21.2.3 因式分解法（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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21.2.3 因式分解法
一．选择题（共8小题）
1．（2025 昆明三模）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
2．（2025 南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4
3．（2025 乌当区二模）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣3
C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3
4．（2025春 藤县期中）若2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，则x2+bx+c可以分解为（　　）
A．（x+2）（x+3） B．（x﹣2）（x﹣3）
C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3）
5．（2025 茂名一模）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x1＝2，x2＝0 C．x＝0 D．x1＝2，x2＝1
6．（2024秋 沧州期末）方程x2＝x的解是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣1，x2＝1
C．x1＝0，x2＝1 D．x＝0
7．（2025 英德市一模）下列哪个数是方程x2﹣6x+8＝0的解（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．5
8．（2024秋 南平期末）已知一元二次方程的两根是x1＝﹣2，x2＝3，则这个方程可以是（　　）
A．（x﹣2）（x+3）＝0 B．（x+2）（x+3）＝0
C．（x+2）（x﹣3）＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝0
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 合肥月考）一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣17x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是　 　 ．
10．（2025 山东一模）对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 　 　 ．
11．（2025 鞍山模拟）已知一元二次方程（2﹣x）（5+x）＝0，则方程的根为　 　 ．
12．（2025 番禺区二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，，则方程2☆x＝x★6的解为 　 　 ．
13．（2025 兴宁市一模）方程x2+6x＝0的根为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 铁岭模拟）计算
（1）2x2+5x+2＝0；
（2）x2﹣3x＝x﹣3．
15．（2024秋 吴桥县期末）用适当方法解方程．
（1）x2﹣7＝6x；
（2）2（2x﹣3）＝3x（2x﹣3）．
21.2.3 因式分解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 昆明三模）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣9x+18＝0得x1＝3，x2＝6，再根据等腰三角形的性质分类：若腰为3，底为6或腰为6，底为3，然后根据三角形三边的关系确定三角形的边长后计算周长．
【解答】解：x2﹣9x+18＝0，
（x﹣3）（x﹣6）＝0，
所以x1＝3，x2＝6，
当腰为3时，由于3+3＝6，不符合三角形三边的关系，故舍去；
当腰为6，底为3，则三角形周长＝6+6＝3＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．也考查了三角形三边的关系．
2．（2025 南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】新定义．
【答案】C
【分析】原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果．
【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，
∴x★2＝x2﹣3x+2，
即：x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0或x+1＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了用因式分解的方法解一元二次方程，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题．
3．（2025 乌当区二模）方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣3
C．x1＝2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】D
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程（x﹣2）（x+3）＝0，
可得x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（2025春 藤县期中）若2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，则x2+bx+c可以分解为（　　）
A．（x+2）（x+3） B．（x﹣2）（x﹣3）
C．（x+2）（x﹣3） D．（x﹣2）（x+3）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】由因式分解法可知，一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根为x1、x2，则（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，进而得解．
【解答】解：∵2，3是方程x2+bx+c＝0的两个实数根，
∴x2+bx+c＝（x﹣2）（x﹣3）．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
5．（2025 茂名一模）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x1＝2，x2＝0 C．x＝0 D．x1＝2，x2＝1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x﹣2）＝0，
x＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝0，x2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
6．（2024秋 沧州期末）方程x2＝x的解是（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣1，x2＝1
C．x1＝0，x2＝1 D．x＝0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】C
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：x2＝x，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
7．（2025 英德市一模）下列哪个数是方程x2﹣6x+8＝0的解（　　）
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．5
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：方程分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
8．（2024秋 南平期末）已知一元二次方程的两根是x1＝﹣2，x2＝3，则这个方程可以是（　　）
A．（x﹣2）（x+3）＝0 B．（x+2）（x+3）＝0
C．（x+2）（x﹣3）＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】由﹣2与3列出算式，即可得到所求方程．
【解答】解：一元二次方程的两根是x1＝﹣2，x2＝3，则这个方程可以是（x+2）（x﹣3）＝0，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 合肥月考）一个三角形的两边长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程x2﹣17x+60＝0的一个实数根，则该三角形的周长是　20或27　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】20或27．
【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的周长即可．
【解答】解：原分解因式得（x﹣12）（x﹣5）＝0，
解得：x＝12或x＝5，
当x＝12时，7+8＞12，
∴三角形的周长为：7+8+12＝27；
当x＝5时，5+7＞8，
∴三角形的周长为：5+7+8＝20；
综上所述，三角形的周长是20或27．
故答案为：20或27．
【点评】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
10．（2025 山东一模）对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 　x1＝2，x2＝﹣1　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】新定义；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝2，x2＝﹣1．
【分析】根据题意列出方程x2﹣x＝2，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：1☆x＝2，
x2﹣x＝2，
x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了新定义运算解方程的问题，理解新定义法则是解题的关键．
11．（2025 鞍山模拟）已知一元二次方程（2﹣x）（5+x）＝0，则方程的根为　x1＝2，x2＝﹣5　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝2，x2＝﹣5．
【分析】根据两个数的积为0，则其中至少一个为0即可求解．
【解答】解：∵一元二次方程（2﹣x）（5+x）＝0，
∴原方程可化为2﹣x＝0或5+x＝0，
∴方程的根为：x1＝2，x2＝﹣5．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键．
12．（2025 番禺区二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b＝a2﹣b2，，则方程2☆x＝x★6的解为 　x1＝﹣4，x2＝1　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝﹣4，x2＝1．
【分析】根据新运算法则列出一元二次方程，然后求解即可．
【解答】解：∵2☆x＝x★6，
∴，
∴x2+3x﹣4＝0，
∴（x+4）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1，
故答案为：x1＝﹣4，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，理解题中的新定义运算法则是解题的关键．
13．（2025 兴宁市一模）方程x2+6x＝0的根为　x1＝0，x2＝﹣6．　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程左边分解得到x（x+6）＝0，则方程转化为两个一元一次方程x＝0或x+6＝0，解一元一次方程即可．
【解答】解：x（x+6）＝0，
∴x＝0或x+6＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣6．
故答案为x1＝0，x2＝﹣6．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形，使方程右边为0，然后把方程左边进行因式分解，于是一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 铁岭模拟）计算
（1）2x2+5x+2＝0；
（2）x2﹣3x＝x﹣3．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】（1）；
（2）x1＝3，x2＝1．
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）2x2+5x+2＝0，
（x+2）（2x+1）＝0，
x+2＝0或2x+1＝0，
∴；
（2）x2﹣3x＝x﹣3，
x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
15．（2024秋 吴桥县期末）用适当方法解方程．
（1）x2﹣7＝6x；
（2）2（2x﹣3）＝3x（2x﹣3）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣1；
（2）．
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原方程整理得x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x﹣7）（x+1）＝0，
∴x﹣7＝0或x+1＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣1；
（2）原方程整理得2（2x﹣3）﹣3x（2x﹣3）＝0，
∴（2x﹣3）（2﹣3x）＝0，
∴2x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
∴．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
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