2.1 古典概型的概率计算公式
基础巩固
1.下列是古典概型的是( )
A.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者去参加跳高项目,甲被选中的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点
【答案】 C
【解析】 对于A,向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率不符合有限性,故A错误;对于B,求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点有无限个,不满足古典概型的特征,故B错误;对于C,在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者去参加跳高项目,样本点总个数为4,每一名志愿者被选中的概率均相等,满足古典概型的特征,故C正确;对于D,抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点,样本点总数可能无限,不满足古典概型的特征,故D错误.故选C.
2.从编号为1～100的球中取出1球,所得的编号是4的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 从编号为1～100的球中取出1球,样本点共100个,其中所得的编号是4的倍数的样本点有25个,故所得的编号是4的倍数的概率为=.故选B.
3.在一个不透明的袋子中,装有若干个大小相同、颜色不全相同的小球,若袋中有2个红球,且从袋中任取1个球,取到红球的概率为,则袋中球的总个数为( )
A.5 B.8 C.10 D.12
【答案】 C
【解析】 设袋中球的总个数为n,由题意可得=,解得n=10,经检验n=10符合题意.
故选C.
4.从三名男生和两名女生中任意选出两人参加知识竞赛,则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 从三名男生和两名女生中任意选出两人参加知识竞赛,记三名男生为A,B,C,两名女生为1,2,任意选出两人的样本空间为{AB,AC,A1,A2,BC,B1,B2,C1,C2,12},共10个样本点,满足恰好是一名男生和一名女生的样本点有6个,所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为=.故选B.
5.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”,如8=3+5.在“2,3,5,7,11”这5个素数中,任取2个素数,其和不是合数的概率是( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 在“2,3,5,7,11”这5个素数中任取2个,
其和有10种不同的情况,为5,7,8,9,10,12,13,14,16,18,其中两个素数之和不是合数的有5,7,13,共3种情况,
所以任取2个素数,其和不是合数的概率为.
故选B.
6.下面的三个游戏都是在袋子中装球,然后从袋子中不放回地取球,分别计算三个游戏中甲获胜的概率,其中游戏公平的是( )
项目 游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的 数量和颜色 1个红球和 1个白球 2个红球和 2个白球 3个红球和 1个白球
取球规则 取1个球 依次取 出2个球 依次取 出2个球
获胜规则 取到红球 →甲胜 两个球同 色→甲胜 两个球同 色→甲胜
取到白球 →乙胜 两个球不 同色→乙胜 两个球不 同色→乙胜
A.游戏1和游戏3 B.游戏2
C.游戏1和游戏2 D.游戏3
【答案】 A
【解析】 对于游戏1,甲获胜的概率为,游戏公平;
对于游戏2,设两个红球为A1,A2,两个白球为B1,B2,
依次取出2个球有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,共6种可能情况,
其中两个球同色情况为A1A2,B1B2,故甲获胜的概率为=,游戏不公平;
对于游戏3,设3个红球为C1,C2,C3,白球为E,
依次取出2个球有C1C2,C1C3,C1E,C2C3,C2E,C3E,共6种可能情况,
其中两个球同色情况为C1C2,C1C3,C2C3,故甲获胜的概率为=,游戏公平,
故游戏1和游戏3公平.故选A.
7.抛掷两枚均匀的骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X,则“X>4”表示试验的结果为 .
【答案】 第一枚为6点,第二枚为1点
【解析】 因为骰子的点数的最大值为6,最小值为1,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X,所以“X>4”表示试验的结果为第一枚为6点,第二枚为1点.
8.如图,这是某电路的示意图,随机闭合开关S1,S2,S3中的任意2个,能同时使2盏小灯泡发光的概率是 .
【答案】
【解析】 画树状图如图所示,
共有6种等可能的结果,其中能使2盏小灯泡发光的结果有4种,所以能同时使2盏小灯泡发光的概率是=.
9.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球,其中有3个红球,编号分别为A,B,C,有2个黑球,编号分别为D,E,从中一次摸取1个球,取后不放回,连续取两次.
(1)试写出该试验的样本空间;
(2)设事件M:“第一次取到红球”,事件N:“第二次取到黑球”,求事件M和事件N发生的概率.
