【课程标准要求】 1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念,提升数学抽象的核心素养.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,提升数学运算的核心素养.3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养.
知识点一 相互独立事件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=
P(A)P(B).
[思考1] 不可能事件与任何一个事件相互独立吗
提示:相互独立.不可能事件的发生对任何一个事件发生的概率没有影响.
[思考2] 必然事件与任何一个事件相互独立吗
提示:相互独立.必然事件的发生对任何一个事件发生的概率没有影响.
知识点二 相互独立事件的性质
如果两个事件相互独立,那么把其中一个换成它的对立事件,这样的两个事件仍然相互独立.
知识拓展
(1)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
(2)互斥事件与相互独立事件的区别与联系.
项目 相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A,B同时发生,记作AB A与B互斥,记作AB= (或A∩B= )
计算 公式 P(AB)=P(A)·P(B) 若A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)
(3)涉及相互独立事件A,B有关的概率计算公式.
事件A,B发 生的情形 概率计算公式
A,B同时发生 P(AB)=P(A)P(B)
A,B都不发生 P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
A,B中至少 有一个不发生 P(B++A)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)
A,B中至少 有一个发生 P(A+B+AB)=1-P()=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
A,B中恰有 一个发生 P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()·P(B)=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)
题型一 相互独立事件的判断
[例1] 袋内有3个白球和2个黑球,这5个球除颜色外完全相同,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B,“第二次摸得黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是( )
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
【答案】 A
【解析】 标记1,2,3表示3个白球,4,5表示2个黑球,所有样本点为{(11),(12),(13),(14),
(15),(22),(23),(24),(25),(33),(34),(35),(44),(45),(21),(31),(41),(51),(32),(42),(52),(43),(53),
(54),(55)},
用古典概型概率计算公式易得P(A)==,P(B)==,P(C)==.而事件AB表示“第一次摸得白球且第二次摸得白球”,所以P(AB)==×=P(A)P(B),所以A与B相互独立.同理,事件AC表示“第一次摸得白球且第二次摸得黑球”,
P(AC)==×=P(A)P(C),所以A与C相互独立.故选A.
判断事件是否相互独立常用的两种方法
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
(2)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
[变式训练] 有6个完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
【答案】 B
【解析】 P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)==,
P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁)==P(甲)P(丁),
P(乙丙)=≠P(乙)P(丙),P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁).
故选B.
题型二 相互独立事件同时发生的概率
[例2] 甲、乙、丙3人同时应聘某用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为,,,且各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率;
(2)求3人中至少有1人被选中的概率.
【解】 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B,C,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)3人同时被选中的概率为
P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.
(2)法一 3人中有2人被选中的概率为
P2=P(AB∪AC∪BC)=××(1-)+×(1-)×+(1-)××=.
3人中有1人被选中的概率为
P3=P(A ∪B∪ C)=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=.
故3人中至少有1人被选中的概率为++=.
法二 由于“3人中至少有1人被选中”的对立事件是“3人均未被选中”,则3人中至少有1人被选中的概率为P=1-P( )=1-(1-)×(1-)×(1-)=.
求相互独立事件概率的步骤
第一步,先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;
第二步,根据相互独立事件的概率计算公式求出这些彼此互斥事件的概率;
第三步,根据互斥事件的概率加法公式求出结果.
此外,也可以从对立事件入手计算概率.
[变式训练] 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6,两人各投一次,假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的.求
(1)甲和乙都命中的概率;
(2)甲和乙都不命中的概率;
(3)甲和乙至少一人命中的概率.
【解】 (1)设“甲命中”为事件A,概率为P1=0.7,“乙命中”为事件B,概率为P2=0.6,
则设“甲和乙都命中”为事件C,
则P(C)=P1·P2=0.42.
(2)设“甲和乙都不命中”为事件E,
则P(E)=(1-P1)·(1-P2)=0.3×0.4=0.12.
(3)设“甲和乙至少一人命中”为事件F,
P(F)=1-0.12=0.88.
