1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
【课程标准要求】 1.了解函数的零点的概念,理解函数的零点与方程的根的关系,提升数学抽象的核心素养.2.掌握零点存在定理,会探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法,提升数学抽象与逻辑推理的核心素养.
知识点一 函数的零点
1.概念
使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.
2.方程、函数、图象之间的关系
函数f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,也就是方程f(x)=0的解.
[思考1] 函数的零点是一个点吗
提示:函数的零点不是一个点,而是具体的自变量的取值.
[思考2] 函数的零点与方程的根有什么联系和区别 函数与方程之间有何联系
提示:(1)联系.①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根;
②存在性一致:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
(2)区别.零点对于函数而言,根对于方程而言.
函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础.
[问题] 观察以下函数的图象.
(1)在区间(a,b)上 (填“有”或“无”)零点,f(a)·f(b) 0(填“<”或“>”);
(2)在区间(b,c)上 (填“有”或“无”)零点,f(b)·f(c) 0(填“<”或“>”);
(3)在区间(c,d)上 (填“有”或“无”)零点,f(c)·f(d) 0(填“<”或“>”).
提示:(1)有 < (2)有 < (3)有 <
知识点二 零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
[思考3] 若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点一定是唯一的吗
提示:不一定.如f(x)=x3-x在区间[-2,2]上有f(2)·f(-2)<0,但f(x)在区间(-2,2)内有三个零点-1,0,1.
[思考4] 若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)>0,是不是说明函数y=f(x)在区间(a,b)内没有零点
提示:不是.函数y=f(x)在区间(a,b)内也可能有零点.如f(x)=x2-1,在区间[-2,2]上有f(-2)·f(2)
>0,但在区间(-2,2)内有两个零点-1,1.
[思考5] 函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有f(a)·f(b)<0
提示:不一定.如f(x)=x2在区间(-1,1)上有零点0,但是f(-1)·f(1)=1×1=1>0.
题型一 函数零点的理解
角度1 根据函数的解析式求函数的零点
[例 1] (1)函数f(x)=log3(x-1)-2的零点为( )
A.10 B.9
C.(10,0) D.(9,0)
(2)(多选题)已知函数s(x)=则函数h(x)=s(x)-x的零点是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】 (1)A (2)ABC
【解析】 (1)令f(x)=log3(x-1)-2=0,
即log3(x-1)=2=log332,所以x-1=32,
即x=10,所以函数f(x)=log3(x-1)-2的零点为10.故选A.
(2)令h(x)=s(x)-x=0,
当x>0时,有1-x=0,则x=1;
当x=0时,有0-x=0,则x=0;
当x<0时,有-1-x=0,则x=-1.
故函数h(x)=s(x)-x的零点是-1,0,1.故选A,B,C.
利用函数的解析式求函数的零点的方法
根据零点的定义,解方程f(x)=0,它的实数根就是函数y=f(x)的零点.
[变式训练] (多选题)若函数f(x)=ax+b只有一个零点3,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是( )
A.- B.0 C. D.-3
【答案】 AB
【解析】 由题意知3a+b=0,所以b=-3a,a≠0,所以g(x)=-3ax2-ax=-ax(3x+1),使g(x)=0,则x=-或x=0.故选A,B.
角度2 确定函数零点所在区间
[例2] (1)函数y=ln x-的零点所在的大致区间是( )
A.(,1) B.(1,2)
C.(2,e) D.(e,+∞)
(2)设函数y=x3与y=()x-2的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是 .
【答案】 (1)C (2)(1,2)
【解析】 (1)y=f(x)=ln x-的定义域为(0,+∞),又y=ln x与y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=ln x-在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=ln 1-2=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,f(e)=ln e-=1->0,
所以f(2)·f(e)<0,所以f(x)在(2,e)上存在唯一的零点.故选C.
(2)设f(x)=x3-()x-2,易知函数f(x)为R上的增函数,因为f(1)=1-()-1=-1<0,f(2)=8-()0=7>0,
所以f(1)·f(2)<0,所以x0∈(1,2).
(1)若一个函数图象连续不间断且单调,判断函数零点所在的区间可直接使用零点存在定理.