【解】 (1)一次摸取1个球,取后不放回,连续取两次的样本空间为{AB,AC,AD,AE,BA,BC,
BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE,EA,EB,EC,ED}.
(2)由(1)可知样本空间中样本点总数为20,事件M:“第一次取到红球”={AB,AC,AD,AE,BA,
BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE},共12个样本点,事件N:“第二次取到黑球”={AD,AE,BD,BE,CD,
CE,DE,ED},共8个样本点.故P(M)==,P(N)==,则事件M和事件N发生的概率分别为,.
10.某影院为回馈顾客,拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免,规定每人在装有4个白球、2个红球(这6个球除颜色外完全相同)的抽奖箱中一次性抽取2个球.已知抽出 1个白球减20元,抽出1个红球减40元.
(1)求某顾客所获得的减免金额为40元的概率.
(2)求某顾客所获得的减免金额不低于60元的概率.
【解】 (1)设4个白球分别为a,b,c,d,2个红球分别为e,f.
从抽奖箱中一次性抽取2个球的样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef},共15个样本点.
记事件A表示“某顾客所获得的减免金额为40元”,则A={ab,ac,ad,bc,bd,cd},共6个样本点,所以某顾客所获得的减免金额为40元的概率为P(A)==.
(2)记事件B表示“某顾客所获得的减免金额不低于60元”,则B={ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef},共9个样本点,所以某顾客所获得的减免金额不低于60元的概率为P(B)==.
能力提升
11.(多选题)柜子里有3双不同的鞋子,从中随机取出2只,下列计算结果正确的是( )
A.“取出的鞋成双”的概率等于
B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于
C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于
D.“取出的鞋一只是左鞋,一只是右鞋,但不成双”的概率等于
【答案】 BC
【解析】 记3双不同的鞋子按左右为a1,a2,b1,b2,c1,c2,随机取出2只的样本空间为{(a2,c1),
(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2),(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2)},共15个样本点,则“取出的鞋成双”的样本点有3个,概率等于=,A错误;“取出的鞋都是左鞋”的样本点有3个,概率等于=,B正确;“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的样本点有6个,概率等于=,C正确;“取出的鞋一只是左鞋,一只是右鞋,但不成双”的样本点有6个,概率等于=,D错误.故选B,C.
12.杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独,揭示了战争给人民带来的不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》,“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》.语文老师打算从“三吏”中选两篇,从“三别”中选一篇推荐给同学们阅读,那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是 .
【答案】
【解析】 将《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a,b,c,《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d,e,f,
从“三吏”中选两篇,从“三别”中选一篇的样本空间为Ω={abd,abe,abf,acd,ace,acf,bcd,bce,
bcf},共9个样本点,记事件A为“语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》”,
则A={abe,ace},共2个样本点,故P(A)=.
13.(1)用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏,规定:两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,一个正面、一个反面算乙胜,这个游戏是否公平 请通过计算说明.
(2)若抛掷三枚质地均匀的硬币,规定:三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,其他情况算乙胜,这个游戏是否公平 请通过计算说明.
【解】 (1)掷两枚质地均匀的硬币,所有情况有(正正),(正反),(反正),(反反).
记事件A,B分别为“甲胜”“乙胜”,则P(A)=P(B)=,所以这个游戏公平.
(2)拋掷三枚质地均匀的硬币,所有情况有(正正正),(正正反),(正反正),(正反反),(反正正),(反正反),(反反正),(反反反),共8种.
记事件A,B分别为“甲胜”“乙胜”,
则P(A)==,P(B)=,所以这个游戏不公平.
应用创新
14.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,记正面向上的点数为a,则函数f(x)=x2+2ax+4至多有一个零点的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 抛掷一枚质地均匀的骰子,正面向上的点数包含6个样本点,又由函数f(x)=x2+
2ax+4至多有一个零点,则Δ=4a2-16≤0,解得-2≤a≤2,又因为a为正整数,故a的取值为1,2,共2个样本点,所以函数f(x)=x2+2ax+4至多有一个零点的概率为.
故选A.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1 古典概型的概率计算公式
【课程标准要求】 1.了解随机事件概率的含义及表示,提升数学抽象的核心素养.2.理解古典概型的特点和概率公式,提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一 古典概型
1.概率
对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.
2.古典概型
一般地,若试验E具有如下特征:
(1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间;
(2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型.
