(共23张PPT)
1.2 利用二分法
求方程的近似解
1.了解二分法求方程的近似解的思想方法,提升数学抽象的核心素养.2.通过利用二分法求具体方程的近似解的过程,提升数学运算与逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 二分法的概念
1.满足精确度ε的近似解
2.二分法的定义
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,
,则每次取区间的 ,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
f(a)·f(b)<0
中点
[思考1] 若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解
提示:二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反),因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.
知识点二 二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程近似解的过程可以用图示表示.
其中:“初始区间”是一个两端点函数值 的区间;
新区间的一个端点是原区间的 ,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值 .
异号
中点
异号
[思考2] “精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗
提示:不一样.比如得数是1.25或1.34,精确到0.1 都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a,b)满足|a-b|<0.1,比如零点近似值所在区间为(1.25,1.34),若精确度为0.1,则近似值可以是1.25,也可以是1.34.
『知识拓展』
用二分法求方程f(x)=0的近似解的步骤
(1)确定区间[a,b],使f(a)·f(b)<0.
(2)求区间(a,b)的中点x1.
(3)计算f(x1):
①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));
③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,那么区间[a,b]内任意一个数都是满足精确度ε的近似值;否则重复(2)～(4).
题型一 二分法的概念
ACD
(2)用二分法求f(x)=x2-6的零点时,初始区间可取( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
C
【解析】 (2)因为f(0)=02-6=-6,f(1)=12-6=-5,f(2)=22-6=-2,f(3)=32-6=3,f(4)=
42-6=10,所以f(2)·f(3)<0,故零点在区间(2,3)内.
故选C.
·解题策略·
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据
其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不
适用.
[变式训练] (多选题)下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求其零点的是( )
AC
A B C D
【解析】 由选项A,C中函数图象可知这两个函数的函数值在零点左右不变号;由选项B,D中的函数图象可知这两个函数的函数值在零点左右变号,因此不能用二分法求其零点的是A,C.故选A,C.
题型二 利用二分法求函数零点的近似值或方程近似解
[例2] 求方程x3-3=0的一个近似解.(精确度为0.02)
【解】 经计算,f(1)=-2<0,f(2)=5>0,
所以方程x3-3=0在区间(1,2)内有解.
取区间(1,2)的中点1.5,f(1.5)=0.375>0,
所以方程x3-3=0在区间(1,1.5)内有解.
如此下去,得到方程x3-3=0的解所在的区间如表:
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 -2 2 5 1
第2次 1 -2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 -1.047 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 -0.400 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 -0.030 1.5 0.375 0.062 5
第6次 1.437 5 -0.030 1.468 75 0.168 4 0.031 25
第7次 1.437 5 -0.030 1.453 125 0.068 4 0.015 625
至此可以看出区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02,故方程的解就在这个区间内,因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解,例如,1.45就是方程x3-3=0精确度为0.02的一个近似解.
·解题策略·
用二分法求函数零点的近似值的两个关键点
(1)初始区间的选取,既要符合条件(包含零点),又要使其长度尽量小.
(2)进行精确度的判断,以决定是停止计算还是继续计算.
[变式训练] (1)根据表中数据,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是 .
1.5(答案不唯一)
f(1)=-1 f(2)=3 f(1.5)=-0.125
f(1.75)=
1.109 375 f(1.625)=
0.416 015 625 f(1.562 5)≈
0.127 197 266
(1)【解析】 由表中数据知f(1.5)·f(2)<0,f(1.5)·f(1.562 5)<0,所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上,又因为|1.562 5-1.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.
(2)求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度为0.1).
(2)【解】 由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点的值 中点函数近似值
(-3,-2) -2.5 1.25
(-2.5,-2) -2.25 0.062 5
(-2.25,-2) -2.125 -0.484 4
(-2.25,-2.125) -2.187 5 -0.214 8
(-2.25,-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1
由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似负零点可取-2.25.
当堂检测
1.观察下列函数图象,其中能用二分法求零点的是( )
B
A B C D
【解析】 图象在零点附近是连续不断的,且零点左、右两侧的函数值符号相反时,能用二分法求函数零点.故选B.
2.用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中,令f(x)=3x+3x-8,得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
B
【解析】 因为f(x)=3x+3x-8在(1,2)上单调递增,f(1.25)<0,f(1.5)>0,所以
f(1.25)·f(1.5)<0,从而方程的解落在区间(1.25,1.5)内.故选B.