【学海拾贝】
相互独立事件的概率在求解体育比赛问题中的应用
求解与体育比赛有关的概率问题,首先应理解和掌握文字语言到符号语言,再到概率用语的转化,即明确比赛规则,将比赛规则转化为彼此互斥的事件后结合相应公式求解.常见的比赛规则有“三局两胜”“五局三胜”或“七局四胜”.
[典例探究] 某乒乓球队为备战比赛,在某训练基地进行封闭式训练,甲、乙两位队员进行对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜.通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知,甲发球甲赢的概率为,乙发球甲赢的概率为,每个球的结果互不影响,已知某局甲先发球.
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率.
【解】 (1)设甲发球甲赢为事件A,乙发球甲赢为事件B,该局打4个球甲赢为事件C,由题知,
P(A)=,P(B)=,所以C=AAB,所以P(C)=P(AAB)=P(A)P()P(A)P(B)=×(1-)××=,所以该局打4个球甲赢的概率为.
(2)设该局打5个球结束时甲赢为事件D,乙赢为事件E,打5个球结束为事件F,易知D,E为互斥事件,D=BBA,E=AA ,F=D∪E,所以P(D)=P(BBA)=P()P(B)P()P(B)P(A)
=(1-)××(1-)××=,P(E)=P(AA )=P(A)P()P(A)P()·P()=×(1-)××(1-)×(1-
)=,所以P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E)=+=,所以该局打5个球结束的概率为.
[应用探究] (1)某校组织知识竞赛,最终A,B两队进入决赛,两队各由3名选手组成,每局两队各派一名选手比赛,除第三局胜者得2分外,其余各局胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )
A. B. C. D.
(2)甲、乙两队正在角逐排球联赛的冠军,在刚刚结束的前三局比赛中,甲队2胜1负暂时领先,若规定先胜三局者即为本次联赛冠军,已知两队在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为 .
【答案】 (1)C (2)
【解析】 (1)比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况:①A全胜;②第一局A胜,第二局B胜,第三局A胜;③第一局B胜,第二局A胜,第三局A胜.
所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为P=()3+××+××=.故选C.
(2)设后两局中第i局甲胜为Ai(i=4,5),
则P(Ai)=,
则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为P(A4)+P(A5)=+×=.
当堂检测
1.某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9,则他连续做对第1题和第2题的概率是( )
A.0.64 B.0.56 C.0.81 D.0.99
【答案】 C
【解析】 Ai表示“第i题做对”,i=1,2,则P(A1∩A2)=P(A1)P(A2)=0.9×0.9=0.81.故选C.
2.甲、乙两个气象台同时做天气预报,如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7,且预报准确与否相互独立,那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是( )
A.0.06 B.0.38 C.0.56 D.0.94
【答案】 B
【解析】 由题可得一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是0.8×(1-0.7)+(1
-0.8)×0.7=0.38.故选B.
3.甲、乙两名同学去参加某高校科研项目面试.已知他们通过面试的概率都是,且两人的面试结果相互之间没有影响,则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 由题意可得,甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率P=2××(1-)=.故选D.
4.(多选题)甲、乙两社团各有3名男生、3名女生,从甲、乙两社团各随机选出1人参加宪法知识比赛. 设事件A为“从甲社团中选出的是男生丁”,事件B为“从乙社团中选出的是男生”,事件C为“甲、乙两社团选出的都是男生”,事件D为“从甲、乙两社团中选出的是1名男生和1名女生”,则( )
A.A与B相互独立
B.B与C相互独立
C.B与D相互独立
D.C与D互斥
【答案】 ACD
【解析】 由题意可得P(A)=,P(B)==,P(C)=×=,P(D)=×+×=.
因为P(AB)=×==P(A)P(B),所以A与B相互独立,故A正确;
因为P(BC)=×=≠P(B)P(C),所以B与C不相互独立,故B错误;
因为P(BD)=×==P(B)P(D),所以B与D相互独立,故C正确;
因为P(CD)=0,所以C与D互斥,故D正确.故选A,C,D.
基础巩固
1.一袋中装有5个白球,3个黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与是( )
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
【答案】 A
【解析】 由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”,即表示“第二次摸得黄球”,由于采用有放回地摸球,故每次摸到黄球或白球互不影响,故事件A1与是相互独立事件.故选A.
