(共35张PPT)
§3 用样本估计总体的分布
3.1 从频数到频率
3.2 频率分布直方图
1.了解频数与频率的关系,能够合理利用频率与频数估计总体,提升数学运算的核心素养.2.掌握频率分布表、频率分布直方图、频率折线图的画法,并会灵活应用,提升数据分析的核心素养.3.能够利用相应的图形解决实际问题,提升逻辑推理及直观想象的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 从频数到频率
频率反映了相对总数而言的相对强度,其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中,如果总体容量比较小, 也可以较客观地反映总体分布;当总体容量较大时, 就更能客观地反映总体分布.在统计中,经常要用
的频率去估计 中相应的频率,即对总体分布进行估计.
频数
频率
样本数据
总体
[思考1] 什么是频数 如何计算频率
[思考2] 什么是频率分布表
提示:为了直观地表示样本的频率分布情况,通常将样本容量、每组数据出现的次数以及相应的频率列在一个表格中,这样的表格称为频率分布表.
知识点二 频率分布直方图
组距
频率与组距的比
频率
面积
2.画频率分布直方图的步骤:
(1)计算极差.极差是一组数据中最大值与最小值的差.
(2)确定组距与组数.当样本数据在120个以内时,通常按照数据的多少分成5组～12组.在实际操作中,一般要求各组的组距相等,并且组距应力求“取整”.
(3)将数据分组.
[思考3] 频率分布直方图每一个矩形的面积代表什么,各矩形的面积的和有什么特征
提示:每一个矩形的面积代表频率,各矩形的面积的和为1.
知识点三 频率折线图
在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的 开始,用线段依次连接各个矩形的 ,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图.
中点
顶端中点
[思考4] 频率折线图与频率分布直方图有什么联系
提示:频率折线图是在频率分布直方图的基础上,连接各矩形的顶端的中点所得到的一条折线,它以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化情况.
『知识拓展』
题型一 从频数到频率
[例1] (1)若将容量为100的样本数据分为如下8组,则第3组的频率为( )
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 15 13 12 9
A.0.14 B.0.03 C.0.07 D.0.21
A
(2)下表所示是某校120名学生假期阅读时间(单位:h)的频率分布表,现按分层随机抽样的方法从[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]四组中抽取20名学生了解其阅读内容,那么从这四组中依次抽取的人数是( )
B
分组 频数 频率
[10,15) 12 0.10
[15,20) 30 a
[20,25) m 0.60
[25,30] n 0.05
合计 120 1.00
A.2,5,8,5 B.2,5,12,1 C.4,6,8,2 D.3,6,10,1
·解题策略·
当两个样本的样本容量相等或者相差不大时,可以用频数比较总体分布的差异;当两个样本的样本容量相差较大时,可以用频率比较总体分布的差异.
[变式训练] (1)一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表:
分组 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在[10,40)内的频率为( )
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64
C
(2)四组同学从装有若干小球的布袋子中取球,每次抽取一个,取完放回.甲、乙、丙、丁四组分别抽取了100次、500次、1 000次、5 000次.则下列计数最可能出现错误的是( )
A.甲组抽到了25次红球
B.乙组抽到了121次红球
C.丙组抽到了403次红球
D.丁组抽到了1 255次红球
C
题型二 频率分布直方图
角度1 求频率分布直方图纵坐标中的参数
[例2] 某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了n名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图,已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10 min的有10人,则n,p的值分别为
( )
A.200,0.015 B.100,0.010
C.100,0.015 D.1 000,0.010
B
·解题策略·
[变式训练] 某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生,测试了立定跳远项目,依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远200 cm以上成绩为及格,255 cm以上成绩为优秀.根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的优秀率和图中的a分别是( )
A.3%,0.010 B.3%,0.012
C.6%,0.010 D.6%,0.012
C
【解析】 由频率分布直方图,可得优秀率为0.003×20×100%=6%.
由(0.003+0.014+0.020+a+0.003)×20=1,解得a=0.010.
故选C.
角度2 根据频率分布直方图求样本数据在某一区间内的频率(数)
[例3] 某校从参加高一年级期末考试的学生中随机抽取60名学生,将其成绩
(均为整数)分成六段(单位:分):[40,50),[50,60),…,[90,100],然后画出如图所示的频率分布直方图,则分数在[60,88)的人数为 .
39
·解题策略·
(1)根据频率分布直方图求样本数据在某一区间内的频率就是求样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量.
(2)频率、频数、样本容量的计算方法.