[思考1] (1)“在集合{1,2,3,4,5,6}中随机取一个整数”可以用古典概型描述吗
(2)“在区间[1,6]中随机取一个实数”可以用古典概型描述吗
提示:(1)可以.(2)不可以.
[思考2] 如何判断一个随机试验是不是古典概型
提示:首先应判断样本点的总数是不是有限个,其次是确定每个样本点等可能发生,这时一定要注意一些表达等可能的词语,如“完全相同”“质地均匀”“任选”.
知识点二 古典概型的概率计算公式
对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为
P(A)==.
知识拓展
概率的性质:我们将不可能事件 发生的概率规定为0,将必然事件Ω发生的概率规定为1,即P( )=0,P(Ω)=1.
对于任意事件A来说,显然应该有P( )≤P(A)≤P(Ω),即0≤P(A)≤1.
题型一 古典概型
[例1] 下列有关古典概型的四种说法:
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;
②每个事件出现的可能性相等;
③每个样本点出现的可能性相等;
④已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=.
其中所有正确说法的序号是( )
A.①②④ B.①③
C.③④ D.①③④
【答案】 D
【解析】 ②中所说的事件不一定包含多少个样本点,所以②不正确;
根据古典概型的特征及概率计算公式可知①③④正确.故选D.
判断一个事件是不是古典概型,主要看它是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.
[变式训练] (多选题)下列概率模型不属于古典概型的是( )
A.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲
C.一只使用中的灯泡的寿命长短
D.中秋节前夕,某市检验检测机构调查市区内某品牌的月饼质量,给该品牌月饼质量评“优”或“差”
【答案】 ACD
【解析】 对于A,样本点总数是无限的,符合题意;对于C,每只灯泡的寿命长短具有不确定性,不符合等可能性,符合题意;对于D,月饼质量评价有主观性,不符合等可能性,符合题意;对于B,选到每个人的可能性相等且总共有8个人,满足古典概型的特征.故选A,C,D.
题型二 样本点的计数问题
[例2] 袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小完全相同的四个小球.写出下面试验的样本空间,并指出样本点的个数.
(1)从中任取一球;
(2)从中任取两球;
(3)先后各取一球.
【解】 (1)这个试验的样本空间为{红,白,黄,黑},样本点的个数是4.
(2)一次取两球,若记(红,白)代表一次取出红球、白球两个球,则本试验的样本空间为{(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)},样本点的个数是6.
(3)先后取两球,若记(红,白)代表先取一个红球,后取一个白球,则本试验的样本空间为{(红,白),(白,红),(红,黄),(黄,红),(红,黑),(黑,红),(白,黄),(黄,白),(白,黑),(黑,白),(黄,黑),(黑,黄)},样本点的个数是12.
[变式训练] 做投掷2枚骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示第一枚骰子出现的点数,y表示第二枚骰子出现的点数,写出:
(1)试验的样本点;
(2)事件“出现的点数之和大于8”;
(3)事件“出现的点数相等”;
(4)事件“出现的点数之和等于7”.
【解】 (1)这个试验的样本点共有36个,即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
(2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6).
(3)“出现的点数相等”包含以下6个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).
(4)“出现的点数之和等于7”包含以下6个样本点:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).
题型三 古典概型的概率计算公式
[例3] (1)抛掷两个质地均匀的骰子,则“抛掷的两个骰子的点数之积是6”的概率为( )
A. B. C. D.
(2)若从{1,2,3,4}中随机选取一个数记为a,从{2,3}中随机选取一个数记为b,则b>a的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 (1)B (2)B
【解析】 (1)抛掷两个质地均匀的骰子,总的样本点有6×6=36(个),其中点数之积是6的有(1,6),(2,3),(3,2),(6,1),共4个,
则“抛掷的两个骰子的点数之积是6”的概率为.故选B.
(2)从{1,2,3,4}中随机选取一个数记为a,从{2,3}中随机选取一个数记为b,
将取出的a,b记为(a,b),
所有可能出现的结果为(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3),共8个,
其中满足b>a的有(1,2),(1,3),(2,3),共 3个,所以b>a的概率为.故选B.
计算古典概型的概率的三步骤
步骤一:算出样本点的总个数n;
步骤二:求出事件A所包含的样本点个数m;
步骤三:代入公式求出概率P(A).
