1.4 随机事件的运算
基础巩固
1.对于两个事件M,N,则事件M∪N表示的含义是( )
A.M与N同时发生
B.M与N不能同时发生
C.M与N有且仅有一个发生
D.M与N至少有一个发生
【答案】 D
【解析】 事件M∪N表示的含义是M与N至少有一个发生.故选D.
2.给出事件A与B的关系示意图如图所示,则( )
A.A B
B.A=B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
【答案】 C
【解析】 由题图知,A与B之间不存在包含关系,故 A错误;A与B之间不相等,故B错误;A与B不能同时发生,从而A与B互斥,故C正确;因为 A∪B≠Ω,所以A与B不互为对立事件,故D错误.故选C.
3.将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人,每人至少分得一本,则下列两个事件为互斥事件的是( )
A.事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”
B.事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”
C.事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”
D.事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”
【答案】 C
【解析】 甲、乙、丙三人,有一人分得两本书,另两人各分得一本书,且一本书不可能同时属于两个人.“甲分得一本”与“丙分得两本”可同时发生,故不是互斥事件,因此A不正确;“甲分得《红楼梦》”与“乙分得《西游记》”可同时发生,故不是互斥事件,因此 B不正确;“甲分得两本”与“乙分得两本”不可能同时发生,是互斥事件,因此C正确;“乙分得《三国演义》”与“丙分得《水浒传》”可同时发生,故不是互斥事件,因此D不正确.故选C.
4.掷一枚质地均匀的骰子,设事件A={出现的点数不大于3},B={出现的点数为偶数},则( )
A.A∪B=Ω
B.事件A与B是互斥事件
C.A∩B={出现的点数为2}
D.事件A与B是对立事件
【答案】 C
【解析】 掷骰子出现的点数为1,2,3,4,5,6,共6种,即 Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1,2,3},
B={2,4,6},故A∪B={1,2,3,4,6}≠Ω,A∩B={2},即事件A,B既不互斥也不对立,显然C正确.故选C.
5.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件:事件A为“恰有1件次品”;事件B为“至少有2件次品”;事件C为“至少有1件次品”;事件D为“至多有1件次品”.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号有( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
【答案】 A
【解析】 事件A∪B表示的事件为“至少有1件次品”,即事件C,所以①正确;事件D∪B表示的事件为“至少有2件次品或至多有1件次品”,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩B= ,③不正确;事件A∩D表示的事件为“恰有1件次品”,即事件A,所以④不正确.故选A.
6.(多选题)从分别写有1,2,3,4,5以及a,b,c,d的 9张纸条中任意抽取两张,有如下随机事件:
A=“恰有一张写有数字”,B=“恰有一张写有字母”,C=“至少有一张写有数字”,D=“两张都写有数字”,E=“至多有一张写有字母”.
下列结论正确的有( )
A.B C B.A=B
C.D∩E= D.D C
【答案】 ABD
【解析】 事件A即“一张写有数字一张写有字母”,事件B即“一张写有数字一张写有字母”,事件C即“一张写有数字一张写有字母或两张都写有数字”,事件D即“两张都写有数字”,事件E即“一张写有数字一张写有字母或两张都写有数字”,所以B C,A=B,D∩E=D,D C.故选A,B,D.
7.某人打靶时连续射击两次,事件“至多一次中靶”的对立事件为 .
【答案】 两次都中靶
【解析】 事件“至多一次中靶”包含“两次都没有中靶”和“恰有一次中靶”,所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”.
8.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,设“这 2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则事件A∪B包含的样本点数为 ,事件A∩B包含的样本点数为 .
【答案】 5 1
【解析】 从1,2,3,4这4个数中,任取2个数,则试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),
(2,3),(2,4),(3,4)}.其中事件A包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,事件B包含的样本点有(1,3),(2,4),共2个,所以事件A∪B包含的样本点有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个,事件A∩B包含的样本点有(2,4),共1个.