C
【解析】 由题意,因为f(2)·f(x1)<0,所以函数f(x)在区间(2,x1)上一定存在零点,即函数的零点x0满足24.用“二分法”研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次计算f(0)<0,f(0.5)>0,可知必存在零点x0∈(0,0.5),则第二次应计算 ,这时可以判断零点x0∈
.
f(0.25)
(0.25,0.5)
【解析】 因为第一次计算f(0)<0,f(0.5)>0,可知必存在零点x0∈(0,0.5),又
f(0.25)=0.253+3×0.25-1=-0.234 375<0,f(0.5)>0,由零点存在定理可知x0∈
(0.25,0.5).1.2 利用二分法求方程的近似解
基础巩固
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
【答案】 C
【解析】 能用二分法求零点的函数必须满足图象在区间[a,b]上连续不断,且f(a)f(b)<0.而x3左右两侧的函数值都小于零,不满足区间端点处函数值符号相异的条件.故选C.
2.下列关于函数f(x),x∈[a,b]的说法,正确的是( )
A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在区间[a,b]上的零点,则一定可以用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但方程f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解
【答案】 A
【解析】 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,B不正确;方程f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点,C不正确;用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,D不正确,只有A正确.故选A.
3.(多选题)已知函数f(x)=ex-x+a,其中x∈R,a为某确定常数,运用二分法研究函数f(x)的零点时,若第一次经计算f(0)<0且f(1)>0,则( )
A.可以确定f(x)的一个零点x0,满足x0∈(0,1)
B.第二次应计算f(),若f()>0,第三次应计算f()
C.第二次应计算f(),若f()<0,第三次应计算f()
D.第二次应计算f(),若f()>0,第三次应计算f()
【答案】 AB
【解析】 对于A,由题意第一次经计算f(0)<0且f(1)>0,因此由零点存在定理可知存在x0∈(0,1)满足f(x0)=0,故A选项符合题意.
对于B,第二次应计算f(),若f()>0,又f(0)<0,所以有f(0)·f()<0,满足零点存在定理,所以第三次应计算f(),故B选项符合题意.
对于C,第二次应计算f(),若f()<0,又f(1)>0,所以有f()·f(1)<0,满足零点存在定理,所以第三次应计算f(),故C选项不符题意.
对于D,第二次应计算f(),而不是计算f(),故D选项不符合题意.故选A,B.
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.4062 5)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A.1.25 B.1.375 C.1.42 D.1.5
【答案】 C
【解析】 由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间;结合选项可知,方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.
5.某同学在用二分法研究函数f(x)=2x+x-4的零点时,得到如下函数值的参考数据:
x 1 1.25 1.375
f(x) -1 -0.371 6 -0.031 3
x 1.406 25 1.437 5 1.5
f(x) 0.056 7 0.146 0 0.328 4
则下列说法正确的是( )
A.1.25是满足精确度为0.1的近似值
B.1.5是满足精确度为0.1的近似值
C.1.437 5是满足精确度为0.05的近似值
D.1.375是满足精确度为0.05的近似值
【答案】 D
【解析】 因为f(1.25)=-0.371 6<0,f(1.5)=0.328 4>0,且|1.5-1.25|=0.25>0.1,故A,B错误;
因为f(1.437 5)=0.146 0>0,f(1.375)=-0.031 3<0,且|1.437 5-1.375|=0.062 5>0.05,故C错误;
因为f(1.375)=-0.031 3<0,f(1.406 25)=0.056 7>0,且|1.406 25-1.375|=0.031 25<0.05,故D正确.故选D.
6.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题正确的是( )
A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
【答案】 ABD
【解析】 因为f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,所以f(3)>0,f(1)f(2)<0,若f(1)>0,f(2)<0,可得f(2)f(3)<0,
f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B正确;
若f(1)<0,f(2)>0,则f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A正确;
综上两种情况,可知选项C错误,D正确.
故选A,B,D.
7.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=1)上有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精确度为0.1)的近似值,那么将区间(a,b)等分的次数至少是 .
【答案】 4
【解析】 设至少需要将区间(a,b)等分n次,
则<0.1,即<,
所以n≥4,即将区间(a,b)等分的次数至少是4次.
8.若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解,则第二次取区间的中点 x2= .
