21.2.2 公式法（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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21.2.2公式法
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 诸暨市期末）已知方程x2﹣6x+9＝0，那么这个方程（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有一个实数根
2．（2025 内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1
3．（2025 北京模拟）若关于x的一元二次方程x2+5x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 包河区校级月考）若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 北京模拟）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2025 召陵区二模）如图，关于x的方程中的三个符号，改变其中的两个（“+”变为“﹣”或“﹣”变为“+”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（　　）
A．①② B．①③
C．②③ D．以上选项均不成立
7．（2025 三门峡二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝﹣x+a的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2024秋 平凉期中）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）
A．x＝1 B．x C．x＝﹣1 D．x
二．填空题（共5小题）
9．（2025 涟源市三模）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是　 　 ．
10．（2025 深圳模拟）关于x的方程mx2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的m的值 　 　 ．
11．（2024秋 于都县期中）将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为　 　 ．
12．（2024秋 横州市校级期中）小明用公式法解方程x2﹣4x﹣7＝0，请帮他填空第一步，解：a＝1，b＝﹣4，c＝ 　 　 ．
13．（2024春 宁阳县期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 源城区期末）解方程：x2﹣7x﹣1＝0．
15．（2024秋 蓝田县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
21.2.2公式法
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 诸暨市期末）已知方程x2﹣6x+9＝0，那么这个方程（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有一个实数根
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】求出Δ的值，即可判断方程根的情况．
【解答】解：在x2﹣6x+9＝0中，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，
∴方程有两个相等的实数根；
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握Δ＝0时，对应的一元二次方程有两根相等的实数根．
2．（2025 内江）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠1 D．a＜2且a≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可列出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：a≤2且a≠1，
∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
3．（2025 北京模拟）若关于x的一元二次方程x2+5x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，代入计算即可．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4 1 c＝25﹣4c，
当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0，即：25﹣4c＝0，
解得，
∴实数c的值为．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系．
4．（2025春 包河区校级月考）若用公式法解关于x的一元二次方程2x2+3x﹣4＝0，其根为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据求解即可．
【解答】解：∵a＝2，b＝3，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝41＞0，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握公式法求一元二次方程的方法是解题的关键．
5．（2025 北京模拟）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设“□”表示的数为a，根据题意得出Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0，求解即可得到答案．
【解答】解：设“□”表示的数为a，
∵方程x2﹣4x+□＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0，
解得：a≤4，
∴“□”的值可能为4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，②Δ＝0，方程有两个相等的实数根，③Δ＜0，方程没有实数根．
6．（2025 召陵区二模）如图，关于x的方程中的三个符号，改变其中的两个（“+”变为“﹣”或“﹣”变为“+”），使方程的实数根的个数不变，则可以改变的是（　　）
A．①② B．①③
C．②③ D．以上选项均不成立
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】分别计算原方程根的判别式，改变①②、①③、②③处符号时对应的根的判别式，即可得出结论．
【解答】解：根据根的判别式改变①②、①③、②③处符号逐项分析判断如下：
∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，
∴原方程有两个不等的实数根，
改变①②处符号时，原方程为﹣2x2﹣x﹣1＝0，
∴Δ＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根，
改变①③处符号时，原方程为﹣2x2+x+1＝0，
∴Δ＝12﹣4×（﹣2）×1＝9＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
改变②③处符号时，原方程为2x2﹣x+1＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，
∴方程没有实数根，
∴改变①③处符号时，方程的实数根的个数不变，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
7．（2025 三门峡二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝﹣x+a的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】根的判别式；一次函数的性质．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先利用根的判别式的意义得到Δ＜0，解不等式得到m的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
【解答】解：由根的判别式可得Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＜0，
解得a＞2，
所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（2024秋 平凉期中）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　　）
A．x＝1 B．x C．x＝﹣1 D．x
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】D
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根，
即x．
故选：D．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
二．填空题（共5小题）
9．（2025 涟源市三模）已知关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是　k≤1　 ．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0列出关于k的不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即4﹣4k≥0，
解得，k≤1．
故答案为：k≤1．
【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式Δ＝b2﹣4ac的关系：
（1）Δ＝b2﹣4ac＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝b2﹣4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＝b2﹣4ac＜0 方程没有实数根．
10．（2025 深圳模拟）关于x的方程mx2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的m的值 　1（答案不唯一）　 ．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1（答案不唯一）．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，任取其内一值即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2+4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣2且m≠0，
∴m＝1符合题意．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，列出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
11．（2024秋 于都县期中）将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为　3x2﹣5x﹣10＝0　 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】3x2﹣5x﹣10＝0．
【分析】去括号，再移项，即可得出答案．
【解答】解：3x2＝5（x+2），
3x2＝5x+10，
3x2﹣5x﹣10＝0，
故答案为：3x2﹣5x﹣10＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键．
12．（2024秋 横州市校级期中）小明用公式法解方程x2﹣4x﹣7＝0，请帮他填空第一步，解：a＝1，b＝﹣4，c＝ 　﹣7　 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【答案】﹣7．
【分析】根据求根公式中a、b、c的意义求解．
【解答】解：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
13．（2024春 宁阳县期末）定义新运算：规定，例如，若，则x的值为 　或﹣3　 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意列得一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：由题意可得3x2﹣（1﹣8x）＝2，
整理得：3x2+8x﹣3＝0，
∵a＝3，b＝8，c＝﹣3，
∴Δ＝82﹣4×3×（﹣3）＝100＞0，
则x，
解得：x或x＝﹣3，
故答案为：或﹣3．
【点评】本题考查公式法解一元二次方程，结合已知条件列得一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 源城区期末）解方程：x2﹣7x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：x2﹣7x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×（﹣1）＝53，
x，
x1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否正确运用公式法解一元二次方程．
15．（2024秋 蓝田县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】计算判别式的值得到Δ＝1，然后根据判别式的意义得到结论．
【解答】证明：∵a＝1，b＝2k+1，c＝k2+k，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝（4k2+4k+1）﹣（4k2+4k）
＝1＞0
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
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