9.生产某种产品需要2道工序,设事件A={第一道工序加工合格},事件B={第二道工序加工合格},用A,B,,表示下列事件:C={产品合格},D={产品不合格}.
【解】 要使得产品合格,需要第一道工序和第二道工序加工都合格,即事件A,B同时发生,所以C=A∩B;产品不合格,就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道工序加工不
合格,
所以D=(A∩)∪(∩B)∪(∩).
10.如图所示是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况,其中A表示订阅数学学习资料的学生,B表示订阅语文学习资料的学生,C表示订阅英语学习资料的学生.
(1)从这个班任意选择一名学生,用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件.
(2)用A,B,C表示下列事件:
①至少订阅一种学习资料;
②恰好订阅一种学习资料;
③没有订阅任何学习资料.
【解】 (1)由给定图形可知,区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅;
区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料;
区域5表示该生只订阅语文学习资料;
区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.
(2)①至少订阅一种学习资料的事件即事件A发生,或者事件B发生,或者事件C发生,所以至少订阅一种学习资料的事件为A∪B∪C.
②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学学习资料的事件A∩∩,只订阅语文学习资料的事件 ∩B∩,只订阅英语学习资料的事件 ∩∩C,它们互斥,所以恰好订阅一种学习资料的事件为(A∩∩)∪(∩B∩)∪(∩∩C).
③没有订阅任何学习资料的事件是事件,,同时发生,所以这个事件表示为∩∩.
能力提升
11.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci={点数为i},其中i=1,2,3,4,5,6,
E1={点数不大于3},E2={点数大于3},E3={点数大于4},F={点数为奇数},则下列结论错误的是( )
A.F=E1∪E2∪E3 B.C2,C3为对立事件
C.E3 E2 D.E1,E2为对立事件
【答案】 AB
【解析】 由题意得,C2={点数为2},C3={点数为3},E1={点数不大于3}={点数为1,2,3},E2
={点数大于3}={点数为4,5,6},E3={点数大于4}={点数为5,6},F={点数为奇数}={点数为1,3,5},因为E1∪E2∪E3={点数为1,2,3,4,5,6},所以 F≠E1∪E2∪E3,所以A错误,符合题意;因为 C2∩C3= ,C2∪C3={点数为2,3},所以C2,C3为互斥事件,但不是对立事件,所以B错误,符合题意;对于C,因为E3 E2,所以C正确,不符合题意;因为E1∪E2={点数为1,2,3,4,5,6},且E1∩E2= ,所以E1,E2为对立事件,所以D正确,不符合题意.故选A,B.
12.某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅,记事件A表示“只订甲报刊”,事件B表示“至少订一种报刊”,事件C表示“至多订一种报刊”,事件D表示“不订甲报刊”,事件E表示“一种报刊也不订”.则下列事件是互斥事件的为 ,是对立事件的为 (填序号).
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
【答案】 (2) (2)
【解析】 (1)由于事件C “至多订一种报刊”中有可能“只订甲报刊”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,故 B与 E还是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报刊”,即有可能“不订甲报刊”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不互斥.
(4)事件B“至少订一种报刊”中包含的事件有“只订甲报刊”“只订乙报刊”“订甲、乙两种报刊”;事件C “至多订一种报刊”中包含的事件有“一种报刊也不订”“只订甲报刊”“只订乙报刊”.由于这两个事件有可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析,事件E “一种报刊也不订”是事件C的一种可能,故事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.
13.一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件 R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)写出事件R与G,M与N之间的关系;
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.
【解】 (1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,
所以试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},
事件R={(1,2),(2,1)},事件G={(3,4),(4,3)},事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},事件N={(1,3),
(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}.
(2)由(1)知,R∩G= ,而R∪G≠Ω,所以事件R,G互斥,不对立;
M∩N= ,M∪N=Ω,所以事件M,N互为对立事件.
(3)由(1)知,R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件.
