2.2 古典概型的应用
【课程标准要求】 1.了解互斥事件的概率加法公式,提升数学抽象与数学运算的核心素养.2.能够灵活运用对立事件的概率计算公式求解事件的概率,提升逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识点一 互斥事件的概率加法公式
1.在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B).这一公式称为互斥事件的概率加法公式.
2.一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+
P(An).
[思考1] 用文字语言叙述以上两个公式的意义.
提示:两个互斥事件的并事件(或和事件)的概率等于这两个事件概率的和;
n个两两互斥事件的并事件(或和事件)的概率等于其概率的和.
知识点二 对立事件的概率计算公式
P(A∪)=P(A)+P(),即P(A)+P()=1,所以P()=1-P(A).
[思考2] 已知P(A)=0,P(B)=1,求P().
提示:P()=1-P(A∪B)=1-1=0.
知识拓展
设A,B是一个随机试验中的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
题型一 互斥事件的概率加法公式
[例1] 从一箱产品中随机抽取一件产品,设事件A为“抽到的是一等品”,事件B为“抽到的是二等品”,事件C为“抽到的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05,求下列事件的概率.
(1)事件D“抽到的是一等品或二等品”;
(2)事件E“抽到的是二等品或三等品”;
(3)事件F“抽到的是一等品或二等品或三等品”.
【解】 (1)因为事件A,B互斥,所以事件D“抽到的是一等品或二等品”的概率为P(D)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7+0.1=0.8.
(2)因为事件B,C互斥,所以事件E“抽到的是二等品或三等品”的概率为P(E)=P(B∪C)=
P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.
(3)因为事件A,B,C两两互斥,所以事件F“抽到的是一等品或二等品或三等品”的概率为P(F)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.7+0.1+0.05=0.85.
(1)将一个事件拆分为若干个互斥事件,分别求出各个事件的概率,然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果.
(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否彼此互斥,同时要学会把一个事件拆分为几个彼此互斥事件,做到不重不漏.
(3)常用步骤:①确定各事件彼此互斥;②求各个事件分别发生的概率,再求其和.
[变式训练] (1)某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛,甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和,则该市球队夺得全省足球冠军的概率为( )
A. B. C. D.
(2)已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,则P(B∪C)等于( )
A. B. C. D.
【答案】 (1)D (2)B
【解析】 (1)设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺得全省足球冠军,则P(A)=,P(B)=,且A,B互斥,该市球队夺得全省足球冠军即事件A∪B,于是 P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.故选D.
(2)因为事件A,B,C两两互斥,P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=-=,所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=.故选B.
题型二 对立事件的概率计算公式
[例2] 某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示:
人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率;
(2)求派出医生至少2人的概率.
【解】 设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及以上医生”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)法一 “派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
法二 “派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
在求解复杂事件的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的事件的概率之和;二是先求此事件的对立事件的概率,再利用P(A)=1-P()来得出原问题的解,这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.
[变式训练] (1)现有7名志愿者,其中A1,A2,A3通晓日语,B1,B2通晓韩语,C1,C2通晓葡萄牙语,从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语的志愿者各一名组成一个小组,则B1,C1不全被选中的概率为 .
(2)为了备战奥林匹克运动会,某国奥运健儿刻苦训练,成绩稳步提升.射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该选手射击一次:
①命中9环或10环的概率;
②至少命中8环的概率;
③命中不足8环的概率.
(1)【答案】
【解析】 由题意,选出通晓日语、韩语、葡萄牙语的志愿者各一名,包含样本点(A1,B1,C1),
(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,
C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),共有12种不同的选法,若N表示事件“B1,C1不全被选中”,则表示事件“B1,C1全被选中”,由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)共3个样本点组成,所以P()==,所以P(N)=1-P()=1-=.
(2)【解】 ①记“该选手射击一次,命中9环或10环”为事件A,
由互斥事件的概率加法公式得 P(A)=0.32+0.28=0.60.
②设“该选手射击一次,至少命中8环”为事件B,
由互斥事件的概率加法公式得P(B)=0.18+0.28+0.32=0.78.
③由于事件“该选手射击一次,命中不足8环”是事件B:“该选手射击一次,至少命中8环”的对立事件,
即表示事件“该选手射击一次,命中不足8环”,根据对立事件的概率计算公式得
P()=1-P(B)=1-0.78=0.22.