(2)涉及方程h(x)=g(x)的解所在的区间时,如能直接解方程,则求出方程根后判断;若不能解方程,则通过构造函数f(x)=h(x)-g(x),结合零点存在定理转化为求函数的零点所在的区间.
(3)函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标所在的区间即为函数y=f(x)-g(x)的零点所在的区间.
[变式训练] (1)函数f(x)=3x-4的零点所在区间为( )
A.(-1,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(0,1)
(2)函数f(x)=-x+2-2x的零点所在的一个区间是( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
【答案】 (1)B (2)B
【解析】 (1)因为f(x)=3x-4,且是增函数,又f(1)=3-4=-1<0,f(2)=32-4=5>0,f(1)·f(2)<0,所以根据零点存在定理可知函数f(x)=3x-4的零点在区间(1,2)内.故选B.
(2)易知f(x)=-x+2-2x在R上单调递减,又因为f(0)=1>0,f(1)=-1<0,f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)的零点所在的一个区间是(0,1).故选B.
角度3 确定函数零点的个数
[例3] (1)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=3x2-6x(x≥0),则函数f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)函数f(x)=|log0.5x|-2-x的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 (1)D (2)B
【解析】 (1)因为当x≥0时,f(x)=3x2-6x,令f(x)=0,即3x2-6x=0,解得x=2或x=0,又因为f(x)是在R上的偶函数,所以由偶函数的对称性可知,f(x)在x<0时有一个零点x=-2,所以f(x)一共有-2,0,2三个零点.故选D.
(2)函数f(x)=|log0.5x|-2-x的零点个数 方程|log0.5x|=()x的实数根的个数 函数y1=|log0.5x|与y2=()x的图象的交点个数.两个函数的图象如图所示,可知两个函数图象有两个交点.故选B.
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判断 y=f(x)在(a,b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
[变式训练] (1)函数f(x)=2x+3x-4在R上的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)已知函数f(x)=若实数m∈(0,1],则方程f(x)-m=0的解的个数为( )
A.0或1 B.1或2
C.1或3 D.2或3
【答案】 (1)B (2)D
【解析】 (1)函数f(x)=2x+3x-4在R上单调递增,又f(0)=-2<0,f(1)=1>0,
所以f(0)f(1)<0,
故函数f(x)=2x+3x-4在R上有唯一的零点.故选B.
(2)由f(x)-m=0,得f(x)=m,
故函数y=f(x)的图象与直线y=m交点的个数即为方程f(x)-m=0的解的个数,
如图所示,作出函数y=f(x)的图象,
由图可知当m=1时,方程f(x)-m=0的解的个数为2,当m∈(0,1)时,方程f(x)-m=0的解的个数为3.所以方程f(x)-m=0的解的个数为2或3.故选D.
题型二 根据零点个数求参数的取值范围
[例4] 已知函数f(x)=若函数g(x)=4[f(x)]2-(4t+3)f(x)+3t有7个不同的零点,则实数t的取值范围是( )
A.[,1] B.( 0,)
C.[,+∞) D.( 0,)∪{1}
【答案】 D
【解析】 令g(x)=4[f(x)]2-(4t+3)f(x)+3t=0,解得f(x)=或f(x)=t,作出函数y=f(x)的图象,如图所示.y=f(x)的图象与直线y=有4个交点,即方程f(x)=有4个不相等的实根,由题意可得,方程f(x)=t有3个不相等的实根,即y=f(x)的图象与直线y=t有3个交点,故实数t的取值范围是(0,)∪{1}.故选D.
已知函数有零点(方程有根)
求参数取值范围常用的方法
(1)直接法.直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法.先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法.先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
[变式训练] (1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若 x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-3)
C.(-3,1)
D.(1,+∞)
(2)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 .
【答案】 (1)A (2)(0,1]
【解析】 (1)当a=0时,f(x)=3,不合题意;当a≠0时,由题意知f(-1)f(1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,解得a<-3或a>1.故选A.
(2)作出函数y=f(x)与直线y=k的图象,如图所示,
由图可知k∈(0,1].
【学海拾贝】
一元二次方程根的分布问题
设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,则x1,x2的分布情况与一元二次方程系数之间的关系如表所示(记f(x)=ax2+bx+c(a>0)).
