2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
基础巩固
1.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
A B C D
【答案】 B
【解析】 在2h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且为增函数,排除A,D,停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C,能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B.
2.某连锁酒店共有500间客房,若每间客房每天的定价是200元,则均可被租出;若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10,x∈Z),则被租出的客房会减少15x套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106 600元,则该连锁酒店每间客房每天的定价应为( )
A.250元 B.260元
C.270元 D.280元
【答案】 C
【解析】 若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10,x∈Z),
则每天有(500-15x)间客房被租出,
该连锁酒店每天租赁客房的收入为(500-15x)·(200+10x)=-150x2+2 000x+100 000,因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106 600元,
所以-150x2+2 000x+100 000>106 600,
即3x2-40x+132<0,解得6因为1≤x≤10且x∈Z,
所以x=7,即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元.故选C.
3.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,强度为x的声音对应的等级为f(x)=10lg(dB).喷气式飞机起飞时,声音约为140 dB,一般说话时,声音约为60 dB,则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的( )
A.倍 B.1倍 C.8倍 D.108倍
【答案】 D
【解析】 因为y=f(x)=10lg,
所以当y=140时,
可得10lg=140,即x=102,
当y=60时,可得10lg=60,即x=10-6,
所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的=108倍.故选D.
4.近年来,低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市的居民用电计费方法如下表,若某户居民某月缴纳的电费为150元,则此户居民该月的用电量为( )
生活用电实行分段计 电价
0～200 kW·h用电量 0.3元/(kW·h)
201～400 kW·h用电量 0.6元/(kW·h)
401 kW·h以上用电量 0.9元/(kW·h)
A.250 kW·h B.350 kW·h
C.450 kW·h D.500 kW·h
【答案】 B
【解析】 由题意,设某户居民用电量为x kW·h,本月缴纳的电费为y元,可得
y=
当某户居民某月缴纳的电费为150元时,可得其用电量在第二段,则60+0.6×(x-200)=150,
解得x=350,即此居民该月的用电量为350 kW·h.故选B.
5.科学技能的迅猛发展,使人们在学校里学到的专业知识,逐步陈旧过时,这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前,知识的半衰期为50年;21世纪,知识的半衰期平均为3.2年;IT业高级工程师为1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为T0,则经过一定时间,即t个月后的知识量T满足T-Ta=()(T0-Ta),h称为知识半衰期,其中Ta是课堂知识量,若Ta=25,某同学知识量从80降至75大约用时1个月,那么知识量从75降至45大约还需要( )
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 11≈1.04)
A.8个月 B.9个月
C.10个月 D.11个月
【答案】 C
【解析】 因为t个月后的知识量T满足T-Ta=()·(T0-Ta),
又Ta=25,某同学知识量从80降至75大约用时1个月,
所以75-25=()(80-25),即()=,
所以45-25=()(75-25),所以20=50×[()]t,得()t=,
两边取对数可得tlg=lg,
所以t===≈=10.故选C.
6.(多选题)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,那么t分钟后物体的温度θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.其中k是常数.现有60 ℃的物体,放在12 ℃的空气中冷却,5分钟后物体的温度是36 ℃,若ln 2≈0.693,则下列说法正确的是( )
A.k≈0.14
B.k≈0.23
C.若t≥15,则θ<20
D.若θ<15,则t>20
【答案】 ACD
【解析】 根据题意36=12+(60-12)·e-5k,解得e-5k=,k=≈0.14,
故选项A正确,选项B错误;
若t≥15,则θ<12+(60-12)e-15k=12+48(e-5k)3=18,则θ<20成立,故选项C正确;
若θ<15,则12+(60-12)·e-kt<15,e-kt<,又e-5k=,则(e-5k<=()4,所以t>4,解得t>20,故选项D正确.
故选A,C,D.
7.已知某种科技产品的利润率为P,预计5年内与时间t(单位:月)满足函数关系式P=abt(其中a,b为非零常数).若经过12个月,利润率为10%,经过24个月,利润率为20%,那么当利润率达到50%以上,至少需要经过 个月(用整数作答,参考数据:lg 2≈0.301 0).
【答案】 40
【解析】 因为利润率P与时间t的函数关系式为P=abt,
由题意知,10%=ab12,20%=ab24,
解得b12=2,a=0.05;
令50%=0.05×bt,解得bt=10,
由解得t=≈≈40,
所以至少需要经过40个月.
8.如图,在空地上有一段长为100米的旧墙MN,小明利用旧墙和长为200米的木栏围成中间有一道木栏的长方形菜园ABCD,其中AD≤MN,长方形菜园一边靠旧墙,无需木栏.若所围成的长方形菜园的面积为3 300平方米,则所利用旧墙AD的长为 米.
