1.1.1 集合及其表示方法
第一课时 集合的概念
课标要求 1.了解集合和元素的含义，体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系. 2.理解集合中元素的特点，理解集合相等的概念. 3.记住常用数集的表示符号.
【引入】 在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类.例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图)，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.
一、集合的概念、元素与集合的关系
探究1 请分析以下几个例子，我们研究的对象分别是什么？它们有什么共同特点？
(1)1～10之间的所有偶数；
(2)中国古典四大名著；
(3)所有正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根.
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_____________________________________________________________________
探究2 军训场上，教官下达了命令：“男生练习正步走，女生练习四面转法”，你练习正步走吗？为什么？
_____________________________________________________________________
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【知识梳理】
1.集合：把一些能够________、________对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).通常用英文大写字母____________表示.
2.元素：组成集合的________都是这个集合的元素，通常用英文小写字母____________表示.
3.元素与集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 ________ a属于A
不属于 如果a不是集合A的元素 ________ a不属于A
4.空集：把________任何元素的集合称为空集，记作________.
温馨提示 符号“∈”与“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系，注意符号的书写.
例1 (1)(多选)集合A是由方程x2＝x的所有解组成的集合，下列说法正确的是( )
A.－1∈A B.1∈A
C.0 A D.2 A
(2)用符号“∈”或“ ”填空：
①设集合B是小于的所有实数的集合，则2________B，1＋________B.
②设集合D是由满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则
－1________D，(－1，1)________D.
思维升华 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：适合于集合中的元素是直接给出的.
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
训练1 (1)已知x－1<的解组成的集合为M，那么( )
A.2∈M，－2∈M B.2∈M，－2 M
C.2 M，－2 M D.2 M，－2∈M
(2)(多选)已知集合A中有3个元素2，4，6，且当a∈A时，6－a∈A，则a可能为( )
A.2 B.4
C.6 D.2或4或6
二、元素特点及应用
探究3 你所在的班级中，身高不低于175 cm的同学能组成一个集合吗？高个子同学能组成一个集合吗？为什么？
___________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
1.集合中元素的特点
(1)确定性：集合的元素必须是________的.
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是________的.
(3)无序性：集合中的元素可以________.
2.相等集合：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素______________，就称这两个集合相等，记作________.
3.集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为________，含有无限个元素的集合称为________.
温馨提示 集合中的元素必须是确定的，不能确定的对象不能构成集合，任何两个元素都是不同的对象，且与顺序无关.
例2 (1)(多选)考查下列每组对象，能构成一个集合的是( )
A.不超过20的非负整数
B.方程x2－9＝0在实数范围内的解
C.某校2024年在校的所有高个子同学
D.的近似值的全体
(2)由两个数x，y组成的集合与由0，x2组成的集合相等，则x2 024＋y2 024的值为________.
思维升华 (1)判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
(2)判断两个集合相等的注意点：要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
(3)利用集合相等求参数时，已知元素是突破口.一定注意互异性与无序性.
训练2 (1) (多选)下列各组对象可以组成集合的是( )
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有质数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点
D.周长为10 cm的三角形
(2)设集合A是由2，a2－a＋2，1－a三个元素组成的，且4∈A，则a的值为( )
A.－1，2 B.－3
C.－1，－3，2 D.－3，2
三、几种常见的数集
【知识梳理】
名称 自然数集(或非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 _________ ____ ____ ____ ____
例3 (1)下列表述正确的是( )
A.0∈N B.∈N
C.－3 Z D.π∈Q
(2)(多选)下列结论中正确的是( )
A.若a∈N，则－a N B.若a∈Z，则a2 Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则a3∈R
思维升华 求解此类问题必须要做到以下两点：
(1)熟记常见的数集的符号.
(2)正确理解元素与集合之间的“属于”关系.
训练3 (1)(多选)下列关系正确的是( )
A. R B.|－3|∈N＋
C.∈Q D.∈Z
(2)若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A.3.14 B.－2
C. D.
【课堂达标】
1.(多选)考查下列每组对象，能构成集合的是( )
A.中国各地最美的乡村
B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
C.不小于3的自然数
D.面积为16 cm2的正方形
2.已知1，x，x2三个实数构成一个集合，则x满足的条件是( )
A.x≠0 B.x≠1
C.x≠±1 D.x≠0且x≠±1
3.“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是________.