根的分布 图象 所需条件
x1
kx1x1,x2∈ (k1,k2)
x1,x2中有且仅有一个在(k1,k2)内 f(k1)·f(k2)<0或f(k1)=0,k1<-<或f(k2)=0,<-二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有以下特殊根的条件:
(1)两个正根
(2)两个负根
(3)一个正根,一个负根
[典例探究] 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围;
(2)若方程两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.
【解】 (1)令f(x)=x2+2mx+2m+1,依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出图象如图.
由图象得
解得
所以-(2)根据函数f(x)的图象与x轴的两个交点均在区间(0,1)内,画出图象如图.
由图象得
即解得
所以-即实数m的取值范围为(-,1-).
[应用探究1] 已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.(-∞,4)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
【答案】 A
【解析】 设f(x)=x2-ax+3,由方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,可知函数f(x)=
x2-ax+3的零点分布在x=1的两侧,因此f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,即实数a的取值范围是(4,+∞).故选A.
[应用探究2] 已知关于x的方程x2+2(a+2)x+a2-1=0.若该方程有两个不相等的负根,则实数a的取值范围为 ;若该方程有一个正根和一个负根,则实数a的取值范围为 .
【答案】 (-,-1)∪(1,+∞) (-1,1)
【解析】 若关于x的方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有两个不相等的负根,
则解得
即a∈(-,-1)∪(1,+∞),即实数a的取值范围为(-,-1)∪(1,+∞).
若关于x的方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根,
其对应的二次函数f(x)=x2+2(a+2)x+a2-1满足f(0)<0,即a2-1<0,解得a∈(-1,1),故实数a的取值范围为(-1,1).
当堂检测
1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
A B C D
【答案】 A
【解析】 观察图象可知,A中图象表示的函数没有零点.故选A.
2.函数y=的零点是( )
A.(-1,0) B.-1
C.(0,1) D.0
【答案】 B
【解析】 函数y=的零点,即方程=0的解,
可得log3(x+2)=0,解得x=-1.故选B.
3.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(2,3) C.(1,2) D.(3,5)
【答案】 C
【解析】 易知函数f(x)=ln x-在(0,+∞)上是连续增函数,
f(1)=0-1<0,f(2)=ln 2-=ln>0,
故函数f(x)=ln x-存在唯一的零点,所在的区间为(1,2).
故选C.
4.已知函数f(x)=log3x+2x-6的零点为a,a∈(n,n+1)(n∈N),则n= .
【答案】 2
【解析】 因为函数f(x)=log3x+2x-6,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(2)=log32+22-6=log32-2<0,
f(3)=log33+23-6=3>0,所以a∈(2,3),即n=2.
基础巩固
1.函数y=2x-1的零点是( )
A.0 B.(0,-1)
C. D.(,0)
【答案】 C
【解析】 令y=2x-1=0,所以x=,即函数y=2x-1的零点是.故选C.
2.函数f(x)=-x2零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,+∞)
【答案】 C
【解析】 由解析式知f(x)在(-∞,0)上的函数值恒负,故不存在零点,在(0,+∞)上单调递减,而f(1)=-12=2>0,f(2)=-22=-<0,f(1)·f(2)<0,则f(x)存在唯一的零点,所在区间为(1,2).故选C.
3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 当x≥-4时,令x2-2|x|-3=0,
则(|x|-3)(|x|+1)=0,
又因为|x|+1>0,
所以|x|=3,
解得x=±3;
当x<-4时,令2x+13=0,得x=-,
所以f(x)的零点有-,-3,3,共3个.故选C.
4.已知函数f(x)=2x+x3-8的零点x0∈(m,m+1),则整数m的值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
【答案】 C
【解析】 函数f(x)=2x+x3-8是连续增函数,
f(1)=-5<0,f(2)=4>0,
所以f(2)·f(1)<0,函数f(x)=2x+x3-8的零点位于区位(1,2)即(m,m+1)上,所以m=1.故选C.
5.已知函数f(x)=(log2 x)2+3log2 x-m在区间[1,2]上有零点,则实数m的取值范围为( )
A.[0,4] B.[1,4]
C.[0,2] D.[1,2]
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=(log2x)2+3log2x-m在区间[1,2]上有零点,
即m=(log2x)2+3log2x在x∈[1,2]上有解.