应用创新
14.设A,B,C表示三个随机事件,试用A,B,C的关系和运算分别表示下列事件:
三个事件中至多有两个发生为 ;三个事件中至少有两个发生为 .
【答案】 (A∩B∩)∪(A∩∩C)∪(∩B∩C)∪(A∩B∩C)
【解析】 三个事件中至多有两个发生,即三个事件不能同时发生,所以三个事件中至多有两个发生表示为;三个事件中至少有两个发生,即两个事件发生且另一个事件不发生或者三个事件同时发生,所以三个事件中至少有两个发生表示为(A∩B∩)∪(A∩∩C)∪(∩B∩C)∪(A∩B∩C).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4 随机事件的运算
【课程标准要求】 1.了解交事件和并事件的关系,提升数学抽象与逻辑推理的核心素养.2.理解互斥事件和对立事件的关系,提升逻辑推理的核心素养.
知识点一 事件的运算
事件的 运算 定义 记法 图示
一般地,由事件A与事件B都发生所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
一般地,由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)
知识点二 互斥事件与对立事件
项目 定义 图示
互斥 事件 一般地,不能同时发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件
对立 事件 若A∩B= ,且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为对立事件,事件A的对立事件记为
知识拓展
(1)对互斥事件的理解.
① 与任意事件互斥.
②事件A与事件B互斥包含三种情况:事件A发生,事件B不发生;事件A不发生,事件B发生;事件A不发生,事件B也不发生.注意与事件A+B进行区别.
③如果事件A1,A2,…,An中任意两个都互斥,则称它们两两互斥.
(2)互斥事件与对立事件的联系.
①如果事件A与事件B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件;
②对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是对立事件,则A∪B是必然事件.
题型一 交事件与并事件
[例1] 盒子中有标号为1,2,3的白球各1个,标号为1,2的黑球各1个.从中倒出3个,观察结果.写出试验的样本空间,用集合表示下列事件.
(1)A=“3个都是白球”;
(2)B=“至少有2个白球”;
(3)C=“至少有1个白球”;
(4)求:A∪B,A∩B,并解释它们的含义.
【解】 设标号为1,2,3的白球为a,b,c,标号为1,2的黑球为e,f,
则试验的样本空间为Ω={abc,abe,abf,ace,acf,aef,bce,bcf,bef,cef}.
(1)A={abc}.
(2)B={abc,abe,abf,ace,acf,bce,bcf}.
(3)C={abc,abe,abf,ace,acf,aef,bce,bcf,bef,cef}.
(4)A∪B=B,表示“至少有2个白球”;
A∩B=A,表示“3个都是白球”.
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
[变式训练] 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
【解】 由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)E=B∪C.
题型二 互斥事件和对立事件
[例2] 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
【解】 从3名男生和2名女生中任选2名同学有三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选出的是2名女生时,两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是不是对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B= ;
②若事件A与B对立,则集合A∩B= 且A∪B=Ω.
[变式训练] 袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球.
①恰有1个白球和全是白球;
②至少有1个白球和全是黑球;
③至少有1个白球和至少有2个白球;
④至少有1个白球和至少有1个黑球.
在上述事件中,是互斥事件但不是对立事件的为( )
A.② B.① C.③ D.④
【答案】 B
【解析】 记a表示白球,b表示黑球,从袋中任取3个球,共包括4个样本点,分别为{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},{b,b,b}.
对于①,事件“恰有1个白球”包含的样本点为{a,b,b},事件“全是白球”包含的样本点为{a,a,a},由互斥事件和对立事件的定义可知事件“恰有1个白球”和“全是白球”是互斥事件,但不是对立事件;
对于②,事件“至少有1个白球”包含的样本点为{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},事件“全是黑球”包含的样本点为{b,b,b},由互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至少有1个白球”和“全是黑球”是互斥事件,也是对立事件;
对于③,事件“至少有1个白球”包含的样本点为{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},事件“至少有2个白球”包含的样本点为{a,a,a},{a,a,b},由互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至少有1个白球”和“至少有2个白球”既不是互斥事件,也不是对立事件;
对于④,事件“至少有1个白球”包含的样本点为{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},事件“至少有1个黑球”包含的样本点为{a,a,b},{a,b,b},{b,b,b},由互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”既不是互斥事件,也不是对立事件.故选B.