当堂检测
1.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A为“向上的点数为1或4”,事件B为“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是( )
A.A与B互斥 B.A与B对立
C.P(A+B)= D.P(A+B)=
【答案】 C
【解析】 当向上的点数为1时,两者同时发生,A与B不互斥,也不对立,
事件A+B表示向上的点数为1,3,4,5,
所以P(A+B)==.故选C.
2.若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)等于( )
A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.7
【答案】 B
【解析】 因为A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3.故选B.
3.一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是( )
A.0.3 B.0.55 C.0.7 D.0.75
【答案】 D
【解析】 摸出黑球或红球的概率为1-0.25=0.75.故选D.
4.设A,B是同一试验中的两个随机事件,P(A)与P(B)分别是事件A,事件B发生的概率,若P(A)>0,P(B)>0,则“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B为对立事件”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 因为P(A)>0,P(B)>0,若事件A,B为对立事件,则P(A)+P(B)=1;
但P(A)+P(B)=1推不出事件A,B对立,如掷一枚骰子,记事件A为“出现1点,2点,3点”,事件B为“出现3点,4点,5点”,此时P(A)+P(B)=1,但两个事件不对立,
所以“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B为对立事件”的必要不充分条件.故选B.
基础巩固
1.下列说法中,正确的是( )
A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(A)+P(B)=1
B.若事件A与事件B满足条件P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B是对立事件
C.一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D.从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件
【答案】 D
【解析】 对于A,事件A与事件B是互斥事件,但不一定是对立事件,故A不正确;对于B,若是在同一试验下,由P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,说明事件A与事件B一定是对立事件,但若在不同试验下,虽然有P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,但事件A与事件B不一定对立,故B不正确;对于C,一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”有可能同时发生,不是对立事件,故C不正确;对于D,事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件,故D正确.
故选D.
2.若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是( )
A.[0,0.9] B.[0.1,0.9]
C.(0,0.9] D.[0,1]
【答案】 A
【解析】 由于事件A和B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A∪B)≤1,所以0≤0.1+P(B)≤1,所以0≤P(B)≤0.9.故选A.
3.已知随机事件A,B,C,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)等于( )
A.0.3 B.0.6
C.0.7 D.0.9
【答案】 C
【解析】 因为P(C)=0.6,B与C对立,
所以P(B)+P(C)=1,所以P(B)=0.4,
又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故选C.
4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )
A.0.2 B.0.35
C.0.5 D.0.4
【答案】 B
【解析】 事件“抽到的产品不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”,而事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,于是得1-P(A)=1-0.65=0.35,所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.故选B.
5.(多选题)甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法错误的是( )
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是
【答案】 BCD
【解析】 “甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是1--=,故A正确;设“甲不输”为事件A,则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=,故B错误;“乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为,故C错误;设“乙不输”为事件B,则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(B)=+=,故D错误.故选B,C,D.
6.在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为的是( )
A.都是一级品
B.都是二级品
C.一级品和二级品各1件
D.至少有1件二级品
【答案】 D
【解析】 样本点总数为10,2件都是一级品包含的样本点有3个,其概率为,其对立事件是至少有1件二级品,故“至少有1件二级品”的概率为.故选D.
7.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且 P(A)=2P(B),则P(A)= .
【答案】
【解析】 因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-=.又因为 P(A)=2P(B),所以P(A)+P(A)=,所以 P(A)=.
8.从甲地到乙地沿某条公路一共行驶200 km,遇到红灯个数的概率如下表所示:
红灯 个数 0 1 2 3 4 5 6个及 以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
则表中字母a的值为 ,至多遇到5个红灯的概率为 .
【答案】 0.2 0.97
【解析】 由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.
设事件D为“遇到6个及以上红灯”,则“至多遇到5个红灯”为事件,
则P()=1-P(D)=1-0.03=0.97.
9.一个袋子中装有大小和形状完全相同的红球、白球和蓝球,其中有2个红球,3个白球,n个蓝球.
(1)若从中任取一个小球为红球的概率为,求 n的值;
(2)若从中任取一个小球为白球或蓝球的概率为,求从中任取一个小球不是蓝球的概率.
