第二课时 集合的表示方法
课标要求 1.掌握集合的两种表示方法. 2.了解集合的两种表示方法的适用情况，并能在两种表示法中作出选择和转换. 3.掌握区间的概念及表示方法.
【引入】 在集合的概念中，我们学习了一些特殊的集合，比如实数集、正整数集、自然数集等，我们发现可以用自然语言描述一个集合也可以用字母R，N*，N表示，而语言是沟通人与人之间联系的一种方式，比如向朋友打招呼可以说“你好”， 也可以说“hello”，……那么，对于一个集合， 会有哪些不同的表示方法呢？ 这一节课我们共同研究集合的表示方法！
一、列举法
探究1 不大于5的自然数所组成的集合中有哪些元素？你能把此集合中的所有元素逐一列举出来吗？
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探究2 集合B是方程(x＋1)(x－2)＝0的所有根组成的集合，你能列举出集合B中的元素吗？
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【知识梳理】
列举法：把集合中的元素____________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在________内，以此来表示集合的方法称为列举法.
温馨提示 (1)集合中的元素间用“，”隔开，元素不重复，一般不考虑元素的顺序.
(2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多时，若元素能够按照一定的规律排列，可用列举法，在不发生误解的情况下，可按规律列出几个元素为代表，其他元素用省略号表示.
(3)这里集合的“{ }”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等字眼.
例1 (链接教材P7例1)用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程x2－2x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)方程组的解集D.
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思维升华 用列举法表示集合的三步曲：
第一步：求出集合的元素；
第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
第三步：用大括号括起来.
训练1 用列举法表示下列集合：
(1)大于2且小于10的所有实整数组成的集合；
(2)中国古典长篇小说四大名著组成的集合；
(3) 一次函数y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合D.
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二、描述法
探究3 以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以如何表示？
(1)满足不等式x>3的所有数组成的集合A；
(2)所有有理数组成的集合Q.
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【知识梳理】
描述法
(1)一般地，如果属于集合A的____________元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都________这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.
(2)集合A可以用它的特征性质p(x)表示为________的形式.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.
温馨提示 (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}.竖线“|”不能省略，“p(x)”是指元素x所具有的特征性质.
(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等.
(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的.
(4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}.
例2 (链接教材P9 T4)用描述法表示下列集合：
(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；
(2)所有被3除余1的整数组成的集合；
(3)使y＝有意义的实数x组成的集合.
(4)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集.
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思维升华 利用描述法表示集合的注意点
(1)写清楚该集合的代表元素.例如，集合{(x，y)|x＝2，y＝3}写成{x，y|x＝2，y＝3}是错误的.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.竖线不能省略.
训练2 用描述法表示下列集合：
(1) 偶数集；
(2)平面直角坐标系中，第一象限的所有点组成的集合；
(3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
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三、区间及其表示
【知识梳理】
区间及其表示
(1)设a，b是两个实数，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)如果用“＋∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则实数集R可表示为区间(－∞，＋∞).
集合 {x|x≥a} ________ {x|x≤a} {x|x区间 ________ (a，＋∞) (－∞，a] ________
例3 (1)(链接教材P8例2)不等式2x＋3≤0的所有解组成的集合表示成区间是( )
A. B.
C. D.
(2)将集合A＝{x|1A.(1，3) B.(1，3]
C.[1，3) D.[1，3]
思维升华 用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错.
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；
②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
训练3 (1)已知区间[2a－1，11]，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，6) B.(6，＋∞)
C.(1，6) D.(－1，6)
(2)用区间表示下列集合：
①{x|－1≤x≤2}：________；
②{x|1③{x|x>2}：________；
④{x|x≤－2}：________.
四、集合表示方法的综合应用
例4 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值.
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延伸探究
1.(变条件)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若集合A中至多有一个元素，求a的取值范围.
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2.(变条件)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若集合A中有两个元素，求a的取值范围.
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3.(变结论)是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
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思维升华 根据已知的集合求参数的关注点
(1)集合中元素的个数即为方程的根的个数.集合一般用描述法给出，要弄清集合的代表元素及其属性；
(2)解方程ax2＋bx＋c＝0注意对a的讨论.同时关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
训练4 (1)已知集合A＝{－3，－2，0，1，2，3，7}，B＝{x|x∈A，－x A}，则
B＝( )
A.{0，1，7} B.{1，7}
C.{0，2，3} D.{0，1，2，3，7}
(2)设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A＝________.