令t=log2x,
由x∈[1,2],得t∈[0,1],则m=t2+3t,
其中t∈[0,1].
令g(t)=t2+3t,由二次函数的性质可知g(t)在[0,1]上单调递增,
所以g(0)≤g(t)≤g(1),即0≤g(t)≤4,
所以0≤m≤4.
故实数m的取值范围为[0,4].故选A.
6.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有且仅有一个实数根,则实数a的取值范围为( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,0)
【答案】 D
【解析】 作出函数f(x)=的图象如图所示,由图可知,当-17.函数f(x)=x2-+1的零点个数为 .
【答案】 1
【解析】 令f(x)=0得x2-+1=0,所以x2+1=,再作出函数y=x2+1与y=的图象,由于两个函数的图象只有一个交点,所以零点的个数为1.
8.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2的零点为 ,则f(f(lo3))= .
【答案】 -
【解析】 令g(x)=f(x)-2=0,则f(x)=2,
当x>0时,令2x-5=2,解得x=>0;
当x≤0时,令2x=2,得x=1>0,故舍去;
所以g(x)=f(x)-2的零点为;
因为lo3<0,
所以f(lo3)==,
所以f(f(lo3 ))=f()=2×-5=-.
9.已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)作出函数y=f(x)的图象;
(2)讨论方程f(x)=a的解的情况.
【解】 (1)先作出y=x2-4x+3的图象,然后将其在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,原x轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象,如图所示.
(2)方程f(x)=a的解的个数,即y=f(x)与y=a图象交点的个数,
数形结合可得,
当a<0时,原方程无解,
当a=0或a>1时,原方程有2个解;
当0当a=1时,原方程有3个解.
10.设a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a=1,b=-5,函数f(x)的两个零点都在区间(0,+∞)内,求c的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,求关于x的不等式f(x)>2ax的解集.
【解】 (1)因为函数f(x)=ax2+bx+c,
当a=1,b=-5时,f(x)=x2-5x+c,
因为f(x)=x2-5x+c的两个零点都在区间(0,+∞)内,且>0,
所以即0故c的取值范围为(0,).
(2)因为函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,
所以a≠0且-1,2是方程ax2+bx+c=0的两根,
则即
①当a>0时,由f(x)>2ax,
得ax2+(b-2a)x+c>0,
所以x2+(-2)x+>0,
即x2-3x-2>0,
故不等式f(x)>2ax的解集为(-∞,)∪(,+∞);
②当a<0时,由f(x)>2ax,
得ax2+(b-2a)x+c>0,
所以x2+(-2)x+<0,
所以x2-3x-2<0,
故不等式f(x)>2ax的解集为(,).
综上所述,当a>0时,不等式的解集为(-∞,)∪(,+∞);
当a<0时,不等式的解集为(,).
能力提升
11.(多选题)已知函数f(x)=则( )
A.函数f(x)有3个零点
B.若函数y=f(x)-t有2个零点,则t∈{0}∪(3,7]
C.若关于x的方程f(x)=t有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4
D.关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根
【答案】 BCD
【解析】 根据题意,
函数f(x)=
由此作出函数的图象,如图所示.
对于A,由图象易知曲线y=f(x)与x轴有两个交点,故函数f(x)有2个零点,故A错误;
对于B,令y=f(x)-t=0,可得f(x)=t,
则函数y=f(x)-t的零点个数即为y=f(x)与y=t的图象的交点个数,
若函数y=f(x)-t有两个零点,由图象可知t∈{0}∪(3,7],B正确;
对于C,若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根,则y=f(x)与y=t的图象有四个交点.
不妨设x1由图象可得t∈(1,3),且x1+x2=-2,x3+x4=6,所以x1+x2+x3+x4=4,故C正确;
对于D,因为f2(x)=4,解得f(x)=-2或f(x)=2,
结合图象可知f(x)=-2有一个根,f(x)=2有四个根,
所以关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根,D正确.故选B,C,D.
12.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是 .