【解】 (1)设任取一个小球为红球、白球、蓝球的事件分别为A,B,C,它们是互斥事件,由已知得P(A)=,所以=,解得n=3.
(2)因为P(B∪C)=,由对立事件的概率计算公式知P(A)=1-P(B∪C)=1-=.
所以=,解得n=1,
所以P(C)=,
所以从中任取一个小球不是蓝球的概率
P()=1-=.
10.某学校大力普及科学知识,拟成立一个由3人组成的科学知识宣讲小组,现初步选定2名女生,3名男生为候选人,每位候选人当选的机会是相同的.
(1)求当选的3人中恰有1名女生的概率;
(2)求当选的3人中至多有2名男生的概率.
【解】 将2名女生,3名男生分别用A,B,a,b,c表示,则从5名候选人中选3人的试验的样本空间为Ω={(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,a,b),(A,a,c),(A,b,c),(B,a,b),(B,a,c),(B,b,c),(a,b,c)},共10个样本点.
(1)设D表示事件“当选的3人中恰有一名女生”,则D={(A,a,b),(A,a,c),(A,b,c),(B,a,b),
(B,a,c),(B,b,c)},共6个样本点,
所以P(D)==.
(2)设E表示事件“当选的3人中至多有两名男生”,F表示事件“当选的3人全部都是男生”,事件E,F为对立事件,
因为F={(a,b,c)},
所以P(F)=,
所以P(E)=1-P(F)=1-=.
能力提升
11.某商场举行购物抽奖活动,抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球.小球除编号不同外,其余均相同.活动规则如下:从抽奖箱中随机抽取一个小球,若抽到的小球编号为3,则获得奖金100元;若抽到的小球编号为偶数,则获得奖金50元;若抽到其余编号的小球,则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次,则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 由题意得,该顾客有放回地抽奖两次的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),…,(5,3),(5,4),(5,5)},共25个样本点.两次抽奖后获得奖金之和为100元包括三种情况:①第一次获得奖金100元,第二次不中奖,其包含的情况为(3,1),(3,5),概率为P1=;②第一次不中奖,第二次获得奖金100元,其包含的情况为(1,3),(5,3),概率为P2=;③两次各获得奖金 50元,包含的情况有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),概率为P3=.根据互斥事件的概率加法公式得该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为 P=P1+P2+P3=.故选D.
12.若A,B互为对立事件,且P(A)=,P()=,x>4,y>0,则x+y的最小值为 .
【答案】 9
【解析】 A,B互为对立事件,其概率分别为P(A)=,P(B)=,且x>4,y>0,所以P(A)+P(B)=+=1,所以x+y=(x+y)(+)=+1+4+≥5+2=9,当且仅当=,即x=2y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为9.
13.从1～30这30个整数中随机选择一个数,设事件A表示选到的数能被3整除,事件B表示选到的数能被5整除,求下列事件的概率.
(1)这个数既能被3整除也能被5整除;
(2)这个数能被3整除或能被5整除;
(3)这个数既不能被3整除也不能被5整除.
【解】 (1)事件AB表示选到的数既能被3整除也能被5整除,包含{15,30},
所以P(AB)==,所以这个数既能被3整除也能被5整除的概率为.
(2)事件A+B表示选到的数能被3整除或能被5整除,包含{3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,
27,30},所以P(A+B)==,所以这个数能被3整除或能被5整除的概率为.
(3)事件 = 表示选到的数既不能被3整除也不能被5整除,共有30-14=16(个)样本点,
所以P( )==,所以这个数既不能被3整除也不能被5整除的概率为.
应用创新
14.(多选题)连续两次抛掷同一枚骰子,记第一次向上的点数为p,第二次向上的点数为q,设A=[],其中[x]表示不超过x的最大整数,则( )
A.P(p>q)=
B.P(p+q=7)=
C.事件p+q=7与A=3互斥
D.事件q=1与A=0相互对立
【答案】 BC
【解析】 对于A,连续两次抛掷同一枚骰子,列表(略)知共有36种情况,其中p>q的情况有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共有15种情况,故P(p>q)==,故A错误;
对于B,p+q=7的情况有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共有6种情况,故P(p+q=7)==,故B正确;
对于C,A=3包含=,,即(3,1),(6,2) 2种情况,与B中分析p+q=7的6种情况均不同,所以事件p+q=7与A=3不会同时发生,两事件互斥,故C正确;
对于D,q=1的所有可能情况为(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),A=0包含的情况有(1,2),(1,3),
(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),其余情况既不在事件q=1中,也不在A=0中,比如(4,2),所以q=1与A=0互斥,但不对立,故D错误.故选B,C.
