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第八章 数学建模活动(一)
§1 走近数学建模
§2 数学建模的主要步骤
§3 数学建模活动的
主要过程
1.了解数学建模的概念,掌握数学建模的基本过程,提升数学建模的核心素养.2.在探究数学建模的过程中,进一步体会函数模型在现实生活中的应用,感受数学的应用价值,提升数据分析与数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 数学建模的概念
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确立参数、求解模型,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.
知识点二 数学建模的一般步骤
数学建模的过程可用下面的框图表示.
1.提出问题
实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消失.这就需要透过现象,明确地提出问题.
2.建立模型
在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.
在假设的基础上,用数学概念表示实际问题,用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题,就会得到不同的
模型.
3.求解模型
这个过程是求解数学问题.值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.
4.检验结果
用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.
知识点三 课题研究的过程
1.课题研究的过程包括“选题、开题、做题、结题”四个环节.
2.选题的概念及相关问题:
(1)概念:“选题”就是选定研究的问题.
(2)要选有一定的研究价值,并且是你有能力研究并解决的问题.
(3)选题来源:①阅读已有的研究论文,用同样的方法研究类似的问题;
②研究已有的论文,换个视角、增加问题的复杂性,进一步研究相关的问题;
③用数学的眼光观察世界,发现研究新的问题.
3.开题的概念及相关问题:
(1)开题的概念:“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.
(2)开题主要做的工作是:
①明确研究的问题,说明问题研究的价值,估计可能的结果;
②选择研究方法,确定人员分工,形成研究的实施方案;
③完成开题报告.
(3)一般的开题形式是开题讨论会,在这个会上,重点做以下两件事.
第一,提交开题报告并在会上介绍,重点讲述:研究的问题,选择此问题的原因及意义,预期研究成果,研究的方法与步骤,可能遇到的困难和对策.
第二,参会人员对开题报告进行讨论,中肯地提出意见和建议,共同完善研究设计.
4.做题的概念及相关问题:
(1)做题的概念:“做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.
(2)在“做题”的实践活动中,应当按照数学建模的步骤实施,特别需要关注以下两个问题.
①建立恰当的数学模型.
建立数学模型的关键是用数学准确地表达实际问题.在表达一个实际问题时,可以用不同的数学形式,建立不同的数学模型.如果建立的模型不当或所得结果与实际相差很多,这样的模型需要完善和改进,或者完全放弃这个模型.
②获取客观真实的数据.
厘清与问题相关的影响因素之后,就需要得到这些因素的数据或特征.获得数据或特征的方法往往是调查或实验.
5.结题的概念及相关问题:
“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程.一般来讲,结题会是结题的基本形式.
一项研究完成之后,要写出报告.报告可以写成论文形式,也可以写成研究报告表.
题型一 数学建模的步骤
[例1-1] [提出问题] 一副扑克牌有54张,从中任取多少张,可以保证一定有5张牌的花色是一样的
[建立模型] (1)一副扑克共54张牌,除去大、小王还有52张牌,其中4种花色各13张.在运气最佳的情况下,只需取5张牌就可得到同一花色的5张牌.那么问题来了,运气最不佳时至少要取多少张牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢
(2)假定至少要取N张扑克牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的.然后逆向思考问题(考虑极端情况).
[求解模型] 在运气最不佳的情况下,每种花色各有4张,再加大、小王2张,共取18张是保证一定没有5张扑克牌的花色一样的最大可能.
所以N=4×4+2+1=19.
[检验结果] 即从54张扑克牌中任取19张,可以保证一定有5张牌的花色是一样的.在很多情况下逆向地思考问题,可以使解题思路清晰、便捷.
[例1-2] [提出问题] 两根同样长的蜡烛,粗蜡烛燃烧完要3 h,细蜡烛燃烧完要1 h.现同时点燃两根蜡烛,一段时间后同时熄灭,发现粗蜡烛的剩余长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间
[建立模型] ①设两根蜡烛的长度为l cm,粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x,
y(cm/h),则有y=3x;
②同时点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭,剩余粗、细蜡烛的长度分别为R,
r,则R=3r.
[例2] 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本y(单位:元/102 kg)与上市时间x(单位:天),x∈N*的数据如下表.
题型二 待定系数法在拟和函数中的应用
上市时间x 50 110 250
种植成本y 150 108 150
(1)根据上述表格中的数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x(x∈N*)的变化关系:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a·bx,y=alogax;
(2)利用(1)中选取的函数,求西红柿种植成本最低的上市时间及最低种植
成本.
【解】 (2)当x=150时,ymin=100,
即西红柿种植成本最低的上市时间是150天,最低种植成本是100元/102 kg.
·解题策略·
在已知问题中,给出两个或多个函数模型时,常用待定系数法求出函数模型中的参数,然后再用另外的数据拟合,一般由函数模型求出的值与实际值差的绝对值较小的作为拟合函数.
[变式训练] 某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月产量依次为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,a≠0,x∈N*)或函数y=g(x)=
pqx+r(p,q,r均为待定系数,q>0,且q≠1,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好
当堂检测
1.如图,一种树的生长时间t(t≥1,t∈N*)年与树高y(单位:m)之间的关系如图所示.请你据此判断,该关系较适合的函数模型是( )
A.y=t B.y=2t
C.y=t2 D.y=log2t+0.2
D
【解析】 由图象增长特征可知,函数模型应该是缓慢增长的,故B,C不符合题意;选项A中,函数y=t的图象过点(1,1),而题图图象显然不过该点,且即使是直线模型斜率也小于1,故A不符合题意;选项D中,对数型函数增长缓慢,过点
(1,0.2),符合题意.故选D.
2.某种病毒经30 min数量繁殖为原来的2倍,且知该种病毒的繁殖规律为y=
ek t(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则经过5 h,1个病毒能繁殖为( )
A.1 024个 B.2 048个
C.512个 D.256个
A
D
4.某个体经营者把最初六个月试销售A,B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表:
A种商品的
投资金额/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利
润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
B种商品的
投资金额/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利
润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,请你设计一个资金投入方案,使该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润.(结果保留两位有效数字)
【解】 以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.
由散点图可以看出,A种商品所获纯利润y1(单位:万元)与投资金额x(单位:万元)之间的变化规律可以用二次函数模型进行拟合.
取最高点(4,2),
设y1=a(x-4)2+2(a≠0),
把点(1,0.65)代入,
得0.65=a(1-4)2+2,
解得a=-0.15,
所以y1=-0.15(x-4)2+2.【课程标准要求】 1.了解数学建模的概念,掌握数学建模的基本过程,提升数学建模的核心素养.2.在探究数学建模的过程中,进一步体会函数模型在现实生活中的应用,感受数学的应用价值,提升数据分析与数学运算的核心素养.