4.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A(填∈或 ).
第一课时 集合的概念
探究1 提示 题干中例子中指的都是“所有的”,即某种研究对象的全体,研究对象可以是数、点、代数式,也可以是现实生活中各种各样的事物或人等.
探究2 提示 如果你是男生就去,不是男生就不去.要先确定是否属于男同学构成的集合.
知识梳理
1.确定的 不同的 A,B,C…
2.每个对象 a,b,c…
3.a∈A a A 4.不含
例1 (1)BD (2)① ∈ ② ∈ [(1)由x2=x得x=1或x=0,
则集合A中的元素为0,1,
所以-1 A,1∈A,0∈A,2 A.
(2)①∵2,∴2 B.
∵1+,∴1+∈B.
②∵集合D中的元素是有序实数对(x,y),
而-1不是有序实数对,∴-1 D.
∵(-1)2=1,∴(-1,1)是满足方程y=x2的有序实数对,∴(-1,1)∈D.]
训练1 (1)A (2)AB [(1)由题意可得,当x=2时,x-1=1<,所以2∈M,当x=-2时,x-1=-3<,所以-2∈M,故选A.
(2)对于A,当a=2∈A时,6-a=4∈A,满足题意,A正确;对于B,当a=4∈A时,6-a=2∈A,满足题意,B正确;对于C,当a=6∈A时,6-a=0 A,不合题意,C错误;D错误.]
探究3 提示 身高不低于175 cm的同学能组成一个集合;高个子同学不能组成一个集合,因为“高个子同学”没有明确的标准.
知识梳理
1.(1)确定 (2)不同 (3)任意排列
2.完全相同 A=B 3.有限集 无限集
例2 (1)AB (2)1 [(1)A中,对任意一个整数能判断出是不是“不超过20的非负整数”,所以能构成集合;B中,方程的两个解是x=±3,能构成集合;C中,“高个子”无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;D中,“的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数是不是它的近似值,所以不能构成集合.
(2)由两个数x,y组成的集合与由0,x2组成的集合相等,
所以
所以x2 024+y2 024=1.]
训练2 (1)BD (2)D [(1)对于A,“难题”的标准不确定,
因而不能构成集合,所以A错误;
对于B,小于8的所有质数能构成集合,
所以B正确;
对于C,“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合,所以C错误;
对于D,周长为10 cm的三角形具有确定性,
能构成集合,所以D正确.
(2)由集合中元素的确定性知a2-a+2=4或1-a=4.
当a2-a+2=4时,a=-1或a=2;
当1-a=4时,a=-3.
当a=-1时,集合A中的元素不满足互异性,故a=-1舍去;
当a=2时,A中的元素为2,4,-1,
故a=2满足要求;
当a=-3时,A中的元素为2,14,4,故a=-3满足要求.综上,a=2或a=-3.]
知识梳理
N N+或N* Z Q R
例3 (1)A (2)CD [(1)对于A,0∈N,故A正确;
对于B, N,故B错误;
对于C,-3∈Z,故C错误;
对于D,π Q,故D错误.
(2)在A中,当a=0时,显然不成立.
对于B,当a∈Z,其平方数仍为整数,
显然不成立;
对于C,当a∈Q,其绝对值仍为有理数, 正确;
对于D,当a∈R,其立方仍为实数,正确.]
训练3 (1)BC (2)D [(1)由属于实数,所以A错误;由N+是正整数集,因此|-3|=3∈N+,所以B正确;由是有理数,所以C正确;由于=π是无理数,Z是整数集,
所以D错误.
(2)由题意知a应为无理数,故a可以为.]
课堂达标
1.BCD [A中“最美”标准不明确,不符合确定性,B,C,D选项中的元素标准明确,均可构成集合.]
2.D [根据集合中元素的互异性,得
解得x≠0且x≠±1.]
3.7 [根据集合中元素的互异性,“notebooks”中的不同字母为“n,o,t,e,b,k,s”,共7个,故该集合中的元素个数是7.]
4. ∈ [∵a是偶数,b是奇数,∴a+b是奇数,ab是偶数,故a+b A,ab∈A.](共54张PPT)
第一章 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法
第一课时 集合的概念
课标要求
1.了解集合和元素的含义，体会元素与集合的“属于”和“不属于”关系.