题型三 事件运算的综合问题
[例3] 在投掷骰子的试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如A表示随机事件“出现1点”,B表示随机事件“出现3点或4点”,C表示随机事件“出现的点数是奇数”,D表示随机事件“出现的点数是偶数”.
(1)说明以上4个事件的关系;
(2)求两两事件交与并的运算.
【解】 在投掷骰子的试验中,向上出现的点数有6个样本点,记Ai表示事件“出现点数i”(其中i=1,2,…,6).则A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥,但不对立,事件A包含于事件C,事件A与D互斥,但不对立;事件B与C不是互斥事件,事件B与D也不是互斥事件;事件C与D是互斥事件,也是对立事件.
(2)A∩B= ,A∩C=A,A∩D= ,C∩D= .
B∩C=A3表示事件“出现3点”,
B∩D=A4表示事件“出现4点”.A∪B=A1∪A3∪A4表示事件“出现的点数是1或3或4”,
A∪C=C表示事件“出现的点数是1或3或5”,
A∪D=A1∪A2∪A4∪A6表示事件“出现的点数是1或2或4或6”,
B∪C表示事件“出现的点数是1或3或4或5”,
B∪D表示事件“出现的点数是2或3或4或6”,
C∪D表示事件“出现的点数是1或2或3或4或5或6”.
同数的加、减、乘、除混合运算一样,事件的混合运算也有优先级,即求积运算的优先级高于求和运算.涉及实际生活的事件的混合运算,在厘清题意的基础上,可利用互斥事件分类,有时还可以借助对立事件寻求间接求解问题的捷径.
[变式训练] 投掷一枚均匀的硬币,连续投掷3次.Ai表示“第i次正面朝上”,试用文字叙述下列事件.
(1)A1∪A2;
(2)A1∪A2∪A3;
(3)A3;
(4);
(5)∩;
(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.
【解】 (1)A1∪A2表示“第1次和第2次投掷硬币至少有1次正面朝上”.
(2)A1∪A2∪A3表示“3次投掷硬币中至少有 1次正面朝上”.
(3)A3表示“第2次投掷硬币反面朝上且第3次正面朝上”.
(4)表示“第1次和第2次投掷硬币均反面朝上”.
(5)∩表示“第1次和第2次投掷硬币均反面朝上”.
(6)A1A2∪A2A3∪A1A3表示“3次投掷硬币中至少有2次正面朝上”.
当堂检测
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )
A.A B
B.A=B
C.A∪B表示“向上的点数是1或2或3”
D.A∩B表示“向上的点数是1或2或3”
【答案】 C
【解析】 由题意可知A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A∪B表示“向上的点数是1或2或3”.故选C.
2.甲、乙两人独立地破译一份密码,设事件A为“甲成功破译”,事件B为“乙成功破译”,则表示“密码被成功破译”的事件为( )
A.A∪B B.A∩B C.∪ D.∩
【答案】 A
【解析】 “密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一人成功破译密码,即事件A∪B.故选A.
3.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品,设事件A={三件产品全不是次品},事件B={三件产品全是次品},事件C={三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论错误的是( )
A.A与C互斥 B.B与C互斥
C.任何两个都互斥 D.任何两个都不互斥
【答案】 D
【解析】 由题意知事件A,B,C两两不可能同时发生,因此两两互斥.故选D.
基础巩固
1.对于两个事件M,N,则事件M∪N表示的含义是( )
A.M与N同时发生
B.M与N不能同时发生
C.M与N有且仅有一个发生
D.M与N至少有一个发生
【答案】 D
【解析】 事件M∪N表示的含义是M与N至少有一个发生.故选D.