知识点一 数学建模的概念
数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确立参数、求解模型,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.
知识点二 数学建模的一般步骤
数学建模的过程可用下面的框图表示.
1.提出问题
实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消失.这就需要透过现象,明确地提出问题.
2.建立模型
在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.
在假设的基础上,用数学概念表示实际问题,用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.从不同角度、用不同知识表示同样的问题,就会得到不同的模型.
3.求解模型
这个过程是求解数学问题.值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.
4.检验结果
用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.
知识点三 课题研究的过程
1.课题研究的过程包括“选题、开题、做题、结题”四个环节.
2.选题的概念及相关问题:
(1)概念:“选题”就是选定研究的问题.
(2)要选有一定的研究价值,并且是你有能力研究并解决的问题.
(3)选题来源:①阅读已有的研究论文,用同样的方法研究类似的问题;
②研究已有的论文,换个视角、增加问题的复杂性,进一步研究相关的问题;
③用数学的眼光观察世界,发现研究新的问题.
3.开题的概念及相关问题:
(1)开题的概念:“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.
(2)开题主要做的工作是:
①明确研究的问题,说明问题研究的价值,估计可能的结果;
②选择研究方法,确定人员分工,形成研究的实施方案;
③完成开题报告.
(3)一般的开题形式是开题讨论会,在这个会上,重点做以下两件事.
第一,提交开题报告并在会上介绍,重点讲述:研究的问题,选择此问题的原因及意义,预期研究成果,研究的方法与步骤,可能遇到的困难和对策.
第二,参会人员对开题报告进行讨论,中肯地提出意见和建议,共同完善研究设计.
4.做题的概念及相关问题:
(1)做题的概念:“做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.
(2)在“做题”的实践活动中,应当按照数学建模的步骤实施,特别需要关注以下两个问题.
①建立恰当的数学模型.
建立数学模型的关键是用数学准确地表达实际问题.在表达一个实际问题时,可以用不同的数学形式,建立不同的数学模型.如果建立的模型不当或所得结果与实际相差很多,这样的模型需要完善和改进,或者完全放弃这个模型.
②获取客观真实的数据.
厘清与问题相关的影响因素之后,就需要得到这些因素的数据或特征.获得数据或特征的方法往往是调查或实验.
5.结题的概念及相关问题:
“结题”是研究小组向老师和同学们报告研究成果、进行答辩的过程.一般来讲,结题会是结题的基本形式.
一项研究完成之后,要写出报告.报告可以写成论文形式,也可以写成研究报告表.
题型一 数学建模的步骤
[例1-1] [提出问题] 一副扑克牌有54张,从中任取多少张,可以保证一定有5张牌的花色是一样的
[建立模型] (1)一副扑克共54张牌,除去大、小王还有52张牌,其中4种花色各13张.在运气最佳的情况下,只需取5张牌就可得到同一花色的5张牌.那么问题来了,运气最不佳时至少要取多少张牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢
(2)假定至少要取N张扑克牌,才能保证一定有5张牌的花色是一样的.然后逆向思考问题(考虑极端情况).
[求解模型] 在运气最不佳的情况下,每种花色各有4张,再加大、小王2张,共取18张是保证一定没有5张扑克牌的花色一样的最大可能.
所以N=4×4+2+1=19.
[检验结果] 即从54张扑克牌中任取19张,可以保证一定有5张牌的花色是一样的.在很多情况下逆向地思考问题,可以使解题思路清晰、便捷.
[例1-2] [提出问题] 两根同样长的蜡烛,粗蜡烛燃烧完要3 h,细蜡烛燃烧完要1 h.现同时点燃两根蜡烛,一段时间后同时熄灭,发现粗蜡烛的剩余长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间
[建立模型] ①设两根蜡烛的长度为l cm,粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x,y(cm/h),则有y=3x;
②同时点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭,剩余粗、细蜡烛的长度分别为R,r,则R=3r.
[求解模型] 根据条件有:=(燃烧时间相同),
化简为l=4r,即细蜡烛燃烧后的剩余长度是原来长度的(即燃烧了原来长度的),
所以燃烧的时间为·1=(h).
[检验结果] 为了明确各量之间的相互关系,在必要的地方可以加注.
题型二 待定系数法在拟和函数中的应用
[例2] 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本y(单位:元/102 kg)与上市时间x(单位:天),x∈N*的数据如下表.
上市时间x 50 110 250
种植成本y 150 108 150
(1)根据上述表格中的数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本y与上市时间x(x∈N*)的变化关系:y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a·bx,y=alogax;
(2)利用(1)中选取的函数,求西红柿种植成本最低的上市时间及最低种植成本.
【解】 (1)由表格中数据可知,种植成本不是常数函数,所以a≠0,而此时y=ax+b,y=a·bx,
y=alogax均为单调函数,与表中数据不符,因此满足条件的函数模型为y=ax2+bx+c,将三组数据代入得
解得所以描述西红柿种植成本y与上市时间x的变化关系的函数为y=x2-x+(x∈N*).
(2)当x=150时,ymin=100,
即西红柿种植成本最低的上市时间是150天,最低种植成本是100元/102 kg.
在已知问题中,给出两个或多个函数模型时,常用待定系数法求出函数模型中的参数,然后再用另外的数据拟合,一般由函数模型求出的值与实际值差的绝对值较小的作为拟合函数.
[变式训练] 某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月产量依次为100 t,120 t,
130 t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,a≠0,x∈N*)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,q>0,且q≠1,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好
【解】 根据题意可列方程组
解得
所以y=f(x)=-5x2+35x+70(x∈N*).①
同理y=g(x)=-80×0.5x+140(x∈N*).②
再将x=4分别代入①式与②式得f(4)=-5×42+35×4+70=130,g(4)=-80×0.54+140=135.与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,
所以②式作为模拟函数比①式更好,故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好.
当堂检测
1.如图,一种树的生长时间t(t≥1,t∈N*)年与树高y(单位:m)之间的关系如图所示.请你据此判断,该关系较适合的函数模型是( )
A.y=t B.y=2t
C.y=t2 D.y=log2t+0.2
【答案】 D
【解析】 由图象增长特征可知,函数模型应该是缓慢增长的,故B,C不符合题意;选项A中,函数y=t的图象过点(1,1),而题图图象显然不过该点,且即使是直线模型斜率也小于1,故A不符合题意;选项D中,对数型函数增长缓慢,过点(1,0.2),符合题意.故选D.
2.某种病毒经30 min数量繁殖为原来的2倍,且知该种病毒的繁殖规律为y=ek t(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则经过5 h,1个病毒能繁殖为( )
A.1 024个 B.2 048个
C.512个 D.256个
【答案】 A
【解析】 当t=0.5时,y=2,所以2=,所以k=2ln 2,所以y=e2tln 2,当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024,即经过5 h,1个病毒能繁殖为1 024个.故选A.