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2.2 古典概型的应用
1.了解互斥事件的概率加法公式,提升数学抽象与数学运算的核心素养.2.能够灵活运用对立事件的概率计算公式求解事件的概率,提升逻辑推理与数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 互斥事件的概率加法公式
1.在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)= .这一公式称为互斥事件的概率加法公式.
2.一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=
.
P(A)+P(B)
P(A1)+
P(A2)+…+P(An)
[思考1] 用文字语言叙述以上两个公式的意义.
提示:两个互斥事件的并事件(或和事件)的概率等于这两个事件概率的和;
n个两两互斥事件的并事件(或和事件)的概率等于其概率的和.
知识点二 对立事件的概率计算公式
1-P(A)
『知识拓展』
设A,B是一个随机试验中的两个事件,则有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
题型一 互斥事件的概率加法公式
[例1] 从一箱产品中随机抽取一件产品,设事件A为“抽到的是一等品”,事件B为“抽到的是二等品”,事件C为“抽到的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,
P(C)=0.05,求下列事件的概率.
(1)事件D“抽到的是一等品或二等品”;
【解】 (1)因为事件A,B互斥,所以事件D“抽到的是一等品或二等品”的概率为P(D)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7+0.1=0.8.
(2)事件E“抽到的是二等品或三等品”;
【解】 (2)因为事件B,C互斥,所以事件E“抽到的是二等品或三等品”的概率为P(E)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.1+0.05=0.15.
(3)事件F“抽到的是一等品或二等品或三等品”.
【解】 (3)因为事件A,B,C两两互斥,所以事件F“抽到的是一等品或二等品或三等品”的概率为P(F)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.7+0.1+0.05=0.85.
·解题策略·
(1)将一个事件拆分为若干个互斥事件,分别求出各个事件的概率,然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果.
(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否彼此互斥,同时要学会把一个事件拆分为几个彼此互斥事件,做到不重不漏.
(3)常用步骤:①确定各事件彼此互斥;②求各个事件分别发生的概率,再求
其和.
D
B
题型二 对立事件的概率计算公式
[例2] 某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示:
人数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
(1)求派出医生至多2人的概率;
【解】 设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C,“派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及以上医生”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,
P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3
=0.56.
(2)求派出医生至少2人的概率.
【解】 (2)法一 “派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)=P(C)+P(D)+
P(E)+P(F)=0.3+0.2+0.2+0.04=0.74.
法二 “派出医生至少2人”的概率为1-P(A∪B)=1-0.1-0.16=0.74.
·解题策略·
[变式训练] (1)现有7名志愿者,其中A1,A2,A3通晓日语,B1,B2通晓韩语,C1,C2通晓葡萄牙语,从中选出通晓日语、韩语、葡萄牙语的志愿者各一名组成一个小组,则B1,C1不全被选中的概率为 .
(2)为了备战奥林匹克运动会,某国奥运健儿刻苦训练,成绩稳步提升.射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该选手射击一次:
①命中9环或10环的概率;
(2)【解】 ①记“该选手射击一次,命中9环或10环”为事件A,
由互斥事件的概率加法公式得 P(A)=0.32+0.28=0.60.
②至少命中8环的概率;
【解】②设“该选手射击一次,至少命中8环”为事件B,
由互斥事件的概率加法公式得P(B)=0.18+0.28+0.32=0.78.
③命中不足8环的概率.
当堂检测
C
2.若A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,则P(B)等于( )
A.0.1 B.0.3 C.0.4 D.0.7
B
【解析】 因为A,B为互斥事件,P(A)=0.4,P(A∪B)=0.7,所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=0.7-0.4=0.3.故选B.
3.一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出1个球,若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是( )
A.0.3 B.0.55 C.0.7 D.0.75
D
【解析】 摸出黑球或红球的概率为1-0.25=0.75.故选D.