【答案】 (0,1)
【解析】 因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,
又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,由图可知,当013.已知指数函数f(x)的图象过点(,).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(2x)-mf(x-1)+1,且在区间(-1,+∞)上有两个零点,求m的取值范围.
【解】 (1)由题意,设f(x)=ax(a>0,且a≠1),
因为f(x)的图象过点(,),
所以==(),解得a=,
故函数f(x)的解析式为f(x)=()x.
(2)因为g(x)=f(2x)-mf(x-1)+1,
所以g(x)=()2x-2m()x+1,
令t=()x,因为x∈(-1,+∞),
所以t∈(0,2),
所以y=t2-2mt+1,t∈(0,2),
函数g(x)=()2x-2m()x+1在(-1,+∞)上有两个零点,等价于y=t2-2mt+1在t∈(0,2)上有两个零点,
则即
解得1应用创新
14.(多选题)已知函数y=f(x)和y=g(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.方程f(g(x))=0有且只有6个不同的解
B.方程g(f(x))=0有且只有3个不同的解
C.方程f(f(x))=0有且只有5个不同的解
D.方程g(g(x))=0有且只有4个不同的解
【答案】 ACD
【解析】 对于A,令t=g(x),结合图象可得f(t)=0有3个不同的解,-2对于B,令t=f(x),结合图象可得g(t)=0有2个不同的解,-2对于C,令t=f(x),结合图象可得f(t)=0有3个不同的解,-2对于D,令t=g(x),结合图象可得g(t)=0有2个不同的解,-221世纪教育网(www.21cnjy.com)(共45张PPT)
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性
及方程的近似解
1.1 利用函数性质
判定方程解的存在性
1.了解函数的零点的概念,理解函数的零点与方程的根的关系,提升数学抽象的核心素养.2.掌握零点存在定理,会探究在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法,提升数学抽象与逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 函数的零点
1.概念
使得 的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.
2.方程、函数、图象之间的关系
函数f(x)的 就是函数y=f(x)的图象与 ,也就是方程f(x)=0的解.
f(x0)=0
零点
x轴交点的横坐标
[思考1] 函数的零点是一个点吗
提示:函数的零点不是一个点,而是具体的自变量的取值.
[思考2] 函数的零点与方程的根有什么联系和区别 函数与方程之间有何
联系
提示:(1)联系.①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根;
②存在性一致:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点.
(2)区别.零点对于函数而言,根对于方程而言.
函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础.
[问题] 观察以下函数的图象.
(1)在区间(a,b)上 (填“有”或“无”)零点,f(a)·f(b) 0(填“<”或“>”);
(2)在区间(b,c)上 (填“有”或“无”)零点,f(b)·f(c) 0(填“<”或“>”);
(3)在区间(c,d)上 (填“有”或“无”)零点,f(c)·f(d) 0(填“<”或“>”).
有
<
有
<
有
<
知识点二 零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,并且在区间端点的函数值 ,即 ,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
连续
一正一负
f(a)·f(b)<0
[思考3] 若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点一定是唯一的吗
提示:不一定.如f(x)=x3-x在区间[-2,2]上有f(2)·f(-2)<0,但f(x)在区间(-2,2)内有三个零点-1,0,1.
[思考4] 若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)>0,是不是说明函数y=f(x)在区间(a,b)内没有零点
提示:不是.函数y=f(x)在区间(a,b)内也可能有零点.如f(x)=x2-1,在区间[-2,2]上有f(-2)·f(2)>0,但在区间(-2,2)内有两个零点-1,1.
[思考5] 函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有f(a)·f(b)<0
提示:不一定.如f(x)=x2在区间(-1,1)上有零点0,但是f(-1)·f(1)=1×1=1>0.
题型一 函数零点的理解
角度1 根据函数的解析式求函数的零点
[例 1] (1)函数f(x)=log3(x-1)-2的零点为( )
A.10 B.9
C.(10,0) D.(9,0)
A
【解析】 (1)令f(x)=log3(x-1)-2=0,
即log3(x-1)=2=log332,所以x-1=32,
即x=10,所以函数f(x)=log3(x-1)-2的零点为10.故选A.
ABC
【解析】 (2)令h(x)=s(x)-x=0,
当x>0时,有1-x=0,则x=1;
当x=0时,有0-x=0,则x=0;
当x<0时,有-1-x=0,则x=-1.