【课堂达标】
1.方程x2＝4的解集用列举法表示为( )
A.{(－2，2)} B.{－2，2}
C.{－2} D.{2}
2.集合{1，，，2，，…}用描述法可表示为( )
A.{x|x≥1} B.{x|x≤}
C.{x|x＝} D.{x|x＝，n∈N*}
3.集合{x|－24.已知A＝{1，0，－1，2}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，那么B＝________.
第二课时 集合的表示方法
探究1 提示 不大于5的自然数有4,3,2,1,0,我们可以将这些元素一一列举出来.
探究2 提示 集合B中的元素为-1,2.
知识梳理
一一列举 大括号
例1 解 (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A={0,2,4,6,8,10}.
(2)小于8的质数有2,3,5,7,
所以B={2,3,5,7}.
(3)方程x2-2x-3=0的实数根为-1,3,
所以C={-1,3}.
(4)方程组
所以方程组的解集D={(3,1)}.
训练1 解 (1)设大于2且小于10的所有整数组成的集合为A,那么A={3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设中国古典长篇小说四大名著组成的集合为B,那么B={《红楼梦》,《三国演义》,《水浒传》,《西游记》}.
(3) 将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合D={(0,1)}.
探究3 提示 不方便.集合A中的元素x都具有性质“x是大于3的数”, 而不属于集合A的元素都不具有这个性质.故可以把集合A表示为{x|x是大于3的实数}或{x|x>3}.
类似的,Q中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”,而不属于集合Q的元素都不具有这个性质.故可以把Q表示为Q={x|x是两个整数的商}或Q=xm∈Z,n∈Z,n≠0.
知识梳理
(1)任意一个 不具有 (2){x|p(x)}
例2 解 (1)∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上,
∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}.
(2)∵被3除余1的整数可表示为3n+1,n∈Z,
∴所有被3除余1的整数组成的集合为
{x|x=3n+1,n∈Z}.
(3)要使y=有意义.
则x2+x-6≠0.解得x≠2且x≠-3.
∴使y=有意义的实数x组成的集合为{x|x≠2,且x≠-3}.
(4)由(x-2)2+(y+3)2=0,
解得x=2,y=-3.
∴方程的解集为.
训练2 解 (1)偶数集,用描述法表示为{x|x=2n,n∈Z}.
(2)集合中的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零,用描述法表示为{(x,y)|x>0,y>0}.
(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合中,代表元素为有序实数对(x,y),其中x,y满足y=x2+2x-10,则用描述法表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}.
(4)二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中,代表元素为y,是实数,故可用描述法表示为{y|y=x2+2x-10}.
知识梳理
(2){x|x>a} [a,+∞) (-∞,a)
例3 (1)D (2)B [(1)不等式2x+3≤0的所有解组成的集合为,表示成区间为.
(2)因为集合A为左开右闭区间,故可表示为(1,3].故选B.]
训练3 (1)A (2)①[-1,2] ②(1,3] ③(2,+∞) ④(-∞,-2] [(1)由题意可知2a-1<11,解得a<6.
(2)①{x|-1≤x≤2}=[-1,2];
②{x|1③{x|x>2}=(2,+∞);
④{x|x≤-2}=(-∞,-2].]
例4 解 当a=0时,原方程变为2x+1=0,
此时x=-,符合题意;当a≠0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,当Δ=4-4a=0,即a=1时,原方程的解为x=-1,符合题意.故当a=0或a=1时,原方程只有一个解,此时A中只有一个元素.
延伸探究
1.解 集合A中至多有一个元素,
即集合A中有一个元素或没有元素.
当集合A中只有一个元素时,
由例题可知a=0或a=1;
当集合A中没有元素时,Δ=4-4a<0,
且a≠0,即a>1.
故当集合A中至多有一个元素时,
a的取值范围为{a|a=0,或a≥1}.
2.解 集合A中有两个元素,
即方程ax2+2x+1=0有两个不等实根,
所以即a<1且a≠0,
故实数a组成的集合为{a|a<1,且a≠0}.