【答案】 90
【解析】 设AB=x米,则AD=(200-3x)米,
由解得≤x<,
则所围成的长方形菜园的面积为S=x(200-3x)=-3x2+200x,
由-3x2+200x=3 300,解得x=30(舍去)或x=.
所以AD=200-3×=90(米).
9.某路公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足:
p(t)=其中t∈N.
(1)求p(6),并说明p(6)的实际意义;
(2)若该路公交车每分钟的净收益y=-10(单位:元),问当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟的净收益最大 并求每分钟的最大净收益.
【解】 (1)因为p(t)=
其中t∈N,
所以p(6)=60-(6-10)2=44,
所以p(6)为当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车载客量为44.
(2)因为p(t)=其中t∈N.
所以①当5≤t<10时,p(t)=60-(t-10)2=-t2+20t-40,
则y=-10=-3t-+50=-3(t+)+50,
令m=t+(5≤t<10),
则可得m=t+在[5,10)上单调递增,
所以y=-3(t+)+50在[5,10)上单调递减,
所以当t=5时,ymax==32.6,
②当10≤t≤20时,p(t)=60,
则y=-10=-10,
因为y=-10在[10,20]上单调递减,
所以当t=10时,ymax=18.8,
又32.6>18.8,即当发车时间间隔为5分钟时,该路公交车每分钟的净收益最大,每分钟的最大净收益为32.6元.
10.为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著,学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度,建立一个每天得分y(单位:分)与当天阅读时间x(单位:分钟)的函数关系,要求如下:
(Ⅰ)函数的部分图象接近图示;
(Ⅱ)每天阅读时间为0分钟时,当天得分为0分;
(Ⅲ)每天阅读时间为30分钟时,当天得分为50分;
(Ⅳ)每天最多得分不超过100分.
现有以下三个函数模型供选择:
①y=kx+m(k>0);
②y=k·+m(k>0);
③y=klog2(+2)+m(k>0).
(1)请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型,不需要说明理由;
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型,给出函数的解析式;
(3)已知学校要求每天的得分不少于75分,求每天至少阅读多少分钟.
【解】 (1)根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型,所以选对数型模型,故选y=klog2(+2)+m.
(2)由题意及(1)可知(0,0),(30,50)在y=klog2(+2)+m的图象上,
所以解得k=25,m=-25,
所以y=25log2(+2)-25,
令y=100,可得25log2(+2)-25=100,
解得x=150,
所以函数的解析式为
y=
(3)令y=25log2(+2)-25≥75,
可得log2(+2)≥4=log216,
解得x≥70,所以每天得分不少于75分,至少需要阅读70分钟.
能力提升
11.(多选题)某食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4 ℃的保鲜时间是16 h.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其放在室外,且此日的室外温度随时间的变化如图所示.则下列四个结论中正确的是( )
A.该食品在6 ℃的保鲜时间是8 h
B.当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少
C.到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内
D.到了此日14时,甲所购买的食品已过保鲜时间
【答案】 AD
【解析】 由题意可得,当x=4 ℃时,保鲜时间是16 h,即24k+6=16,解得k=-,
所以t=所以当x=6时,t=8,故A正确;
当x∈[-6,0]时,保鲜时间恒为64 h,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少,故B错误;
到了此日11时,温度超过10 ℃,此时保鲜时间不超过2 h,故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故C错误;
到了此日14时,甲所购买的食品已过保鲜时间,故D正确.故选A,D.
12.香农公式C=Wlog2(1+)是被广泛认同的通信理论基础和研究依据,它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫作信噪比.若不改变信道带宽W,而将信噪比 从11提升至499,则最大信息传递速率C大约会提升到原来的 倍(结果保留一位小数)(参考数据:log23≈1.58,log25≈2.32).
【答案】 2.5
【解析】 设提升前最大信息传递速率为C1,提升后最大信息传递速率为C2,则由题意可知,C1=Wlog2(1+11)=Wlog212,C2=Wlog2(1+499)=Wlog2500,所以===
=≈=≈2.5,所以最大信息传递速率C大约会提升到原来的2.5倍.
13.已知火箭起飞质量x(单位:kg)是箭体质量M(单位:kg)和燃料质量m(单位:kg)之和.在发射阶段,不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和x的函数关系是v=aln x+bln M,其中a,b为常数,且当燃料质量为0 kg时,火箭的最大速度为0 km/s.已知某火箭的箭体质量为M kg,当燃料质量为(e2-1)M kg时,该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求该火箭的最大速度v与起飞质量x之间的函数关系式.
(2)当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时,该火箭的最大速度可达到8 km/s
【解】 (1)因为火箭的最大速度v(单位:km/s)和x的函数关系是v=aln x+bln M,
又当m=0时,x=m+M=M,v=0;
当m=(e2-1)M时,x=m+M=e2M,v=4,
所以解得
所以v=2ln x-2ln M.