2.理解集合中元素的特点，理解集合相等的概念.
3.记住常用数集的表示符号.
引入
在生活与学习中，为了方便，我们经常要对事物进行分类.例如，图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图)，作文学习可按照文体如记叙文、议论文等进行，整数可以分成正整数、负整数和零这三类……
你能说出数学中其他分类实例吗？试着分析为什么要进行分类.
课时精练
一、集合的概念、元素与集合的关系
二、元素特点及应用
三、几种常见的数集
课堂达标
内容索引
集合的概念、元素与集合的关系
一
探究1 请分析以下几个例子，我们研究的对象分别是什么？它们有什么共同特点？
(1)1～10之间的所有偶数；
(2)中国古典四大名著；
(3)所有正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根.
提示 题干中例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等.
探究2 军训场上，教官下达了命令：“男生练习正步走，女生练习四面转法”，你练习正步走吗？为什么？
提示 如果你是男生就去，不是男生就不去.要先确定是否属于男同学构成的集合.
1.集合：把一些能够________、________对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).通常用英文大写字母______________表示.
2.元素：组成集合的__________都是这个集合的元素，通常用英文小写字母______________表示.
知识梳理
确定的
不同的
A，B，C…
每个对象
a，b，c…
3.元素与集合之间的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素 ________ a属于A
不属于 如果a不是集合A的元素 ________ a不属于A
a∈A
a A
4.空集：把______任何元素的集合称为空集，记作____.
不含
温馨提示
符号“∈”与“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合的从属关系，注意符号的书写.
例1
√
(1)(多选)集合A是由方程x2＝x的所有解组成的集合，下列说法正确的是
A.－1∈A B.1∈A C.0 A D.2 A
由x2＝x得x＝1或x＝0，
则集合A中的元素为0，1，
所以－1 A，1∈A，0∈A，2 A.
√
∈
∈
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：适合于集合中的元素是直接给出的.
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
思维升华
训练1
√
√
(2)(多选)已知集合A中有3个元素2，4，6，且当a∈A时，6－a∈A，则a可能为
A.2 B.4 C.6 D.2或4或6
对于A，当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，
√
满足题意，A正确；
对于B，当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，满足题意，B正确；
对于C，当a＝6∈A时，6－a＝0 A，不合题意，C错误；
D错误.
元素特点及应用
二
探究3 你所在的班级中，身高不低于175 cm的同学能组成一个集合吗？高个子同学能组成一个集合吗？为什么？
提示 身高不低于175 cm的同学能组成一个集合；高个子同学不能组成一个集合，因为“高个子同学”没有明确的标准.
知识梳理
1.集合中元素的特点
(1)确定性：集合的元素必须是______的.
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是______的.
(3)无序性：集合中的元素可以__________.
确定
不同
任意排列
2.相等集合：给定两个集合A和B，如果组成它们的元素__________，就称这两个集合相等，记作________.
3.集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为________，含有无限个元素的集合称为________.
完全相同
A＝B
有限集
无限集
温馨提示
集合中的元素必须是确定的，不能确定的对象不能构成集合，任何两个元素都是不同的对象，且与顺序无关.
例2
√
A中，对任意一个整数能判断出是不是“不超过20的非负整数”，所以能构成集合；
√
(2)由两个数x，y组成的集合与由0，x2组成的集合相等，则x2 024＋y2 024的值为________.
1
由两个数x，y组成的集合与由0，x2组成的集合相等，
思维升华
(1)判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.
(2)判断两个集合相等的注意点：要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
(3)利用集合相等求参数时，已知元素是突破口.一定注意互异性与无序性.
(1)(多选)下列各组对象可以组成集合的是
A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有质数
C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.周长为10 cm的三角形
训练2
√
√
对于A，“难题”的标准不确定，因而不能构成集合，所以A错误；
对于B，小于8的所有质数能构成集合，所以B正确；
对于C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合，所以C错误；
对于D，周长为10 cm的三角形具有确定性，
能构成集合，所以D正确.
√
(2)设集合A是由2，a2－a＋2，1－a三个元素组成的，且4∈A，则a的值为
A.－1，2 B.－3 C.－1，－3，2 D.－3，2
由集合中元素的确定性知a2－a＋2＝4或1－a＝4.
当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2；
当1－a＝4时，a＝－3.