[变式训练] 某工厂抽取100件产品测其质量(单位:kg),其中每件产品的质量范围是[40,42],数据的分组依次为[40,40.5),[40.5,41),[41,41.5),[41.5,42],据此绘制出如图所示的频率分布直方图,则质量在[40,41)内的产品件数为( )
A.30 B.40
C.60 D.80
B
【解析】 由题图可知,质量在[40,41)内的产品件数为100×(0.1+0.7)×0.5
=40.
故选B.
题型三 频率折线图
[例4] (多选题)如图是某校55名大学生期末考试专业成绩的频率折线图,其中组距为10,且本次考试中最低分为50分,最高分为100分.根据图中所提供的信息,下列结论正确的是( )
A.成绩是75分的人数为20
B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C.成绩落在[70,90)内的人数为35
D.成绩落在[70,80)内的人数为20
CD
·解题策略·
解答有关用坐标系表示的统计图时,关键是理解横坐标和纵坐标的意义,据此转化为解题所需要的频率,最终都是利用频数与频率的关系求解.
[变式训练] 如图是对某种电子元件进行寿命追踪调查所绘制的频率折线图,根据该折线图估计该电子元件的寿命在1 000～4 000 h内的百分比为 .
65%
【解析】 由题图可知电子元件寿命在1 000～4 000 h以内的频率是0.10+0.15
+0.40=0.65,
所以估计电子元件寿命在1 000～4 000 h以内的在总体中占的百分比为65%.
当堂检测
1.在频率分布直方图中,小长方形的面积等于( )
A.组距 B.频率
C.组数 D.频数
B
【解析】 由频率分布直方图中小长方形宽为组距,高为频率与组距的比值,所以小长方形的面积等于频率.故选B.
2.将容量为100的样本数据按由小到大排列分成8个小组,如下表所示,但第6组被墨汁污染,则第6组的频率为( )
C
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 20 13 ● 12 9
A.0.14 B.0.12 C.0.09 D.0.10
D
4.某高校为了解今年春季学期开学第一周,大二年级学生参加学校社团活动的时长,有关部门随机抽查了该校大二年级100名同学,统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长,并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长(单位:小时)范围是[2,12],数据分组为[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12].这100名同学中,今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人.
68
【解析】 今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为1-(0.04+0.12)×2=0.68,
故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为0.68×100=68.3.1 从频数到频率
3.2 频率分布直方图
基础巩固
1.已知一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、第五组的频数都为8,第二、第四组的频率都为,则第三组的频数为( )
A.16 B.20
C.24 D.36
【答案】 C
【解析】 因为频率=,所以第二、第四组的频数都为72×=16.所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24.
故选C.
2.已知样本数据:10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11,那么频率为0.2的是( )
A.[5.5,7.5) B.[7.5,9.5)
C.[9.5,11.5) D.[11.5,13.5]
【答案】 D
【解析】 样本容量为20.根据选项,可分为4组,各组的频数和频率如下表所示:
分组 [5.5,7.5) [7.5,9.5) [9.5,11.5) [11.5,13.5] 合计
频数 2 6 8 4 20
频率 0.1 0.3 0.4 0.2 1.0
从表中可以看出频率为0.2的是[11.5,13.5].故选D.
3.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50 kW·h至350 kW·h之间,频率分布直方图如图所示.在这些用户中,用电量落在区间[150,250)内的户数为( )
A.48 B.52 C.60 D.70
【答案】 B
【解析】 由频率分布直方图的性质,可得(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50
=1,解得x=0.004 4,
所以用电量落在区间[150,250)内的频率为(0.006 0+0.004 4)×50=0.52,用电量落在区间[150,250)内的户数为100×0.52=52.故选B.
4.某学校有2 000名学生,一机构在该校随机抽取了800名学生对某国际运动会期间6场网球单打比赛的收看情况进行了调查,将数据分组整理后,列表如下:
观看 场次 0 1 2 3 4 5 6
观看人 数占比 15% 5% 5% m% 10% 15% 4m%
从表中数据可以得出的正确结论为( )
A.表中m的数值为15
B.观看场次不超过3场的学生的比例为30%
C.估计该校观看场次不超过2场的学生约为400人
D.估计该校观看场次不低于4场的学生约为1 300人
【答案】 D
【解析】 对于选项A,由表可知,15%+5%+5%+m%+10%+15%+4m%=1,解得m=10,故A错误;对于选项B,观看场次不超过3场的学生的比例为15%+5%+5%+10%=35%,故B错误;对于选项C,观看场次不超过2场的学生的比例为15%+5%+5%=25%,则观看场次不超过2场的学生约为2 000×25%=500(人),故C错误;对于选项D,观看场次不低于4场的学生的比例为10%+15%+40%=65%,则观看场次不低于4场的学生约为2 000×65%=1 300(人),故D正确.故选D.