(2)设m=kM且k>0,则x=m+M=(k+1)M,又由(1)知v=2ln x-2ln M,
所以由v=8可得8=2ln(k+1)M-2ln M,
即4=ln =ln(k+1),解得k=e4-1.
故燃料质量至少是箭体质量的(e4-1)倍时,该火箭的最大速度可达到8 km/s.
应用创新
14.经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤
120)的数据如下表所示.
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.04v+3.6,Q(v)=0.5v+a,Q(v)=
0.000 025v3-0.004v2+0.25v.选择最符合实际的函数模型,解决下列问题:某高速公路共有三个车道,分别是外侧车道、中间车道、内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120]
(单位:km/h).为使百千米耗油量W(单位:L)最小,该型号汽车行驶的车道与速度为( )
A.在外侧车道以80 km/h行驶
B.在中间车道以90 km/h行驶
C.在中间车道以95 km/h行驶
D.在内侧车道以115 km/h行驶
【答案】 A
【解析】 由题意知,符合实际的函数模型需要满足在40≤v≤120,v都可取,且由表可知,Q随v的增大而增大,则该函数模型应在40≤v≤120上单调递增,所以Q(v)=0.5v+a不符合;
若选择Q(v)=0.04v+3.6,则Q(90)=0.04×90+3.6=7.2,Q(100)=0.04×100+3.6=7.6,Q(120)=0.04×
120+3.6=8.4,与实际数据相差较大,所以Q(v)=0.04v+3.6不符合;
若选择Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v,则Q(40)=5.2,Q(60)=6,Q(90)=8.325,Q(100)=10,
Q(120)=15.6,所以Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v最符合实际.
因为W=·Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5·(v-80)2+9,所以当v=80时,W取得最小值9.
故选A.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
【课程标准要求】 1.体会实际问题中建立函数模型的过程,进一步掌握常用的函数模型,提升数学抽象的核心素养.2.通过建立函数模型解决实际问题的过程,提升数学建模的核心素养.
知识点一 常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
反比例函数模型 f(x)=(k为常数,k≠0)
知识点二 建立函数模型解决实际问题的步骤
1.确切理解题意,明确问题的实际背景,进行科学的抽象、概括,将实际问题转化为数学问题;
2.建立相应的函数模型;
3.求解函数模型,得出数学结论;
4.将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义,并进行验证,看是否符合实际.
题型一 利用图象刻画变化过程
[例1] 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的路程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述正确的是( )
A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】 D
【解析】 根据图象知消耗1 L汽油,乙车最多行驶路程大于5 km,故选项A错误;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错误;甲车以80 km/h的速度行驶时燃油效率为10 km/L,行驶1 h,路程为80 km,消耗8 L汽油,故选项C错误;当速度不超过80 km/h时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D正确.故选D.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际情况的答案.
[变式训练] 设甲、乙两地的距离为a(a>0),某人骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30 min,则此人从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
A B C D
【答案】 D
【解析】 y为此人从出发到返回原地所经过的路程,而不是位移,故排除A,C;又因为此人在乙地休息10 min,故排除B.故选D.
题型二 构建函数模型解决实际问题
角度1 一次、二次函数模型
[例2] 某校高一(2)班共有学生51人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元,若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用228元,其中,纯净水的销售价x (单位:元/桶)与年购买总量y (单位:桶)之间满足如图所示关系.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用
【解】 (1)设y=kx+b(k≠0),
因为当x=8时,y=400,
当x=10时,y=320,
所以解得所以y关于x的函数关系式为y=-40x+720(x>0).
(2)设该班每年购买桶装纯净水的费用为P元,则
P=xy=x(-40x+720)=-40(x-9)2+3 240,
所以当x=9时,Pmax=3 240.
要使饮用桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用,
则51a≥Pmax+228,解得a≥68,故a至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用.
(1)一般方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意点:利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[变式训练] 某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5 m3污水排出.为了净化环境,工厂设计了两个污水处理方案,并准备实施.
方案1:工厂污水净化后再排出,每处理1 m3污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元;
方案2:工厂污水排到污水处理厂统一处理,每处理1 m3污水需付14元排污费.
(1)若工厂每月生产3 000件产品,在不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪个污水处理方案 请通过计算加以说明;
(2)当工厂每月生产6 000件产品时,又该如何决策呢
【解】 设工厂生产x件产品时,设方案1得到的利润为y1元,方案2得到的利润为y2元,则y1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000,
y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.
(1)当x=3 000时,y1=42 000,y2=54 000.
因为y1(2)当x=6 000时,y1=114 000,y2=108 000.
因为y1>y2,所以应选择方案1处理污水.
角度2 分段函数模型
[例3] 某镇发展绿色经济,因地制宜将该乡镇打造成“特色农产品小镇”.根据研究发现:生产某农产品,固定投入50万元,最大产量50万千克,每生产x万千克,需其他投入g(x)万元,g(x)=
根据市场调查,该农产品售价每万千克50万元,且所有产量都能全部售出(利润=收入-成本).