【答案】 0.5
【解析】 设f(x)=2x3+3x-3,
因为f(0)=-3<0,f(1)=2+3-3=2>0,
所以f(0)·f(1)<0,且函数f(x)的图象在区间(0,1)内连续,
所以函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点,
所以第二次取区间的中点x2==0.5.
9.某电视台有一档娱乐节目,主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选手,同时获得一枚商标.某次节目中要猜一种品牌的手机,手机价格在500～1 000元之间,选手开始报价:1 000元,主持人说高了;700元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗
【解】 取价格区间[500,1 000]的中间数750,如果主持人说低了,就再取[750,1 000]的中间数875;
否则取另一个区间[500,750]的中间数.
若遇到小数,则取整数,
按照这种方案,游戏过程猜价如下:750,875,812,843,859,851,经过6次就可以猜中价格.
10.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.
(1)【证明】 因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,
所以f(0)·f(2)=-<0,
由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)【解】 取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)·f(2)=-<0,下一个有解区间为(1,2);
再取x2=×(1+2)=,
得f()=-<0,
所以f(1)·f()=-<0,
下一个有解区间为(1,);
再取x3=×(1+)=,
得f()=>0,
所以f()·f()<0,
下一个有解区间为(,).
综上所述,得所求的实数解x0在区间(,)内.
能力提升
11.用二分法求方程x-2lg =3的近似解,可以取的一个区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【答案】 C
【解析】 令f(x)=x-2lg-3,
则f(2)=2-2lg -3=2-2×(-)×lg 2-3=lg 2-1<0,
f(3)=3-2lg-3=lg 3>0,
所以用二分法求方程x-2lg=3的近似解,可以取的一个区间是(2,3).故选C.
12.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是 ,函数的零点是 (用a表示).
【答案】 a2=4b -
【解析】 因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,
所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有且只有一个交点,
所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b,
令f(x)=x2+ax+=0,解得x=-,即函数的零点是-.
13.已知函数f(x)=log2x+x-2.
(1)判断函数y=f(x)零点的个数并说明理由;
(2)求函数y=f(x)零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过.
【解】 (1)由题易知,函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),
且其图象在(0,+∞)上连续,
因为f(1)=-1<0,f(2)=1>0,
所以f(1)·f(2)<0,
因为函数y=log2x和y=x-2在(0,+∞)上都是增函数,
所以函数f(x)=log2x+x-2在(0,+∞)上是增函数,
因此函数y=f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
(2)设函数y=f(x)的零点为x0,
由(1)知,f(1)<0,f(2)>0,所以x0∈(1,2),
取x1=,因为f()=log2-=log2-log2>0,
因为f(1)·f()<0,
所以x0∈(1,)且|-1|=≤,
所以(1,)即为符合条件的区间.
应用创新
14.用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[an,bn](n∈N)上,当|an-bn|≤m时,函数的零点近似值x0=与真实零点a的误差最大不超过( )
A. B. C.m D.2m
【答案】 B
【解析】 根据题意,函数的零点总位于区间[an,bn](n∈N)上,即a∈[an,bn],零点近似值x0=,
若a∈[an,],
则|x0-a|=|-a|≤|-an|=||≤,即有|x0-a|≤;
同理,当a∈[,bn]时,
也有|x0-a|≤.
综合可得,|x0-a|≤,函数的零点近似值x0=与真实零点a的误差最大不超过.故选B.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.2 利用二分法求方程的近似解
【课程标准要求】 1.了解二分法求方程的近似解的思想方法,提升数学抽象的核心素养.2.通过利用二分法求具体方程的近似解的过程,提升数学运算与逻辑推理的核心素养.
知识点一 二分法的概念
1.满足精确度ε的近似解
设是方程f(x)=0的一个解,给定正数ε,若x0满足|x0-|<ε,就称x0是满足精确度ε的近似解.
2.二分法的定义
对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b],若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,f(a)·f(b)<0,则每次取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
[思考1] 若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解
提示:二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反),因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解,如f(x)=(x-1)2的零点就不能用二分法求解.
知识点二 二分法求方程近似解的步骤
利用二分法求方程近似解的过程可以用图示表示.
其中:“初始区间”是一个两端点函数值异号的区间;
新区间的一个端点是原区间的中点,另一端点是原区间两端点中的一个,并且新区间两端点的函数值异号.
[思考2] “精确到0.1”与“精确度为0.1”一样吗
提示:不一样.比如得数是1.25或1.34,精确到0.1 都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间(a,b)满足|a-b|<0.1,比如零点近似值所在区间为(1.25,1.34),若精确度为0.1,则近似值可以是1.25,也可以是1.34.