3.解 ∵A={1},∴1∈A,
∴a+2+1=0,即a=-3.
又当a=-3时,由-3x2+2x+1=0,
得x=-或x=1,
即方程ax2+2x+1=0有两个根-和1,
此时A=,与A={1}矛盾.
故不存在实数a,使A={1}.
训练4 (1)B (2){-1,4} [(1)因为A={-3,-2,0,1,2,3,7},B={x|x∈A,-x A},
所以B={1,7}.
(2)∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4,
∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.]
课堂达标
1.B [方程x2=4,解得x=2或x=-2,解集用列举法表示为{-2,2}.]
2.D [{1,,,2,,…}中的元素满足,所以{1,,,2,,…}={x|x=,n∈N*}.]
3.(-2,2] [因为集合{x|-24.{0,1,2} [因为A={1,0,-1,2},
所以B={y|y=|x|,x∈A}={0,1,2}.](共60张PPT)
第二课时 集合的表示方法
第一章 1.1 集合 1.1.1 集合及其表示方法
课标要求
1.掌握集合的两种表示方法.
2.了解集合的两种表示方法的适用情况，并能在两种表示法中作出选择和转换.
3.掌握区间的概念及表示方法.
引入
在集合的概念中，我们学习了一些特殊的集合，比如实数集、正整数集、自然数集等，我们发现可以用自然语言描述一个集合也可以用字母R，N*，N表示，而语言是沟通人与人之间联系的一种方式，比如向朋友打招呼可以说“你好”， 也可以说“hello”，……那么，对于一个集合， 会有哪些不同的表示方法呢？ 这一节课我们共同研究集合的表示方法！
课时精练
一、列举法
二、描述法
三、区间及其表示
课堂达标
内容索引
四、集合表示方法的综合应用
列举法
一
探究1 不大于5的自然数所组成的集合中有哪些元素？你能把此集合中的所有元素逐一列举出来吗？
提示 不大于5的自然数有4，3，2，1，0，我们可以将这些元素一一列举出来.
探究2 集合B是方程(x＋1)(x－2)＝0的所有根组成的集合，你能列举出集合B中的元素吗？
提示 集合B中的元素为－1，2.
列举法：把集合中的元素__________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在________内，以此来表示集合的方法称为列举法.
知识梳理
一一列举
大括号
(1)集合中的元素间用“，”隔开，元素不重复，一般不考虑元素的顺序.
(2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多时，若元素能够按照一定的规律排列，可用列举法，在不发生误解的情况下，可按规律列出几个元素为代表，其他元素用省略号表示.
(3)这里集合的“{ }”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等字眼.
温馨提示
(链接教材P7例1)用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
例1
(1)不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，
所以A＝{0，2，4，6，8，10}.
(2)小于8的质数有2，3，5，7，
所以B＝{2，3，5，7}.
(3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1，3，
所以C＝{－1，3}.
用列举法表示集合的三步曲：
第一步：求出集合的元素；
第二步：把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
第三步：用大括号括起来.
思维升华
用列举法表示下列集合：
(1)大于2且小于10的所有实整数组成的集合；
(2)中国古典长篇小说四大名著组成的集合；
(3) 一次函数y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合D.
训练1
(1)设大于2且小于10的所有整数组成的集合为A，那么A＝{3，4，5，6，7，8，9}.
(2)设中国古典长篇小说四大名著组成的集合为B，那么
B＝{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》}.
(3) 将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合D＝{(0，1)}.
描述法
二
探究3 以下集合用列举法表示方便吗？如果不方便，你觉得可以如何表示？
(1)满足不等式x>3的所有数组成的集合A；
(2)所有有理数组成的集合Q.
提示 不方便.集合A中的元素x都具有性质“x是大于3的数”， 而不属于集合A的元素都不具有这个性质.故可以把集合A表示为{x|x是大于3的实数}或{x|x>3}.
描述法
(1)一般地，如果属于集合A的__________元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都________这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.
(2)集合A可以用它的特征性质p(x)表示为__________________的形式.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.
知识梳理
任意一个
不具有
{x|p(x)}
(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}.竖线“|”不能省略，“p(x)”是指元素x所具有的特征性质.
(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等.