4.设A,B是同一试验中的两个随机事件,P(A)与P(B)分别是事件A,事件B发生的概率,若P(A)>0,P(B)>0,则“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B为对立事件”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
【解析】 因为P(A)>0,P(B)>0,若事件A,B为对立事件,则P(A)+P(B)=1;
但P(A)+P(B)=1推不出事件A,B对立,如掷一枚骰子,记事件A为“出现1点,2点,
3点”,事件B为“出现3点,4点,5点”,此时P(A)+P(B)=1,但两个事件不对立,
所以“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B为对立事件”的必要不充分条件.故选B.2.2 古典概型的应用
基础巩固
1.下列说法中,正确的是( )
A.若事件A与事件B是互斥事件,则P(A)+P(B)=1
B.若事件A与事件B满足条件P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B是对立事件
C.一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D.从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,则事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件
【答案】 D
【解析】 对于A,事件A与事件B是互斥事件,但不一定是对立事件,故A不正确;对于B,若是在同一试验下,由P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,说明事件A与事件B一定是对立事件,但若在不同试验下,虽然有P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,但事件A与事件B不一定对立,故B不正确;对于C,一个人打靶时连续射击两次,则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”有可能同时发生,不是对立事件,故C不正确;对于D,事件“取到红色牌”与事件“取到梅花”是互斥事件,故D正确.
故选D.
2.若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是( )
A.[0,0.9] B.[0.1,0.9]
C.(0,0.9] D.[0,1]
【答案】 A
【解析】 由于事件A和B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A∪B)≤1,所以0≤0.1+P(B)≤1,所以0≤P(B)≤0.9.故选A.
3.已知随机事件A,B,C,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A∪B)等于( )
A.0.3 B.0.6
C.0.7 D.0.9
【答案】 C
【解析】 因为P(C)=0.6,B与C对立,
所以P(B)+P(C)=1,所以P(B)=0.4,
又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故选C.
4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )
A.0.2 B.0.35
C.0.5 D.0.4
【答案】 B
【解析】 事件“抽到的产品不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”,而事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,于是得1-P(A)=1-0.65=0.35,所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35.故选B.
5.(多选题)甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法错误的是( )
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是
【答案】 BCD
【解析】 “甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是1--=,故A正确;设“甲不输”为事件A,则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=,故B错误;“乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为,故C错误;设“乙不输”为事件B,则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(B)=+=,故D错误.故选B,C,D.
6.在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为的是( )
A.都是一级品
B.都是二级品
C.一级品和二级品各1件
D.至少有1件二级品
【答案】 D
【解析】 样本点总数为10,2件都是一级品包含的样本点有3个,其概率为,其对立事件是至少有1件二级品,故“至少有1件二级品”的概率为.故选D.
7.事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且 P(A)=2P(B),则P(A)= .
【答案】
【解析】 因为事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,所以P(A)+P(B)=1-=.又因为 P(A)=2P(B),所以P(A)+P(A)=,所以 P(A)=.
8.从甲地到乙地沿某条公路一共行驶200 km,遇到红灯个数的概率如下表所示:
红灯 个数 0 1 2 3 4 5 6个及 以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
则表中字母a的值为 ,至多遇到5个红灯的概率为 .
【答案】 0.2 0.97
【解析】 由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.
设事件D为“遇到6个及以上红灯”,则“至多遇到5个红灯”为事件,
则P()=1-P(D)=1-0.03=0.97.
9.一个袋子中装有大小和形状完全相同的红球、白球和蓝球,其中有2个红球,3个白球,n个蓝球.
(1)若从中任取一个小球为红球的概率为,求 n的值;
(2)若从中任取一个小球为白球或蓝球的概率为,求从中任取一个小球不是蓝球的概率.
【解】 (1)设任取一个小球为红球、白球、蓝球的事件分别为A,B,C,它们是互斥事件,由已知得P(A)=,所以=,解得n=3.
(2)因为P(B∪C)=,由对立事件的概率计算公式知P(A)=1-P(B∪C)=1-=.
所以=,解得n=1,
所以P(C)=,
所以从中任取一个小球不是蓝球的概率
P()=1-=.
10.某学校大力普及科学知识,拟成立一个由3人组成的科学知识宣讲小组,现初步选定2名女生,3名男生为候选人,每位候选人当选的机会是相同的.
