(共25张PPT)
§3 频率与概率
1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,提升数学抽象的核心素养.2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题,提升数据分析的核心素养.
【课程标准要求】
知识点 用频率估计概率
在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).显然, .我们通常用 来估计概率.
0≤P(A)≤1
频率
·温馨提示·
频率与概率的区别与联系
名称 区别 联系
频率 本身是随机的,在试验之前无法确定,随着试验次数的改变而改变,即使做同样次数的重复试验,得到的频率也可能会不同 在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个常数附近摆动,频率会越来越接近概率,在大量重复试验的前提下,可将频率近似地作为这个事件的概率,在实际问题中,通常事件的概率是未知的,常用频率估计概率
概率 是[0,1]中的一个常数,不随试验结果的改变而改变
题型一 用频率估计概率
[例1] 某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下表:
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心
次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心
的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少
【解】 (1)由题意得,击中靶心的频率与0.9接近,故概率约为0.9.
(2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少
【解】 (2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270.
(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗
【解】 (3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定都击不中靶心.
(4)假如该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗
【解】 (4)由概率的意义知,不一定.
·解题策略·
利用频率估计概率
BD
题型二 概率的求法
[例2] 气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”,现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3表示降雨,4,5,6,7,8,9,0表示不降雨;再以每三个随机数为一组,代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683 431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
据此估计,未来三天恰有一天降雨的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
C
·解题策略·
(1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
(2)随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
(3)正确理解概率的意义,要清楚与频率的区别与联系,对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
[变式训练] 一批瓶装纯净水,每瓶标注的净含量是550 mL,现从中随机抽取10瓶,测得各瓶的净含量(单位:mL)如下表:
542 548 549 551 549 550 551 555 550 557
若用频率分布估计总体分布,则该批纯净水每瓶净含量在547.5～552.5 mL之间的概率估计为( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7
D
题型三 概率在实际问题中的应用
[例3] 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表:
上年度
出险
次数 0 1 2 3 4 ≥5
本年
度的
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到统计表:
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
记事件A为“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,则P(A)的估计值为
.记事件B为“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,则P(B)的估计值为 .
0.55
0.3
·解题策略·
概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性,所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生,从而对某些事情进行决策.当某随机事件的概率未知时,可用样本出现的频率去估计总体中该事件发生的概率.
[变式训练] 为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上记号,不影响其存活,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只.试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
当堂检测
1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A.0.4,0.4 B.0.5,0.5
C.0.4,0.5 D.0.5,0.4
C
2.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增多,频率越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
C
【解析】 选项A中,概率就是频率的稳定值,因此A错误;选项B中,频率不是客观存在的,并且与试验次数有关,因此B错误;选项C中,满足概率的定义,因此C正确;选项D中,概率在试验前能确定,因此D错误.故选C.
3.某厂生产的电器产品是优等品的概率为90%,现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验,结果前9件产品中有8件是优等品,1件是非优等品,那么第10件产品是优等品的概率为( )
A.90% B.小于90%
C.大于90% D.无法确定
A
【解析】 概率是一个确定的常数,在试验前已经确定,与试验次数无关.故
选A.
4.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1 000 kW·h,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月(按 30天计)仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率约为 .
0.4【课程标准要求】 1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,提升数学抽象的核心素养.2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题,提升数据分析的核心素养.
知识点 用频率估计概率
在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).显然,0≤P(A)≤1.我们通常用频率来估计概率.
频率与概率的区别与联系
名称 区别 联系
频率 本身是随机的,在试验之前无法确定,随着试验次数的改变而改变,即使做同样次数的重复试验,得到的频率也可能会不同 在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个常数附近摆动,频率会越来越接近概率,在大量重复试验的前提下,可将频率近似地作为这个事件的概率,在实际问题中,通常事件的概率是未知的,常用频率估计概率
概率 是[0,1]中的一个常数,不随试验结果的改变而改变
题型一 用频率估计概率
[例1] 某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下表:
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心 次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心 的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少
(2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少
(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗
(4)假如该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗
【解】 (1)由题意得,击中靶心的频率与0.9接近,故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270.
(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定都击不中靶心.
(4)由概率的意义知,不一定.
利用频率估计概率
(1)①根据频率的计算公式fn(A)=求出频率值;②用频率的稳定值作为概率的近似值.
(2)注意事项:试验次数n不能太小,只有当n很大时,频率才会出现规律性,即在某个常数附近摆动,并且这个常数就是概率.频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小,在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.