2.给出事件A与B的关系示意图如图所示,则( )
A.A B
B.A=B
C.A与B互斥
D.A与B互为对立事件
【答案】 C
【解析】 由题图知,A与B之间不存在包含关系,故 A错误;A与B之间不相等,故B错误;A与B不能同时发生,从而A与B互斥,故C正确;因为 A∪B≠Ω,所以A与B不互为对立事件,故D错误.故选C.
3.将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人,每人至少分得一本,则下列两个事件为互斥事件的是( )
A.事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”
B.事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”
C.事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”
D.事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”
【答案】 C
【解析】 甲、乙、丙三人,有一人分得两本书,另两人各分得一本书,且一本书不可能同时属于两个人.“甲分得一本”与“丙分得两本”可同时发生,故不是互斥事件,因此A不正确;“甲分得《红楼梦》”与“乙分得《西游记》”可同时发生,故不是互斥事件,因此 B不正确;“甲分得两本”与“乙分得两本”不可能同时发生,是互斥事件,因此C正确;“乙分得《三国演义》”与“丙分得《水浒传》”可同时发生,故不是互斥事件,因此D不正确.故选C.
4.掷一枚质地均匀的骰子,设事件A={出现的点数不大于3},B={出现的点数为偶数},则( )
A.A∪B=Ω
B.事件A与B是互斥事件
C.A∩B={出现的点数为2}
D.事件A与B是对立事件
【答案】 C
【解析】 掷骰子出现的点数为1,2,3,4,5,6,共6种,即 Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1,2,3},
B={2,4,6},故A∪B={1,2,3,4,6}≠Ω,A∩B={2},即事件A,B既不互斥也不对立,显然C正确.故选C.
5.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件:事件A为“恰有1件次品”;事件B为“至少有2件次品”;事件C为“至少有1件次品”;事件D为“至多有1件次品”.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号有( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②③
【答案】 A
【解析】 事件A∪B表示的事件为“至少有1件次品”,即事件C,所以①正确;事件D∪B表示的事件为“至少有2件次品或至多有1件次品”,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩B= ,③不正确;事件A∩D表示的事件为“恰有1件次品”,即事件A,所以④不正确.故选A.
6.(多选题)从分别写有1,2,3,4,5以及a,b,c,d的 9张纸条中任意抽取两张,有如下随机事件:
A=“恰有一张写有数字”,B=“恰有一张写有字母”,C=“至少有一张写有数字”,D=“两张都写有数字”,E=“至多有一张写有字母”.
下列结论正确的有( )
A.B C B.A=B
C.D∩E= D.D C
【答案】 ABD
【解析】 事件A即“一张写有数字一张写有字母”,事件B即“一张写有数字一张写有字母”,事件C即“一张写有数字一张写有字母或两张都写有数字”,事件D即“两张都写有数字”,事件E即“一张写有数字一张写有字母或两张都写有数字”,所以B C,A=B,D∩E=D,D C.故选A,B,D.
7.某人打靶时连续射击两次,事件“至多一次中靶”的对立事件为 .
【答案】 两次都中靶
【解析】 事件“至多一次中靶”包含“两次都没有中靶”和“恰有一次中靶”,所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”.
8.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,设“这 2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数”为事件B,则事件A∪B包含的样本点数为 ,事件A∩B包含的样本点数为 .
【答案】 5 1
【解析】 从1,2,3,4这4个数中,任取2个数,则试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),
(2,3),(2,4),(3,4)}.其中事件A包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个,事件B包含的样本点有(1,3),(2,4),共2个,所以事件A∪B包含的样本点有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个,事件A∩B包含的样本点有(2,4),共1个.
9.生产某种产品需要2道工序,设事件A={第一道工序加工合格},事件B={第二道工序加工合格},用A,B,,表示下列事件:C={产品合格},D={产品不合格}.