故函数h(x)=s(x)-x的零点是-1,0,1.故选A,B,C.
·解题策略·
利用函数的解析式求函数的零点的方法
根据零点的定义,解方程f(x)=0,它的实数根就是函数y=f(x)的零点.
AB
角度2 确定函数零点所在区间
C
(1,2)
·解题策略·
(1)若一个函数图象连续不间断且单调,判断函数零点所在的区间可直接使用零点存在定理.
(2)涉及方程h(x)=g(x)的解所在的区间时,如能直接解方程,则求出方程根后判断;若不能解方程,则通过构造函数f(x)=h(x)-g(x),结合零点存在定理转化为求函数的零点所在的区间.
(3)函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标所在的区间即为函数y=f(x)-g(x)的零点所在的区间.
[变式训练] (1)函数f(x)=3x-4的零点所在区间为( )
A.(-1,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(0,1)
B
【解析】 (1)因为f(x)=3x-4,且是增函数,又f(1)=3-4=-1<0,f(2)=32-4=5>0,
f(1)·f(2)<0,所以根据零点存在定理可知函数f(x)=3x-4的零点在区间(1,2)内.故选B.
(2)函数f(x)=-x+2-2x的零点所在的一个区间是( )
A.(-1,0) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,3)
B
【解析】 (2)易知f(x)=-x+2-2x在R上单调递减,又因为f(0)=1>0,f(1)=-1<0,
f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)的零点所在的一个区间是(0,1).故选B.
角度3 确定函数零点的个数
[例3] (1)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=3x2-6x(x≥0),则函数f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
【解析】 (1)因为当x≥0时,f(x)=3x2-6x,令f(x)=0,即3x2-6x=0,解得x=2或x=0,又因为f(x)是在R上的偶函数,所以由偶函数的对称性可知,f(x)在x<0时有一个零点x=-2,所以f(x)一共有-2,0,2三个零点.故选D.
(2)函数f(x)=|log0.5x|-2-x的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
·解题策略·
判断函数零点个数的四种常用方法
(1)利用方程根,转化为解方程,有几个不同的实数根就有几个零点.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.
(3)结合单调性,利用函数零点存在定理,可判断 y=f(x)在(a,b)上零点的个数.
(4)转化成两个函数图象的交点问题.
[变式训练] (1)函数f(x)=2x+3x-4在R上的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
【解析】 (1)函数f(x)=2x+3x-4在R上单调递增,又f(0)=-2<0,f(1)=1>0,
所以f(0)f(1)<0,
故函数f(x)=2x+3x-4在R上有唯一的零点.故选B.
D
【解析】 (2)由f(x)-m=0,得f(x)=m,
故函数y=f(x)的图象与直线y=m交点的个数即为方程f(x)-m=0的解的个数,
如图所示,作出函数y=f(x)的图象,
由图可知当m=1时,方程f(x)-m=0的解的个数为2,当m∈(0,1)时,方程f(x)-m=0的解的个数为3.所以方程f(x)-m=0的解的个数为2或3.故选D.
题型二 根据零点个数求参数的取值范围
D
·解题策略·
已知函数有零点(方程有根)
求参数取值范围常用的方法
(1)直接法.直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法.先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法.先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
[变式训练] (1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若 x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3)
C.(-3,1) D.(1,+∞)
A
【解析】 (1)当a=0时,f(x)=3,不合题意;当a≠0时,由题意知f(-1)f(1)<0,即(-3a+
3)(a+3)<0,解得a<-3或a>1.故选A.
(0,1]
【解析】 (2)作出函数y=f(x)与直线y=k的图象,如图所示,
由图可知k∈(0,1].
【学海拾贝】
一元二次方程根的分布问题
设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,则x1,x2的分布情况与一元二次方程系数之间的关系如表所示(记f(x)=ax2+bx+c(a>0)).
根的分布 图象 所需条件
x1kx1x1,x2∈(k1,k2)
x1,x2中有且仅有一个在(k1,k2)内
[典例探究] 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围;
(2)若方程两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.