3.某品种鲜花进货价5元/枝,据市场调查,当销售价格x(单位:元/枝)在[5,15]时,每天售出该鲜花枝数p(x)=,若想每天获得的利润最多,则销售价格应定为( )
A.9元/枝 B.11元/枝
C.13元/枝 D.15元/枝
【答案】 D
【解析】 设每天获得的利润为y元,则y=(x-5)·=500(1-),5≤x≤15,显然此函数是增函数,故当x=15时,y取得最大值,即销售价格应定为15元/枝.故选D.
4.某个体经营者把最初六个月试销售A,B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表:
A种商品的 投资金额/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利 润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
B种商品的 投资金额/万元 1 2 3 4 5 6
所获纯利 润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,请你设计一个资金投入方案,使该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润.(结果保留两位有效数字)
【解】 以投资金额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示.
由散点图可以看出,A种商品所获纯利润y1(单位:万元)与投资金额x(单位:万元)之间的变化规律可以用二次函数模型进行拟合.
取最高点(4,2),
设y1=a(x-4)2+2(a≠0),
把点(1,0.65)代入,
得0.65=a(1-4)2+2,
解得a=-0.15,
所以y1=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y2(单位:万元)与投资金额x(单位:万元)之间的变化规律可以用一次函数模型进行拟合.
设y2=kx+b(k≠0),将点(1,0.25)和(4,1)代入,得解得所以y2=0.25x.
设下个月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(单位:万元),获得的纯利润分别为yA,yB(单位:万元),总纯利润为W(单位:万元),则
所以W=-0.15(xA-)2+.
当xA=≈3.2时,W取最大值,约为4.1,
此时xB≈8.8,
即该经营者下个月把12万元中的3.2万元投入A种商品,8.8万元投入B种商品,可获得最大纯利润,最大纯利润约为4.1万元.
基础巩固
1.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得的试验数据如下表所示.
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有4个模拟函数:①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它近似地反映这些数据的规律( )
A.① B.② C.③ D.④
【答案】 D
【解析】 根据表中数据,画出大致图象如图.
通过图象可看出,y=log2x能近似地反映这些数据的规律.故选D.
2.某工厂在某年12月份的产值是同年1月份产值的m倍,则该厂在这年产值的月平均增长率为( )
A. B.
C.-1 D.-1
【答案】 D
【解析】 由题意,设该厂该年产值的月平均增长率为p,则(1+p)11=m,
解得p=-1.故选D.
3.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型:t=-ln (t为时间,单位为min,θ0为环境温度,θ1为物体初始温度,θ为冷却后温度),假设一杯开水温度θ1=100 ℃,环境温度θ0=
20 ℃,常数k=0.2,则水温降为50 ℃大约需要(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)( )
A.5 min B.6 min C. 7 min D. 8 min
【答案】 A
【解析】 由温度冷却模型函数可得t=-ln =-5ln =5×(3ln 2-ln 3)≈5(min).故选A.
4.当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg (其中A0为常数).装修电钻的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为( )
A. B.1 C.104 D.e4
【答案】 C
【解析】 设装修电钻的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2,
由题意知,
解得
所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度的比值为==104.故选C.
5.(多选题)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(a>0且a≠1,t≥0)的图象.以下说法正确的是( )
A.每月减少的有害物质的量都相等
B.第4个月时,有害物质的剩留量就会低于
C.有害物质每月的衰减率为
D.有害物质每月的衰减率为
【答案】 BC
【解析】 因为y=at(a>0且a≠1)的图象经过点(2,),所以=a2,所以a=,即y=()t.
1月到2月,减少的有害物质的量为-=,2月到3月,减少的有害物质的量为-=,故每月减少的有害物质的量不相等,故A错误;
当t=4时,有害物质的剩留量y=<,故B正确;
有害物质每月的衰减率为1-=,故C正确,D错误.故选B,C.
6.某品牌汽车的月产量y(单位:万辆)与月份x(3
万辆(用小数表示).
【答案】 1.875
【解析】 依题意有解得a=-2,b=2,所以y=-2·()x-3+2(3当x=7时,y=-2×()4+2=1.875.
所以该品牌汽车在7月的产量为1.875万辆.
7.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体形状的无盖水池,已知池底和池壁的造价分别为100元/m2和60元/m2,总造价y(单位:元)关于底面一边长x(单位:m)的函数解析式为 .
【答案】 y=400+240(x+) (x>0)
【解析】 由题得水池的底面积为4 m2,所以底面另外一边的长度为(x>0),
所以总造价为y=4×100+2×2x·60+2×2··60=400+240(x+) (x>0).
8.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 10万元时,按销售利润的16%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金y(单位:万元),销售利润x(单位:万元).
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.
(2)如果某人获得5.6万元的奖金,那么这个人的销售利润是多少万元
【解】 (1)由题意得y=
(2)由x∈(0,10],0.16x≤1.6,而y=5.6,
所以x>10.
因此1.6+2log5(x-9)=5.6,解得x=34,所以这个人的销售利润是34万元.
9.某人用12.1万元购买了一辆汽车,每年应交付保险费、汽油费用共0.9万元,使用x年的总保养维护费为 (x2+x)(x∈N+)万元.
(1)若该车使用x年的总费用(包括购车费用)为f(x),写出f(x)关于x的函数关系式.
(2)使用多少年,年平均费用最低 (注:年平均费用指购车款、保险费、汽油费以及保养维护费的总和均摊到每年的费用)
【解】 (1)由已知得,f(x)=(x2+x)+0.9x+12.1=0.1x2+x+12.1(x∈N+).
(2)年平均费用为=0.1x++1≥2+1=3.2,当且仅当0.1x=,即x=11时,等号成立.所以使用11年,年平均费用最低.
能力提升
10.(多选题)某人创业,经过调研,他选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润p(x)(单位:万元)与每月投入的研发经费x(单位:万元)(x>0)有关:当每月投入的研发经费不高于16万元时,p(x)=-x2+6x-20,研发利润率y=.他现在已投入研发经费9万元,则下列判断正确的是( )
A.投入9万元研发经费可以获得最大研发利润率
B.要再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.要想获得最大研发利润率,还需要再投入研发经费1万元
D.要想获得最大利润,还需要再投入研发经费1万元
【答案】 BC
【解析】 当0由研发利润率y==-x+6-=-(x+)+6≤-2+6=2,
当且仅当x=,即x=10时,研发利润率取得最大值2,C正确.故选B,C.
11.根据市场调查,某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系
f(t)=(t∈N),销售量g(t)与时间t满足关系g(t)=-t+(0≤t≤40,t∈N),则这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值为 .
