
(0,1,1),(1,0,0)}.
应用创新
14.某棋类游戏的规则为:棋子的初始位置在起点处,玩家每掷出一次质地均匀的骰子,朝上一面的点数即为向终点方向前进的格子数(比如玩家第一次掷出的骰子点数为3,则走到炸弹所在位置),若踩到炸弹则返回起点重新开始,若到达终点则游戏结束.现在已知某人掷三次骰子后游戏恰好结束,则所有不同的情况种数为 .
【答案】 21
【解析】 设某人掷三次骰子的点数为(x,y,z),x,y,z∈{1,2,3,4,5,6},则符合题意的样本点有(3,4,5),(3,6,3),(3,5,4),(1,3,5),(1,4,4),(1,5,3),(1,6,2),(2,2,5),(2,3,4),(2,4,3),(2,5,2),(2,6,1),(4,1,4),(4,2,3),(4,3,2),(4,4,1),(5,1,3),(5,2,2),(5,3,1),(6,1,2),(6,2,1),共21种.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)