(1)写出年利润F(x)(单位:万元)与产量x(单位:万千克)的函数解析式;
(2)求年产量为多少万千克时,该镇所获利润最大 求出利润最大值.
【解】 (1)由题意得F(x)=50x-g(x)-50=
(2)当0≤x≤35时,
F(x)=-x2+30x-50=-(x-30)2+400,
则当x=30时,F(x)max=F(30)=400;
当35因为450>400,所以当x=40,即年产量为40万千克时,该镇所获利润最大,最大利润为450万元.
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型;分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
(2)二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系.
(3)涉及形如f(x)=x+(a>0,x>0)型的最值,首先考虑使用基本不等式,若使用基本不等式时取不到等号,则需要考虑函数的单调性.
[变式训练] 某公司生产一种电子仪器的月固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知月总收益满足函数:
R(x)=其中x是仪器的月产量(总收益=总成本+利润).
(1)将月利润表示为月产量的函数(用f(x)表示);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大 最大利润为多少元
【解】 (1)由月产量为x台,知总成本为 20 000+100x,从而
f(x)=
(2)①当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25 000,
当x=300时,f(x)max=25 000.
②当x>400时,f(x)=-100x+60 000为减函数,
所以f(x)<-100×400+60 000=20 000<25 000.所以当月产量为300台时,利润最大,最大利润为25 000元.
角度3 指数函数模型
[例4] 室内二氧化碳的含量会对人体健康带来影响,《室内空气质量标准》和《公共场所卫生检验方法》给出了室内二氧化碳浓度的国家标准为:室内二氧化碳浓度不大于0.1 %
(0.1 %即为1 000 ppm),所以室内要经常通风换气,保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定,某中学刚下课时,一个教室内二氧化碳浓度为2 000 ppm,若开窗通风后二氧化碳浓度y%与经过时间t(单位:min)的关系式为y=0.05+λ(λ∈R),则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为(参考数据:ln 3≈1.099,ln 5≈1.609)( )
A.8 min B.9 min
C.10 min D.11 min
【答案】 C
【解析】 由题意可知,当t=0时,y=0.05+λ=0.2,可得λ=0.15,则y=0.05+0.15,
由y=0.05+0.15≤0.1,可得t≥9ln 3≈9.891,故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要开窗通风时间至少约为10 min.故选C.
增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)或幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式表示.求解时要注意指数式、对数式的互化以及指数函数、对数函数的单调性的应用.
[变式训练] 设光线通过一块玻璃,强度损失10%,如果光线原来的强度为k(k>0),通过x块这样的玻璃以后强度为y,且y=k·0.9x(x∈N+),那么光线强度减弱到原来的以下时,至少通过这样的玻璃块数为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.12 B.13 C.14 D.15
【答案】 C
【解析】 设需要这样的玻璃x块,则通过x块这样的玻璃后光线强度为y=k·0.9x.
由题意得k·0.9x<(k>0),即0.9x<,
两边同时取常用对数得xlg 0.9因为lg 0.9<0,
所以x>=≈≈13.09,
则至少通过14块玻璃.故选C.
角度4 对数函数模型
[例5] 某标本检测分析是用荧光定量PCR法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测,在PCR扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA的数量Xn与扩增次数n满足:lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,其中p为扩增效率,X0为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增5次后,数量变为原来的10倍,那么该标本的扩增效率p约为(参考数据:100.2≈1.585,10-0.2≈0.631)( )
A.0.369 B.0.415 C.0.585 D.0.631
【答案】 C
【解析】 因为lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,
所以lg =nlg(1+p).
由题意得当n=5时,=10,代入上式得
lg 10=5lg(1+p),所以lg(1+p)=,
即1+p=1=100.2,整理可得p=100.2-1≈1.585-1=0.585.故选C.
涉及对数函数有关的函数模型问题,应结合函数解析式以及对数函数的运算性质和对数函数的性质求解.求解时注意指数式与对数式的互化,以及实际问题中的条件限制.
[变式训练] 洞庭湖是我国的第二大淡水湖,俗称八百里洞庭,洞庭湖盛产鳙鱼(俗称胖头鱼).记鳙鱼在湖中的游速为v (单位:m/s),鳙鱼在湖中的耗氧量的单位数为x,已知鳙鱼的游速v与log2(x≥100)成正比,当鳙鱼的耗氧量为200单位时,其游速为 m/s,若鳙鱼的速度提高到 m/s,那么它的耗氧量的单位数增加为原来的( )
A.3倍 B.4倍 C.5倍 D.8倍
【答案】 B
【解析】 设v=k·log2(x≥100),
代入数据得=k·log2=k·1,
于是k=,故v=·log2(x≥100),
由v=,可得=·log2,
解得x=800,所以耗氧量为原来的4倍.故选B.