【答案】 176
【解析】 由题意,设日销售额为F(t),
①当0≤t<20,t∈N时,F(t)=(t+11)(-t+)=-(t-)2+×(+946),故当 t=10或11时,最大值为F(t)max=176;
②当20≤t≤40,t∈N时,F(t)=(-t+41)(-t+)=(t-42)2-,
故当t=20时,最大值为F(t)max=161,
综合①②知,当t=10或11时,日销售额最大,最大值为176.
12.有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(单位:元)与时间x(x≥2)(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=2+
(常数k>0).该商品的日销售量Q(x)(单位:百个)与时间x(x∈N+)(单位:天)部分数据如下表所示.
x 5 10 17 26
Q(x) 4 5 6 7
已知第10天该商品的日销售收入为3 500元.
(1)求实数k的值.
(2)给出以下三种函数模型:①Q(x)=px+q;②Q(x)=a|x-18|+b;③Q(x)=m+n.请依据表中的数据,从以上三种函数模型中,选择最合适的一种函数模型,来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,说明理由.并借助选择的模型,预估该商品的日销售收入f(x)(2≤x≤30,x∈N+)在哪一天达到最低
【解】 (1)由题意可知,500×(2+)=3 500,解得k=15.
(2)因为表格中Q(x)对应的数据匀速递增时,x对应的数据并未匀速变化,所以排除模型①;
又因为Q(x)=a|x-18|+b表示在x=18两侧“等距”的函数值相等(或叙述为函数图象必然关于直线x=18对称),而表格中的数据并未体现此规律,所以排除模型②;
对于模型③,将(5,4),(10,5)代入模型③,
有解得
此时Q(x)=+2,经验证,(17,6),(26,7)均满足,所以选择模型③.
因为f(x)=100Q(x)·P(x)=100(+2)·(+2)=100(19+2+)≥100×(19+4)=
1 900+400,当且仅当2=,即x=16时,等号成立,
所以日销售收入在第16天达到最低.
第八章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y,t之间的数据,将其整理得到如图所示的散点图,下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A.y=2t2 B.y=2t C.y=log2t D.y=t3
【答案】 C
【解析】 根据图中的特殊点(2,1),(4,2),通过选项可知只有y=log2t满足题意.故选C.
2.在一次数学建模活动中,某同学采集到一组数据如下表.
x -2 -1 0 1 2 3
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映y与x的函数关系的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx
C.y=a+logbx D.y=a+
【答案】 B
【解析】 由表格中的数据,作出数据的散点图,如图所示,数据散点图和指数型函数的图象类似,所以选项B最能反映y与x的函数关系.故选B.
3.公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必缴纳个人所得税,超过5 000元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:
全月应纳税所得额 税率
不超过3 000元的部分 3%
超过3 000元至12 000元的部分 10%
超过12 000元至25 000元的部分 20%
有一职工某月收入12 000元,该职工该月应缴纳个人所得税为( )
A.1 200元 B.1 040元 C.490元 D.400元
【答案】 C
【解析】 设收入为x元,所缴纳个人所得税为f(x)元,
则f(x)=
所以当x=12 000时,f(x)=90+10%×(12 000-8 000)=490.即该职工该月应缴纳个人所得税为490元.故选C.
4.一种细胞的分裂速度v(单位:个/秒)与其年龄t(单位:岁)的关系可以用下面的分段函数来表示:v(t)=其中a>0,b∈R,而且这种细胞从诞生到死亡,它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等,则a约等于(参考数据:log23≈1.585)
( )
A.6.402 B.6.463 C.6.502 D.6.522
【答案】 B
【解析】 由已知细胞5岁和60岁的分裂速度相等,即v(5)=v(60),所以0.5×5=,
整理得b=-log2,又分裂速度变化是连续的,则0.5×10=,整理得b=-log2,
所以-log2=-log2 =log2-log2=log26=1+log23,解得a≈6.463.故选B.
5.某辆汽车经过多次试验得到每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的数据如下表所示.
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系,现有以下四种模型供选择,甲:Q=av2+bv+c,乙:Q=av3+bv2+cv,丙:Q=0.5v+a,丁:Q=klogav+b.其中最符合实际的函数模型为( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】 B
【解析】 依题意可知该函数必须满足三个条件:
①定义域为[0,120];②在定义域上单调递增;③函数图象经过坐标原点.
当v=0时,Q=klogav+b没有意义,排除丁;函数Q=av2+bv+c不一定经过坐标原点,排除甲;函数Q=0.5v+a在定义域上单调递减,排除丙.故最符合实际的函数模型为乙.
故选B.
6.测定古物的年代,可以用放射性碳法.在动植物的体内都含有微量的放射性C-14.动植物死亡后,停止了新陈代谢,C-14不再产生,且原来的C-14会自动衰变.经过5 730年,它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中C-14含量占原来的,推算该古物约是m年前的遗物,则实数m的值为(参考数据:(lg 2)-1≈3.321 9)( )
A.12 302 B.13 304 C.23 004 D.24 034
【答案】 B
【解析】 设C-14每年的衰变率为P,古物中原C-14的含量为a,
由半衰期,得aP5 730=a.所以P5 730=,
即P=().
由题意,知Pm=,即()=.
于是=lo=log25==-1≈2.321 9.所以m≈5 730×2.321 9≈13 304.故选B.
7.某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒,需对喷雾完毕后,空气中每立方米药物残留量y(单位:mg)与时间x(单位:h)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到散点图如图所示.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是( )
A.y=ax+b B.y=a·()x+b(a>0)
C.y=xa+b(a>0) D.y=ax+(a>0,b>0)
【答案】 B
【解析】 由散点图可知,函数在区间(0,+∞)上单调递减,且散点分布在一条曲线附近.
函数y=ax+b的图象为一条直线,不符合题意;
函数y=a·()x+b的图象为一条曲线,且当a>0时,该函数在定义域上单调递减,符合题意;
函数y=xa+b(a>0)在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意;
函数y=ax+(a>0,b>0)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,不符合题意.故选B.
8.蔬菜价格随着季节的变化而有所变化.根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知,购买2 kg甲种蔬菜与1 kg乙种蔬菜所需费用之和大于8元,而购买4 kg甲种蔬菜与5 kg乙种蔬菜所需费用之和小于22元.设购买2 kg甲种蔬菜所需费用为A元,购买3 kg乙种蔬菜所需费用为B元,则( )
A.AC.A>B D.A,B大小不确定
【答案】 C
【解析】 设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x元/kg,y元/kg,则A=2x,B=3y,
①×22,②×8,整理得12x-18y>0,
即2x-3y>0,所以A>B.故选C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费;另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶2 km,乘客需付费8元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
【答案】 BCD
【解析】 出租车行驶2 km,乘客需付费8+1=9(元),A错误;
出租车行驶10 km,乘客需付费8+5×2.15+2×2.85+1=25.45(元),B正确;
某人乘出租车行驶5 km两次的费用为(8+2×2.15+1)×2=26.6(元),乘出租车行驶10 km一次的费用为25.45元,C正确;
当出租车行驶8 km时,费用为8+5×2.15+1=19.75(元),22.6-19.75=2.85,2.85÷2.85=1,8+1=9,
D正确.故选B,C,D.