【解】 要使得产品合格,需要第一道工序和第二道工序加工都合格,即事件A,B同时发生,所以C=A∩B;产品不合格,就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道工序加工不合格,
所以D=(A∩)∪(∩B)∪(∩).
10.如图所示是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况,其中A表示订阅数学学习资料的学生,B表示订阅语文学习资料的学生,C表示订阅英语学习资料的学生.
(1)从这个班任意选择一名学生,用自然语言描述1,4,5,8各区域所代表的事件.
(2)用A,B,C表示下列事件:
①至少订阅一种学习资料;
②恰好订阅一种学习资料;
③没有订阅任何学习资料.
【解】 (1)由给定图形可知,区域1表示该生语文、数学、英语三种学习资料都订阅;
区域4表示该生只订阅语文、数学两种学习资料;
区域5表示该生只订阅语文学习资料;
区域8表示该生语文、数学、英语三种学习资料都没有订阅.
(2)①至少订阅一种学习资料的事件即事件A发生,或者事件B发生,或者事件C发生,所以至少订阅一种学习资料的事件为A∪B∪C.
②恰好订阅一种学习资料的事件包含只订阅数学学习资料的事件A∩∩,只订阅语文学习资料的事件 ∩B∩,只订阅英语学习资料的事件 ∩∩C,它们互斥,所以恰好订阅一种学习资料的事件为(A∩∩)∪(∩B∩)∪(∩∩C).
③没有订阅任何学习资料的事件是事件,,同时发生,所以这个事件表示为∩∩.
能力提升
11.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下随机事件:Ci={点数为i},其中i=1,2,3,4,5,6,
E1={点数不大于3},E2={点数大于3},E3={点数大于4},F={点数为奇数},则下列结论错误的是( )
A.F=E1∪E2∪E3 B.C2,C3为对立事件
C.E3 E2 D.E1,E2为对立事件
【答案】 AB
【解析】 由题意得,C2={点数为2},C3={点数为3},E1={点数不大于3}={点数为1,2,3},E2
={点数大于3}={点数为4,5,6},E3={点数大于4}={点数为5,6},F={点数为奇数}={点数为1,3,5},因为E1∪E2∪E3={点数为1,2,3,4,5,6},所以 F≠E1∪E2∪E3,所以A错误,符合题意;因为 C2∩C3= ,C2∪C3={点数为2,3},所以C2,C3为互斥事件,但不是对立事件,所以B错误,符合题意;对于C,因为E3 E2,所以C正确,不符合题意;因为E1∪E2={点数为1,2,3,4,5,6},且E1∩E2= ,所以E1,E2为对立事件,所以D正确,不符合题意.故选A,B.
12.某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅,记事件A表示“只订甲报刊”,事件B表示“至少订一种报刊”,事件C表示“至多订一种报刊”,事件D表示“不订甲报刊”,事件E表示“一种报刊也不订”.则下列事件是互斥事件的为 ,是对立事件的为 (填序号).
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
【答案】 (2) (2)
【解析】 (1)由于事件C “至多订一种报刊”中有可能“只订甲报刊”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件.由于事件B不发生可导致事件E一定发生,且事件E不发生会导致事件B一定发生,故 B与 E还是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报刊”,即有可能“不订甲报刊”,即事件B发生,事件D也可能发生,故B与D不互斥.
(4)事件B“至少订一种报刊”中包含的事件有“只订甲报刊”“只订乙报刊”“订甲、乙两种报刊”;事件C “至多订一种报刊”中包含的事件有“一种报刊也不订”“只订甲报刊”“只订乙报刊”.由于这两个事件有可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析,事件E “一种报刊也不订”是事件C的一种可能,故事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥.
13.一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件 R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)写出事件R与G,M与N之间的关系;
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.
【解】 (1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,
所以试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},
事件R={(1,2),(2,1)},事件G={(3,4),(4,3)},事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},事件N={(1,3),
(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}.