当堂检测
1.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的高度h (单位:cm)与燃烧时间t (单位:h)的函数关系用图象表示为( )
A B C D
【答案】 B
【解析】 由题意可知h=20-5t(0≤t≤4),所以其图象为B.故选B.
2.某市为鼓励市民节约用水,有如下规定:每位市民每月用水不超过10 m3的,按3元/m3收费;用水超过10 m3的,超过的部分按5元/m3收费.市民小李某月缴纳水费55元,则小李这个月实际用水为( )
A.13 m3 B.14 m3 C.15 m3 D.16 m3
【答案】 C
【解析】 设小李的月实际用水为x m3,所缴纳水费为y元,由题意得
y=
即y=
由于0≤x≤10时,ymax=3×10=30<55,所以小李这个月的实际用水量超过10 m3,所以5x-20=55,解得x=15.故选C.
3.某厂上半年两个季度的生产总值持续增加.第一季度的增长率为x,第二季度的增长率为2x,则该厂这两个季度生产总值的平均增长率为( )
A. B.
C. D.-1
【答案】 D
【解析】 设平均增长率为y(y>0),则有(1+y)2=(1+x)(1+2x),解得y=-1>0或y=--1<0(舍去).故选D.
4.某学校科技创新小组准备模拟导弹的发射过程,假设该小组采用的飞行器的飞行高度y (单位:米)与飞行时间x(单位:秒)之间的关系可以近似用函数y=alog3x+b来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米,经过6秒时的高度为30米,欲达到50米的高度,需要( )
A.15秒 B.16秒 C.18秒 D.20秒
【答案】 C
【解析】 由y=alog3x+b,当x=2时,y=10;
当x=6时,y=30;
所以解得a=20,b=10-20log32,
设达到50米的高度需要x秒,20log3x+10-20log32=50,解得x=18,
所以达到50米的高度需要18秒.故选C.
基础巩固
1.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是( )
A B C D
【答案】 B
【解析】 在2h内,血液中的药物含量呈线性增加,则第一段图象为线段,且为增函数,排除A,D,停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,排除C,能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B.
2.某连锁酒店共有500间客房,若每间客房每天的定价是200元,则均可被租出;若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10,x∈Z),则被租出的客房会减少15x套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106 600元,则该连锁酒店每间客房每天的定价应为( )
A.250元 B.260元
C.270元 D.280元
【答案】 C
【解析】 若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤10,x∈Z),
则每天有(500-15x)间客房被租出,
该连锁酒店每天租赁客房的收入为(500-15x)·(200+10x)=-150x2+2 000x+100 000,因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106 600元,
所以-150x2+2 000x+100 000>106 600,
即3x2-40x+132<0,解得6因为1≤x≤10且x∈Z,
所以x=7,即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元.故选C.
3.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,强度为x的声音对应的等级为f(x)=10lg(dB).喷气式飞机起飞时,声音约为140 dB,一般说话时,声音约为60 dB,则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的( )
A.倍 B.1倍 C.8倍 D.108倍
【答案】 D
【解析】 因为y=f(x)=10lg,
所以当y=140时,
可得10lg=140,即x=102,
当y=60时,可得10lg=60,即x=10-6,
所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的=108倍.故选D.
4.近年来,低碳环保、城市可持续发展已经成为各方关注的热点话题.某市的居民用电计费方法如下表,若某户居民某月缴纳的电费为150元,则此户居民该月的用电量为( )
生活用电实行分段计 电价
0～200 kW·h用电量 0.3元/(kW·h)
201～400 kW·h用电量 0.6元/(kW·h)
401 kW·h以上用电量 0.9元/(kW·h)
A.250 kW·h B.350 kW·h
C.450 kW·h D.500 kW·h
【答案】 B
【解析】 由题意,设某户居民用电量为x kW·h,本月缴纳的电费为y元,可得
y=
当某户居民某月缴纳的电费为150元时,可得其用电量在第二段,则60+0.6×(x-200)=150,
解得x=350,即此居民该月的用电量为350 kW·h.故选B.
5.科学技能的迅猛发展,使人们在学校里学到的专业知识,逐步陈旧过时,这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前,知识的半衰期为50年;21世纪,知识的半衰期平均为3.2年;IT业高级工程师为1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为T0,则经过一定时间,即t个月后的知识量T满足T-Ta=()(T0-Ta),h称为知识半衰期,其中Ta是课堂知识量,若Ta=25,某同学知识量从80降至75大约用时1个月,那么知识量从75降至45大约还需要( )
(参考数据:lg 2≈0.30,lg 11≈1.04)
A.8个月 B.9个月
C.10个月 D.11个月
【答案】 C
【解析】 因为t个月后的知识量T满足T-Ta=()·(T0-Ta),
又Ta=25,某同学知识量从80降至75大约用时1个月,
所以75-25=()(80-25),即()=,
所以45-25=()(75-25),所以20=50×[()]t,得()t=,
两边取对数可得tlg=lg,
所以t===≈=10.故选C.