5.某外贸企业随机抽取了110名职工组织“一带一路”知识竞赛,满分为100分(80分及以上为认知程度较高),并将所得成绩分组得到了如图所示的频率折线图,以下说法正确的是( )
A.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
B.对“一带一路”认知程度较高的人数是40
C.成绩是75分的人数为40
D.成绩落在[70,80)内的人数为20
【答案】 B
【解析】 由于频率折线图表示的是某一范围的频率,所以从频率折线图看不出成绩是100分的人数多还是成绩是50分的人数多,也不能得出成绩是75分的人数,故A,C错误;对于B,成绩为80分及以上的人数为(+)×10×110=40,故B正确;
对于D,成绩落在[70,80)内的人数为10××110=40,故D错误.
故选B.
6.(多选题)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)内的学生有60人,则下列说法正确的是( )
A.样本中支出在[50,60)内的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生,则估计有600人支出在[50,60)内
【答案】 BCD
【解析】 样本中支出在[50,60)内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,所以A错误;样本容量为n==200,支出在[40,50)内的人数为200×0.036×10=72,支出不少于40元的人数为72+60=132,所以B,C正确;若该校有2 000名学生,则估计有2 000×0.3=600(人)支出在[50,60)内,故D正确.
故选B,C,D.
7.从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高,其中最大值为184 cm,最小值为152 cm,绘制身高频率分布直方图,若组距为3,且第一组下限为151.5,则组数为 .
【答案】 11
【解析】 因为第一组下限为151.5,组距为3,所以151.5+3×11=184.5,故第11组的上限为184.5,所以组数为11.
8.某公司进行招聘,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机抽取了24名笔试者的成绩,统计结果如下表所示.
分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90]
人数 2 3 4 9 5 1
据此估计允许参加面试的分数线大约是 .
【答案】 80
【解析】 依题意,参加面试的频率为=0.25,由统计表知,样本中数据在[80,90]内的频率为=0.25,由样本估计总体知,分数线大约为80.
9.有一容量为50的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,15),4;[15,20),5;[20,25),10;
[25,30),11;[30,35),9;[35,40),8;[40,45],3.
(1)求出样本中各组的频率.
(2)画出频率分布直方图及频率折线图.
【解】 (1)由所给的数据,可得频率分布表如表所示.
分组 频数 频率
[10,15) 4 0.08
[15,20) 5 0.10
[20,25) 10 0.20
[25,30) 11 0.22
[30,35) 9 0.18
[35,40) 8 0.16
[40,45] 3 0.06
(2)频率分布直方图如图①所示,频率折线图如图②所示.
10.为调查某校学生的校志愿者活动情况,现抽取一个容量为100的样本,统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长,并绘制了如图所示的频率分布直方图,记数据分布在[50,
100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]的频率分别为f1,f2,…,f7,已知f1+f2+f3=0.5,f4=2f6.
(1)求f2,f6的值;
(2)求样本中在[150,300)内的频数.
【解】 (1)由题图可知f1=f7=0.001×50=0.05,
f2=f5,f3=0.006×50=0.3,
又因为f1+f2+f3=0.5,f4=2f6,
所以f2=0.5-f1-f3=0.5-0.05-0.3=0.15,
则f5=0.15,
又f4=2f6,f4+f5+f6+f7=0.5,
所以2f6+0.15+f6+0.05=0.5,解得f6=0.1.
(2)由(1)可知f3=0.3,f4=2f6=0.2,f5=0.15,所以样本中在[150,300)内的频率为f3+f4+f5=0.65,
所以样本中在[150,300)内的频数为100×0.65=65.
能力提升
11.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90后从事互联网行业者的岗位分布图,则下列结论中不一定正确的是( )
(注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生)
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【答案】 D
【解析】 对于A,由互联网行业从业者年龄分布饼状图知,互联网行业从业人员中90后占56%,故A选项正确;
对于B,由90后从事互联网行业岗位分布图得到从事技术岗位的人数占39.6%,而互联网行业中90后占56%,56%×39.6%=22.176%,超过总人数的20%,故B选项正确;
对于C,90后从事运营岗位的人数占其17%,而互联网行业从业人员中90后占56%,56%
×17%=9.52%,而互联网行业从业人员中80前仅占6%,所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多,故C选项正确;
对于D,由B得互联网行业中从事技术岗位的90后人数占整个互联网行业总人数的22.176%,而互联网行业从业人员中80后占38%,故互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多,故D选项错误.故选D.