当a＝－1时，集合A中的元素不满足互异性，故a＝－1舍去；
当a＝2时，A中的元素为2，4，－1，
故a＝2满足要求；
当a＝－3时，A中的元素为2，14，4，故a＝－3满足要求.综上，a＝2或a＝－3.
几种常见的数集
三
知识梳理
名称 自然数集 (或非负整数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ____ ____________ ____ ____ ____
N
N＋或N*
Z
Q
R
例3
√
√
(2)(多选)下列结论中正确的是
A.若a∈N，则－a N B.若a∈Z，则a2 Z
C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则a3∈R
√
在A中，当a＝0时，显然不成立.
对于B，当a∈Z，其平方数仍为整数，
显然不成立；
对于C，当a∈Q，其绝对值仍为有理数， 正确；
对于D，当a∈R，其立方仍为实数，正确.
思维升华
求解此类问题必须要做到以下两点：
(1)熟记常见的数集的符号.
(2)正确理解元素与集合之间的“属于”关系.
训练3
√
√
√
【课堂达标】
1.(多选)考查下列每组对象，能构成集合的是
A.中国各地最美的乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
C.不小于3的自然数 D.面积为16 cm2的正方形
√
√
√
√
2.已知1，x，x2三个实数构成一个集合，则x满足的条件是
A.x≠0 B.x≠1
C.x≠±1 D.x≠0且x≠±1
3.“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是________.
7
根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.
4.已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A(填∈或 ).
∈
【课时精练】
√
√
2.已知集合A中含有5和a2＋2a＋4这两个元素，且7∈A，则a3的值为
A.0 B.1或－27
C.1 D.－27
根据题意得a2＋2a＋4＝7，
整理得(a＋3)(a－1)＝0，
解得a＝1或a＝－3
则a3＝1或a3＝－27.
√
3.若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是
A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.菱形
由题意，集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a，b，c，d四个元素互不相等，以四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，结合选项，只可能为梯形.
√
√
√
2
当x＝0时，集合中有1个元素0；
当x>0时，|x|＝x，－|x|＝－x，
集合中有2个元素x，－x；
当x<0时，|x|＝－x，－|x|＝x，
集合中有2个元素x，－x，
所以集合中最多含2个元素.
7.已知集合P中的元素x满足x∈N，且2
6
3，4，5
∵x∈N，2∴结合数轴(图略)知a＝6，
此时集合P中的元素是3，4，5.
1
9.方程ax＝b是关于x的方程.当a、b满足什么条件时，该方程的解集是有限集？当a、b满足什么条件时，该方程的解集是无限集？
10.设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.
(1)由集合元素的互异性可得，
x≠3，x2－2x≠x且x2－2x≠3，
解得x≠－1，x≠0且x≠3.
(2)若－2∈A，则x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以x＝－2.
√
√
√
√
√
√
13.已知集合A中有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，集合B中也有三个元素：0，1，x.
(1)若－3∈A，求实数a的值；
集合A中有三个元素：a－3，2a－1，a2＋1，－3∈A，
∴a－3＝－3或2a－1＝－3，
解得a＝0或a＝－1，
当a＝0时，A中的元素为－3，－1，1，成立；
当a＝－1时，A中的元素为－4，－3，2，成立.
∴a的值为0或－1.
(2)若x2∈B，求实数x的值.
集合B中也有三个元素：0，1，x，x2∈B，
当x取0，1，－1时，都有x2∈B，
∵集合中的元素都有互异性，
∴x≠0，x≠1，∴x＝－1.
∴实数x的值为－1.
√
√
√
由性质②，若－1∈A，而1∈A，
则－1＋1＝0∈A，与上述分析矛盾，所以－1 A，A正确.课时精练1 集合的概念
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共24分.
一、基础巩固
1.下列各组中,集合P与Q表示的集合相等的是 ( )
P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合
P是由π构成的集合,Q是由3.141 59构成的集合
P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集
2.已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素,且7∈A,则a3的值为 ( )
0 1或-27
1 -27
3.若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是 ( )
矩形 平行四边形
梯形 菱形
4.给出下列关系:①∈R;②∈Q;③-3 Z;④- N,其中正确的个数为 ( )
1 2
3 4
5.(多选)如果a∈N,b∈N,则下列结论正确的是 ( )
a+b∈N a-b∈N
a·b∈N ∈N
6.由实数x,-x,|x|,-,所组成的集合,最多含 个元素.