[应用探究1] 已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数a的取值范围是( )
A.(4,+∞) B.(-∞,4)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
A
【解析】 设f(x)=x2-ax+3,由方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,可知函数f(x)=x2-ax+3的零点分布在x=1的两侧,因此f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>
4,即实数a的取值范围是(4,+∞).故选A.
[应用探究2] 已知关于x的方程x2+2(a+2)x+a2-1=0.若该方程有两个不相等的负根,则实数a的取值范围为 ;若该方程有一个正根和一个负根,则实数a的取值范围为 .
(-1,1)
当堂检测
1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
A
A B C D
【解析】 观察图象可知,A中图象表示的函数没有零点.故选A.
B
C
4.已知函数f(x)=log3x+2x-6的零点为a,a∈(n,n+1)(n∈N),则n= .
2
【解析】 因为函数f(x)=log3x+2x-6,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(2)=log32+22
-6=log32-2<0,f(3)=log33+23-6=3>0,所以a∈(2,3),即n=2.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
基础巩固
1.函数y=2x-1的零点是( )
A.0 B.(0,-1)
C. D.(,0)
【答案】 C
【解析】 令y=2x-1=0,所以x=,即函数y=2x-1的零点是.故选C.
2.函数f(x)=-x2零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(0,1)
C.(1,2) D.(2,+∞)
【答案】 C
【解析】 由解析式知f(x)在(-∞,0)上的函数值恒负,故不存在零点,在(0,+∞)上单调递减,而f(1)=-12=2>0,f(2)=-22=-<0,f(1)·f(2)<0,则f(x)存在唯一的零点,所在区间为(1,2).故选C.
3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 当x≥-4时,令x2-2|x|-3=0,
则(|x|-3)(|x|+1)=0,
又因为|x|+1>0,
所以|x|=3,
解得x=±3;
当x<-4时,令2x+13=0,得x=-,
所以f(x)的零点有-,-3,3,共3个.故选C.
4.已知函数f(x)=2x+x3-8的零点x0∈(m,m+1),则整数m的值为( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
【答案】 C
【解析】 函数f(x)=2x+x3-8是连续增函数,
f(1)=-5<0,f(2)=4>0,
所以f(2)·f(1)<0,函数f(x)=2x+x3-8的零点位于区位(1,2)即(m,m+1)上,所以m=1.故选C.
5.已知函数f(x)=(log2 x)2+3log2 x-m在区间[1,2]上有零点,则实数m的取值范围为( )
A.[0,4] B.[1,4]
C.[0,2] D.[1,2]
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=(log2x)2+3log2x-m在区间[1,2]上有零点,
即m=(log2x)2+3log2x在x∈[1,2]上有解.
令t=log2x,
由x∈[1,2],得t∈[0,1],则m=t2+3t,
其中t∈[0,1].
令g(t)=t2+3t,由二次函数的性质可知g(t)在[0,1]上单调递增,
所以g(0)≤g(t)≤g(1),即0≤g(t)≤4,
所以0≤m≤4.
故实数m的取值范围为[0,4].故选A.
6.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a有且仅有一个实数根,则实数a的取值范围为( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,0)
【答案】 D
【解析】 作出函数f(x)=的图象如图所示,由图可知,当-17.函数f(x)=x2-+1的零点个数为 .
【答案】 1
【解析】 令f(x)=0得x2-+1=0,所以x2+1=,再作出函数y=x2+1与y=的图象,由于两个函数的图象只有一个交点,所以零点的个数为1.
8.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2的零点为 ,则f(f(lo3))= .
【答案】 -
【解析】 令g(x)=f(x)-2=0,则f(x)=2,
当x>0时,令2x-5=2,解得x=>0;
当x≤0时,令2x=2,得x=1>0,故舍去;
所以g(x)=f(x)-2的零点为;
因为lo3<0,
所以f(lo3)==,
所以f(f(lo3 ))=f()=2×-5=-.
9.已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)作出函数y=f(x)的图象;
(2)讨论方程f(x)=a的解的情况.
【解】 (1)先作出y=x2-4x+3的图象,然后将其在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,原x轴上方的图象及其翻折上来的图象便是所要求作的图象,如图所示.
(2)方程f(x)=a的解的个数,即y=f(x)与y=a图象交点的个数,
数形结合可得,
当a<0时,原方程无解,
当a=0或a>1时,原方程有2个解;
当0当a=1时,原方程有3个解.