6.(多选题)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1 ℃,空气的温度是θ0 ℃,那么t分钟后物体的温度θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt.其中k是常数.现有60 ℃的物体,放在12 ℃的空气中冷却,5分钟后物体的温度是36 ℃,若ln 2≈0.693,则下列说法正确的是( )
A.k≈0.14
B.k≈0.23
C.若t≥15,则θ<20
D.若θ<15,则t>20
【答案】 ACD
【解析】 根据题意36=12+(60-12)·e-5k,解得e-5k=,k=≈0.14,
故选项A正确,选项B错误;
若t≥15,则θ<12+(60-12)e-15k=12+48(e-5k)3=18,则θ<20成立,故选项C正确;
若θ<15,则12+(60-12)·e-kt<15,e-kt<,又e-5k=,则(e-5k<=()4,所以t>4,解得t>20,故选项D正确.
故选A,C,D.
7.已知某种科技产品的利润率为P,预计5年内与时间t(单位:月)满足函数关系式P=abt(其中a,b为非零常数).若经过12个月,利润率为10%,经过24个月,利润率为20%,那么当利润率达到50%以上,至少需要经过 个月(用整数作答,参考数据:lg 2≈0.301 0).
【答案】 40
【解析】 因为利润率P与时间t的函数关系式为P=abt,
由题意知,10%=ab12,20%=ab24,
解得b12=2,a=0.05;
令50%=0.05×bt,解得bt=10,
由解得t=≈≈40,
所以至少需要经过40个月.
8.如图,在空地上有一段长为100米的旧墙MN,小明利用旧墙和长为200米的木栏围成中间有一道木栏的长方形菜园ABCD,其中AD≤MN,长方形菜园一边靠旧墙,无需木栏.若所围成的长方形菜园的面积为3 300平方米,则所利用旧墙AD的长为 米.
【答案】 90
【解析】 设AB=x米,则AD=(200-3x)米,
由解得≤x<,
则所围成的长方形菜园的面积为S=x(200-3x)=-3x2+200x,
由-3x2+200x=3 300,解得x=30(舍去)或x=.
所以AD=200-3×=90(米).
9.某路公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满足:
p(t)=其中t∈N.
(1)求p(6),并说明p(6)的实际意义;
(2)若该路公交车每分钟的净收益y=-10(单位:元),问当发车时间间隔为多少时,该路公交车每分钟的净收益最大 并求每分钟的最大净收益.
【解】 (1)因为p(t)=
其中t∈N,
所以p(6)=60-(6-10)2=44,
所以p(6)为当发车时间间隔为6分钟时,该路公交车载客量为44.
(2)因为p(t)=其中t∈N.
所以①当5≤t<10时,p(t)=60-(t-10)2=-t2+20t-40,
则y=-10=-3t-+50=-3(t+)+50,
令m=t+(5≤t<10),
则可得m=t+在[5,10)上单调递增,
所以y=-3(t+)+50在[5,10)上单调递减,
所以当t=5时,ymax==32.6,
②当10≤t≤20时,p(t)=60,
则y=-10=-10,
因为y=-10在[10,20]上单调递减,
所以当t=10时,ymax=18.8,
又32.6>18.8,即当发车时间间隔为5分钟时,该路公交车每分钟的净收益最大,每分钟的最大净收益为32.6元.
10.为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著,学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度,建立一个每天得分y(单位:分)与当天阅读时间x(单位:分钟)的函数关系,要求如下:
(Ⅰ)函数的部分图象接近图示;
(Ⅱ)每天阅读时间为0分钟时,当天得分为0分;
(Ⅲ)每天阅读时间为30分钟时,当天得分为50分;
(Ⅳ)每天最多得分不超过100分.
现有以下三个函数模型供选择:
①y=kx+m(k>0);
②y=k·+m(k>0);
③y=klog2(+2)+m(k>0).
(1)请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型,不需要说明理由;
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型,给出函数的解析式;
(3)已知学校要求每天的得分不少于75分,求每天至少阅读多少分钟.
【解】 (1)根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型,所以选对数型模型,故选y=klog2(+2)+m.
(2)由题意及(1)可知(0,0),(30,50)在y=klog2(+2)+m的图象上,
所以解得k=25,m=-25,
所以y=25log2(+2)-25,
令y=100,可得25log2(+2)-25=100,
解得x=150,
所以函数的解析式为
y=
(3)令y=25log2(+2)-25≥75,
可得log2(+2)≥4=log216,
解得x≥70,所以每天得分不少于75分,至少需要阅读70分钟.