2.在某段时间内,甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响,则这段时间内,甲、乙两地都不下雨的概率为( )
A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42
【答案】 D
【解析】 设A表示事件“甲地下雨”,B表示事件“乙地下雨”,由题意可得甲、乙两地都不下雨的概率P=P( )=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=(1-0.3)×(1-0.4)=0.42.故选D.
3.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是,,,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.停车一次即为事件BC∪AC∪AB,
故概率为P=(1-)××+×(1-)×+××(1-)=.故选D.
4.某市地铁1号线从M站到终点站有5个站点.甲、乙同时从M站上车,假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的,则甲、乙在不同站点下车的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 设事件A为甲、乙在相同站点下车,则P(A)=×+×+×+×=,则甲、乙在不同站点下车的概率为1-P(A)=1-=.故选C.
5.甲、乙两人比赛,每局甲获胜的概率为,各局的胜负是相互独立的,某天两人要进行一场三局两胜的比赛,先赢得两局者为胜,无平局.若第一局比赛甲获胜,则甲获得最终胜利的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 根据题意知只需考虑剩下两局的情况,
(1)甲要获胜,则甲第二局获胜,此时甲获得最终胜利的概率为;
(2)甲要获胜,则甲第二局负,第三局获胜,所以甲获得最终胜利的概率为×=.
故甲获得最终胜利的概率为+=.故选B.
6.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则( )
A.A与B,A与,与B,与都相互独立
B.A与B是对立事件
C.P( )=0.98
D.P(AB∪B∪A)=0.02
【答案】 A
【解析】 对于A,由于两人射击的结果相互没有影响,
则A与B,A与,与B,与都相互独立,故A正确;
对于B,A表示事件“甲中靶且乙未中靶”,其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”,即A与B不是对立事件,故B错误;
对于C,P( )=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=0.2×0.1=0.02,故C错误;
对于D,P(AB∪B∪A)=P(AB)+P(B)+P(A)=0.8×0.9+0.2×0.9+0.8×0.1≠0.02,故D错误.故选A.
7.已知随机事件A和B相互独立,若P(AB)=0.36,P()=0.6,则P(B)= .
【答案】 0.9
【解析】 由对立事件的概率公式可得P(A)=1-P()=0.4,由A与B相互独立可得P(AB)=
P(A)P(B),因此P(B)==0.9.
8.小刚参加一种答题游戏,需要解答A,B,C三道题,已知他答对这三道题的概率分别为a,a,,且各题答对与否互不影响,若他恰好能答对两道题的概率为,则他三道题都答错的概率为 .
【答案】
【解析】 记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件D,E,F,且D,E,F相互独立,
且P(D)=P(E)=a,P(F)=,
因为他恰好能答对两道题的概率为,
可得P(DE+DF+EF)=P(DE)+P(DF)+P(EF)=a×a×(1-)+a×(1-a)×+(1-a)×a×=,
整理得(1-a)2=,
所以他三道题都答错的概率为
P( )=P()P()P()=(1-a)2×(1-)=.
9.甲、乙准备进行一局羽毛球比赛,比赛规定:一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球,则本回合甲赢的概率为,若乙发球,则本回合甲赢的概率为,每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定,第1回合由甲发球.
(1)求第3回合由乙发球的概率;
(2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.
【解】 (1)由题可知,第3回合由乙发球包含两种情况:第1回合甲赢,第2回合乙赢;第1回合乙赢,第2回合乙赢,
所以第3回合由乙发球的概率为×+×=.
(2)前3个回合中甲赢的回合数不低于乙,则前3个回合中甲赢的回合数为2或3,
甲赢的回合数为3的概率为××=,
甲赢的回合数为2的概率为××+××+××=,
所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为+=.
10.甲、乙、丙三人打台球,约定:第一局由甲、乙对打,丙轮空;每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打,负者下一局轮空,如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当,每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连续打四局比赛的概率;
(2)求在前四局中甲轮空两局的概率;
(3)求第四局甲轮空的概率.
【解】 (1)若甲连续打四局,根据比赛规则可知甲前三局都要获胜,所以甲连续打四局比赛的概率为()3=.