(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的.
(4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}.
温馨提示
(链接教材P9 T4)用描述法表示下列集合：
(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；
(2)所有被3除余1的整数组成的集合；
例2
(1)∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，
∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}.
(2)∵被3除余1的整数可表示为3n＋1，n∈Z，
∴所有被3除余1的整数组成的集合为{x|x＝3n＋1，n∈Z}.
思维升华
利用描述法表示集合的注意点
(1)写清楚该集合的代表元素.例如，集合{(x，y)|x＝2，y＝3}写成{x，y|x＝2，y＝3}是错误的.
(2)所有描述的内容都要写在大括号内.例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}.竖线不能省略.
用描述法表示下列集合：
(1) 偶数集；
(2)平面直角坐标系中，第一象限的所有点组成的集合；
(1)偶数集，用描述法表示为{x|x＝2n，n∈Z}.
训练2
(2)集合中的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，用描述法表示为{(x，y)|x>0，y>0}.
(3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合.
(3)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}.
(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}.
区间及其表示
三
区间及其表示
(1)设a，b是两个实数，且a知识梳理
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(2)如果用“＋∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则实数集R可表示为区间(－∞，＋∞).
集合 {x|x≥a} ____________ {x|x≤a} {x|x区间 ___________ (a，＋∞) (－∞，a] ___________
{x|x>a}
[a，＋∞)
(－∞，a)
√
例3
√
(2)将集合A＝{x|1A.(1，3) B.(1，3]
C.[1，3) D.[1，3]
思维升华
用区间表示数集的原则和方法
(1)用区间表示数集的原则：①数集是连续的；②左小右大；③区间的开闭不能弄错.
(2)用区间表示数集的方法：①区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；
②用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别.
(1)已知区间[2a－1，11]，则实数a的取值范围是
A.(－∞，6) B.(6，＋∞)
C.(1，6) D.(－1，6)
训练3
√
(2)用区间表示下列集合：
①{x|－1≤x≤2}：________；②{x|1③{x|x>2}：________；④{x|x≤－2}：____________.
[－1，2]
(1，3]
(2，＋∞)
(－∞，－2]
①{x|－1≤x≤2}＝[－1，2]；
②{x|1③{x|x>2}＝(2，＋∞)；
④{x|x≤－2}＝(－∞，－2].
集合表示方法的综合应用
四
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值.
当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
例4
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，
原方程的解为x＝－1，符合题意.
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，
此时A中只有一个元素.
1.(变条件)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若集合A中至多有一个元素，求a的取值范围.
集合A中至多有一个元素，
延伸探究
即集合A中有一个元素或没有元素.
当集合A中只有一个元素时，
由例题可知a＝0或a＝1；
当集合A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1.
故当集合A中至多有一个元素时，
a的取值范围为{a|a＝0，或a≥1}.
2.(变条件)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若集合A中有两个元素，求a的取值范围.
集合A中有两个元素，
3.(变结论)是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
∵A＝{1}，∴1∈A，
∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
又当a＝－3时，由－3x2＋2x＋1＝0，
思维升华
根据已知的集合求参数的关注点
(1)集合中元素的个数即为方程的根的个数.集合一般用描述法给出，要弄清集合的代表元素及其属性；
(2)解方程ax2＋bx＋c＝0注意对a的讨论.同时关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
(1)已知集合A＝{－3，－2，0，1，2，3，7}，B＝{x|x∈A，－x A}，则B＝
A.{0，1，7} B.{1，7} C.{0，2，3} D.{0，1，2，3，7}
因为A＝{－3，－2，0，1，2，3，7}，
训练4
√
(2)设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，用列举法表示集合A＝___________.
{－1，4}
【课堂达标】
1.方程x2＝4的解集用列举法表示为
A.{(－2，2)} B.{－2，2} C.{－2} D.{2}
√
方程x2＝4，解得x＝2或x＝－2，解集用列举法表示为{－2，2}.
√
3.集合{x|－2因为集合{x|－2所以用区间表示为(－2，2].
(－2，2]
4.已知A＝{1，0，－1，2}，B＝{y|y＝|x|，x∈A}，那么B＝____________.