12.设某组数据均落在区间[10,60]内,共分为[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]五组,对应频率分别为p1,p2,p3,p4,p5.已知依据该组数据所绘制的频率分布直方图为轴对称图形,且p1≤2p2≤4p3≤2p4≤p5,则p3= .
【答案】
【解析】 由于频率分布直方图为轴对称图形,则p1=p5,p2=p4,
又因为p1≤2p2≤4p3≤2p4≤p5,则p1=2p2=4p3=2p4=p5,且有p1+p2+p3+p4+p5=1,
解得p1=p5=,p2=p4=,p3=.
13.某校为调查高一学生体能训练状况,现抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)求第二小组的频率.
(2)求样本容量.
(3)若一分钟跳绳次数在110以上为达标,试估计全体高一学生的达标率为多少.
【解】 (1)由于每个小长方形的面积即为本组的频率,设第二小组的频率为4f,
则2f+4f+17f+15f+9f+3f=1,
解得f=,
所以第二小组的频率为4×=.
(2)设样本容量为n,则=,所以n=150.
(3)由(1)和频率分布直方图可知,次数在110以上的频率为17f+15f+9f+3f=44f=44×=0.88.由此估计全体高一学生的达标率为88%.
应用创新
14.(多选题)某大型超市在制定停车收费方案时,需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了200个停车时间的数据(单位:min),其频率分布直方图如图所示.超市决定对停车时间在40 min以内的顾客免收停车费,则下列说法正确的是( )
A.免收停车费的顾客约占总数的20%
B.免收停车费的顾客约占总数的25%
C.停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的50%
D.若从免收停车费与不免收停车费的顾客中按比例分配的分层随机抽样方法抽取8人调查超市购物满意度,则应从免收停车费的顾客中抽取2人
【答案】 BCD
【解析】 由题意得,免收停车费的顾客约占总数的(0.002 5+0.01)×20=0.25,故免收停车费的顾客约占总数的25%,故选项A错误,选项B正确;停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的(0.015+0.01)×20=0.5,故停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的50%,故选项C正确;免收停车费与不免收停车费的顾客人数比为1∶3,则应从免收停车费的顾客中抽取8×=2(人),故选项D正确.故选B,C,D.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1 从频数到频率
3.2 频率分布直方图
【课程标准要求】 1.了解频数与频率的关系,能够合理利用频率与频数估计总体,提升数学运算的核心素养.2.掌握频率分布表、频率分布直方图、频率折线图的画法,并会灵活应用,提升数据分析的核心素养.3.能够利用相应的图形解决实际问题,提升逻辑推理及直观想象的核心素养.
知识点一 从频数到频率
频率反映了相对总数而言的相对强度,其所携带的总体信息远超过频数.在实际问题中,如果总体容量比较小,频数也可以较客观地反映总体分布;当总体容量较大时,频率就更能客观地反映总体分布.在统计中,经常要用样本数据的频率去估计总体中相应的频率,即对总体分布进行估计.
[思考1] 什么是频数 如何计算频率
提示:将样本数据按照特征分成若干个小组,各组内的数据个数为该组的频数.频率=.
[思考2] 什么是频率分布表
提示:为了直观地表示样本的频率分布情况,通常将样本容量、每组数据出现的次数以及相应的频率列在一个表格中,这样的表格称为频率分布表.
知识点二 频率分布直方图
1.在直角坐标系中,横轴表示样本数据,纵轴表示频率与组距的比值,将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示,每个小矩形的底边长是该组的组距,每个小矩形的高是该组的频率与组距的比,从而每个小矩形的面积等于该组的频率,即每个小矩形的面积=组距×=频率.我们把这样的图叫作频率分布直方图.频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.
2.画频率分布直方图的步骤:
(1)计算极差.极差是一组数据中最大值与最小值的差.
(2)确定组距与组数.当样本数据在120个以内时,通常按照数据的多少分成5组～12组.在实际操作中,一般要求各组的组距相等,并且组距应力求“取整”.
(3)将数据分组.
(4)列表.一般分四列:分组、频数、频率、.
(5)画频率分布直方图.横轴表示分组,纵轴表示.