(2)在前四局中甲轮空两局的情况:第一局甲负,第二局轮空,第三局甲负,第四局轮空,
故在前四局中甲轮空两局的概率为
(1-)×(1-)=.
(3)第四局甲轮空有两种情况:
第一种,第一局甲负,第二局轮空,第三局甲负,第四局轮空,概率为(1-)×(1-)=,
第二种,第一局甲胜,第二局甲胜,第三局甲负,第四局轮空,概率为××(1-)=,则第四局甲轮空的概率为+=.
能力提升
11.(多选题)抛掷两枚质地均匀的骰子,记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A,“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B,则下列结论正确的是( )
A.事件A与事件B互为对立事件
B.事件A与事件B相互独立
C.P(B)=2P(A)
D.P(A)+P(B)=1
【答案】 BCD
【解析】 依题意,“第一枚骰子出现的点数小于3”与“第二枚骰子出现的点数不小于3”可以同时发生,即事件A与事件B不互斥,则事件A与事件B不是对立事件,A不正确;
显然有P(A)==,P(B)==,
抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,它们等可能,
事件AB所含的结果为(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),共8个,
则P(AB)===×=P(A)P(B),即事件A与事件B相互独立,B正确;
显然P(B)==2P(A),P(A)+P(B)=+=1,C,D都正确.故选B,C,D.
12.甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局,第二局由上一局负者先下,若甲、乙比赛两局,第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,则甲、乙各胜一局的概率为 .
【答案】
【解析】 分两种情况讨论.(1)第一局甲胜,第二局乙胜.若第一局甲执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜第二局的概率为,若第一局乙执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜第二局的概率为,所以第一局甲胜,第二局乙胜的概率为P1=××+××=;(2)第一局乙胜,第二局甲胜.若第一局甲执黑子先下,则乙胜第一局的概率为,第二局甲执黑子先下,则甲胜第二局的概率为,若第一局乙执黑子先下,则乙胜第一局的概率为,第二局甲执黑子先下,则甲胜第二局的概率为,所以第一局乙胜,第二局甲胜的概率为P2=××+××=.综上所述,甲、乙各胜一局的概率为+=.
13.某社区为丰富居民业余生活,举办了关于传统文化习俗的知识竞赛.比赛共分为两轮,在第一轮比赛中,每位参赛选手均需参加两关比赛,若其在两关比赛中均达标,则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中,选手A,B第一关达标的概率分别是,,第二关达标的概率分别是,.选手A,B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响.
(1)分别求出A,B进入第二轮比赛的概率;
(2)若A,B两人均参加第一轮比赛,求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率.
【解】 (1)设事件A1为“A在第一轮第一关比赛中达标”,事件A2为“A在第一轮第二关比赛中达标”,事件B1为“B在第一轮第一关比赛中达标”,事件B2为“B在第一轮第二关比赛中达标”.
则A进入第二轮比赛的概率为
P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,
B进入第二轮比赛的概率为
P(B1B2)=P(B1)P(B2)=×=.
(2)由(1)可知A没有进入第二轮比赛的概率为P1=1-P(A1A2)=1-=,
B没有进入第二轮比赛的概率为P2=1-P(B1B2)=1-=,则A,B两人都没有进入第二轮比赛的概率为P1P2=×=.
故两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率为P=1-=.
应用创新
14.如图所示,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )
A.0.576 B.0.720
C.0.864 D.0.960
【答案】 C
【解析】 由题意知元件K,A1,A2正常工作分别记为事件K,A1,A2,则概率分别为P(K)=0.9,
P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,
因为事件K,A1,A2相互独立,所以元件A1,A2至少有一个正常工作的概率为
P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96,
所以系统正常工作的概率为P(K)·[P(A2)+P(A1)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864.故选C.
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1.一袋中装有5个白球,3个黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与是( )
A.相互独立事件 B.不相互独立事件
C.互斥事件 D.对立事件
【答案】 A
【解析】 由题意可得表示“第二次摸到的不是白球”,即表示“第二次摸得黄球”,由于采用有放回地摸球,故每次摸到黄球或白球互不影响,故事件A1与是相互独立事件.故选A.