因为A＝{1，0，－1，2}，
{0，1，2}
【课时精练】
√
1.集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，用列举法表示为
A.1 B.2 C.{1，2} D.{2}
A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{x|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}.
√
2.不等式x－2≥0的所有解组成的集合表示成区间是
A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2]
不等式x－2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2}，表示成区间为[2，＋∞).
√
3.下列集合的表示方法中，不同于其他三个集合的是
A.{x|x＝20} B.{20}
C.{x＝20} D.{y|(y－20)2＝0}
选项A，B，D对应的集合中只有一个元素20，故它们是相同的集合，
而C中虽只有一个元素，但该元素是用等式作为元素，而不是实数20，
故选项C与其他三个选项不同.
√
4.(多选)集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为
A.{x|x是不大于9的非负奇数} B.{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≤4}
C.{x|x≤9，x∈N*} D.{x|0≤x≤9，x∈Z}
√
对于A，{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1，3，5，7，9}，故A正确；
对于B，{x|x＝2k＋1，k∈N，且k≤4}表示的集合是{1，3，5，7，9},故B正确；
对于C，{x|x≤9，x∈N*}表示的集合是{1，2，3，4，5，6，7，8，9},故C错误；
对于D，{x|0≤x≤9，x∈Z}表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D错误.
√
6.用区间表示{x|x≥0，且x≠2}为____________________.
[0，2)∪(2，＋∞)
{x|x≥0，且x≠2}用区间可表示为[0，2)∪(2，＋∞).
7.已知集合A＝{1，－1}，B＝{1，0，－1}，则集合C＝{a－b|a∈A，b∈B}中元素的个数为________.
5
当a＝1时，b＝－1，0，1，
则a－b＝0，1，2；
当a＝－1时，b＝－1，0，1，
则a－b＝0，－1，－2；
所以集合C＝{a－b|a∈A，a∈B}＝{－1，－2，0，1，2}，
所以元素的个数为5个.
－1 或4
8.已知集合A＝{1，x，x2＋3}，若4∈A，则x等于______________.
因为4∈A，所以x＝4或x2＋3＝4，则x＝4或x＝－1或x＝1，而x＝1时不满足集合中元素的互异性，故x＝4或x＝－1.
9.选择适当的方法表示下列集合：
(1)被5除余1的正整数组成的集合；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；
(3)方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合；
(4)全体三角形组成的集合.
(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；
(2){(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；
(3)(x2－9)x＝0 x＝0或x＝±3，
解集为{－3，0，3}，
(4){x|x是三角形}或写成{三角形}.
10.已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值.
①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1，1，2}，
不符合集合中元素的互异性，舍去.
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3，1，2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去.
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2，0，1}，满足题意.
综上所述，实数a的值为－1或0.
√
√
√
对于A，由x3＝x，
即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.
因为－1 N，
所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0，1}.
对于B，集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，
所以实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R.
对于D，由(x－4)2＋(y＋5)2＝0，
得x－4＝0，y＋5＝0，解得x＝4，y＝－5，
故集合为{(4，－5)}.
12.若一数集中任一元素的倒数仍在该数集中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集______________.(答案不唯一)
不是
(2)用列举法表示集合B.
6的因数有1，2，3，6，而x∈N，
14.中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为_________________，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为_________________.
{60，120，180}
{x|x＝60n，n∈N*}
因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，
所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60，120，180}.
此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为{x|x＝60n，n∈N*}.课时精练2 集合的表示方法
(分值:100分)
单选题每小题5分,共20分;多选题每小题6分,共12分.
一、基础巩固
1.集合A={x|x2-3x+2=0},用列举法表示为 ( )
1 2
{1,2} {2}
2.不等式x-2≥0的所有解组成的集合表示成区间是 ( )
(2,+∞) [2,+∞)
(-∞,2) (-∞,2]
3.下列集合的表示方法中,不同于其他三个集合的是 ( )
{x|x=20} {20}
{x=20} {y|(y-20)2=0}
4.(多选)集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为 ( )
{x|x是不大于9的非负奇数}
{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}
{x|x≤9,x∈N*}
{x|0≤x≤9,x∈Z}
5.集合用描述法可表示为 ( )
6.用区间表示{x|x≥0,且x≠2}为 .