知识拓展
用二分法求方程f(x)=0的近似解的步骤
(1)确定区间[a,b],使f(a)·f(b)<0.
(2)求区间(a,b)的中点x1.
(3)计算f(x1):
①若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;
②若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1));
③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)).
(4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,那么区间[a,b]内任意一个数都是满足精确度ε的近似值;否则重复(2)～(4).
题型一 二分法的概念
[例1] (1)(多选题)下列函数中,能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=x3-2
B.f(x)=x2+2x+2
C.f(x)=x+-4
D.f(x)=2x-3
(2)用二分法求f(x)=x2-6的零点时,初始区间可取( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【答案】 (1)ACD (2)C
【解析】 (1)对于A,函数f(x)在R上单调递增,有唯一零点x=,
所以函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于B,函数f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,
故函数有唯一零点x=-,且函数值在零点两侧同号,故不能用二分法求零点;
对于C,f(x)=,
此时有两个零点x=2±,0.2<2-<1<2+<4,则f(0.2)·f(1)<0,f(1)·f(4)<0,即函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于D,函数f(x)在R上单调递增,有唯一零点x=log23,
所以函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点.
故选A,C,D.
(2)因为f(0)=02-6=-6,f(1)=12-6=-5,f(2)=22-6=-2,f(3)=32-6=3,f(4)=42-6=10,所以f(2)·f(3)<0,故零点在区间(2,3)内.
故选C.
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据
其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.
[变式训练] (多选题)下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求其零点的是( )
A B C D
【答案】 AC
【解析】 由选项A,C中函数图象可知这两个函数的函数值在零点左右不变号;由选项B,D中的函数图象可知这两个函数的函数值在零点左右变号,因此不能用二分法求其零点的是A,C.故选A,C.
题型二 利用二分法求函数零点的近似值或方程近似解
[例2] 求方程x3-3=0的一个近似解.(精确度为0.02)
【解】 经计算,f(1)=-2<0,f(2)=5>0,
所以方程x3-3=0在区间(1,2)内有解.
取区间(1,2)的中点1.5,f(1.5)=0.375>0,
所以方程x3-3=0在区间(1,1.5)内有解.
如此下去,得到方程x3-3=0的解所在的区间如表:
次数 左端点 左端点 函数值 右端点 右端点 函数值 区间长度
第1次 1 -2 2 5 1
第2次 1 -2 1.5 0.375 0.5
第3次 1.25 -1.047 1.5 0.375 0.25
第4次 1.375 -0.400 1.5 0.375 0.125
第5次 1.437 5 -0.030 1.5 0.375 0.062 5
第6次 1.437 5 -0.030 1.468 75 0.168 4 0.031 25
第7次 1.437 5 -0.030 1.453 125 0.068 4 0.015 625
至此可以看出区间[1.437 5,1.453 125]的区间长度小于0.02,故方程的解就在这个区间内,因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解,例如,1.45就是方程x3-3=0精确度为0.02的一个近似解.
用二分法求函数零点的近似值的两个关键点
(1)初始区间的选取,既要符合条件(包含零点),又要使其长度尽量小.
(2)进行精确度的判断,以决定是停止计算还是继续计算.
[变式训练] (1)根据表中数据,用二分法求函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度为0.1)是 .
f(1)=-1 f(2)=3 f(1.5)=-0.125
f(1.75)= 1.109 375 f(1.625)= 0.416 015 625 f(1.562 5)≈ 0.127 197 266
(2)求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度为0.1).
(1)【答案】 1.5(答案不唯一)
【解析】 由表中数据知f(1.5)·f(2)<0,f(1.5)·f(1.562 5)<0,所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上,又因为|1.562 5-1.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)=x3-3x+1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.
(2)【解】 由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:
区间 中点 的值 中点函数 近似值
(-3,-2) -2.5 1.25
(-2.5,-2) -2.25 0.062 5
(-2.25,-2) -2.125 -0.484 4
(-2.25,-2.125) -2.187 5 -0.214 8
(-2.25,-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1
由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,
所以函数的一个近似负零点可取-2.25.
当堂检测
1.观察下列函数图象,其中能用二分法求零点的是( )
A B C D
【答案】 B
【解析】 图象在零点附近是连续不断的,且零点左、右两侧的函数值符号相反时,能用二分法求函数零点.故选B.