2.在某段时间内,甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响,则这段时间内,甲、乙两地都不下雨的概率为( )
A.0.12 B.0.88 C.0.28 D.0.42
【答案】 D
【解析】 设A表示事件“甲地下雨”,B表示事件“乙地下雨”,由题意可得甲、乙两地都不下雨的概率P=P( )=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=(1-0.3)×(1-0.4)=0.42.故选D.
3.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是,,,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.停车一次即为事件BC∪AC∪AB,
故概率为P=(1-)××+×(1-)×+××(1-)=.故选D.
4.某市地铁1号线从M站到终点站有5个站点.甲、乙同时从M站上车,假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的,则甲、乙在不同站点下车的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 设事件A为甲、乙在相同站点下车,则P(A)=×+×+×+×=,则甲、乙在不同站点下车的概率为1-P(A)=1-=.故选C.
5.甲、乙两人比赛,每局甲获胜的概率为,各局的胜负是相互独立的,某天两人要进行一场三局两胜的比赛,先赢得两局者为胜,无平局.若第一局比赛甲获胜,则甲获得最终胜利的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 根据题意知只需考虑剩下两局的情况,
(1)甲要获胜,则甲第二局获胜,此时甲获得最终胜利的概率为;
(2)甲要获胜,则甲第二局负,第三局获胜,所以甲获得最终胜利的概率为×=.
故甲获得最终胜利的概率为+=.故选B.
6.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,设A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,则( )
A.A与B,A与,与B,与都相互独立
B.A与B是对立事件
C.P( )=0.98
D.P(AB∪B∪A)=0.02
【答案】 A
【解析】 对于A,由于两人射击的结果相互没有影响,
则A与B,A与,与B,与都相互独立,故A正确;
对于B,A表示事件“甲中靶且乙未中靶”,其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”,即A与B不是对立事件,故B错误;
对于C,P( )=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=0.2×0.1=0.02,故C错误;
对于D,P(AB∪B∪A)=P(AB)+P(B)+P(A)=0.8×0.9+0.2×0.9+0.8×0.1≠0.02,故D错误.故选A.
7.已知随机事件A和B相互独立,若P(AB)=0.36,P()=0.6,则P(B)= .
【答案】 0.9
【解析】 由对立事件的概率公式可得P(A)=1-P()=0.4,由A与B相互独立可得P(AB)=
P(A)P(B),因此P(B)==0.9.
8.小刚参加一种答题游戏,需要解答A,B,C三道题,已知他答对这三道题的概率分别为a,a,,且各题答对与否互不影响,若他恰好能答对两道题的概率为,则他三道题都答错的概率为 .
【答案】
【解析】 记小刚解答A,B,C三道题正确分别为事件D,E,F,且D,E,F相互独立,
且P(D)=P(E)=a,P(F)=,
因为他恰好能答对两道题的概率为,
可得P(DE+DF+EF)=P(DE)+P(DF)+P(EF)=a×a×(1-)+a×(1-a)×+(1-a)×a×=,
整理得(1-a)2=,
所以他三道题都答错的概率为
P( )=P()P()P()=(1-a)2×(1-)=.
9.甲、乙准备进行一局羽毛球比赛,比赛规定:一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球,则本回合甲赢的概率为,若乙发球,则本回合甲赢的概率为,每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定,第1回合由甲发球.
(1)求第3回合由乙发球的概率;
(2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.
【解】 (1)由题可知,第3回合由乙发球包含两种情况:第1回合甲赢,第2回合乙赢;第1回合乙赢,第2回合乙赢,
所以第3回合由乙发球的概率为×+×=.
(2)前3个回合中甲赢的回合数不低于乙,则前3个回合中甲赢的回合数为2或3,
甲赢的回合数为3的概率为××=,
甲赢的回合数为2的概率为××+××+××=,
所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为+=.
10.甲、乙、丙三人打台球,约定:第一局由甲、乙对打,丙轮空;每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打,负者下一局轮空,如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当,每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连续打四局比赛的概率;
(2)求在前四局中甲轮空两局的概率;
(3)求第四局甲轮空的概率.