[变式训练] 袋子中有6个完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出2个球,则取出球的数字之和是8的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 所有样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,5),(4,6),(5,6),共15个,其中数字之和是8的样本点有(2,6),(3,5),共2个,所以取出球的数字之和是8的概率为.故选D.
【学海拾贝】
古典概型中的放回与不放回问题
[典例探究] 从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中,每次任取一件.
(1)若每次取后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;
(2)若每次取后放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
【解】 (1)每次取出一件,取后不放回地连续取两次,其样本空间的样本点有6个,即(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品,总的样本点数为6,而且可以认为这些样本点的出现是等可能的.
用事件A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”,
所以A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},样本点有4个,
所以P(A)==.
(2)有放回地连续取两次,样本空间的样本点为(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,
a1),(b,a2),(b,b),共9个.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些样本点的出现是等可能的.用事件B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”,则B={(a1,b),(a2,b),(b,a1),
(b,a2)},样本点有4个,所以P(B)=.
求解不放回和放回问题应注意两点
(1)关于不放回抽样,计算样本点个数时,有时既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b),(b,a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.
[应用探究] 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道不同的题目,其中选择题3道,填空题2道,甲、乙两人依次各抽取一道题,则甲抽到选择题,乙抽到填空题的概率为 .
【答案】
【解析】 设3道选择题分别为A,B,C,2道填空题分别为D,E,甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A,B),(B,A),(A,C),(C,A),(A,D),(D,A),(A,E),(E,A),(B,C),(C,B),(B,D),(D,B),(B,E),(E,B),(C,D),(D,C),(C,E),(E,C),(D,E),(E,D),共20种,甲抽到选择题,乙抽到填空题的情况有(A,D),(A,E),
(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),共6种,故所求概率为=.
当堂检测
1.(多选题)下列概率模型是古典概型的是( )
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B.测量一杯水中水分子的个数
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
【答案】 AD
【解析】 古典概型的特征:①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个样本点出现的可能性相等.显然A,D符合古典概型的特征,所以A,D是古典概型;B选项中一杯水中水分子有无数多个,不属于古典概型;C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.故选A,D.
2.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察正、反面出现的情况,样本点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 D
【解析】 所有可能的情况为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),共4种.故选D.
3.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别有5本、3本、2本,则随机抽出一本故事书的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 样本点总数为10,“抽出一本故事书”包含3个样本点,所以其概率为.故选B.
4.已知一个口袋中有3个白球、1个黑球,这些球除颜色外全部相同,现从口袋中随机逐个取出2个球,取出的2个球是一黑一白的概率是 .
【答案】
【解析】 将3个白球分别记为A,B,C,1个黑球记为a,从口袋中随机逐个取出2个球,所有的样本点有AB,AC,Aa,BA,BC,Ba,CA,CB,Ca,aA,aB,aC,共12个,其中事件“取出的2个球是一黑一白”所包含的样本点有Aa,Ba,Ca,aA,aB,aC,共6个,因此所求事件的概率为P==.
基础巩固
1.下列是古典概型的是( )
A.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者去参加跳高项目,甲被选中的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点
【答案】 C
【解析】 对于A,向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率不符合有限性,故A错误;对于B,求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点有无限个,不满足古典概型的特征,故B错误;对于C,在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者去参加跳高项目,样本点总个数为4,每一名志愿者被选中的概率均相等,满足古典概型的特征,故C正确;对于D,抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点,样本点总数可能无限,不满足古典概型的特征,故D错误.故选C.
2.从编号为1～100的球中取出1球,所得的编号是4的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 从编号为1～100的球中取出1球,样本点共100个,其中所得的编号是4的倍数的样本点有25个,故所得的编号是4的倍数的概率为=.故选B.
3.在一个不透明的袋子中,装有若干个大小相同、颜色不全相同的小球,若袋中有2个红球,且从袋中任取1个球,取到红球的概率为,则袋中球的总个数为( )
A.5 B.8 C.10 D.12
【答案】 C
【解析】 设袋中球的总个数为n,由题意可得=,解得n=10,经检验n=10符合题意.
故选C.