10.某一池塘里浮萍面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系为y=2t,下列说法正确的是( )
A.浮萍每月增长率为1
B.第5个月时,浮萍面积就会超过30 m2
C.浮萍每月增加的面积都相等
D.若浮萍蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t2=t3
【答案】 ABD
【解析】 对于选项A,浮萍每月增长率为==1,即A正确;
对于选项B,当t=5时,y=2t=32>30,即B正确;
对于选项C,浮萍每月增加的面积为2t+1-2t=2t,与时间t有关,即C错误;
对于选项D,令y==2,则t1=1;令y==3,则t2=log23;令y==6,则t3=log26,所以t1+t2=
1+log23=log22+log23=log26=t3,即D正确.故选A,B,D.
11.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知,∈[60,90],∈[50,60],=40,对于选项A,可得-=20×lg
-20×lg =20×lg ,因为≥,则-=20×lg ≥0,即lg ≥0,所以≥1且p1,p2>0,可得p1≥p2,故A正确;
对于选项B,可得-=20×lg -20×lg =20×lg ,因为-=-40≥10,则20×
lg ≥10,即lg ≥,所以≥且p2,p3>0,可得p2≥p3,当且仅当=50时,等号成立,故B错误;
对于选项C,因为=20×lg =40,即lg =2,可得=100,即p3=100p0,故C正确;
对于选项D,由选项A可知,-=20×lg ,且-≤90-50=40,则20×lg ≤40,即
lg ≤2,可得≤100,且p1,p2>0,所以p1≤100p2,故D正确.故选A,C,D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A(A>0)之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=R-A.那么商家为了取得最大广告效应,投入广告费应为 .(用常数a表示)
【答案】
【解析】 D=R-A=a-A,
令t=(t>0),则A=t2,
所以D=at-t2=-(t-)2+,
所以当t=,即A=时,D取得最大值.
13.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象提出了关于这两个旅行者的如下信息:
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者.
其中正确信息的序号是 .
【答案】 ①②③
【解析】 由题图可知骑自行车者0 h出发,6 h到达乙地,骑摩托车者3 h出发,5 h到达乙地,所以骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h,故①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,故②正确;两条线的交点的横坐标是4.5,即在4.5 h时骑摩托车者追上了骑自行车者,故③正确.综上所述,正确信息的序号是①②③.
14.将初始温度为0 ℃的物体放在室温恒定为30 ℃的实验室里,现等时间间隔测量物体温度,将第n次测量得到的物体温度记为tn,t1=0 ℃,已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为k).
(1)给出以下几个模型,那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 (填序号).
①tn+1-tn=;②tn+1-tn=k(30-tn);③tn+1=k(30-tn).
(2)在上述模型下,设物体温度从5 ℃升到10 ℃所需时间为a min,从10 ℃上升到15 ℃所需时间为b min,从15 ℃上升到20 ℃所需时间为c min,那么 (用“>”“=”或“<”填空).
【答案】 (1)② (2)>
【解析】 (1)由题意,将第n次测量得到的物体温度记为tn,则两次的物体温度变化为tn+1-tn,又由物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为k),所以tn+1-tn=k(30-tn),故②符合题意.
(2)当物体温度从5 ℃升到10 ℃所需时间为a min,可得10-5=k(30-5),可得k==;当物体温度从10 ℃上升到15 ℃所需时间为b min,可得15-10=k(30-10),可得k=;当物体温度从15 ℃上升到20 ℃所需时间为c min,可得20-15=k(30-15),可得k=.则可设a=m,b=m
,c=m,m>0,又由-====>0,所以与的大小关系是>.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
为保护环境,某单位采用新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最多不超过300吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系式可近似地表示为y=x2-200x+40 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元.
(1)该单位月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低
(2)要保证该单位每月不亏损,则每月的处理量应控制在什么范围
【解】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200,x∈(0,300],
则x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=200时,等号成立,所以当月处理量为200吨时才能使每吨的平均处理成本最低.
(2)设该单位每月获利为S元,则
S=300x-y=300x-(x2-200x+40 000)=-x2+500x-40 000≥0,x∈(0,300],
即100≤x≤400,由题意可知016.(本小题满分15分)
某国产车企业在辅助驾驶技术方面日益成熟,近期拟推出一款高阶智驾新车型,并决定大量投放市场.已知该车型年固定研发成本为3 000万元,每生产x百辆,需另投入成本m(x)万元,且m(x)=由市场调研知,每辆车的售价为9万元,且生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式(利润=销售量×售价-成本);
(2)年产量为多少百辆时,该企业所获年利润最大 并求出最大年利润.
【解】 (1)由题意可知L(x)=900x-m(x)-3 000,
当0当x>40时,L(x)=900x-904x-+16 362.5-3 000=13 362.5-(4x+).
综上所述,L(x)=
(2)当0所以当x=40时,L(x)max=L(40)=13 000;
当x>40时,
L(x)=13 362.5-(4x+)≤13 362.5-2=13 362.5-360=13 002.5,
当且仅当4x=,即x=45时,等号成立.
又因为13 002.5>13 000,
所以L(x)max=L(45)=13 002.5,即当年产量为45百辆时,该企业所获年利润最大,且最大年利润为13 002.5万元.
17.(本小题满分15分)
某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:万元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=4+x,每日的销售额S(单位:万元)与日产量x满足函数关系式S= 已知每日的利润L=S-C,且当x=4时,L=7.
(1)求实数k的值;
(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大 试求此最大值.
【解】 由题意,每日的利润L与日产量x的函数关系式为L=
(1)当x=4时,L=7,即7=2×4+1+,
所以k=8.
(2)当x≥7时,L=14-x单调递减,
故当x=7时,Lmax=7;
当0当且仅当2(8-x)=(0即x=6时,等号成立,Lmax=9.
综合上述情况,当日产量为6吨时,每日的利润可以达到最大,最大值为9万元.
18.(本小题满分17分)
某公司生产电饭煲,每年需投入固定成本40万元,每生产1万件还需另投入16万元的变动成本,设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完,每1万件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=-(10(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式,并求年利润的最大值;
(2)为了让年利润W不低于2 360万元,求年产量x的取值范围.
【解】 (1)W=xR(x)-(16x+40)
=--16x+4 360
=-(+16x)+4 360(10因为+16x≥2=1 600,
当且仅当x=50时,等号成立,
所以W≤-1 600+4 360=2 760,
故年利润的最大值为2 760万元.