【解】 (1)若甲连续打四局,根据比赛规则可知甲前三局都要获胜,所以甲连续打四局比赛的概率为()3=.
(2)在前四局中甲轮空两局的情况:第一局甲负,第二局轮空,第三局甲负,第四局轮空,
故在前四局中甲轮空两局的概率为
(1-)×(1-)=.
(3)第四局甲轮空有两种情况:
第一种,第一局甲负,第二局轮空,第三局甲负,第四局轮空,概率为(1-)×(1-)=,
第二种,第一局甲胜,第二局甲胜,第三局甲负,第四局轮空,概率为××(1-)=,则第四局甲轮空的概率为+=.
能力提升
11.(多选题)抛掷两枚质地均匀的骰子,记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A,“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B,则下列结论正确的是( )
A.事件A与事件B互为对立事件
B.事件A与事件B相互独立
C.P(B)=2P(A)
D.P(A)+P(B)=1
【答案】 BCD
【解析】 依题意,“第一枚骰子出现的点数小于3”与“第二枚骰子出现的点数不小于3”可以同时发生,即事件A与事件B不互斥,则事件A与事件B不是对立事件,A不正确;
显然有P(A)==,P(B)==,
抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个,它们等可能,
事件AB所含的结果为(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),共8个,
则P(AB)===×=P(A)P(B),即事件A与事件B相互独立,B正确;
显然P(B)==2P(A),P(A)+P(B)=+=1,C,D都正确.故选B,C,D.
12.甲、乙两人下围棋,若甲执黑子先下,则甲胜的概率为;若乙执黑子先下,则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局,第二局由上一局负者先下,若甲、乙比赛两局,第一局甲、乙执黑子先下是等可能的,则甲、乙各胜一局的概率为 .
【答案】
【解析】 分两种情况讨论.(1)第一局甲胜,第二局乙胜.若第一局甲执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜第二局的概率为,若第一局乙执黑子先下,则甲胜第一局的概率为,第二局乙执黑子先下,则乙胜第二局的概率为,所以第一局甲胜,第二局乙胜的概率为P1=××+××=;(2)第一局乙胜,第二局甲胜.若第一局甲执黑子先下,则乙胜第一局的概率为,第二局甲执黑子先下,则甲胜第二局的概率为,若第一局乙执黑子先下,则乙胜第一局的概率为,第二局甲执黑子先下,则甲胜第二局的概率为,所以第一局乙胜,第二局甲胜的概率为P2=××+××=.综上所述,甲、乙各胜一局的概率为+=.
13.某社区为丰富居民业余生活,举办了关于传统文化习俗的知识竞赛.比赛共分为两轮,在第一轮比赛中,每位参赛选手均需参加两关比赛,若其在两关比赛中均达标,则进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中,选手A,B第一关达标的概率分别是,,第二关达标的概率分别是,.选手A,B在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响.
(1)分别求出A,B进入第二轮比赛的概率;
(2)若A,B两人均参加第一轮比赛,求两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率.
【解】 (1)设事件A1为“A在第一轮第一关比赛中达标”,事件A2为“A在第一轮第二关比赛中达标”,事件B1为“B在第一轮第一关比赛中达标”,事件B2为“B在第一轮第二关比赛中达标”.
则A进入第二轮比赛的概率为
P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,
B进入第二轮比赛的概率为
P(B1B2)=P(B1)P(B2)=×=.
(2)由(1)可知A没有进入第二轮比赛的概率为P1=1-P(A1A2)=1-=,
B没有进入第二轮比赛的概率为P2=1-P(B1B2)=1-=,则A,B两人都没有进入第二轮比赛的概率为P1P2=×=.
故两人中至少有1人进入第二轮比赛的概率为P=1-=.
应用创新
14.如图所示,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为( )
A.0.576 B.0.720
C.0.864 D.0.960
【答案】 C
【解析】 由题意知元件K,A1,A2正常工作分别记为事件K,A1,A2,则概率分别为P(K)=0.9,
P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,
因为事件K,A1,A2相互独立,所以元件A1,A2至少有一个正常工作的概率为
P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96,
所以系统正常工作的概率为P(K)·[P(A2)+P(A1)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864.故选C.