4.从三名男生和两名女生中任意选出两人参加知识竞赛,则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 从三名男生和两名女生中任意选出两人参加知识竞赛,记三名男生为A,B,C,两名女生为1,2,任意选出两人的样本空间为{AB,AC,A1,A2,BC,B1,B2,C1,C2,12},共10个样本点,满足恰好是一名男生和一名女生的样本点有6个,所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为=.故选B.
5.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”,如8=3+5.在“2,3,5,7,11”这5个素数中,任取2个素数,其和不是合数的概率是( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 在“2,3,5,7,11”这5个素数中任取2个,
其和有10种不同的情况,为5,7,8,9,10,12,13,14,16,18,其中两个素数之和不是合数的有5,7,13,共3种情况,
所以任取2个素数,其和不是合数的概率为.
故选B.
6.下面的三个游戏都是在袋子中装球,然后从袋子中不放回地取球,分别计算三个游戏中甲获胜的概率,其中游戏公平的是( )
项目 游戏1 游戏2 游戏3
袋子中球的 数量和颜色 1个红球和 1个白球 2个红球和 2个白球 3个红球和 1个白球
取球规则 取1个球 依次取 出2个球 依次取 出2个球
获胜规则 取到红球 →甲胜 两个球同 色→甲胜 两个球同 色→甲胜
取到白球 →乙胜 两个球不 同色→乙胜 两个球不 同色→乙胜
A.游戏1和游戏3 B.游戏2
C.游戏1和游戏2 D.游戏3
【答案】 A
【解析】 对于游戏1,甲获胜的概率为,游戏公平;
对于游戏2,设两个红球为A1,A2,两个白球为B1,B2,
依次取出2个球有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,共6种可能情况,
其中两个球同色情况为A1A2,B1B2,故甲获胜的概率为=,游戏不公平;
对于游戏3,设3个红球为C1,C2,C3,白球为E,
依次取出2个球有C1C2,C1C3,C1E,C2C3,C2E,C3E,共6种可能情况,
其中两个球同色情况为C1C2,C1C3,C2C3,故甲获胜的概率为=,游戏公平,
故游戏1和游戏3公平.故选A.
7.抛掷两枚均匀的骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X,则“X>4”表示试验的结果为 .
【答案】 第一枚为6点,第二枚为1点
【解析】 因为骰子的点数的最大值为6,最小值为1,第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X,所以“X>4”表示试验的结果为第一枚为6点,第二枚为1点.
8.如图,这是某电路的示意图,随机闭合开关S1,S2,S3中的任意2个,能同时使2盏小灯泡发光的概率是 .
【答案】
【解析】 画树状图如图所示,
共有6种等可能的结果,其中能使2盏小灯泡发光的结果有4种,所以能同时使2盏小灯泡发光的概率是=.
9.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球,其中有3个红球,编号分别为A,B,C,有2个黑球,编号分别为D,E,从中一次摸取1个球,取后不放回,连续取两次.
(1)试写出该试验的样本空间;
(2)设事件M:“第一次取到红球”,事件N:“第二次取到黑球”,求事件M和事件N发生的概率.
【解】 (1)一次摸取1个球,取后不放回,连续取两次的样本空间为{AB,AC,AD,AE,BA,BC,
BD,BE,CA,CB,CD,CE,DA,DB,DC,DE,EA,EB,EC,ED}.
(2)由(1)可知样本空间中样本点总数为20,事件M:“第一次取到红球”={AB,AC,AD,AE,BA,
BC,BD,BE,CA,CB,CD,CE},共12个样本点,事件N:“第二次取到黑球”={AD,AE,BD,BE,CD,
CE,DE,ED},共8个样本点.故P(M)==,P(N)==,则事件M和事件N发生的概率分别为,.
10.某影院为回馈顾客,拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免,规定每人在装有4个白球、2个红球(这6个球除颜色外完全相同)的抽奖箱中一次性抽取2个球.已知抽出 1个白球减20元,抽出1个红球减40元.
(1)求某顾客所获得的减免金额为40元的概率.
(2)求某顾客所获得的减免金额不低于60元的概率.
【解】 (1)设4个白球分别为a,b,c,d,2个红球分别为e,f.
从抽奖箱中一次性抽取2个球的样本空间Ω={ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef},共15个样本点.