[变式训练] (多选题)关于频率和概率,下列说法正确的是( )
A.某同学投篮3次,命中2次,则该同学每次投篮命中的概率为
B.费勒抛掷10 000次硬币,得到硬币正面向上的频率为0.497 9;皮尔逊抛掷24 000次硬币,得到硬币正面向上的频率为0.500 5.如果某同学抛掷36 000次硬币,那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.500 5
C.某类种子发芽的概率为0.903,若抽取2 000粒种子试种,则一定有1 806粒种子发芽
D.将一枚质地均匀的骰子抛掷6 000次,则掷出的点数大于2的次数大约为4 000
【答案】 BD
【解析】 某同学投篮3次,命中2次,只能说明频率为,而不能说明概率为,故A选项错误;
当试验次数很多时,硬币正面向上的频率在0.5附近摆动,可能大于0.5,也可能小于0.5,故B选项正确;
C选项中只能说明大约有1 806粒种子发芽,并不是一定有1 806粒种子发芽,故C选项错误;
点数大于2的概率为,故抛掷6 000次点数大于2的次数大约为4 000,故D选项正确.故选B,D.
题型二 概率的求法
[例2] 气象台预报“本市未来三天降雨的概率都为30%”,现采用随机模拟的方法估计未来三天降雨的情况:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3表示降雨,4,5,6,
7,8,9,0表示不降雨;再以每三个随机数为一组,代表三天降雨的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
907 966 191 925 271 932 815 458
569 683 431 257 393 027 556 481
730 113 537 989
据此估计,未来三天恰有一天降雨的概率为( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
【答案】 C
【解析】 表示未来三天恰有一天降雨的有925,815,683,257,027,481,730,537,共8个,
概率为=0.4.故选C.
(1)概率是随机事件发生的可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
(2)随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
(3)正确理解概率的意义,要清楚与频率的区别与联系,对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
[变式训练] 一批瓶装纯净水,每瓶标注的净含量是550 mL,现从中随机抽取10瓶,测得各瓶的净含量(单位:mL)如下表:
542 548 549 551 549 550 551 555 550 557
若用频率分布估计总体分布,则该批纯净水每瓶净含量在547.5～552.5 mL之间的概率估计为( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7
【答案】 D
【解析】 从数据可知,在随机抽取的10瓶纯净水中,净含量在547.5～552.5 mL之间的瓶数为7,频率为=0.7,由频率分布估计总体分布,可知该批纯净水中,净含量在547.5～
552.5 mL之间的概率为0.7.故选D.
题型三 概率在实际问题中的应用
[例3] 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表:
上年度 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
本年 度的保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到统计表:
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
频数 60 50 30 30 20 10
记事件A为“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,则P(A)的估计值为 .记事件B为“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,则P(B)的估计值为 .
【答案】 0.55 0.3
【解析】 事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2,由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.
事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4,由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.
概率的实际应用
由于概率体现了随机事件发生的可能性,所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生,从而对某些事情进行决策.当某随机事件的概率未知时,可用样本出现的频率去估计总体中该事件发生的概率.
[变式训练] 为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上记号,不影响其存活,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只.试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
【解】 设保护区中天鹅的数量约为n只,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护区中任捕 1只,设事件A={带有记号的天鹅},则P(A)=,①
第二次从保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,由概率的统计定义可知P(A)=,②
由①②两式,得=,解得n=1 500,所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
当堂检测
1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A.0.4,0.4 B.0.5,0.5
C.0.4,0.5 D.0.5,0.4
【答案】 C
【解析】 该同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,正面朝上出现了40次,所以出现正面朝上的频率为=0.4,因为每次抛硬币时,正面朝上和反面朝上的机会相等,都是0.5,所以出现正面朝上的概率是0.5.故选C.
2.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增多,频率越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
【答案】 C
【解析】 选项A中,概率就是频率的稳定值,因此A错误;选项B中,频率不是客观存在的,并且与试验次数有关,因此B错误;选项C中,满足概率的定义,因此C正确;选项D中,概率在试验前能确定,因此D错误.故选C.
3.某厂生产的电器产品是优等品的概率为90%,现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验,结果前9件产品中有8件是优等品,1件是非优等品,那么第10件产品是优等品的概率为( )
A.90% B.小于90%
C.大于90% D.无法确定
【答案】 A
【解析】 概率是一个确定的常数,在试验前已经确定,与试验次数无关.故选A.