(2)由(1)知,R∩G= ,而R∪G≠Ω,所以事件R,G互斥,不对立;
M∩N= ,M∪N=Ω,所以事件M,N互为对立事件.
(3)由(1)知,R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件.
应用创新
14.设A,B,C表示三个随机事件,试用A,B,C的关系和运算分别表示下列事件:
三个事件中至多有两个发生为 ;三个事件中至少有两个发生为 .
【答案】 (A∩B∩)∪(A∩∩C)∪(∩B∩C)∪(A∩B∩C)
【解析】 三个事件中至多有两个发生,即三个事件不能同时发生,所以三个事件中至多有两个发生表示为;三个事件中至少有两个发生,即两个事件发生且另一个事件不发生或者三个事件同时发生,所以三个事件中至少有两个发生表示为(A∩B∩)∪(A∩∩C)∪(∩B∩C)∪(A∩B∩C).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
1.4 随机事件的运算
1.了解交事件和并事件的关系,提升数学抽象与逻辑推理的核心素养.2.理解互斥事件和对立事件的关系,提升逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 事件的运算
事件的
运算 定义 记法 图示
一般地,由事件A与事件B 所构成的事件,称为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或
)
一般地,由事件A和事件B
(即A发生,或B发生,或A,B都发生)所构成的事件,称为事件A与事件B的并事件(或和事件) (或
)
都发生
A∩B
AB
至少有一
个发生
A∪B
A+B
知识点二 互斥事件与对立事件
不能同时发生
Ω
『知识拓展』
(1)对互斥事件的理解.
① 与任意事件互斥.
②事件A与事件B互斥包含三种情况:事件A发生,事件B不发生;事件A不发生,事件B发生;事件A不发生,事件B也不发生.注意与事件A+B进行区别.
③如果事件A1,A2,…,An中任意两个都互斥,则称它们两两互斥.
(2)互斥事件与对立事件的联系.
①如果事件A与事件B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件;
②对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是对立事件,则A∪B是必然事件.
题型一 交事件与并事件
[例1] 盒子中有标号为1,2,3的白球各1个,标号为1,2的黑球各1个.从中倒出3
个,观察结果.写出试验的样本空间,用集合表示下列事件.
(1)A=“3个都是白球”;
【解】 设标号为1,2,3的白球为a,b,c,标号为1,2的黑球为e,f,
则试验的样本空间为Ω={abc,abe,abf,ace,acf,aef,bce,bcf,bef,cef}.
(1)A={abc}.
(2)B=“至少有2个白球”;
【解】 (2)B={abc,abe,abf,ace,acf,bce,bcf}.
(3)C=“至少有1个白球”;
【解】 (3)C={abc,abe,abf,ace,acf,aef,bce,bcf,bef,cef}.
(4)求:A∪B,A∩B,并解释它们的含义.
【解】 (4)A∪B=B,表示“至少有2个白球”;
A∩B=A,表示“3个都是白球”.
·解题策略·
(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
[变式训练] 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.
(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;
【解】 由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},事件B={(1,3),(2,2),
(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
【解】 (2)E=B∪C.
题型二 互斥事件和对立事件
[例2] 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
【解】 从3名男生和2名女生中任选2名同学有三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事
件;但是当选出的是2名女生时,两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
【解】 (2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
【解】 (3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们是互斥事件,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
【解】 (4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
·解题策略·
互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是不是对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B= ;
②若事件A与B对立,则集合A∩B= 且A∪B=Ω.
[变式训练] 袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球.
①恰有1个白球和全是白球;
②至少有1个白球和全是黑球;
③至少有1个白球和至少有2个白球;
④至少有1个白球和至少有1个黑球.
在上述事件中,是互斥事件但不是对立事件的为( )
A.② B.① C.③ D.④
B
【解析】 记a表示白球,b表示黑球,从袋中任取3个球,共包括4个样本点,分别为{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},{b,b,b}.