能力提升
11.(多选题)某食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4 ℃的保鲜时间是16 h.已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其放在室外,且此日的室外温度随时间的变化如图所示.则下列四个结论中正确的是( )
A.该食品在6 ℃的保鲜时间是8 h
B.当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少
C.到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内
D.到了此日14时,甲所购买的食品已过保鲜时间
【答案】 AD
【解析】 由题意可得,当x=4 ℃时,保鲜时间是16 h,即24k+6=16,解得k=-,
所以t=所以当x=6时,t=8,故A正确;
当x∈[-6,0]时,保鲜时间恒为64 h,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少,故B错误;
到了此日11时,温度超过10 ℃,此时保鲜时间不超过2 h,故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故C错误;
到了此日14时,甲所购买的食品已过保鲜时间,故D正确.故选A,D.
12.香农公式C=Wlog2(1+)是被广泛认同的通信理论基础和研究依据,它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫作信噪比.若不改变信道带宽W,而将信噪比 从11提升至499,则最大信息传递速率C大约会提升到原来的 倍(结果保留一位小数)(参考数据:log23≈1.58,log25≈2.32).
【答案】 2.5
【解析】 设提升前最大信息传递速率为C1,提升后最大信息传递速率为C2,则由题意可知,C1=Wlog2(1+11)=Wlog212,C2=Wlog2(1+499)=Wlog2500,所以===
=≈=≈2.5,所以最大信息传递速率C大约会提升到原来的2.5倍.
13.已知火箭起飞质量x(单位:kg)是箭体质量M(单位:kg)和燃料质量m(单位:kg)之和.在发射阶段,不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和x的函数关系是v=aln x+bln M,其中a,b为常数,且当燃料质量为0 kg时,火箭的最大速度为0 km/s.已知某火箭的箭体质量为M kg,当燃料质量为(e2-1)M kg时,该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求该火箭的最大速度v与起飞质量x之间的函数关系式.
(2)当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时,该火箭的最大速度可达到8 km/s
【解】 (1)因为火箭的最大速度v(单位:km/s)和x的函数关系是v=aln x+bln M,
又当m=0时,x=m+M=M,v=0;
当m=(e2-1)M时,x=m+M=e2M,v=4,
所以解得
所以v=2ln x-2ln M.
(2)设m=kM且k>0,则x=m+M=(k+1)M,又由(1)知v=2ln x-2ln M,
所以由v=8可得8=2ln(k+1)M-2ln M,
即4=ln =ln(k+1),解得k=e4-1.
故燃料质量至少是箭体质量的(e4-1)倍时,该火箭的最大速度可达到8 km/s.
应用创新
14.经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤
120)的数据如下表所示.
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.04v+3.6,Q(v)=0.5v+a,Q(v)=
0.000 025v3-0.004v2+0.25v.选择最符合实际的函数模型,解决下列问题:某高速公路共有三个车道,分别是外侧车道、中间车道、内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120]
(单位:km/h).为使百千米耗油量W(单位:L)最小,该型号汽车行驶的车道与速度为( )
A.在外侧车道以80 km/h行驶
B.在中间车道以90 km/h行驶
C.在中间车道以95 km/h行驶
D.在内侧车道以115 km/h行驶
【答案】 A
【解析】 由题意知,符合实际的函数模型需要满足在40≤v≤120,v都可取,且由表可知,Q随v的增大而增大,则该函数模型应在40≤v≤120上单调递增,所以Q(v)=0.5v+a不符合;
若选择Q(v)=0.04v+3.6,则Q(90)=0.04×90+3.6=7.2,Q(100)=0.04×100+3.6=7.6,Q(120)=0.04×
120+3.6=8.4,与实际数据相差较大,所以Q(v)=0.04v+3.6不符合;
若选择Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v,则Q(40)=5.2,Q(60)=6,Q(90)=8.325,Q(100)=10,
Q(120)=15.6,所以Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25v最符合实际.
因为W=·Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5·(v-80)2+9,所以当v=80时,W取得最小值9.
故选A.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共38张PPT)
§2 实际问题中的
函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
1.体会实际问题中建立函数模型的过程,进一步掌握常用的函数模型,提升数学抽象的核心素养.2.通过建立函数模型解决实际问题的过程,提升数学建模的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 常见的几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
反比例函数模型
知识点二 建立函数模型解决实际问题的步骤
1.确切理解题意,明确问题的实际背景,进行科学的抽象、概括,将实际问题转化为数学问题;
2.建立相应的函数模型;
3.求解函数模型,得出数学结论;
4.将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义,并进行验证,看是否符合实际.