(2)W=--16x+4 360≥2 360,10解得25≤x≤100.
又10故为了让年利润W不低于2 360万元,年产量x的取值范围是[25,100).
19.(本小题满分17分)
某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案:要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,该公司对函数模型的基本要求:当x∈[25,1 600]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤90恒成立;③f(x)≤恒成立.
(1)现有两个奖励函数模型:f(x)=x+10;f(x)=2-6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求;
(2)若函数f(x)=a-10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.
【解】 (1)对于函数模型f(x)=x+10,验证条件③:当x=30时,f(x)=12,而=6,
即f(x)≤不成立,故不符合公司要求;
对于函数模型f(x)=2-6,
当x∈[25,1 600]时,f(x)是增函数,满足条件①;
所以f(x)max=2-6=2×40-6=74<90,满足条件②;
记g(x)=2-6-(25≤x≤1 600),
则g(x)=-(-5)2-1,
因为∈[5,40],所以当=5时,
g(x)max=-×(5-5)2-1=-1<0,
所以f(x)≤恒成立,即满足条件③,
故函数模型f(x)=2-6符合公司要求.
(2)因为a≥2,所以函数f(x)=a-10满足条件①;
由函数f(x)=a-10满足条件②,
得a-10=a×40-10≤90,
解得a≤;
由函数f(x)=a-10满足条件③,
得a-10≤ 对x∈[25,1 600]恒成立,
即a≤+ 对x∈[25,1 600]恒成立.
因为+≥2,当且仅当=,
即x=50时,等号成立,所以a≤2.
综上所述,实数a的取值范围为[2,].
综合测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|1A.{x|x<3} B.{x|x<2}
C.{x|2≤x<3} D.{x|1【答案】 A
【解析】 由集合并集的定义可得,A∪B={x|x<3}.故选A.
2.心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数,也叫安静心率,一般为60～100次/分.某生统计了自己的一组心率为80,76,a,80,83,81,85,b,平均数为80且a,b是两个相邻的数,则这组数据的75%分位数是( )
A.79 B.80 C.81 D.82
【答案】 D
【解析】 80,76,a,80,83,81,85,b的平均数为80,
则×(80+76+a+80+83+81+85+b)=80,解得a+b=155,a,b是两个相邻的数,则a=77,b=78或a=78,b=77,故这组心率从小到大排序为76,77,78,80,80,81,83,85,0.75×8=6,
故这组数据的75%分位数是=82.故选D.
3.函数f(x)=的图象大致是( )
A B C D
【答案】 C
【解析】 由题意,函数f(x)=的定义域为
{x|x≠±1},又当x>1时,f(x)<0,排除B,D;
当00,排除A.故选C.
4.设函数f(x)=若f(3)=a,则f(a-2)等于( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意f(3)=log23=a,因为log23-2=log23-log24<0,所以f(a-2)=f(log23-2)=
=×2-2=.故选C.
5.已知高一某班男生、女生比例为3∶2,为了解该班学生一周购买文具的支出情况,利用分层随机抽样的方法抽取若干人进行调查,调查结果如表,则估算该班学生在本周购买文具支出的方差是( )
项目 平均支出/元 方差
男生 40 6
女生 35 4
A.10.3 B.11.2 C.12 D.13.4
【答案】 B
【解析】 估算该班学生在本周购买文具支出的平均数=×(3×40+2×35)=38,方差s2=×[6+
(40-38)2]+×[4+(35-38)2]=11.2.
故选B.
6.函数y=log0.3(-x2+6x+55)的单调递减区间是( )
A.[3,11) B.(-5,3]
C.(-∞,3] D.(11,+∞)
【答案】 B
【解析】 由-x2+6x+55>0,解得-57.已知p:实数x满足(x-a)(3a-x)>0,q:实数x满足≤0,当a<0时,若q是p的充分条件,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,-1) B.[-2,-1)
C.[-2,-1] D.(-∞,-2)∪(-1,+∞)
【答案】 B
【解析】 对于p,由于a<0,所以由(x-a)(3a-x)>0,解得3a解得-3≤x<-2,若q是p的充分条件,则解得-2≤a<-1.故选B.
8.已知函数f(x)=ex+e-x+lg |x|,则不等式f(x+1)>f(2x-1)的解集为( )
A.(0,2) B.(0,)∪(,2)
C.(0,3) D.(0,)∪(,3)
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=ex+e-x+lg |x|的定义域为{x|x≠0},关于原点对称且f(-x)=e-x+ex+lg |-x|=
ex+e-x+lg |x|=f(x),即f(x)是偶函数.当x>0时,f(x)=ex+e-x+lg x,构造y=ex+e-x,x∈(0,+∞),令t=ex>1,则y=t+在(1,+∞)上单调递增,又t=ex也是增函数,则y=ex+e-x在(0,+∞)上单调递增,又y=lg x是定义域内的增函数,故f(x)=ex+e-x+lg x在(0,+∞)上单调递增,结合偶函数的性质,不等式f(x+1)>f(2x-1)等价于f(|x+1|)>f(|2x-1|),
即解得0f(2x-1)的解集为(0,)∪(,2).故选B.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若a,b,c∈R,则下列命题正确的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b,则a-c>b-c
C.若a>b,则a2>b2
D.若a>b,则2a>2b
【答案】 BD
【解析】 当c=0时,ac2=bc2,故A错误;若a>b,则a-b>0=c-c,移项可得a-c>b-c,故B正确;当a=1,b=-2时,满足a>b,此时a2b时,2a>2b,故D正确.故选B,D.
10.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},则下列说法正确的是( )
A.a<0
B.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|-C.a+b+c<0
D.+的最小值为-4
【答案】 AB
【解析】 因为关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},
所以-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,故A正确;
所以解得
所以cx2-bx+a<0,即-12ax2+ax+a<0,即12x2-x-1<0,解得-a+b+c=a-a-12a=-12a>0,故C错误;
因为a<0,b=-a,c=-12a,所以-3a+4>4,则+=-6a=+2(-3a+4)-8≥
2-8=-4,
当且仅当=2(-3a+4),即a=1时,等号成立,与a<0矛盾,所以+取不到最小值-4,故D错误.故选A,B.
11.从甲袋中摸出1个红球的概率是,从乙袋中摸出1个红球的概率是,从两袋各摸出1个球,下列结论正确的是( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球中恰有1个红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球不都是红球的概率为
【答案】 BC
【解析】 对于A,因为从甲袋中摸出1个红球的概率是,从乙袋中摸出1个红球的概率是,所以2个球都是红球的概率P=×=,故A错误;
对于B,因为从甲袋中摸出1个红球的概率是,从乙袋中摸出1个红球的概率是,所以2个球中恰有 1个红球的概率P=×(1-)+(1-)×=,故B正确;
对于C,因为从甲袋中摸出1个红球的概率是,从乙袋中摸出1个红球的概率是,所以至少有1个红球的概率P=×(1-)+(1-)×+×=,故C正确;
对于D,因为从甲袋中摸出1个红球的概率是,从乙袋中摸出1个红球的概率是,所以2个球不都是红球的概率P=1-×=,故D错误.故选B,C.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若2a=3,8b=9,则= .