2.用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中,令f(x)=3x+3x-8,得f(1)<0,f(1.5)
>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为( )
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=3x+3x-8在(1,2)上单调递增,f(1.25)<0,f(1.5)>0,所以f(1.25)·f(1.5)<0,从而方程的解落在区间(1.25,1.5)内.故选B.
3.用二分法求函数y=f(x)在区间[2,4]上零点的近似值,经验证有f(2)·f(4)<0,取区间的中点x1==3,计算得f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0满足( )
A.x0=x1 B.x0>x1
C.2【答案】 C
【解析】 由题意,因为f(2)·f(x1)<0,所以函数f(x)在区间(2,x1)上一定存在零点,即函数的零点x0满足24.用“二分法”研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次计算f(0)<0,f(0.5)>0,可知必存在零点x0∈(0,0.5),则第二次应计算 ,这时可以判断零点x0∈ .
【答案】 f(0.25) (0.25,0.5)
【解析】 因为第一次计算f(0)<0,f(0.5)>0,可知必存在零点x0∈(0,0.5),又f(0.25)=0.253+3×0.25-1=-0.234 375<0,f(0.5)>0,由零点存在定理可知x0∈(0.25,0.5).
基础巩固
1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
【答案】 C
【解析】 能用二分法求零点的函数必须满足图象在区间[a,b]上连续不断,且f(a)f(b)<0.而x3左右两侧的函数值都小于零,不满足区间端点处函数值符号相异的条件.故选C.
2.下列关于函数f(x),x∈[a,b]的说法,正确的是( )
A.若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则x0是f(x)的一个零点
B.若x0是f(x)在区间[a,b]上的零点,则一定可以用二分法求x0的近似值
C.函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但方程f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点
D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解
【答案】 A
【解析】 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件,B不正确;方程f(x)=0的根也一定是函数f(x)的零点,C不正确;用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确解,D不正确,只有A正确.故选A.
3.(多选题)已知函数f(x)=ex-x+a,其中x∈R,a为某确定常数,运用二分法研究函数f(x)的零点时,若第一次经计算f(0)<0且f(1)>0,则( )
A.可以确定f(x)的一个零点x0,满足x0∈(0,1)
B.第二次应计算f(),若f()>0,第三次应计算f()
C.第二次应计算f(),若f()<0,第三次应计算f()
D.第二次应计算f(),若f()>0,第三次应计算f()
【答案】 AB
【解析】 对于A,由题意第一次经计算f(0)<0且f(1)>0,因此由零点存在定理可知存在x0∈(0,1)满足f(x0)=0,故A选项符合题意.
对于B,第二次应计算f(),若f()>0,又f(0)<0,所以有f(0)·f()<0,满足零点存在定理,所以第三次应计算f(),故B选项符合题意.
对于C,第二次应计算f(),若f()<0,又f(1)>0,所以有f()·f(1)<0,满足零点存在定理,所以第三次应计算f(),故C选项不符题意.
对于D,第二次应计算f(),而不是计算f(),故D选项不符合题意.故选A,B.
4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984
f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.4062 5)≈-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A.1.25 B.1.375 C.1.42 D.1.5
【答案】 C
【解析】 由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间;结合选项可知,方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.
5.某同学在用二分法研究函数f(x)=2x+x-4的零点时,得到如下函数值的参考数据:
x 1 1.25 1.375
f(x) -1 -0.371 6 -0.031 3
x 1.406 25 1.437 5 1.5
f(x) 0.056 7 0.146 0 0.328 4
则下列说法正确的是( )
A.1.25是满足精确度为0.1的近似值
B.1.5是满足精确度为0.1的近似值
C.1.437 5是满足精确度为0.05的近似值
D.1.375是满足精确度为0.05的近似值
【答案】 D
【解析】 因为f(1.25)=-0.371 6<0,f(1.5)=0.328 4>0,且|1.5-1.25|=0.25>0.1,故A,B错误;
因为f(1.437 5)=0.146 0>0,f(1.375)=-0.031 3<0,且|1.437 5-1.375|=0.062 5>0.05,故C错误;
因为f(1.375)=-0.031 3<0,f(1.406 25)=0.056 7>0,且|1.406 25-1.375|=0.031 25<0.05,故D正确.故选D.