[思考3] 频率分布直方图每一个矩形的面积代表什么,各矩形的面积的和有什么特征
提示:每一个矩形的面积代表频率,各矩形的面积的和为1.
知识点三 频率折线图
在频率分布直方图中,按照分组原则,再在左边和右边各加一个区间.从所加的左边区间的中点开始,用线段依次连接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图.
[思考4] 频率折线图与频率分布直方图有什么联系
提示:频率折线图是在频率分布直方图的基础上,连接各矩形的顶端的中点所得到的一条折线,它以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化情况.
知识拓展
(1)画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高.频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度一般是不一致的,合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”,然后以各组的“”所占的比例来定高.
(2)同一组数据,由于组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图形的形状也不相同.
题型一 从频数到频率
[例1] (1)若将容量为100的样本数据分为如下8组,则第3组的频率为( )
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 15 13 12 9
A.0.14 B.0.03 C.0.07 D.0.21
(2)下表所示是某校120名学生假期阅读时间(单位:h)的频率分布表,现按分层随机抽样的方法从[10,15),[15,20),[20,25),[25,30]四组中抽取20名学生了解其阅读内容,那么从这四组中依次抽取的人数是( )
分组 频数 频率
[10,15) 12 0.10
[15,20) 30 a
[20,25) m 0.60
[25,30] n 0.05
合计 120 1.00
A.2,5,8,5 B.2,5,12,1
C.4,6,8,2 D.3,6,10,1
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)第三组的频数为100-10-13-14-15-13-12-9=14,所以第三组的频率为=0.14.故选A.
(2)根据题意,小组[15,20)的频率为a==0.25,
则第一小组抽取的人数为20×0.10=2,
第二小组抽取的人数为20×0.25=5,
第三小组抽取的人数为20×0.60=12,
第四小组抽取的人数为20×0.05=1.
即从这四组中依次抽取的人数是2,5,12,1.故选B.
当两个样本的样本容量相等或者相差不大时,可以用频数比较总体分布的差异;当两个样本的样本容量相差较大时,可以用频率比较总体分布的差异.
[变式训练] (1)一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表:
分组 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据落在[10,40)内的频率为( )
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64
(2)四组同学从装有若干小球的布袋子中取球,每次抽取一个,取完放回.甲、乙、丙、丁四组分别抽取了100次、500次、1 000次、5 000次.则下列计数最可能出现错误的是( )
A.甲组抽到了25次红球
B.乙组抽到了121次红球
C.丙组抽到了403次红球
D.丁组抽到了1 255次红球
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)由频数分布表知样本数据落在[10,40)内的频率为=0.52.故选C.
(2)由题意得甲组抽到红球的频率为f1=,乙组抽到红球的频率为f2=,丙组抽到红球的频率为f3=,丁组抽到红球的频率为f4=.经过比较发现,甲、乙、丁抽到红球的频率均接近0.25,而丙抽到红球的频率接近0.4,丙组的试验次数介于乙组和丁组之间,但抽到红球的频率与这两组相差较大.故有理由认为丙组的结果是错误的.故选C.
题型二 频率分布直方图
角度1 求频率分布直方图纵坐标中的参数
[例2] 某地区为了解学生课余时间的读书情况,随机抽取了n名学生进行调查,根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图,已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10 min的有10人,则n,p的值分别为( )
A.200,0.015 B.100,0.010
C.100,0.015 D.1 000,0.010
【答案】 B
【解析】 利用频率之和为1可得,p×10=1-(0.018+0.022+0.025+0.020+0.005)×10=0.1,解得p=0.010,根据频率、频数、样本容量之间的关系,可得=0.1,解得n=100.
故选B.
由于频率分布直方图中的纵坐标为,因此涉及纵坐标中含参数问题,应根据频率之和为1列式求解.
[变式训练] 某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生,测试了立定跳远项目,依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.已知立定跳远200 cm以上成绩为及格,255 cm以上成绩为优秀.根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的优秀率和图中的a分别是( )
A.3%,0.010 B.3%,0.012
C.6%,0.010 D.6%,0.012
【答案】 C
【解析】 由频率分布直方图,可得优秀率为0.003×20×100%=6%.
由(0.003+0.014+0.020+a+0.003)×20=1,解得a=0.010.
故选C.
角度2 根据频率分布直方图求样本数据在某一区间内的频率(数)
[例3] 某校从参加高一年级期末考试的学生中随机抽取60名学生,将其成绩(均为整数)分成六段(单位:分):[40,50),[50,60),…,[90,100],然后画出如图所示的频率分布直方图,则分数在[60,88)的人数为 .