7.已知集合A={1,-1},B={1,0,-1},则集合C={a-b|a∈A,b∈B}中元素的个数为 .
8.已知集合A={1,x,x2+3},若4∈A,则x等于 .
9.(13分)选择适当的方法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数组成的集合;
(2)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合;
(3)方程(x2-9)x=0的实数解组成的集合;
(4)全体三角形组成的集合.
10.(15分)已知集合A={a+3,(a+1)2,a2+2a+2},
若1∈A,求实数a的值.
二、综合运用
11.(多选)给出下列说法,其中不正确的是 ( )
集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1}
实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}
方程组的解组成的集合为{x=1,y=2}
方程(x-4)2+(y+5)2=0的所有解组成的集合为{(4,-5)}
12.若一数集中任一元素的倒数仍在该数集中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2} (填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集 .(答案不唯一)
13.(15分)设集合B=.
(1)试判断元素1和2与集合B的关系;
(2)用列举法表示集合B.
三、创新拓展
14.中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归,问:三女几何日相会 ”,则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为 ,此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为 .
课时精练2 集合的表示方法
1.C [A={x|x2-3x+2=0}={x|(x-1)(x-2)=0}={1,2}.]
2.B [不等式x-2≥0的所有解组成的集合为{x|x≥2},表示成区间为[2,+∞).]
3.C [选项A,B,D对应的集合中只有一个元素20,故它们是相同的集合,而C中虽只有一个元素,但该元素是用等式作为元素,而不是实数20,故选项C与其他三个选项不同.]
4.AB [对于A,{x|x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9},故A正确;
对于B,{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9},故B正确;
对于C,{x|x≤9,x∈N*}表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9},故C错误;
对于D,{x|0≤x≤9,x∈Z}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D错误.]
5.D [由3,,,,…,即,,,,…,从中发现规律,x=,n∈N*,故可用描述法表示为.]
6.[0,2)∪(2,+∞) [{x|x≥0,且x≠2}用区间可表示为[0,2)∪(2,+∞).]
7.5 [当a=1时,b=-1,0,1,则a-b=0,1,2;
当a=-1时,b=-1,0,1,则a-b=0,-1,-2;
所以集合C={a-b|a∈A,a∈B}={-1,-2,0,1,2},所以元素的个数为5个.]
8.-1 或4 [因为4∈A,所以x=4或x2+3=4,则x=4或x=-1或x=1,而x=1时不满足集合中元素的互异性,故x=4或x=-1.]
9.解 (1){x|x=5k+1,k∈N};
(2){(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N};
(3)(x2-9)x=0 x=0或x=±3,
解集为{-3,0,3},
(4){x|x是三角形}或写成{三角形}.
10.解 ①若a+3=1,则a=-2,此时A={1,1,2},
不符合集合中元素的互异性,舍去.
②若(a+1)2=1,则a=0或a=-2.
当a=0时,A={3,1,2},满足题意;
当a=-2时,由①知不符合条件,故舍去.
③若a2+2a+2=1,则a=-1,
此时A={2,0,1},满足题意.
综上所述,实数a的值为-1或0.
11.ABC [对于A,由x3=x,即x(x2-1)=0,得x=0或x=1或x=-1.因为-1 N,所以集合{x∈N|x3=x}用列举法表示应为{0,1}.
对于B,集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”“全体”等含义,而符号“R”已表示所有的实数构成的集合,所以实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R.
对于C,方程组的解是有序实数对,而集合{x=1,y=2}表示两个等式组成的集合,方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1,2)}或.
对于D,由(x-4)2+(y+5)2=0,
得x-4=0,y+5=0,解得x=4,y=-5,
故集合为{(4,-5)}.]
12.不是 [由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A.若集合中有三个元素,
故必有一个元素a=,即a=±1,
故可取的集合有,等.]
13.解 (1)当x=1时,=2∈N;
当x=2时, N,所以1∈B,2 B.
(2)6的因数有1,2,3,6,而x∈N,令x=0,1,4代入∈N检验,可得B={0,1,4}.
14.{60,120,180} {x|x=60n,n∈N*} [因为三女相会经过的天数是5,4,3的公倍数,且它们的最小公倍数为60,
所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为{60,120,180}.
此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为{x|x=60n,n∈N*}.]