记事件A表示“某顾客所获得的减免金额为40元”,则A={ab,ac,ad,bc,bd,cd},共6个样本点,所以某顾客所获得的减免金额为40元的概率为P(A)==.
(2)记事件B表示“某顾客所获得的减免金额不低于60元”,则B={ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef},共9个样本点,所以某顾客所获得的减免金额不低于60元的概率为P(B)==.
能力提升
11.(多选题)柜子里有3双不同的鞋子,从中随机取出2只,下列计算结果正确的是( )
A.“取出的鞋成双”的概率等于
B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于
C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于
D.“取出的鞋一只是左鞋,一只是右鞋,但不成双”的概率等于
【答案】 BC
【解析】 记3双不同的鞋子按左右为a1,a2,b1,b2,c1,c2,随机取出2只的样本空间为{(a2,c1),
(a2,c2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b2,c1),(b2,c2),(c1,c2),(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a2,b1),(a2,b2)},共15个样本点,则“取出的鞋成双”的样本点有3个,概率等于=,A错误;“取出的鞋都是左鞋”的样本点有3个,概率等于=,B正确;“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的样本点有6个,概率等于=,C正确;“取出的鞋一只是左鞋,一只是右鞋,但不成双”的样本点有6个,概率等于=,D错误.故选B,C.
12.杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独,揭示了战争给人民带来的不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》,“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》.语文老师打算从“三吏”中选两篇,从“三别”中选一篇推荐给同学们阅读,那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是 .
【答案】
【解析】 将《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》分别记为a,b,c,《新婚别》《无家别》《垂老别》分别记为d,e,f,
从“三吏”中选两篇,从“三别”中选一篇的样本空间为Ω={abd,abe,abf,acd,ace,acf,bcd,bce,
bcf},共9个样本点,记事件A为“语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》”,
则A={abe,ace},共2个样本点,故P(A)=.
13.(1)用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏,规定:两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,一个正面、一个反面算乙胜,这个游戏是否公平 请通过计算说明.
(2)若抛掷三枚质地均匀的硬币,规定:三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,其他情况算乙胜,这个游戏是否公平 请通过计算说明.
【解】 (1)掷两枚质地均匀的硬币,所有情况有(正正),(正反),(反正),(反反).
记事件A,B分别为“甲胜”“乙胜”,则P(A)=P(B)=,所以这个游戏公平.
(2)拋掷三枚质地均匀的硬币,所有情况有(正正正),(正正反),(正反正),(正反反),(反正正),(反正反),(反反正),(反反反),共8种.
记事件A,B分别为“甲胜”“乙胜”,
则P(A)==,P(B)=,所以这个游戏不公平.
应用创新
14.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,记正面向上的点数为a,则函数f(x)=x2+2ax+4至多有一个零点的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 抛掷一枚质地均匀的骰子,正面向上的点数包含6个样本点,又由函数f(x)=x2+
2ax+4至多有一个零点,则Δ=4a2-16≤0,解得-2≤a≤2,又因为a为正整数,故a的取值为1,2,共2个样本点,所以函数f(x)=x2+2ax+4至多有一个零点的概率为.
故选A.
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§2 古典概型
2.1 古典概型的概率计算公式
1.了解随机事件概率的含义及表示,提升数学抽象的核心素养.2.理解古典概型的特点和概率公式,提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 古典概型
1.概率
对于一个随机事件A,我们通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性的大小,这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.
2.古典概型
一般地,若试验E具有如下特征:
(1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数 ,即样本空间Ω为有限样本空间;
(2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的 相等.
则称这样的试验模型为古典概率模型,简称古典概型.
有限
可能性
[思考1] (1)“在集合{1,2,3,4,5,6}中随机取一个整数”可以用古典概型描述吗
提示:(1)可以.
(2)“在区间[1,6]中随机取一个实数”可以用古典概型描述吗
提示:(2)不可以.
[思考2] 如何判断一个随机试验是不是古典概型
提示:首先应判断样本点的总数是不是有限个,其次是确定每个样本点等可能发生,这时一定要注意一些表达等可能的词语,如“完全相同”“质地均匀”
“任选”.
知识点二 古典概型的概率计算公式
『知识拓展』
概率的性质:我们将不可能事件 发生的概率规定为0,将必然事件Ω发生的概率规定为1,即P( )=0,P(Ω)=1.