【答案】 39
【解析】 依题意知,分数在[80,88)之间的人数所占频率x满足==,解得x=0.2,因此分数在[60,88)之间的人数所占的频率为(0.015+0.030)×10+0.2=0.65,所以分数在[60,88)之间的人数为0.65×60=39.
(1)根据频率分布直方图求样本数据在某一区间内的频率就是求样本数据在该区间内的各组频率的和,而求解相应的频数还要根据频率乘以样本容量.
(2)频率、频数、样本容量的计算方法.
①×组距=频率;
②=频率,=样本容量,样本容量×频率=频数.
[变式训练] 某工厂抽取100件产品测其质量(单位:kg),其中每件产品的质量范围是[40,42],数据的分组依次为[40,40.5),[40.5,41),[41,41.5),[41.5,42],据此绘制出如图所示的频率分布直方图,则质量在[40,41)内的产品件数为( )
A.30 B.40
C.60 D.80
【答案】 B
【解析】 由题图可知,质量在[40,41)内的产品件数为100×(0.1+0.7)×0.5=40.
故选B.
题型三 频率折线图
[例4] (多选题)如图是某校55名大学生期末考试专业成绩的频率折线图,其中组距为10,且本次考试中最低分为50分,最高分为100分.根据图中所提供的信息,下列结论正确的是( )
A.成绩是75分的人数为20
B.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
C.成绩落在[70,90)内的人数为35
D.成绩落在[70,80)内的人数为20
【答案】 CD
【解析】 成绩落在[70,80)内的人数为10××55=20,不能说成绩是75分的人数为20,所以A错误,D正确;
从频率折线图中看不出成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多,只能看出成绩落在[50,60)内的人数和成绩落在[90,100]内的人数相等,所以B错误;
成绩落在[70,90)内的人数为(10×+10×)×55=35,所以C正确.故选C,D.
解答有关用坐标系表示的统计图时,关键是理解横坐标和纵坐标的意义,据此转化为解题所需要的频率,最终都是利用频数与频率的关系求解.
[变式训练] 如图是对某种电子元件进行寿命追踪调查所绘制的频率折线图,根据该折线图估计该电子元件的寿命在1 000～4 000 h内的百分比为 .
【答案】 65%
【解析】 由题图可知电子元件寿命在1 000～4 000 h以内的频率是0.10+0.15+0.40=0.65,
所以估计电子元件寿命在1 000～4 000 h以内的在总体中占的百分比为65%.
当堂检测
1.在频率分布直方图中,小长方形的面积等于( )
A.组距 B.频率
C.组数 D.频数
【答案】 B
【解析】 由频率分布直方图中小长方形宽为组距,高为频率与组距的比值,所以小长方形的面积等于频率.故选B.
2.将容量为100的样本数据按由小到大排列分成8个小组,如下表所示,但第6组被墨汁污染,则第6组的频率为( )
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
频数 10 13 14 20 13 ● 12 9
A.0.14 B.0.12 C.0.09 D.0.10
【答案】 C
【解析】 第6组的频数为100-(10+13+14+20+13+12+9)=9,故第6组的频率为=0.09.故选C.
3.在样本频率分布直方图中共有9个小矩形,若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的,且样本容量为210,则该组的频数为( )
A.28 B.40
C.56 D.60
【答案】 D
【解析】 设该小矩形的面积为x,9个小矩形的总面积为1,则其他8个小矩形的面积和为x,
所以x+x=1,所以x=,所以该组的频数为×210=60.故选D.
4.某高校为了解今年春季学期开学第一周,大二年级学生参加学校社团活动的时长,有关部门随机抽查了该校大二年级100名同学,统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长,并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长(单位:小时)范围是[2,12],数据分组为[2,4),[4,6),[6,8),
[8,10),[10,12].这100名同学中,今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人.
【答案】 68
【解析】 今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为1-(0.04+0.12)×2=0.68,
故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为0.68×100=68.
基础巩固
1.已知一个样本的容量为72,分成5组,已知第一、第五组的频数都为8,第二、第四组的频率都为,则第三组的频数为( )
A.16 B.20
C.24 D.36
【答案】 C
【解析】 因为频率=,所以第二、第四组的频数都为72×=16.所以第三组的频数为72-2×8-2×16=24.
故选C.