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§4 事件的独立性
1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念,提升数学抽象的核心素养.
2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题,提升数学运算的核心素养.3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题,提升逻辑推理与数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 相互独立事件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率,等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)= .
P(A)P(B)
[思考1] 不可能事件与任何一个事件相互独立吗
提示:相互独立.不可能事件的发生对任何一个事件发生的概率没有影响.
[思考2] 必然事件与任何一个事件相互独立吗
提示:相互独立.必然事件的发生对任何一个事件发生的概率没有影响.
知识点二 相互独立事件的性质
如果两个事件相互独立,那么把其中一个换成它的 ,这样的两个事件仍然相互独立.
对立事件
『知识拓展』
(1)如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
(2)互斥事件与相互独立事件的区别与联系.
项目 相互独立事件 互斥事件
条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A,B同时发生,记作AB A与B互斥,记作AB= (或A∩B= )
计算
公式 P(AB)=P(A)·P(B) 若A与B互斥,则P(A+B)=
P(A)+P(B)
(3)涉及相互独立事件A,B有关的概率计算公式.
题型一 相互独立事件的判断
[例1] 袋内有3个白球和2个黑球,这5个球除颜色外完全相同,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B,“第二次摸得黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是( )
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
A
·解题策略·
判断事件是否相互独立常用的两种方法
(1)定义法:事件A,B相互独立 P(AB)=P(A)P(B).
(2)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
[变式训练] 有6个完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件
“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
B
题型二 相互独立事件同时发生的概率
(2)求3人中至少有1人被选中的概率.
·解题策略·
求相互独立事件概率的步骤
第一步,先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;
第二步,根据相互独立事件的概率计算公式求出这些彼此互斥事件的概率;
第三步,根据互斥事件的概率加法公式求出结果.
此外,也可以从对立事件入手计算概率.
[变式训练] 两个篮球运动员甲和乙罚球时命中的概率分别是0.7和0.6,两人各投一次,假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的.求
(1)甲和乙都命中的概率;
【解】 (1)设“甲命中”为事件A,概率为P1=0.7,“乙命中”为事件B,概率为P2=
0.6,
则设“甲和乙都命中”为事件C,
则P(C)=P1·P2=0.42.
(2)甲和乙都不命中的概率;
【解】 (2)设“甲和乙都不命中”为事件E,
则P(E)=(1-P1)·(1-P2)=0.3×0.4=0.12.
(3)甲和乙至少一人命中的概率.
【解】 (3)设“甲和乙至少一人命中”为事件F,
P(F)=1-0.12=0.88.
【学海拾贝】
相互独立事件的概率在求解体育比赛问题中的应用
求解与体育比赛有关的概率问题,首先应理解和掌握文字语言到符号语言,再到概率用语的转化,即明确比赛规则,将比赛规则转化为彼此互斥的事件后结合相应公式求解.常见的比赛规则有“三局两胜”“五局三胜”或“七局四胜”.
(1)求该局打4个球甲赢的概率;
(2)求该局打5个球结束的概率.
C
当堂检测
1.某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9,则他连续做对第1题和第2题的概率是( )
A.0.64 B.0.56 C.0.81 D.0.99
C
【解析】 Ai表示“第i题做对”,i=1,2,则P(A1∩A2)=P(A1)P(A2)=0.9×0.9=0.81.故选C.
2.甲、乙两个气象台同时做天气预报,如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7,且预报准确与否相互独立,那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是( )
A.0.06 B.0.38 C.0.56 D.0.94
B
【解析】 由题可得一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38.故选B.
D
4.(多选题)甲、乙两社团各有3名男生、3名女生,从甲、乙两社团各随机选出1人参加宪法知识比赛. 设事件A为“从甲社团中选出的是男生丁”,事件B为“从乙社团中选出的是男生”,事件C为“甲、乙两社团选出的都是男生”,事件D为“从甲、乙两社团中选出的是1名男生和1名女生”,则( )
A.A与B相互独立
B.B与C相互独立
C.B与D相互独立
D.C与D互斥
ACD