【答案】
【解析】 因为8b=9,所以b=log89=lo32=log23,又2a=3,所以a=log23,所以==.
13.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境,从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖,繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期,可用对数模型K(n)=λlog3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系,且Q=+1,在物种入侵初期,基于现有数据得出Q=6,T=60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为 天.(结果保留一位小数.参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
【答案】 19.5
【解析】 因为Q=+1,Q=6,T=60,
所以6=+1,
解得λ=12.
设初始时间为K1,初始累计繁殖数量为n,累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为K2,
则K2-K1=12log3(6n)-12log3n=12log36=12×=12×()≈19.5(天).
14.已知函数f(x)=-x+2,g(x)=+m,若对任意x1∈[1,2],存在x2∈(-2,3),使得f(x1)=g(x2),则实数m的取值范围为 .
【答案】 (-,-3]
【解析】 由条件可得,f(x)的值域是g(x)的值域的子集,其中f(x)=-x+2,x∈[1,2],则f(x)∈[0,1].g(x)=+m=+m=x+3+-1+m,令x+3=t,且x∈(-2,3),则t∈(1,6),则y=t+-1+m,当t∈(1,2)时,函数单调递减,当t∈(2,6)时,函数单调递增,当t=2时,y=3+m,当t=6时,y=+m,所以g(x)∈[3+m,+m).由f(x)的值域是g(x)的值域的子集,可得解得-四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
已知幂函数f(x)=(a2-3a+3)xa为偶函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)+(2m-1)x-3在[-1,3]上的最大值为2,求实数m的值.
【解】 (1)因为f(x)=(a2-3a+3)xa为幂函数,
所以a2-3a+3=1,解得a=2或a=1,
因为f(x)为偶函数,
所以a=2,故f(x)的解析式为f(x)=x2.
(2)由(1)知g(x)=x2+(2m-1)x-3,则g(x)图象的对称轴为直线x=,且开口向上,
当≤1,即m≥-时,
g(x)max=g(3)=3+6m=2,
解得m=-;
当>1,
即m<-时,
g(x)max=g(-1)=-1-2m=2,
解得m=-.
综上所述,m=-或m=-.
16.(本小题满分15分)
某企业在现有设备下每日生产总成本y(单位:万元)与日产量x(单位:吨)之间的函数关系式为y=2x2+(10-3k)x+12k+8.现为了减少大气污染,该企业引进了除尘设备,每吨产品除尘费用为k万元,除尘后,当日产量x=2时,每日生产总成本y=52.
(1)求k的值;
(2)若每吨产品出厂价为48万元,试求除尘后日产量为多少吨时,每吨产品的利润最大,最大利润为多少万元
【解】 (1)由题意,除尘后总成本y=2x2+(10-3k)x+12k+8+kx=2x2+(10-2k)x+12k+8,将x=2,
y=52代入得52=2×22+(10-2k)×2+12k+8,解得k=2.
(2)由(1)得y=2x2+6x+32,总利润L=48x-(2x2+6x+32)=42x-2x2-32(x>0),
则每吨产品的利润为=42-2(x+)≤42-4=26,当且仅当x=,即x=4时,等号成立,所以除尘后日产量为4吨时,每吨产品的利润最大,最大利润为26万元.
17.(本小题满分15分)
为了研究某种理财工具的使用情况,对[20,70]年龄段的人员进行了调查研究,将各年龄段人数分成5组:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70],并整理得到频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中a的值;
(2)采用分层随机抽样的方法,从第二组、第三组、第四组中共抽取8人,则这三个组中各抽取多少人
(3)在(2)中抽取的8人中,随机抽取2人,则这2人都来自第三组的概率是多少
【解】 (1)由频率分布直方图的性质,可得(0.040+2a+0.015+0.005)×10=1,
解得a=0.020.
(2)由频率分布直方图知第二组、第三组、第四组的频率之比为1∶2∶1,
所以这三个组依次抽取的人数为2,4,2.
(3)记第二组两人分别为A1,A2,第三组四人分别为B1,B2,B3,B4,第四组两人分别为C1,C2,
则样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),
(A2,B4),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,C1),(B2,C2),
(B3,B4),(B3,C1),(B3,C2),(B4,C1),(B4,C2),(C1,C2)},共28个样本点,都来自第三组的为(B1,B2),
(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共6个样本点,
故这2人都来自第三组的概率为P==.
18.(本小题满分17分)
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求m,n的值;
(2)当x∈[,3]时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,所以n=1.
又由f(-1)=-f(1),所以m=2.
检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.
(2)由(1)知f(x)==-+,
任取x1,x2∈R,设x1因为函数y=2x在R上是增函数,
且x1又(+1)(+1)>0,
所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)所以函数f(x)在R上是减函数.
因为f(x)是奇函数,从而不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)= f(1-2x),
因为f(x)在R上是减函数,可得kx2<1-2x,即对一切x∈[,3],有k<恒成立,
设g(x)==()2-2·,
令t=,则t∈[,2],
则令h(t)=t2-2t,t∈[,2],
所以g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,
所以k<-1,即实数k的取值范围为(-∞,-1).
19.(本小题满分17分)
已知a∈R,函数f(x)=log2(+a).
(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;
(2)若函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,求实数a的取值范围.
【解】 (1)当a=5时,f(x)=log2(+5),
由f(x)>0,即log2(+5)>0,可得+5>1,
解得x<-或x>0,
即不等式f(x)>0的解集为
{x|x<-或x>0}.
(2)由g(x)=f(x)+2log2x=log2(+a)+2log2x=log2[(+a)·x2] (其中x>0),
因为函数g(x)=f(x)+2log2x(x>0)只有一个零点,
即方程g(x)=0只有一个根,
即(+a)·x2=1在(0,+∞)上只有一个解,
即ax2+x-1=0在(0,+∞)上只有一个解.
①当a=0时,方程x-1=0,解得x=1,符合题意;
②当a≠0时,设函数y=ax2+x-1,
当a>0时,此时函数y=ax2+x-1与x轴的正半轴只有一个交点,符合题意;
当a<0时,要使得函数y=ax2+x-1与x轴的正半轴只有一个交点,
需满足解得a=-.
综上可得,实数a的取值范围是{-}∪[0,+∞).
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1.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得的试验数据如下表所示.