2.已知样本数据:10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,11,那么频率为0.2的是( )
A.[5.5,7.5) B.[7.5,9.5)
C.[9.5,11.5) D.[11.5,13.5]
【答案】 D
【解析】 样本容量为20.根据选项,可分为4组,各组的频数和频率如下表所示:
分组 [5.5,7.5) [7.5,9.5) [9.5,11.5) [11.5,13.5] 合计
频数 2 6 8 4 20
频率 0.1 0.3 0.4 0.2 1.0
从表中可以看出频率为0.2的是[11.5,13.5].故选D.
3.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50 kW·h至350 kW·h之间,频率分布直方图如图所示.在这些用户中,用电量落在区间[150,250)内的户数为( )
A.48 B.52 C.60 D.70
【答案】 B
【解析】 由频率分布直方图的性质,可得(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50
=1,解得x=0.004 4,
所以用电量落在区间[150,250)内的频率为(0.006 0+0.004 4)×50=0.52,用电量落在区间[150,250)内的户数为100×0.52=52.故选B.
4.某学校有2 000名学生,一机构在该校随机抽取了800名学生对某国际运动会期间6场网球单打比赛的收看情况进行了调查,将数据分组整理后,列表如下:
观看 场次 0 1 2 3 4 5 6
观看人 数占比 15% 5% 5% m% 10% 15% 4m%
从表中数据可以得出的正确结论为( )
A.表中m的数值为15
B.观看场次不超过3场的学生的比例为30%
C.估计该校观看场次不超过2场的学生约为400人
D.估计该校观看场次不低于4场的学生约为1 300人
【答案】 D
【解析】 对于选项A,由表可知,15%+5%+5%+m%+10%+15%+4m%=1,解得m=10,故A错误;对于选项B,观看场次不超过3场的学生的比例为15%+5%+5%+10%=35%,故B错误;对于选项C,观看场次不超过2场的学生的比例为15%+5%+5%=25%,则观看场次不超过2场的学生约为2 000×25%=500(人),故C错误;对于选项D,观看场次不低于4场的学生的比例为10%+15%+40%=65%,则观看场次不低于4场的学生约为2 000×65%=1 300(人),故D正确.故选D.
5.某外贸企业随机抽取了110名职工组织“一带一路”知识竞赛,满分为100分(80分及以上为认知程度较高),并将所得成绩分组得到了如图所示的频率折线图,以下说法正确的是( )
A.成绩是100分的人数比成绩是50分的人数多
B.对“一带一路”认知程度较高的人数是40
C.成绩是75分的人数为40
D.成绩落在[70,80)内的人数为20
【答案】 B
【解析】 由于频率折线图表示的是某一范围的频率,所以从频率折线图看不出成绩是100分的人数多还是成绩是50分的人数多,也不能得出成绩是75分的人数,故A,C错误;对于B,成绩为80分及以上的人数为(+)×10×110=40,故B正确;
对于D,成绩落在[70,80)内的人数为10××110=40,故D错误.
故选B.
6.(多选题)某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)内的学生有60人,则下列说法正确的是( )
A.样本中支出在[50,60)内的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数为132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生,则估计有600人支出在[50,60)内
【答案】 BCD
【解析】 样本中支出在[50,60)内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,所以A错误;样本容量为n==200,支出在[40,50)内的人数为200×0.036×10=72,支出不少于40元的人数为72+60=132,所以B,C正确;若该校有2 000名学生,则估计有2 000×0.3=600(人)支出在[50,60)内,故D正确.
故选B,C,D.
7.从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高,其中最大值为184 cm,最小值为152 cm,绘制身高频率分布直方图,若组距为3,且第一组下限为151.5,则组数为 .
【答案】 11
【解析】 因为第一组下限为151.5,组距为3,所以151.5+3×11=184.5,故第11组的上限为184.5,所以组数为11.
8.某公司进行招聘,先从报名者中筛选出400人参加笔试,再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机抽取了24名笔试者的成绩,统计结果如下表所示.
分数段 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90]
人数 2 3 4 9 5 1
据此估计允许参加面试的分数线大约是 .
【答案】 80
【解析】 依题意,参加面试的频率为=0.25,由统计表知,样本中数据在[80,90]内的频率为=0.25,由样本估计总体知,分数线大约为80.
9.有一容量为50的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,15),4;[15,20),5;[20,25),10;
[25,30),11;[30,35),9;[35,40),8;[40,45],3.
(1)求出样本中各组的频率.
(2)画出频率分布直方图及频率折线图.
【解】 (1)由所给的数据,可得频率分布表如表所示.