对于任意事件A来说,显然应该有P( )≤P(A)≤P(Ω),即0≤P(A)≤1.
题型一 古典概型
D
【解析】 ②中所说的事件不一定包含多少个样本点,所以②不正确;
根据古典概型的特征及概率计算公式可知①③④正确.故选D.
·解题策略·
判断一个事件是不是古典概型,主要看它是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.
[变式训练] (多选题)下列概率模型不属于古典概型的是( )
A.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某小组有男生5人,女生3人,从中任选1人做演讲
C.一只使用中的灯泡的寿命长短
D.中秋节前夕,某市检验检测机构调查市区内某品牌的月饼质量,给该品牌月饼质量评“优”或“差”
ACD
【解析】 对于A,样本点总数是无限的,符合题意;对于C,每只灯泡的寿命长短具有不确定性,不符合等可能性,符合题意;对于D,月饼质量评价有主观性,不符合等可能性,符合题意;对于B,选到每个人的可能性相等且总共有8个人,满足古典概型的特征.故选A,C,D.
题型二 样本点的计数问题
[例2] 袋中有红、白、黄、黑四种颜色且大小完全相同的四个小球.写出下面试验的样本空间,并指出样本点的个数.
(1)从中任取一球;
【解】 (1)这个试验的样本空间为{红,白,黄,黑},样本点的个数是4.
(2)从中任取两球;
【解】 (2)一次取两球,若记(红,白)代表一次取出红球、白球两个球,则本试验的样本空间为{(红,白),(红,黄),(红,黑),(白,黄),(白,黑),(黄,黑)},样本点的个数是6.
(3)先后各取一球.
【解】 (3)先后取两球,若记(红,白)代表先取一个红球,后取一个白球,则本试验的样本空间为{(红,白),(白,红),(红,黄),(黄,红),(红,黑),(黑,红),(白,黄),(黄,
白),(白,黑),(黑,白),(黄,黑),(黑,黄)},样本点的个数是12.
[变式训练] 做投掷2枚骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示第一枚骰子出现的点数,y表示第二枚骰子出现的点数,写出:
(1)试验的样本点;
【解】 (1)这个试验的样本点共有36个,即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,
3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
(6,6).
(2)事件“出现的点数之和大于8”;
【解】 (2)“出现的点数之和大于8”包含以下10个样本点:(3,6),(4,5),(4,6),
(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
(3)事件“出现的点数相等”;
【解】 (3)“出现的点数相等”包含以下6个样本点:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),
(5,5),(6,6).
(4)事件“出现的点数之和等于7”.
【解】 (4)“出现的点数之和等于7”包含以下6个样本点:(1,6),(2,5),(3,4),
(4,3),(5,2),(6,1).
题型三 古典概型的概率计算公式
B
B
·解题策略·
计算古典概型的概率的三步骤
步骤一:算出样本点的总个数n;
步骤二:求出事件A所包含的样本点个数m;
步骤三:代入公式求出概率P(A).
D
【学海拾贝】
古典概型中的放回与不放回问题
[典例探究] 从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中,每次任取一件.
(1)若每次取后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的
概率;
(2)若每次取后放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
·解题策略·
求解不放回和放回问题应注意两点
(1)关于不放回抽样,计算样本点个数时,有时既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b),(b,a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.
[应用探究] 甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道不同的题目,其中选择题3道,填空题2道,甲、乙两人依次各抽取一道题,则甲抽到选择题,乙抽到填空题的概率为 .
当堂检测
1.(多选题)下列概率模型是古典概型的是( )
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小
B.测量一杯水中水分子的个数
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
AD
【解析】 古典概型的特征:①试验中所有可能出现的样本点只有有限个;②每个样本点出现的可能性相等.显然A,D符合古典概型的特征,所以A,D是古典概型;B选项中一杯水中水分子有无数多个,不属于古典概型;C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.故选A,D.
2.先后抛掷两枚质地均匀的硬币,观察正、反面出现的情况,样本点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
【解析】 所有可能的情况为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),共4种.故选D.
B
4.已知一个口袋中有3个白球、1个黑球,这些球除颜色外全部相同,现从口袋中随机逐个取出2个球,取出的2个球是一黑一白的概率是 .