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
现有4个模拟函数:①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x.请从中选择一个模拟函数,使它近似地反映这些数据的规律( )
A.① B.② C.③ D.④
【答案】 D
【解析】 根据表中数据,画出大致图象如图.
通过图象可看出,y=log2x能近似地反映这些数据的规律.故选D.
2.某工厂在某年12月份的产值是同年1月份产值的m倍,则该厂在这年产值的月平均增长率为( )
A. B.
C.-1 D.-1
【答案】 D
【解析】 由题意,设该厂该年产值的月平均增长率为p,则(1+p)11=m,
解得p=-1.故选D.
3.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型:t=-ln (t为时间,单位为min,θ0为环境温度,θ1为物体初始温度,θ为冷却后温度),假设一杯开水温度θ1=100 ℃,环境温度θ0=
20 ℃,常数k=0.2,则水温降为50 ℃大约需要(参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1)( )
A.5 min B.6 min C. 7 min D. 8 min
【答案】 A
【解析】 由温度冷却模型函数可得t=-ln =-5ln =5×(3ln 2-ln 3)≈5(min).故选A.
4.当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lg (其中A0为常数).装修电钻的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为( )
A. B.1 C.104 D.e4
【答案】 C
【解析】 设装修电钻的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2,
由题意知,
解得
所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度的比值为==104.故选C.
5.(多选题)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(a>0且a≠1,t≥0)的图象.以下说法正确的是( )
A.每月减少的有害物质的量都相等
B.第4个月时,有害物质的剩留量就会低于
C.有害物质每月的衰减率为
D.有害物质每月的衰减率为
【答案】 BC
【解析】 因为y=at(a>0且a≠1)的图象经过点(2,),所以=a2,所以a=,即y=()t.
1月到2月,减少的有害物质的量为-=,2月到3月,减少的有害物质的量为-=,故每月减少的有害物质的量不相等,故A错误;
当t=4时,有害物质的剩留量y=<,故B正确;
有害物质每月的衰减率为1-=,故C正确,D错误.故选B,C.
6.某品牌汽车的月产量y(单位:万辆)与月份x(3 万辆(用小数表示).
【答案】 1.875
【解析】 依题意有解得a=-2,b=2,所以y=-2·()x-3+2(3当x=7时,y=-2×()4+2=1.875.
所以该品牌汽车在7月的产量为1.875万辆.
7.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体形状的无盖水池,已知池底和池壁的造价分别为100元/m2和60元/m2,总造价y(单位:元)关于底面一边长x(单位:m)的函数解析式为 .
【答案】 y=400+240(x+) (x>0)
【解析】 由题得水池的底面积为4 m2,所以底面另外一边的长度为(x>0),
所以总造价为y=4×100+2×2x·60+2×2··60=400+240(x+) (x>0).
8.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过 10万元时,按销售利润的16%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金y(单位:万元),销售利润x(单位:万元).
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.
(2)如果某人获得5.6万元的奖金,那么这个人的销售利润是多少万元
【解】 (1)由题意得y=
(2)由x∈(0,10],0.16x≤1.6,而y=5.6,
所以x>10.
因此1.6+2log5(x-9)=5.6,解得x=34,所以这个人的销售利润是34万元.
9.某人用12.1万元购买了一辆汽车,每年应交付保险费、汽油费用共0.9万元,使用x年的总保养维护费为 (x2+x)(x∈N+)万元.
(1)若该车使用x年的总费用(包括购车费用)为f(x),写出f(x)关于x的函数关系式.
(2)使用多少年,年平均费用最低 (注:年平均费用指购车款、保险费、汽油费以及保养维护费的总和均摊到每年的费用)
【解】 (1)由已知得,f(x)=(x2+x)+0.9x+12.1=0.1x2+x+12.1(x∈N+).
(2)年平均费用为=0.1x++1≥2+1=3.2,当且仅当0.1x=,即x=11时,等号成立.所以使用11年,年平均费用最低.
能力提升
10.(多选题)某人创业,经过调研,他选择了一种技术产品,生产此产品获得的月利润p(x)(单位:万元)与每月投入的研发经费x(单位:万元)(x>0)有关:当每月投入的研发经费不高于16万元时,p(x)=-x2+6x-20,研发利润率y=.他现在已投入研发经费9万元,则下列判断正确的是( )
A.投入9万元研发经费可以获得最大研发利润率
B.要再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C.要想获得最大研发利润率,还需要再投入研发经费1万元
D.要想获得最大利润,还需要再投入研发经费1万元
【答案】 BC
【解析】 当0由研发利润率y==-x+6-=-(x+)+6≤-2+6=2,
当且仅当x=,即x=10时,研发利润率取得最大值2,C正确.故选B,C.
11.根据市场调查,某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系
f(t)=(t∈N),销售量g(t)与时间t满足关系g(t)=-t+(0≤t≤40,t∈N),则这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值为 .
【答案】 176
【解析】 由题意,设日销售额为F(t),
①当0≤t<20,t∈N时,F(t)=(t+11)(-t+)=-(t-)2+×(+946),故当 t=10或11时,最大值为F(t)max=176;
②当20≤t≤40,t∈N时,F(t)=(-t+41)(-t+)=(t-42)2-,
故当t=20时,最大值为F(t)max=161,
综合①②知,当t=10或11时,日销售额最大,最大值为176.
12.有关部门对某航模专卖店的商品销售情况进行调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(单位:元)与时间x(x≥2)(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=2+
(常数k>0).该商品的日销售量Q(x)(单位:百个)与时间x(x∈N+)(单位:天)部分数据如下表所示.
x 5 10 17 26
Q(x) 4 5 6 7
已知第10天该商品的日销售收入为3 500元.
(1)求实数k的值.
(2)给出以下三种函数模型:①Q(x)=px+q;②Q(x)=a|x-18|+b;③Q(x)=m+n.请依据表中的数据,从以上三种函数模型中,选择最合适的一种函数模型,来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,说明理由.并借助选择的模型,预估该商品的日销售收入f(x)(2≤x≤30,x∈N+)在哪一天达到最低
【解】 (1)由题意可知,500×(2+)=3 500,解得k=15.
(2)因为表格中Q(x)对应的数据匀速递增时,x对应的数据并未匀速变化,所以排除模型①;
又因为Q(x)=a|x-18|+b表示在x=18两侧“等距”的函数值相等(或叙述为函数图象必然关于直线x=18对称),而表格中的数据并未体现此规律,所以排除模型②;
对于模型③,将(5,4),(10,5)代入模型③,
有解得
此时Q(x)=+2,经验证,(17,6),(26,7)均满足,所以选择模型③.
因为f(x)=100Q(x)·P(x)=100(+2)·(+2)=100(19+2+)≥100×(19+4)=
1 900+400,当且仅当2=,即x=16时,等号成立,
所以日销售收入在第16天达到最低.
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