7.已知集合P中的元素x满足x∈N,且28.设a,b是两个实数,集合A中含有0,b,三个元素,集合B中含有1,a,a+b三个元素,且集合A与集合B相等,则a+2b= .
9.(13分)方程ax=b是关于x的方程.当a、b满足什么条件时,该方程的解集是有限集 当a、b满足什么条件时,该方程的解集是无限集
10.(13分)设集合A中含有三个元素3,x,x2-2x.
(1)求实数x应满足的条件;
(2)若-2∈A,求实数x.
二、综合运用
11.(多选)已知x,y,z为非零实数,代数式+的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是 ( )
0 M 2∈M
-2∈M 4 M
12.(多选)形如x=a+b,a∈Z,b∈Z的元素组成集合M,则下列选项中正确的是 ( )
∈M M
-∈M +∈M
13.(15分)已知集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B中也有三个元素:0,1,x.
(1)若-3∈A,求实数a的值;
(2)若x2∈B,求实数x的值.
三、创新拓展
14.(多选)非空集合A具有如下性质:①若x,y∈A,则∈A;②若x,y∈A,则x+y∈A.下列判断中正确的有 ( )
-1 A
1∈A
若x,y∈A,则xy∈A
若x,y∈A,则x-y A
课时精练1 集合的概念
1.A [由于A中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C,D中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.]
2.B [根据题意得a2+2a+4=7,整理得(a+3)·(a-1)=0,解得a=1或a=-3,则a3=1或a3=-27.]
3.C [由题意,集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,根据集合中元素的互异性,可得a,b,c,d四个元素互不相等,以四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,结合选项,只可能为梯形.]
4.B [是实数,①正确;是无理数,不是有理数,②错误;-3是整数,③错误;-是无理数,不是自然数,④正确.]
5.AC [因为a∈N,b∈N,则a+b∈N,a·b∈N,而a-b∈N,∈N不一定成立,如1∈N,3∈N,但1-3=-2 N且 N.]
6.2 [显然-=-|x|,=x,
当x=0时,集合中有1个元素0;
当x>0时,|x|=x,-|x|=-x,
集合中有2个元素x,-x;
当x<0时,|x|=-x,-|x|=x,
集合中有2个元素x,-x,
所以集合中最多含2个元素.]
7.6 3,4,5 [∵x∈N,2此时集合P中的元素是3,4,5.]
8.1 [由题意知a+b=0,所以=-1,
所以b=1,a=-1,所以a+2b=1.]
9.解 当a≠0时,方程的解为,有一个解,有限集;当a=0且b≠0时,方程无解,解集为空集,有限集;当a=b=0时,方程有无数个解,则解集为无限集.
10.解 (1)由集合元素的互异性可得,
x≠3,x2-2x≠x且x2-2x≠3,
解得x≠-1,x≠0且x≠3.
(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.
由于x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以x=-2.
11.BCD [当x,y均为负数时,=-2;
当x,y一负一正时,=0;
当x,y均为正数时,=2;
∴M中共有3个元素,A错误,B,C,D正确.]
12.ACD [对于A,∈M,
所以A正确,
对于B,∈M,所以B错误,
对于C,=(-1)×∈M,
所以C正确,
对于D,∈M,所以D正确.]
13.解 (1)集合A中有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,-3∈A,
∴a-3=-3或2a-1=-3,
解得a=0或a=-1,
当a=0时,A中的元素为-3,-1,1,成立;
当a=-1时,A中的元素为-4,-3,2,成立.
∴a的值为0或-1.
(2)集合B中也有三个元素:0,1,x,x2∈B,
当x取0,1,-1时,都有x2∈B,
∵集合中的元素都有互异性,
∴x≠0,x≠1,∴x=-1.
∴实数x的值为-1.
14.ABC [由性质①,若0∈A,则没有意义,
所以0 A,由x,y∈A,令y=x,则=1∈A,所以B正确.
由性质②,若-1∈A,而1∈A,
则-1+1=0∈A,与上述分析矛盾,
所以-1 A,A正确.
若1∈A,x∈A,则∈A;若y∈A,∈A,
则=xy∈A,所以C正确.
由1∈A,得1+1=2∈A,令x=2,y=1,
则2-1=1∈A,所以D错误.]