对于①,事件“恰有1个白球”包含的样本点为{a,b,b},事件“全是白球”包含的样本点为{a,a,a},由互斥事件和对立事件的定义可知事件“恰有1个白球”和
“全是白球”是互斥事件,但不是对立事件;
对于②,事件“至少有1个白球”包含的样本点为{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},事件“全是黑球”包含的样本点为{b,b,b},由互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至少有1个白球”和“全是黑球”是互斥事件,也是对立事件;
对于③,事件“至少有1个白球”包含的样本点为{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},事件“至少有2个白球”包含的样本点为{a,a,a},{a,a,b},由互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至少有1个白球”和“至少有2个白球”既不是互斥事件,也不是对立事件;
对于④,事件“至少有1个白球”包含的样本点为{a,a,a},{a,a,b},{a,b,b},事件“至少有1个黑球”包含的样本点为{a,a,b},{a,b,b},{b,b,b},由互斥事件和对立事件的定义可知,事件“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”既不是互斥事件,也不是对立事件.故选B.
题型三 事件运算的综合问题
[例3] 在投掷骰子的试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如A表示随机事件“出现1点”,B表示随机事件“出现3点或4点”,C表示随机事件“出现的点数是奇数”,D表示随机事件“出现的点数是偶数”.
(1)说明以上4个事件的关系;
【解】 在投掷骰子的试验中,向上出现的点数有6个样本点,记Ai表示事件“出现点数i”(其中i=1,2,…,6).则A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥,但不对立,事件A包含于事件C,事件A与D互斥,但不对立;事件B与C不是互斥事件,事件B与D也不是互斥事件;事件C与D是互斥事件,也是对立事件.
(2)求两两事件交与并的运算.
【解】 (2)A∩B= ,A∩C=A,A∩D= ,C∩D= .
B∩C=A3表示事件“出现3点”,
B∩D=A4表示事件“出现4点”.A∪B=A1∪A3∪A4表示事件“出现的点数是1或3或4”,
A∪C=C表示事件“出现的点数是1或3或5”,
A∪D=A1∪A2∪A4∪A6表示事件“出现的点数是1或2或4或6”,
B∪C表示事件“出现的点数是1或3或4或5”,
B∪D表示事件“出现的点数是2或3或4或6”,
C∪D表示事件“出现的点数是1或2或3或4或5或6”.
·解题策略·
同数的加、减、乘、除混合运算一样,事件的混合运算也有优先级,即求积运算的优先级高于求和运算.涉及实际生活的事件的混合运算,在厘清题意的基础上,可利用互斥事件分类,有时还可以借助对立事件寻求间接求解问题的
捷径.
[变式训练] 投掷一枚均匀的硬币,连续投掷3次.Ai表示“第i次正面朝上”,试用文字叙述下列事件.
(1)A1∪A2;
【解】 (1)A1∪A2表示“第1次和第2次投掷硬币至少有1次正面朝上”.
(2)A1∪A2∪A3;
【解】 (2)A1∪A2∪A3表示“3次投掷硬币中至少有 1次正面朝上”.
(6)A1A2∪A2A3∪A1A3.
【解】 (6)A1A2∪A2A3∪A1A3表示“3次投掷硬币中至少有2次正面朝上”.
当堂检测
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )
A.A B
B.A=B
C.A∪B表示“向上的点数是1或2或3”
D.A∩B表示“向上的点数是1或2或3”
C
【解析】 由题意可知A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A∪B表示“向上的点数是1或2或3”.故选C.
A
【解析】 “密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一人成功破译密码,即事件A∪B.故选A.
3.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品,设事件A={三件产品全不是次品},事件B={三件产品全是次品},事件C={三件产品有次品,但不全是次品},则下列结论错误的是( )
A.A与C互斥 B.B与C互斥
C.任何两个都互斥 D.任何两个都不互斥
D
【解析】 由题意知事件A,B,C两两不可能同时发生,因此两两互斥.故选D.