4.某工厂为了节约用电,规定每天的用电量指标为1 000 kW·h,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月(按 30天计)仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率约为 .
【答案】 0.4
【解析】 由频率的定义可知用电量超过指标的频率为=0.4,由频率估计概率知该月的第一天用电量超过指标的概率约为0.4.
基础巩固
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,每一次出现正面朝上的概率均为.故选D.
2.任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班),至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97.据此我们知道( )
A.取定一个标准班,事件A发生的可能性是97%
B.取定一个标准班,事件A发生的概率大概是0.97
C.任意取定10 000个标准班,其中大约有9 700个班发生事件A
D.随着抽取的标准班数n不断增大,事件A发生的频率逐渐稳定在0.97
【答案】 D
【解析】 对于给定的一个标准班来说,事件A发生的可能性不是0就是1,故A,B不正确;对于任意取定10 000个标准班,在极端情况下,事件A有可能都不发生,故C不正确,只有D正确.故选D.
3.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同,某人通过多次摸球试验后发现其摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和45%,则布袋中白色球的个数可能是( )
A.15 B.16 C.17 D.18
【答案】 B
【解析】 由题意,摸到红色球、黑色球的概率分别为15%和45%,
即摸到白色球的概率为1-15%-45%=40%,
所以可得白色球的个数为40×40%=16.故选B.
4.下列说法正确的是( )
A.某医院治疗某种疾病的治愈率为20%,前8人没有治愈,则后两个人一定治愈
B.甲、乙两人进行乒乓球比赛,乙获胜的概率为,则比赛5场,乙胜2场
C.用某种药物对患有咳嗽的400名病人进行治疗,结果有300人有明显效果.现对咳嗽的病人服用此药,则估计会有明显疗效的可能性为75%
D.随机试验的频率与概率相等
【答案】 C
【解析】 某医院治疗某种疾病的治愈率为20%,是说明有多大把握治愈,而不是具体的多少人能够治愈,故A错误;概率是说明事件发生的可能性大小,其发生具有随机性,虽然乙获胜的概率为,但是比赛5场,乙胜2场的说法不符合定义,故B错误;在C中,估计会有明显疗效的可能性为=0.75=75%,故C正确;在D中,频率和概率是两个不同的概念,故D错误.故选C.
5.某小组做“用频率估计概率”的试验时,绘出的某一结果出现的频率折线图如图所示,则符合这一结果的试验可能是( )
A.抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上
B.抛掷一个质地均匀的正六面体的骰子,出现3点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球、1个黑球的不透明袋子中任取一球,取到的是黑球
【答案】 D
【解析】 由题图可知,频率在0.3到0.4之间.抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的概率为 0.5,不符合题意,故A错误;抛掷一个质地均匀的正六面体的骰子,出现3点朝上的概率为,不符合题意,故B错误;一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为,不符合题意,故C错误;从一个装有2个红球、1个黑球的不透明袋子中任取一球,取到的是黑球的概率为,在0.3到0.4之间,符合题意,故D正确.故选D.
6.A,B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况如下表:
投篮 次数 A B
投中次数 投中频率 投中次数 投中频率
10 7 0.700 8 0.800
20 15 0.750 14 0.700
30 23 0.767 23 0.767
40 30 0.750 32 0.800
50 38 0.760 35 0.700
60 45 0.750 43 0.717
70 53 0.757 52 0.743
80 60 0.750 61 0.763
90 68 0.756 70 0.778
100 75 0.750 80 0.800
下列三个推断:
①当投篮30次时,两位运动员都投中23次,所以他们投中的概率都是0.767;
②随着投篮次数的增加,A运动员投中频率总在0.750附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计A运动员投中的概率是0.750;
③当投篮达到200次时,B运动员投中次数一定为160.
其中合理的是( )
A.① B.② C.①③ D.②③
【答案】 B
【解析】 ①在大量重复试验中,随着试验次数的增加,可以用一个事件出现的频率估计它的概率,投篮30次,次数太少,不可用于估计概率,故①推断不合理;
②随着投篮次数的增加,A运动员投中的频率显示出稳定性,因此可以用于估计概率,故②推断合理;
③频率用于估计概率,但并不是准确的概率,因此投篮200次时,只能估计投中160次,而不能确定一定投中160次,故③推断不合理.故选B.