10.设a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若a=1,b=-5,函数f(x)的两个零点都在区间(0,+∞)内,求c的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,求关于x的不等式f(x)>2ax的解集.
【解】 (1)因为函数f(x)=ax2+bx+c,
当a=1,b=-5时,f(x)=x2-5x+c,
因为f(x)=x2-5x+c的两个零点都在区间(0,+∞)内,且>0,
所以即0故c的取值范围为(0,).
(2)因为函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,
所以a≠0且-1,2是方程ax2+bx+c=0的两根,
则即
①当a>0时,由f(x)>2ax,
得ax2+(b-2a)x+c>0,
所以x2+(-2)x+>0,
即x2-3x-2>0,
故不等式f(x)>2ax的解集为(-∞,)∪(,+∞);
②当a<0时,由f(x)>2ax,
得ax2+(b-2a)x+c>0,
所以x2+(-2)x+<0,
所以x2-3x-2<0,
故不等式f(x)>2ax的解集为(,).
综上所述,当a>0时,不等式的解集为(-∞,)∪(,+∞);
当a<0时,不等式的解集为(,).
能力提升
11.(多选题)已知函数f(x)=则( )
A.函数f(x)有3个零点
B.若函数y=f(x)-t有2个零点,则t∈{0}∪(3,7]
C.若关于x的方程f(x)=t有4个不等实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=4
D.关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根
【答案】 BCD
【解析】 根据题意,
函数f(x)=
由此作出函数的图象,如图所示.
对于A,由图象易知曲线y=f(x)与x轴有两个交点,故函数f(x)有2个零点,故A错误;
对于B,令y=f(x)-t=0,可得f(x)=t,
则函数y=f(x)-t的零点个数即为y=f(x)与y=t的图象的交点个数,
若函数y=f(x)-t有两个零点,由图象可知t∈{0}∪(3,7],B正确;
对于C,若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根,则y=f(x)与y=t的图象有四个交点.
不妨设x1由图象可得t∈(1,3),且x1+x2=-2,x3+x4=6,所以x1+x2+x3+x4=4,故C正确;
对于D,因为f2(x)=4,解得f(x)=-2或f(x)=2,
结合图象可知f(x)=-2有一个根,f(x)=2有四个根,
所以关于x的方程f2(x)=4有5个不等实数根,D正确.故选B,C,D.
12.已知函数f(x)=若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是 .
【答案】 (0,1)
【解析】 因为存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函数不是单调函数,
又y=x+1与y=2x的图象交于点(0,1)和(1,2),画出图象如图所示,由图可知,当013.已知指数函数f(x)的图象过点(,).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(2x)-mf(x-1)+1,且在区间(-1,+∞)上有两个零点,求m的取值范围.
【解】 (1)由题意,设f(x)=ax(a>0,且a≠1),
因为f(x)的图象过点(,),
所以==(),解得a=,
故函数f(x)的解析式为f(x)=()x.
(2)因为g(x)=f(2x)-mf(x-1)+1,
所以g(x)=()2x-2m()x+1,
令t=()x,因为x∈(-1,+∞),
所以t∈(0,2),
所以y=t2-2mt+1,t∈(0,2),
函数g(x)=()2x-2m()x+1在(-1,+∞)上有两个零点,等价于y=t2-2mt+1在t∈(0,2)上有两个零点,
则即
解得1应用创新
14.(多选题)已知函数y=f(x)和y=g(x)在区间[-2,2]上的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.方程f(g(x))=0有且只有6个不同的解
B.方程g(f(x))=0有且只有3个不同的解
C.方程f(f(x))=0有且只有5个不同的解
D.方程g(g(x))=0有且只有4个不同的解
【答案】 ACD
【解析】 对于A,令t=g(x),结合图象可得f(t)=0有3个不同的解,-2对于B,令t=f(x),结合图象可得g(t)=0有2个不同的解,-2对于C,令t=f(x),结合图象可得f(t)=0有3个不同的解,-2对于D,令t=g(x),结合图象可得g(t)=0有2个不同的解,-221世纪教育网(www.21cnjy.com)