6.(多选题)已知函数f(x)在区间(0,3)上有两个零点,且都可以用二分法求得,其图象是连续不断的,若f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,则下列命题正确的是( )
A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内
B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内
C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0,1)和(2,3)内
D.函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1,2)内
【答案】 ABD
【解析】 因为f(0)>0,f(1)f(2)f(3)<0,所以f(3)>0,f(1)f(2)<0,若f(1)>0,f(2)<0,可得f(2)f(3)<0,
f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1,2)和(2,3)内,故B正确;
若f(1)<0,f(2)>0,则f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0,即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内,故A正确;
综上两种情况,可知选项C错误,D正确.
故选A,B,D.
7.已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=1)上有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精确度为0.1)的近似值,那么将区间(a,b)等分的次数至少是 .
【答案】 4
【解析】 设至少需要将区间(a,b)等分n次,
则<0.1,即<,
所以n≥4,即将区间(a,b)等分的次数至少是4次.
8.若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解,则第二次取区间的中点 x2= .
【答案】 0.5
【解析】 设f(x)=2x3+3x-3,
因为f(0)=-3<0,f(1)=2+3-3=2>0,
所以f(0)·f(1)<0,且函数f(x)的图象在区间(0,1)内连续,
所以函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点,
所以第二次取区间的中点x2==0.5.
9.某电视台有一档娱乐节目,主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选手,同时获得一枚商标.某次节目中要猜一种品牌的手机,手机价格在500～1 000元之间,选手开始报价:1 000元,主持人说高了;700元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗
【解】 取价格区间[500,1 000]的中间数750,如果主持人说低了,就再取[750,1 000]的中间数875;
否则取另一个区间[500,750]的中间数.
若遇到小数,则取整数,
按照这种方案,游戏过程猜价如下:750,875,812,843,859,851,经过6次就可以猜中价格.
10.已知函数f(x)=x3-x2+1.
(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;
(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.
(1)【证明】 因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,
所以f(0)·f(2)=-<0,
由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解.
(2)【解】 取x1=×(0+2)=1,得f(1)=>0,
由此可得f(1)·f(2)=-<0,下一个有解区间为(1,2);
再取x2=×(1+2)=,
得f()=-<0,
所以f(1)·f()=-<0,
下一个有解区间为(1,);
再取x3=×(1+)=,
得f()=>0,
所以f()·f()<0,
下一个有解区间为(,).
综上所述,得所求的实数解x0在区间(,)内.
能力提升
11.用二分法求方程x-2lg =3的近似解,可以取的一个区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【答案】 C
【解析】 令f(x)=x-2lg-3,
则f(2)=2-2lg -3=2-2×(-)×lg 2-3=lg 2-1<0,
f(3)=3-2lg-3=lg 3>0,
所以用二分法求方程x-2lg=3的近似解,可以取的一个区间是(2,3).故选C.
12.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是 ,函数的零点是 (用a表示).
【答案】 a2=4b -
【解析】 因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,
所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴有且只有一个交点,
所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b,
令f(x)=x2+ax+=0,解得x=-,即函数的零点是-.
13.已知函数f(x)=log2x+x-2.
(1)判断函数y=f(x)零点的个数并说明理由;
(2)求函数y=f(x)零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过.
【解】 (1)由题易知,函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),
且其图象在(0,+∞)上连续,
因为f(1)=-1<0,f(2)=1>0,
所以f(1)·f(2)<0,
因为函数y=log2x和y=x-2在(0,+∞)上都是增函数,
所以函数f(x)=log2x+x-2在(0,+∞)上是增函数,
因此函数y=f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点.
(2)设函数y=f(x)的零点为x0,
由(1)知,f(1)<0,f(2)>0,所以x0∈(1,2),
取x1=,因为f()=log2-=log2-log2>0,
因为f(1)·f()<0,
所以x0∈(1,)且|-1|=≤,
所以(1,)即为符合条件的区间.
应用创新
14.用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[an,bn](n∈N)上,当|an-bn|≤m时,函数的零点近似值x0=与真实零点a的误差最大不超过( )
A. B. C.m D.2m
【答案】 B
【解析】 根据题意,函数的零点总位于区间[an,bn](n∈N)上,即a∈[an,bn],零点近似值x0=,
若a∈[an,],
则|x0-a|=|-a|≤|-an|=||≤,即有|x0-a|≤;
同理,当a∈[,bn]时,
也有|x0-a|≤.
综合可得,|x0-a|≤,函数的零点近似值x0=与真实零点a的误差最大不超过.故选B.
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