题型一 利用图象刻画变化过程
[例1] 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的路程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述正确的是( )
A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更
省油
D
【解析】 根据图象知消耗1 L汽油,乙车最多行驶路程大于5 km,故选项A错误;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错误;甲车以80 km/h的速度行驶时燃油效率为10 km/L,行驶1 h,路程为80 km,消耗8 L汽油,故选项C错误;当速度不超过
80 km/h时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D正确.故选D.
·解题策略·
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际情况的答案.
[变式训练] 设甲、乙两地的距离为a(a>0),某人骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min,在乙地休息10 min后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30 min,则此人从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
D
A B C D
【解析】 y为此人从出发到返回原地所经过的路程,而不是位移,故排除A,C;又因为此人在乙地休息10 min,故排除B.故选D.
题型二 构建函数模型解决实际问题
角度1 一次、二次函数模型
[例2] 某校高一(2)班共有学生51人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元,若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水,经测算和市场调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用228元,其中,纯净水的销售价x (单位:元/桶)与年购买总量y (单位:桶)之间满足如图所示关系.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当a至少为多少时,该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用
【解】 (2)设该班每年购买桶装纯净水的费用为P元,则
P=xy=x(-40x+720)=-40(x-9)2+3 240,
所以当x=9时,Pmax=3 240.
要使饮用桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用,
则51a≥Pmax+228,解得a≥68,故a至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定不高于该班全体学生购买饮料的年总费用.
·解题策略·
(1)一般方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
(2)注意点:利用二次函数求最值时,应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
[变式训练] 某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本为25元,因为在生产过程中,平均每生产一件产品有0.5 m3污水排出.为了净化环境,工厂设计了两个污水处理方案,并准备实施.
方案1:工厂污水净化后再排出,每处理1 m3污水所耗原料费为2元,并且每月排污设备损耗费为30 000元;
方案2:工厂污水排到污水处理厂统一处理,每处理1 m3污水需付14元排污费.
(1)若工厂每月生产3 000件产品,在不污染环境,又节约资金的前提下,应选择哪个污水处理方案 请通过计算加以说明;
【解】 设工厂生产x件产品时,设方案1得到的利润为y1元,方案2得到的利润为y2元,则y1=(50-25)x-2×0.5x-30 000=24x-30 000,
y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.
(1)当x=3 000时,y1=42 000,y2=54 000.
因为y1(2)当工厂每月生产6 000件产品时,又该如何决策呢
【解】 (2)当x=6 000时,y1=114 000,y2=108 000.
因为y1>y2,所以应选择方案1处理污水.
角度2 分段函数模型
(1)写出年利润F(x)(单位:万元)与产量x(单位:万千克)的函数解析式;
(2)求年产量为多少万千克时,该镇所获利润最大 求出利润最大值.
·解题策略·
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型;分段函数的最值是各段最大值
(或最小值)中的最大者(或最小者).
(2)二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系.
·解题策略·
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大 最大利润为多少元
②当x>400时,f(x)=-100x+60 000为减函数,
所以f(x)<-100×400+60 000=20 000<25 000.所以当月产量为300台时,利润最大,最大利润为25 000元.
角度3 指数函数模型
C
·解题策略·
增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)或幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式表示.求解时要注意指数式、对数式的互化以及指数函数、对数函数的单调性的应用.
C
角度4 对数函数模型
[例5] 某标本检测分析是用荧光定量PCR法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测,在PCR扩增的指数时
期,荧光信号强度达到阈值时,DNA的数量Xn与扩增次数n满足:lg Xn=nlg(1+
p)+lg X0,其中p为扩增效率,X0为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增5次后,数量变为原来的10倍,那么该标本的扩增效率p约为(参考数据:100.2≈
1.585,10-0.2≈0.631)( )
A.0.369 B.0.415 C.0.585 D.0.631
C
·解题策略·
涉及对数函数有关的函数模型问题,应结合函数解析式以及对数函数的运算性质和对数函数的性质求解.求解时注意指数式与对数式的互化,以及实际问题中的条件限制.
B
当堂检测
1.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧 5 cm,则燃烧剩下的高度h (单位:
cm)与燃烧时间t (单位:h)的函数关系用图象表示为( )
B
A B C D
【解析】 由题意可知h=20-5t(0≤t≤4),所以其图象为B.故选B.
2.某市为鼓励市民节约用水,有如下规定:每位市民每月用水不超过10 m3的,按3元/m3收费;用水超过10 m3的,超过的部分按5元/m3收费.市民小李某月缴纳水费55元,则小李这个月实际用水为( )
A.13 m3 B.14 m3
C.15 m3 D.16 m3
C
D
4.某学校科技创新小组准备模拟导弹的发射过程,假设该小组采用的飞行器的飞行高度y (单位:米)与飞行时间x(单位:秒)之间的关系可以近似用函数y=
alog3x+b来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米,经过6秒时的高度为30米,欲达到50米的高度,需要( )
A.15秒 B.16秒 C.18秒 D.20秒
C