7.已知某航空公司从A地到B地的航班运行准点率约为92%,那么在50次运行中,平均准点班次约为 .
【答案】 46
【解析】 某航空公司从A地到B地的航班运行准点率约为92%,在50次运行中,平均准点班次约为50×92%=46.
8.在一次男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是三局两胜制,假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.为此,用计算机产生1～5之间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,其概率为0.6.由于要比赛三局,所以每3个随机数为一组.经随机模拟产生了20组随机数:
423 231 423 344
114 453 525 323
152 342 345 443
512 541 125 342
334 252 324 254
相当于做了20次重复试验,用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为 .
【答案】 0.65
【解析】 由题意可知,20组随机数中甲获得冠军的有
423 231 423 114 323 152 342 512
125 342 334 252 324,
共13组,所以甲获得冠军的频率为=0.65,所以甲获得冠军的概率的近似值为0.65.
9.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:百小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组 频数 频率
[5,9) 48
[9,11) 121
[11,13) 208
[13,15) 223
[15,17) 193
[17,19) 165
[19,+∞) 42
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
【解】 (1)
分组 频数 频率
[5,9) 48 0.048
[9,11) 121 0.121
[11,13) 208 0.208
[13,15) 223 0.223
[15,17) 193 0.193
[17,19) 165 0.165
[19,+∞) 42 0.042
(2)样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,即估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
10.某种子公司在春耕前采购了一批稻谷种子,进行了种子发芽试验.在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽.
(1)计算“种子发芽”这个事件发生的频率.
(2)若用户需要该批稻谷发芽100 000粒,需采购该批稻谷种子多少千克(每千克约1 000粒,结果保留整数)
【解】 (1)“种子发芽”这个事件发生的频率为
=0.981.
(2)若用户需要该批稻谷发芽100 000粒,则需要采购该批稻谷种子100 000×(粒),故需要采购该批稻谷种子100 000×÷1 000≈102(千克).
能力提升
11.某超市计划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到频数分布表如下表:
最高 气温 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率的估计值为0.1,则x等于( )
A.100 B.300 C.400 D.600
【答案】 B
【解析】 由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.1,所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.1.故选B.
12.在本届秋季运动会中,同学们热情高涨,踊跃报名,有不少同学报了多个项目.高三(四)班有50名学生,报了100米短跑或1 500米长跑的有16人,其中报了100米短跑的同学有10名,报了1 500米长跑的同学有12名,若在该班50名学生中随机抽取一名学生,抽到既报了100米短跑又报了1 500米长跑的学生的概率是 .
【答案】
【解析】 根据题意可得该班既报了100米短跑又报了1 500米长跑的学生为10+12-16=6 (人),所以在该班50名学生中随机抽取一名学生,抽到既报了100米短跑又报了1 500米长跑的学生的概率是 =.
13.某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下表:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率.
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务
【解】 (1)由题表可知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为=0.4,乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为=0.28.
(2)甲分厂加工出来的100件产品的总利润为
40×(90-25)+20×(50-25)+20×(20-25)-20×(50+25)=1 500(元),
所以甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为15元/件;
乙分厂加工出来的100件产品的总利润为
28×(90-20)+17×(50-20)+34×(20-20)-21×(50+20)=1 000(元),
所以乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为10元/件.
故厂家应选择甲分厂承接加工业务.
应用创新
14.(多选题)概率是对随机事件发生可能性大小的度量,通过试验和观察的方法可以得到某事件发生的频率,进而用频率得到某事件的概率的估计.利用计算机模拟掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验,得到事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”发生的频数和频率表如下表:
序号 n=20 n=100 n=500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 55 0.55 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
用折线图表示频率的波动情况如图所示:
根据以上信息,下列说法正确的是( )
A.试验次数相同时,频率可能不同,说明随机事件发生的频率具有随机性
B.试验次数较少时,频率波动较大;试验次数较多时,频率波动较小,所以试验时,试验次数越少越好
C.随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个常数(即随机事件发生的概率)附近
D.要得到某事件发生的概率时,只需要做一次随机试验得到事件发生的频率即为概率
【答案】 AC
【解析】 试验次数相同时,频率可能不同,说明随机事件发生的频率具有随机性,A正确;
试验次数较少时,频率波动较大;试验次数较多时,频率波动较小,所以试验时,试验次数越多越好,B错误;
随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个常数(即随机事件发生的概率)附近,C正确,D错误.故选A,C.