(1)求当选的3人中恰有1名女生的概率;
(2)求当选的3人中至多有2名男生的概率.
【解】 将2名女生,3名男生分别用A,B,a,b,c表示,则从5名候选人中选3人的试验的样本空间为Ω={(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,a,b),(A,a,c),(A,b,c),(B,a,b),(B,a,c),(B,b,c),(a,b,c)},共10个样本点.
(1)设D表示事件“当选的3人中恰有一名女生”,则D={(A,a,b),(A,a,c),(A,b,c),(B,a,b),
(B,a,c),(B,b,c)},共6个样本点,
所以P(D)==.
(2)设E表示事件“当选的3人中至多有两名男生”,F表示事件“当选的3人全部都是男生”,事件E,F为对立事件,
因为F={(a,b,c)},
所以P(F)=,
所以P(E)=1-P(F)=1-=.
能力提升
11.某商场举行购物抽奖活动,抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球.小球除编号不同外,其余均相同.活动规则如下:从抽奖箱中随机抽取一个小球,若抽到的小球编号为3,则获得奖金100元;若抽到的小球编号为偶数,则获得奖金50元;若抽到其余编号的小球,则不中奖.现某顾客依次有放回地抽奖两次,则该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 由题意得,该顾客有放回地抽奖两次的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),…,(5,3),(5,4),(5,5)},共25个样本点.两次抽奖后获得奖金之和为100元包括三种情况:①第一次获得奖金100元,第二次不中奖,其包含的情况为(3,1),(3,5),概率为P1=;②第一次不中奖,第二次获得奖金100元,其包含的情况为(1,3),(5,3),概率为P2=;③两次各获得奖金 50元,包含的情况有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),概率为P3=.根据互斥事件的概率加法公式得该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率为 P=P1+P2+P3=.故选D.
12.若A,B互为对立事件,且P(A)=,P()=,x>4,y>0,则x+y的最小值为 .
【答案】 9
【解析】 A,B互为对立事件,其概率分别为P(A)=,P(B)=,且x>4,y>0,所以P(A)+P(B)=+=1,所以x+y=(x+y)(+)=+1+4+≥5+2=9,当且仅当=,即x=2y=6时,等号成立,所以x+y的最小值为9.
13.从1～30这30个整数中随机选择一个数,设事件A表示选到的数能被3整除,事件B表示选到的数能被5整除,求下列事件的概率.
(1)这个数既能被3整除也能被5整除;
(2)这个数能被3整除或能被5整除;
(3)这个数既不能被3整除也不能被5整除.
【解】 (1)事件AB表示选到的数既能被3整除也能被5整除,包含{15,30},
所以P(AB)==,所以这个数既能被3整除也能被5整除的概率为.
(2)事件A+B表示选到的数能被3整除或能被5整除,包含{3,5,6,9,10,12,15,18,20,21,24,25,
27,30},所以P(A+B)==,所以这个数能被3整除或能被5整除的概率为.
(3)事件 = 表示选到的数既不能被3整除也不能被5整除,共有30-14=16(个)样本点,
所以P( )==,所以这个数既不能被3整除也不能被5整除的概率为.
应用创新
14.(多选题)连续两次抛掷同一枚骰子,记第一次向上的点数为p,第二次向上的点数为q,设A=[],其中[x]表示不超过x的最大整数,则( )
A.P(p>q)=
B.P(p+q=7)=
C.事件p+q=7与A=3互斥
D.事件q=1与A=0相互对立
【答案】 BC
【解析】 对于A,连续两次抛掷同一枚骰子,列表(略)知共有36种情况,其中p>q的情况有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),共有15种情况,故P(p>q)==,故A错误;
对于B,p+q=7的情况有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共有6种情况,故P(p+q=7)==,故B正确;
对于C,A=3包含=,,即(3,1),(6,2) 2种情况,与B中分析p+q=7的6种情况均不同,所以事件p+q=7与A=3不会同时发生,两事件互斥,故C正确;
对于D,q=1的所有可能情况为(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),A=0包含的情况有(1,2),(1,3),
(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),其余情况既不在事件q=1中,也不在A=0中,比如(4,2),所以q=1与A=0互斥,但不对立,故D错误.故选B,C.
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