21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（同步练习·含解析）-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　）
A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25
2．（2025 冷水江市三模）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则式子（x1+1）（x2+1）的值等于（　　）
A．﹣4 B．0 C．2 D．6
3．（2025 滨海新区校级三模）设方程2x2+4x+6＝0的两实数根为x1、x2，则x1+x2+x1x2的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．5
4．（2025 鲁山县三模）已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（　　）
A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030
5．（2025 安次区一模）已知关于y的一元二次方程y2﹣8y﹣m2＝0的两根分别为y1，y2，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．y1≠y2 B．y1 y2＜0
C．y1+y2＞0 D．方程有两个实数根
6．（2025春 利辛县期中）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（　　）
A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10
7．（2025 盐城一模）已知x1，x2是方程x2﹣8x+6＝0的两个实数根，则x1+x2的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6
8．（2025春 海淀区校级月考）已知方程x2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
二．填空题（共5小题）
9．（2025 泰兴市校级三模）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　 　 ．
10．（2025 利通区校级二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则的值为　 　 ．
11．（2025 苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝　 　 ．
12．（2025 瑶海区校级三模）某矩形的长和宽分别等于方程x2+px+q＝0两根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 　 　 ．
13．（2025 思明区校级二模）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α+β的值为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 中牟县模拟）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为2，求另一个根．
15．（2025春 蚌埠月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是邻根方程．
（1）通过计算，判断下列方程是否是邻根方程：．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是邻根方程，求k的值．
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 广西）已知x1，x2是方程x2﹣20x﹣25＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　）
A．﹣25 B．﹣20 C．20 D．25
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【答案】C
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x220．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
2．（2025 冷水江市三模）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则式子（x1+1）（x2+1）的值等于（　　）
A．﹣4 B．0 C．2 D．6
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】由题意易得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，然后将所求式子展开，再将x1+x2＝2，x1x2＝﹣3代入计算即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
，
∴（x1+1）（x2+1）
＝x1x2+（x1+x2）+1
＝﹣3+2+1
＝0；
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
3．（2025 滨海新区校级三模）设方程2x2+4x+6＝0的两实数根为x1、x2，则x1+x2+x1x2的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．5
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2、x1x2＝3，将其代入x1+x2+x1x2中计算即可．
【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+4x+6＝0的两实数根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝3，
∴x1+x2+x1x2
＝（x1+x2）+x1x2
＝﹣2+3
＝1，
即x1+x2+x1x2的值1，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．
4．（2025 鲁山县三模）已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（　　）
A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030
【考点】根与系数的关系．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得a2+2025a＝5，a+b＝﹣2025，再代值求解即可．
【解答】解：由条件可知：a2+2025a＝5，a+b＝﹣2025，
∴a2+2024a﹣b
＝a2+2025a﹣（a+b）
＝5﹣（﹣2025）
＝5+2025
＝2030，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（2025 安次区一模）已知关于y的一元二次方程y2﹣8y﹣m2＝0的两根分别为y1，y2，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．y1≠y2 B．y1 y2＜0
C．y1+y2＞0 D．方程有两个实数根
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】由题意可知Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣m2）＝64+4m2＞0，y1+y2＝8＞0，，由此即可判断各个选项的正误．
【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣m2）＝64+4m2＞0，
即方程有两个不相等的实数根，
∴y1≠y2，故A、D正确，
由根与系数的关系可知，y1+y2＝8＞0，，
故C正确，B不正确，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键．
6．（2025春 利辛县期中）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，则α+β＝（　　）
A．7 B．﹣7 C．10 D．﹣10
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，即可求出α+β的值．
【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的根，
∴α+β＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
7．（2025 盐城一模）已知x1，x2是方程x2﹣8x+6＝0的两个实数根，则x1+x2的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝8．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，．
8．（2025春 海淀区校级月考）已知方程x2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的解是（　　）
A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】B
【分析】令t＝x+3，则方程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0即为方程t2+bt﹣c＝0，根据题意可得方程t2+bt﹣c＝0的解是t1＝1，t2＝﹣3，则x+3＝1或x+3＝﹣3，据此求解即可．
【解答】解：令t＝x+3，则方程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0即为方程t2+bt﹣c＝0，
∵方程x2+bx﹣c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程t2+bt﹣c＝0的解是t1＝1，t2＝﹣3，
∴x+3＝1或x+3＝﹣3，
解得x1＝﹣2，x2＝﹣6，
∴程（x+3）2+b（x+3）﹣c＝0的解是x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，注意正确计算．
二．填空题（共5小题）
9．（2025 泰兴市校级三模）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝　　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据根与系数的关系得到，然后利用整体思想代入进行计算即可．
【解答】解：由条件可知，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，理解并掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
10．（2025 利通区校级二模）若x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则的值为　﹣6　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，再将其代入原式＝x1x2（x1+x2）中，即可求出结论．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6，
∴x2+x1x1x2（x1+x2）＝﹣6×1＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
11．（2025 苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝　﹣3　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2，结合x1＝1，即可求出x2的值．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣2，
又∵x1＝1，
∴x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于”是解题的关键．
12．（2025 瑶海区校级三模）某矩形的长和宽分别等于方程x2+px+q＝0两根，若矩形的周长和面积相等，则p、q的关系为 　2p+q＝0　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2p+q＝0．
【分析】设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根，利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系．
【解答】解：设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，
∵2（x1+x2）＝x1x2，
∴﹣2p＝q，
∴2p+q＝0．
故答案为：2p+q＝0．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
13．（2025 思明区校级二模）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α+β的值为　2　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根进行求解即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，a＝1，b＝﹣2，
∴α+β2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确两根之和为．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 中牟县模拟）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为2，求另一个根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）1．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）设方程的另一个根为α，先把x＝2代入方程求出m的值，再由根与系数的关系即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
Δ＝（m+2）2﹣4m×2
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：设方程的另一个根为α，
∵方程有一个根为2，
∴4m﹣2（m+2）+2＝0，
解得m＝1，
∴α+23，
∴α＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
15．（2025春 蚌埠月考）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是邻根方程．
（1）通过计算，判断下列方程是否是邻根方程：．
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0（k是常数）是邻根方程，求k的值．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）方程是“邻根方程”，理由见解析；
（2）k的值为﹣4或﹣2．
【分析】（1）先利用公式法求出方程的两个根，再求出两个根的差，最后根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）利用因式分解法解该方程，可得x1＝k，x2＝﹣3，然后根据“邻根方程”的定义求解即可．
【解答】解：（1）由条件可知，
∴，
∴，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
（2）x2﹣（k﹣3）x﹣3k＝0，
（x﹣k）（x+3）＝0，
x﹣k＝0或x+3＝0，
解得：x1＝k，x2＝﹣3，
由条件可知k+1＝﹣3或k﹣1＝﹣3，
解得：k＝﹣4或﹣2，
即k的值为﹣4或﹣2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，新定义“邻根方程”，理解该新定义是解题关键．
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