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1.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1 000次,每一次出现正面朝上的概率均为.故选D.
2.任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班),至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97.据此我们知道( )
A.取定一个标准班,事件A发生的可能性是97%
B.取定一个标准班,事件A发生的概率大概是0.97
C.任意取定10 000个标准班,其中大约有9 700个班发生事件A
D.随着抽取的标准班数n不断增大,事件A发生的频率逐渐稳定在0.97
【答案】 D
【解析】 对于给定的一个标准班来说,事件A发生的可能性不是0就是1,故A,B不正确;对于任意取定10 000个标准班,在极端情况下,事件A有可能都不发生,故C不正确,只有D正确.故选D.
3.在一个不透明的布袋中,红色、黑色、白色的玻璃球共有40个,除颜色外其他完全相同,某人通过多次摸球试验后发现其摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在15%和45%,则布袋中白色球的个数可能是( )
A.15 B.16 C.17 D.18
【答案】 B
【解析】 由题意,摸到红色球、黑色球的概率分别为15%和45%,
即摸到白色球的概率为1-15%-45%=40%,
所以可得白色球的个数为40×40%=16.故选B.
4.下列说法正确的是( )
A.某医院治疗某种疾病的治愈率为20%,前8人没有治愈,则后两个人一定治愈
B.甲、乙两人进行乒乓球比赛,乙获胜的概率为,则比赛5场,乙胜2场
C.用某种药物对患有咳嗽的400名病人进行治疗,结果有300人有明显效果.现对咳嗽的病人服用此药,则估计会有明显疗效的可能性为75%
D.随机试验的频率与概率相等
【答案】 C
【解析】 某医院治疗某种疾病的治愈率为20%,是说明有多大把握治愈,而不是具体的多少人能够治愈,故A错误;概率是说明事件发生的可能性大小,其发生具有随机性,虽然乙获胜的概率为,但是比赛5场,乙胜2场的说法不符合定义,故B错误;在C中,估计会有明显疗效的可能性为=0.75=75%,故C正确;在D中,频率和概率是两个不同的概念,故D错误.故选C.
5.某小组做“用频率估计概率”的试验时,绘出的某一结果出现的频率折线图如图所示,则符合这一结果的试验可能是( )
A.抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上
B.抛掷一个质地均匀的正六面体的骰子,出现3点朝上
C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球、1个黑球的不透明袋子中任取一球,取到的是黑球
【答案】 D
【解析】 由题图可知,频率在0.3到0.4之间.抛掷一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的概率为 0.5,不符合题意,故A错误;抛掷一个质地均匀的正六面体的骰子,出现3点朝上的概率为,不符合题意,故B错误;一副去掉大小王的扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为,不符合题意,故C错误;从一个装有2个红球、1个黑球的不透明袋子中任取一球,取到的是黑球的概率为,在0.3到0.4之间,符合题意,故D正确.故选D.
6.A,B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况如下表:
投篮 次数 A B
投中次数 投中频率 投中次数 投中频率
10 7 0.700 8 0.800
20 15 0.750 14 0.700
30 23 0.767 23 0.767
40 30 0.750 32 0.800
50 38 0.760 35 0.700
60 45 0.750 43 0.717
70 53 0.757 52 0.743
80 60 0.750 61 0.763
90 68 0.756 70 0.778
100 75 0.750 80 0.800
下列三个推断:
①当投篮30次时,两位运动员都投中23次,所以他们投中的概率都是0.767;
②随着投篮次数的增加,A运动员投中频率总在0.750附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计A运动员投中的概率是0.750;
③当投篮达到200次时,B运动员投中次数一定为160.
其中合理的是( )
A.① B.② C.①③ D.②③
【答案】 B
【解析】 ①在大量重复试验中,随着试验次数的增加,可以用一个事件出现的频率估计它的概率,投篮30次,次数太少,不可用于估计概率,故①推断不合理;
②随着投篮次数的增加,A运动员投中的频率显示出稳定性,因此可以用于估计概率,故②推断合理;
③频率用于估计概率,但并不是准确的概率,因此投篮200次时,只能估计投中160次,而不能确定一定投中160次,故③推断不合理.故选B.
7.已知某航空公司从A地到B地的航班运行准点率约为92%,那么在50次运行中,平均准点班次约为 .
【答案】 46
【解析】 某航空公司从A地到B地的航班运行准点率约为92%,在50次运行中,平均准点班次约为50×92%=46.