分组 频数 频率
[10,15) 4 0.08
[15,20) 5 0.10
[20,25) 10 0.20
[25,30) 11 0.22
[30,35) 9 0.18
[35,40) 8 0.16
[40,45] 3 0.06
(2)频率分布直方图如图①所示,频率折线图如图②所示.
10.为调查某校学生的校志愿者活动情况,现抽取一个容量为100的样本,统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长,并绘制了如图所示的频率分布直方图,记数据分布在[50,
100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]的频率分别为f1,f2,…,f7,已知f1+f2+f3=0.5,f4=2f6.
(1)求f2,f6的值;
(2)求样本中在[150,300)内的频数.
【解】 (1)由题图可知f1=f7=0.001×50=0.05,
f2=f5,f3=0.006×50=0.3,
又因为f1+f2+f3=0.5,f4=2f6,
所以f2=0.5-f1-f3=0.5-0.05-0.3=0.15,
则f5=0.15,
又f4=2f6,f4+f5+f6+f7=0.5,
所以2f6+0.15+f6+0.05=0.5,解得f6=0.1.
(2)由(1)可知f3=0.3,f4=2f6=0.2,f5=0.15,所以样本中在[150,300)内的频率为f3+f4+f5=0.65,
所以样本中在[150,300)内的频数为100×0.65=65.
能力提升
11.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90后从事互联网行业者的岗位分布图,则下列结论中不一定正确的是( )
(注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生)
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【答案】 D
【解析】 对于A,由互联网行业从业者年龄分布饼状图知,互联网行业从业人员中90后占56%,故A选项正确;
对于B,由90后从事互联网行业岗位分布图得到从事技术岗位的人数占39.6%,而互联网行业中90后占56%,56%×39.6%=22.176%,超过总人数的20%,故B选项正确;
对于C,90后从事运营岗位的人数占其17%,而互联网行业从业人员中90后占56%,56%
×17%=9.52%,而互联网行业从业人员中80前仅占6%,所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多,故C选项正确;
对于D,由B得互联网行业中从事技术岗位的90后人数占整个互联网行业总人数的22.176%,而互联网行业从业人员中80后占38%,故互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多,故D选项错误.故选D.
12.设某组数据均落在区间[10,60]内,共分为[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]五组,对应频率分别为p1,p2,p3,p4,p5.已知依据该组数据所绘制的频率分布直方图为轴对称图形,且p1≤2p2≤4p3≤2p4≤p5,则p3= .
【答案】
【解析】 由于频率分布直方图为轴对称图形,则p1=p5,p2=p4,
又因为p1≤2p2≤4p3≤2p4≤p5,则p1=2p2=4p3=2p4=p5,且有p1+p2+p3+p4+p5=1,
解得p1=p5=,p2=p4=,p3=.
13.某校为调查高一学生体能训练状况,现抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)求第二小组的频率.
(2)求样本容量.
(3)若一分钟跳绳次数在110以上为达标,试估计全体高一学生的达标率为多少.
【解】 (1)由于每个小长方形的面积即为本组的频率,设第二小组的频率为4f,
则2f+4f+17f+15f+9f+3f=1,
解得f=,
所以第二小组的频率为4×=.
(2)设样本容量为n,则=,所以n=150.
(3)由(1)和频率分布直方图可知,次数在110以上的频率为17f+15f+9f+3f=44f=44×=0.88.由此估计全体高一学生的达标率为88%.
应用创新
14.(多选题)某大型超市在制定停车收费方案时,需要考虑顾客停车时间的长短.现随机采集了200个停车时间的数据(单位:min),其频率分布直方图如图所示.超市决定对停车时间在40 min以内的顾客免收停车费,则下列说法正确的是( )
A.免收停车费的顾客约占总数的20%
B.免收停车费的顾客约占总数的25%
C.停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的50%
D.若从免收停车费与不免收停车费的顾客中按比例分配的分层随机抽样方法抽取8人调查超市购物满意度,则应从免收停车费的顾客中抽取2人
【答案】 BCD
【解析】 由题意得,免收停车费的顾客约占总数的(0.002 5+0.01)×20=0.25,故免收停车费的顾客约占总数的25%,故选项A错误,选项B正确;停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的(0.015+0.01)×20=0.5,故停车时间达到或超过60 min的顾客约占总数的50%,故选项C正确;免收停车费与不免收停车费的顾客人数比为1∶3,则应从免收停车费的顾客中抽取8×=2(人),故选项D正确.故选B,C,D.
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