8.在一次男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.羽毛球的比赛规则是三局两胜制,假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.为此,用计算机产生1～5之间的随机数,当出现随机数1,2或3时,表示一局比赛甲获胜,其概率为0.6.由于要比赛三局,所以每3个随机数为一组.经随机模拟产生了20组随机数:
423 231 423 344
114 453 525 323
152 342 345 443
512 541 125 342
334 252 324 254
相当于做了20次重复试验,用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为 .
【答案】 0.65
【解析】 由题意可知,20组随机数中甲获得冠军的有
423 231 423 114 323 152 342 512
125 342 334 252 324,
共13组,所以甲获得冠军的频率为=0.65,所以甲获得冠军的概率的近似值为0.65.
9.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:百小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组 频数 频率
[5,9) 48
[9,11) 121
[11,13) 208
[13,15) 223
[15,17) 193
[17,19) 165
[19,+∞) 42
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.
【解】 (1)
分组 频数 频率
[5,9) 48 0.048
[9,11) 121 0.121
[11,13) 208 0.208
[13,15) 223 0.223
[15,17) 193 0.193
[17,19) 165 0.165
[19,+∞) 42 0.042
(2)样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,即估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
10.某种子公司在春耕前采购了一批稻谷种子,进行了种子发芽试验.在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽.
(1)计算“种子发芽”这个事件发生的频率.
(2)若用户需要该批稻谷发芽100 000粒,需采购该批稻谷种子多少千克(每千克约1 000粒,结果保留整数)
【解】 (1)“种子发芽”这个事件发生的频率为
=0.981.
(2)若用户需要该批稻谷发芽100 000粒,则需要采购该批稻谷种子100 000×(粒),故需要采购该批稻谷种子100 000×÷1 000≈102(千克).
能力提升
11.某超市计划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到频数分布表如下表:
最高 气温 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数 4 5 25 38 18
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率的估计值为0.1,则x等于( )
A.100 B.300 C.400 D.600
【答案】 B
【解析】 由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.1,所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.1.故选B.
12.在本届秋季运动会中,同学们热情高涨,踊跃报名,有不少同学报了多个项目.高三(四)班有50名学生,报了100米短跑或1 500米长跑的有16人,其中报了100米短跑的同学有10名,报了1 500米长跑的同学有12名,若在该班50名学生中随机抽取一名学生,抽到既报了100米短跑又报了1 500米长跑的学生的概率是 .
【答案】
【解析】 根据题意可得该班既报了100米短跑又报了1 500米长跑的学生为10+12-16=6 (人),所以在该班50名学生中随机抽取一名学生,抽到既报了100米短跑又报了1 500米长跑的学生的概率是 =.
13.某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下表:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率.
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务
【解】 (1)由题表可知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为=0.4,乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率为=0.28.
(2)甲分厂加工出来的100件产品的总利润为
40×(90-25)+20×(50-25)+20×(20-25)-20×(50+25)=1 500(元),
所以甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为15元/件;
乙分厂加工出来的100件产品的总利润为
28×(90-20)+17×(50-20)+34×(20-20)-21×(50+20)=1 000(元),
所以乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为10元/件.
故厂家应选择甲分厂承接加工业务.
应用创新
14.(多选题)概率是对随机事件发生可能性大小的度量,通过试验和观察的方法可以得到某事件发生的频率,进而用频率得到某事件的概率的估计.利用计算机模拟掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验,得到事件A=“一个正面朝上,一个反面朝上”发生的频数和频率表如下表:
序号 n=20 n=100 n=500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 55 0.55 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
用折线图表示频率的波动情况如图所示:
根据以上信息,下列说法正确的是( )
A.试验次数相同时,频率可能不同,说明随机事件发生的频率具有随机性
B.试验次数较少时,频率波动较大;试验次数较多时,频率波动较小,所以试验时,试验次数越少越好
C.随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个常数(即随机事件发生的概率)附近
D.要得到某事件发生的概率时,只需要做一次随机试验得到事件发生的频率即为概率
【答案】 AC
【解析】 试验次数相同时,频率可能不同,说明随机事件发生的频率具有随机性,A正确;
试验次数较少时,频率波动较大;试验次数较多时,频率波动较小,所以试验时,试验次数越多越好,B错误;
随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个常数(即随机事件发生的概率)附近,C正确,D错误.故选A,C.
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